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Integer Points on A^4+B^4+C^4=171698*D^4

[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=171698*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

171698=2*293^2であるので、以下では、n=293とする。

■n=293のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=293;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように134個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(293,1,200);
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (253001167/8370933 : -14506633/8370933 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (4733/5321 : 303/5321 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (7408/4463 : -2629/31241 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (-530567/240189 : 42263/240189 : 1)
** u= -4/49 ; tau(u)= 102/53 ; -5602*x^2 + 4786*y^2 + 10420*x*z - 5602*z^2
  (88/81 : -35/81 : 1)  C2b (-1639240/286797 : 110305/286797 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (16050907/92472 : -951319/92472 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (5583/2948 : 419/2948 : 1)
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b (-4172/1709 : 253/1709 : 1)
** u= 8/73 ; tau(u)= 138/65 ; -8386*x^2 + 10594*y^2 + 19108*x*z - 8386*z^2
  (-950/2397 : -3061/2397 : 1)  C1b (66721/103868 : -5309/103868 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (29127/94795 : 961/18959 : 1)
** u= 11/117 ; tau(u)= 223/106 ; -22351*x^2 + 27257*y^2 + 49850*x*z - 22351*z^2
  (-31309/1105559 : 147522/157937 : 1)  C1b (-10519128/1271275 : -124549/254255 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (385/584 : 45/584 : 1)
** u= 13/45 ; tau(u)= 77/32 ; -1879*x^2 + 3881*y^2 + 6098*x*z - 1879*z^2
  (24137/70751 : -4728/70751 : 1)  C1b (-104727/87547 : -8069/87547 : 1)
** u= 13/81 ; tau(u)= 149/68 ; -9079*x^2 + 12953*y^2 + 22370*x*z - 9079*z^2
  (1183/4297 : -2268/4297 : 1)  C1b (-357835/102876 : 22285/102876 : 1)
** u= -13/85 ; tau(u)= 183/98 ; -19039*x^2 + 14281*y^2 + 33658*x*z - 19039*z^2
  (53453/96389 : -63658/96389 : 1)  C2b (44662624/7892357 : -2582509/7892357 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (3736/2209 : 189/2209 : 1)
** u= 15/17 ; tau(u)= 19/2 ; 217*x^2 + 353*y^2 + 586*x*z + 217*z^2
  (-2563/5209 : -1202/5209 : 1)  C1b (270937/39848 : 15333/39848 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-24468/13657 : 2641/13657 : 1)
** u= 16/173 ; tau(u)= 330/157 ; -49042*x^2 + 59602*y^2 + 109156*x*z - 49042*z^2
  (28877/110699 : -70106/110699 : 1)  C1b (395367/692836 : -34921/692836 : 1)
** u= -17/65 ; tau(u)= 147/82 ; -13159*x^2 + 8161*y^2 + 21898*x*z - 13159*z^2
  (-103/1389 : 1874/1389 : 1)  C2b (9136/11097 : 623/11097 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (2516279/24804 : -133477/24804 : 1)
** u= 19/2 ; tau(u)= 15/17 ; -217*x^2 - 353*y^2 + 586*x*z - 217*z^2
  (5/3 : -2/3 : 1)  C1a (4553/293 : -237/293 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (-320432/381991 : 42127/381991 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (-7616616/140723 : -481951/140723 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-96211/5959 : 4743/5959 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (-182620873/16009549 : 12097401/16009549 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (149/8332 : -851/8332 : 1)
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b (-1986360/882881 : -167615/882881 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (4835284/466431 : -240617/466431 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (9188349/14719 : 580283/14719 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (-7049/808 : 359/808 : 1)
** u= 31/41 ; tau(u)= 51/10 ; 761*x^2 + 2401*y^2 + 3562*x*z + 761*z^2
  (-35/33 : 1534/1617 : 1)  C1b (-13488/8951 : -35767/438599 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (97076/35949 : -5239/35949 : 1)
** u= -35/173 ; tau(u)= 381/208 ; -85303*x^2 + 58633*y^2 + 146386*x*z - 85303*z^2
  (-83483/163555 : -288352/163555 : 1)  C2b (152989/149367 : 9017/149367 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-355876/138631 : 17959/138631 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (-1037/487 : -369/3409 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (24941/30956 : -1661/30956 : 1)
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a (-12604/5323 : 627/5323 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (1250653/170264 : 61537/170264 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (1705979/1628452 : 112223/1628452 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (-26774036/6844679 : 1333701/6844679 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-3623/66557 : 5391/66557 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (11347019/3914297 : 582501/3914297 : 1)
** u= 49/149 ; tau(u)= 249/100 ; -17599*x^2 + 42001*y^2 + 64402*x*z - 17599*z^2
  (-91869/133069 : -172340/133069 : 1)  C1b (100415873/4923844 : 5073533/4923844 : 1)
** u= 51/10 ; tau(u)= 31/41 ; -761*x^2 - 2401*y^2 + 3562*x*z - 761*z^2
  (87/89 : 3974/4361 : 1)  C1a (8051/3168 : 19717/155232 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (-432956/147389 : 43953/147389 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (2141/761 : 753/5327 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-27784649/272851 : -1416873/272851 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (244896/268121 : -644029/10992961 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (-1497859/8489 : 5661/653 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (26408/9321 : -12079/65247 : 1)
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b (29332/7643 : 3913/7643 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (-22685/16391 : 5135/16391 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-2328377/35468 : 117161/35468 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (-231276/123479 : 15029/123479 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-3562868/294563 : 177177/294563 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (-859874731/4815232 : 60133509/4815232 : 1)
** u= 59/109 ; tau(u)= 159/50 ; -1519*x^2 + 20281*y^2 + 28762*x*z - 1519*z^2
  (-4923/750613 : 217810/750613 : 1)  C1b (3487624/81323 : -171407/81323 : 1)
** u= -59/185 ; tau(u)= 429/244 ; -115591*x^2 + 64969*y^2 + 187522*x*z - 115591*z^2
  (6609/16291 : 15464/16291 : 1)  C2b (-8817548/1704369 : 698939/1704369 : 1)
** u= -60/121 ; tau(u)= 302/181 ; -61922*x^2 + 25682*y^2 + 94804*x*z - 61922*z^2
  (-2016/10337 : -18557/10337 : 1)  C2b (-13979368/1410169 : 1185663/1410169 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (162129/128932 : 9917/128932 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-193292/17993 : -69669/125951 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (-190483/50567 : -9913/50567 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
  (10799/88427 : 14814/88427 : 1)  C1b (4795512/519329 : 235723/519329 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (-121/3379 : -5207/23653 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (-21553930191/2127576944 : 2340532627/2127576944 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (11169/223664 : 17197/223664 : 1)
** u= 77/32 ; tau(u)= 13/45 ; 1879*x^2 - 3881*y^2 + 6098*x*z + 1879*z^2
  (-1235/19013 : -11784/19013 : 1)  C1a (326669/114852 : 19583/114852 : 1)
** u= 77/85 ; tau(u)= 93/8 ; 5801*x^2 + 8521*y^2 + 14578*x*z + 5801*z^2
  (-11/7 : -4/7 : 1)  C1b (-24412/39579 : 2017/39579 : 1)
** u= -77/101 ; tau(u)= 279/178 ; -57439*x^2 + 14473*y^2 + 83770*x*z - 57439*z^2
  (-73329/562759 : 1231694/562759 : 1)  C2b (48080584/55297085 : -825181/11059417 : 1)
** u= 80/109 ; tau(u)= 138/29 ; 4718*x^2 + 17362*y^2 + 25444*x*z + 4718*z^2
  (-609/205 : -266/205 : 1)  C1b (-1889681/951723 : 97609/951723 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-10637748/487403 : 524137/487403 : 1)
** u= -87/157 ; tau(u)= 401/244 ; -111503*x^2 + 41729*y^2 + 168370*x*z - 111503*z^2
  (22233/7567 : 4028/1081 : 1)  C2b (-28268/2288207 : 191433/2288207 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (13487204/5531859 : -1548737/5531859 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-4251353/1062541 : 232793/1062541 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-307/111 : -19/111 : 1)
** u= 93/8 ; tau(u)= 77/85 ; -5801*x^2 - 8521*y^2 + 14578*x*z - 5801*z^2
  (44093/83833 : -14692/83833 : 1)  C1a (-1292/3051 : 203/3051 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-6594096/882293 : 377069/882293 : 1)
** u= -95/117 ; tau(u)= 329/212 ; -80863*x^2 + 18353*y^2 + 117266*x*z - 80863*z^2
  (10057/6943 : 14556/6943 : 1)  C2b (-3080388/353671 : 348149/353671 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (850447/1928629 : -100503/1928629 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-532552/130557 : -26587/130557 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-2259532/735521 : 111339/735521 : 1)
** u= 102/53 ; tau(u)= -4/49 ; 5602*x^2 - 4786*y^2 + 10420*x*z + 5602*z^2
  (-2432/4917 : -3031/4917 : 1)  C1a (-37213/15408 : 1933/15408 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (-41063168/175257 : -2223457/175257 : 1)
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b (290236/10449 : 30187/10449 : 1)
** u= -107/125 ; tau(u)= 357/232 ; -96199*x^2 + 19801*y^2 + 138898*x*z - 96199*z^2
  (30601/791611 : -1696780/791611 : 1)  C2b (75945837/25082239 : -6707339/25082239 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (3079852/911667 : -168307/911667 : 1)
** u= -112/85 ; tau(u)= 282/197 ; -65074*x^2 + 1906*y^2 + 92068*x*z - 65074*z^2
  (397/3840 : -20861/3840 : 1)  C2b (49711/5363 : -13229/5363 : 1)
** u= -116/149 ; tau(u)= 414/265 ; -126994*x^2 + 30946*y^2 + 184852*x*z - 126994*z^2
  (-1510/2383 : 7359/2383 : 1)  C2b (2466528/2911639 : -218737/2911639 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (-983239/169149 : -100919/169149 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (694859/188840 : 9237/37768 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (970619416/4233301 : -47724303/4233301 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-57732160/1631491 : 3365565/1631491 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (569544/270467 : 28337/270467 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (-68819/130964 : -4293/31612 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (-48545/70419 : 15725/70419 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (4857113/99624 : -256993/99624 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (8916496/24633 : 439543/24633 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (275564/152437 : 19219/152437 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (-5153020/1227357 : -650015/1227357 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (413772/112151 : 21301/112151 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (-4223/944 : 219/944 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (114557/378328 : 33399/378328 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (12277/34860 : 403/6972 : 1)
** u= 136/149 ; tau(u)= 162/13 ; 18158*x^2 + 25906*y^2 + 44740*x*z + 18158*z^2
  (-3364/4237 : -2025/4237 : 1)  C1b (87956/280185 : 3539/56037 : 1)
** u= 138/29 ; tau(u)= 80/109 ; -4718*x^2 - 17362*y^2 + 25444*x*z - 4718*z^2
  (4807/24126 : -2347/24126 : 1)  C1a (335397/58276 : 16483/58276 : 1)
** u= 138/65 ; tau(u)= 8/73 ; 8386*x^2 - 10594*y^2 + 19108*x*z + 8386*z^2
  (-409/25782 : -22523/25782 : 1)  C1a (-3932763/25239983 : 1319183/25239983 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-592229/146527 : 29121/146527 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (1830505644/8185937 : 94813813/8185937 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (-11549/45544 : 2931/45544 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (275564/152437 : 19219/152437 : 1)
** u= 147/82 ; tau(u)= -17/65 ; 13159*x^2 - 8161*y^2 + 21898*x*z + 13159*z^2
  (-10103/8111 : -7126/8111 : 1)  C1a (-2441096/221457 : 156637/221457 : 1)
** u= 149/68 ; tau(u)= 13/81 ; 9079*x^2 - 12953*y^2 + 22370*x*z + 9079*z^2
  (586189/1429001 : -252288/204143 : 1)  C1a (87956/280185 : 3539/56037 : 1)
** u= -152/125 ; tau(u)= 402/277 ; -130354*x^2 + 8146*y^2 + 184708*x*z - 130354*z^2
  (41303/37923 : -121640/37923 : 1)  C2b (-930141/114383 : -199483/114383 : 1)
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a (-14108/245227 : -37523/245227 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (-346172/246729 : -22217/246729 : 1)
** u= 159/50 ; tau(u)= 59/109 ; 1519*x^2 - 20281*y^2 + 28762*x*z + 1519*z^2
  (-8669/168801 : 8030/168801 : 1)  C1a (600191264/23551507 : 29609877/23551507 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-20974588/7536395 : -214347/1507279 : 1)
** u= 162/13 ; tau(u)= 136/149 ; -18158*x^2 - 25906*y^2 + 44740*x*z - 18158*z^2
  (3364/4237 : 2025/4237 : 1)  C1a (-357835/102876 : 22285/102876 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (2516279/24804 : -133477/24804 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (-1563/508 : -179/508 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-532468/136091 : 26683/136091 : 1)
** u= -165/149 ; tau(u)= 463/314 ; -169967*x^2 + 17177*y^2 + 241594*x*z - 169967*z^2
  (44621/15157 : -111634/15157 : 1)  C2b (-5901359/1458608 : -1085193/1458608 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (10176/5909 : -4337/41363 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (107149/8264 : -7529/8264 : 1)
** u= 183/98 ; tau(u)= -13/85 ; 19039*x^2 - 14281*y^2 + 33658*x*z + 19039*z^2
  (-4107/31075 : -31766/31075 : 1)  C1a (-2134633/1287536 : -111751/1287536 : 1)
** u= -183/137 ; tau(u)= 457/320 ; -171311*x^2 + 4049*y^2 + 242338*x*z - 171311*z^2
  (-74901/281509 : -2202784/281509 : 1)  C2b (-4505107/644356 : 1592019/644356 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-1265407/119588 : -68269/119588 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (124804352/4308673 : 16285981/4308673 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (447436/160393 : 22337/160393 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (3504553/448376 : 693157/448376 : 1)
** u= 196/197 ; tau(u)= 198 ; 38414*x^2 + 39202*y^2 + 77620*x*z + 38414*z^2
  (-349/344 : 49/344 : 1)  C1b (1442547/4914503 : -335183/4914503 : 1)
** u= 198 ; tau(u)= 196/197 ; -38414*x^2 - 39202*y^2 + 77620*x*z - 38414*z^2
  (9131/10434 : -511/10434 : 1)  C1a (1992637/172423 : 111209/172423 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-183657/2893 : -272897/20251 : 1)
134
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ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.01.28
H.Nakao

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