Integer Points on A^4+B^4+C^4=169362*D^4
[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=169362*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
169362=2*291^2であるので、以下では、n=291とする。
■n=291のとき、２次曲線(**)は、有理点(-5/19, -1/19)を持つことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=291;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
true (-5/19 : -1/19 : 1)
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように101個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(291,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
(-523/244295 : -240208/244295 : 1) C1b (-2150/105979 : -6217/105979 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
(40591/47221 : -3916/47221 : 1) C1b (3521603/3995 : -41115/799 : 1)
** u= 1/181 ; tau(u)= 361/180 ; -64799*x^2 + 65521*y^2 + 130322*x*z - 64799*z^2
(47657/40315 : -5664/40315 : 1) C1b (2839126/1349725 : -144049/1349725 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
(1/7 : 8/7 : 1) C2b (-1214303/514585 : 108539/514585 : 1)
** u= 8/53 ; tau(u)= 98/45 ; -3986*x^2 + 5554*y^2 + 9668*x*z - 3986*z^2
(-673/3571 : -3696/3571 : 1) C1b (-126757/84830 : 9803/84830 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
(2476/6541 : 58391/111197 : 1) C1b (7102/9895 : -8797/168215 : 1)
** u= -9/89 ; tau(u)= 187/98 ; -19127*x^2 + 15761*y^2 + 35050*x*z - 19127*z^2
(6581/9533 : 4830/9533 : 1) C2b (5934250/3762989 : 309095/3762989 : 1)
** u= 9/169 ; tau(u)= 329/160 ; -51119*x^2 + 57041*y^2 + 108322*x*z - 51119*z^2
(2815/1753 : -696/1753 : 1) C1b (2385932482/835839803 : -121295863/835839803 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
(6784/79263 : 64427/79263 : 1) C1b (-1406065/375082 : 89961/375082 : 1)
** u= 13/85 ; tau(u)= 157/72 ; -10199*x^2 + 14281*y^2 + 24818*x*z - 10199*z^2
(23839/77261 : 38316/77261 : 1) C1b (3401194/47059 : -184813/47059 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
(12953/20513 : -11642/20513 : 1) C2b (-28916555/1017997 : 1841385/1017997 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
(78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1) C1b (-154126/133465 : 13389/133465 : 1)
** u= -16/65 ; tau(u)= 146/81 ; -12866*x^2 + 8194*y^2 + 21572*x*z - 12866*z^2
(-48448/308665 : -62703/44095 : 1) C2b (206030/169223 : -11551/169223 : 1)
** u= 16/97 ; tau(u)= 178/81 ; -12866*x^2 + 18562*y^2 + 31940*x*z - 12866*z^2
(-641/893 : -1350/893 : 1) C1b (11671/34417 : 1717/34417 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
(239/369 : -244/369 : 1) C2b (-65423/22630 : 1053/4526 : 1)
** u= -20/97 ; tau(u)= 214/117 ; -26978*x^2 + 18418*y^2 + 46196*x*z - 26978*z^2
(-43/580 : -747/580 : 1) C2b (9977155/14619418 : 784783/14619418 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
(-987/26695 : -17924/26695 : 1) C1b (716548930/4171103 : 2150889/245359 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
(-4371/15581 : -23578/15581 : 1) C2b (-108430/1120969 : 78045/1120969 : 1)
** u= 24/149 ; tau(u)= 274/125 ; -30674*x^2 + 43826*y^2 + 75652*x*z - 30674*z^2
(-67963/1570773 : 1383620/1570773 : 1) C1b (-179746/36475 : -10749/36475 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
(-29/3351 : -27170/23457 : 1) C2b (313790/240191 : -118493/1681337 : 1)
** u= 27/37 ; tau(u)= 47/10 ; 529*x^2 + 2009*y^2 + 2938*x*z + 529*z^2
(-259/617 : -2382/4319 : 1) C1b (1697/265 : 619/1855 : 1)
** u= -27/41 ; tau(u)= 109/68 ; -8519*x^2 + 2633*y^2 + 12610*x*z - 8519*z^2
(8169/20411 : 27664/20411 : 1) C2b (441648566/207993073 : 30654919/207993073 : 1)
** u= -27/181 ; tau(u)= 389/208 ; -85799*x^2 + 64793*y^2 + 152050*x*z - 85799*z^2
(19551/32089 : -19936/32089 : 1) C2b (96630502/140044889 : -7426309/140044889 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
(11/393 : 256/393 : 1) C1b (-16458614/11463475 : -1175743/11463475 : 1)
** u= -36/29 ; tau(u)= 94/65 ; -7154*x^2 + 386*y^2 + 10132*x*z - 7154*z^2
(-5/22 : 111/22 : 1) C2b (465610/11591 : 97159/11591 : 1)
** u= -36/185 ; tau(u)= 406/221 ; -96386*x^2 + 67154*y^2 + 166132*x*z - 96386*z^2
(76/129 : -89/129 : 1) C2b (3588610/535967 : 215581/535967 : 1)
** u= 37/181 ; tau(u)= 325/144 ; -40103*x^2 + 64153*y^2 + 106994*x*z - 40103*z^2
(94843/3198077 : -2427600/3198077 : 1) C1b (4749661/521230 : -245167/521230 : 1)
** u= -39/173 ; tau(u)= 385/212 ; -88367*x^2 + 58337*y^2 + 149746*x*z - 88367*z^2
(9543/17773 : -13456/17773 : 1) C2b (-7814722/1179697 : -568749/1179697 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
(-537/451 : 128/451 : 1) C1b (353825/61871 : 22169/61871 : 1)
** u= -40/49 ; tau(u)= 138/89 ; -14242*x^2 + 3202*y^2 + 20644*x*z - 14242*z^2
(173/1461 : 2828/1461 : 1) C2b (-9027782/4555225 : -1327127/4555225 : 1)
** u= 40/121 ; tau(u)= 202/81 ; -11522*x^2 + 27682*y^2 + 42404*x*z - 11522*z^2
(16153/2909 : 6336/2909 : 1) C1b (130034/484049 : 23899/484049 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
(5/4 : -1/4 : 1) C1a (24727/16610 : 1277/16610 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
(-538/3053 : 149/3053 : 1) C1b (4145/6974 : -435/6974 : 1)
** u= 45/49 ; tau(u)= 53/4 ; 1993*x^2 + 2777*y^2 + 4834*x*z + 1993*z^2
(-209/309 : -112/309 : 1) C1b (1055275/788978 : -85123/788978 : 1)
** u= 47/10 ; tau(u)= 27/37 ; -529*x^2 - 2009*y^2 + 2938*x*z - 529*z^2
(49/263 : 6/1841 : 1) C1a (-26425/8714 : -10273/60998 : 1)
** u= 48/169 ; tau(u)= 290/121 ; -26978*x^2 + 54818*y^2 + 86404*x*z - 26978*z^2
(566/13173 : -8591/13173 : 1) C1b (-34872451/2914195 : 1867707/2914195 : 1)
** u= -49/121 ; tau(u)= 291/170 ; -55399*x^2 + 26881*y^2 + 87082*x*z - 55399*z^2
(-3889/33291 : 52294/33291 : 1) C2b (1633163/1522475 : 100693/1522475 : 1)
** u= -49/193 ; tau(u)= 435/242 ; -114727*x^2 + 72097*y^2 + 191626*x*z - 114727*z^2
(2557/76225 : -93478/76225 : 1) C2b (595452934/12930631 : -39722687/12930631 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
(-469/4513 : 6340/4513 : 1) C2b (190789157/5450806 : 12895971/5450806 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
(78/241 : 935/9881 : 1) C1b (-104087/8695 : 45421/71299 : 1)
** u= 53/4 ; tau(u)= 45/49 ; -1993*x^2 - 2777*y^2 + 4834*x*z - 1993*z^2
(209/393 : -28/393 : 1) C1a (-126757/84830 : 9803/84830 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
(-91167/3659 : -147064/3659 : 1) C2b (-973747/368525 : 99923/368525 : 1)
** u= 56/65 ; tau(u)= 74/9 ; 2974*x^2 + 5314*y^2 + 8612*x*z + 2974*z^2
(-3529/4183 : -2676/4183 : 1) C1b (-1088647/71138 : 56261/71138 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
(-957/5627 : 6280/5627 : 1) C1a (-5723/5450 : 341/5450 : 1)
** u= -63/53 ; tau(u)= 169/116 ; -22943*x^2 + 1649*y^2 + 32530*x*z - 22943*z^2
(517/787 : 2076/787 : 1) C2b (58/311 : -4879/30167 : 1)
** u= 67/157 ; tau(u)= 247/90 ; -11711*x^2 + 44809*y^2 + 65498*x*z - 11711*z^2
(6811/37715 : -2898/37715 : 1) C1b (-753911/410545 : 46139/410545 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
(-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1) C2b (-923110/283379 : 97945/283379 : 1)
** u= -72/97 ; tau(u)= 266/169 ; -51938*x^2 + 13634*y^2 + 75940*x*z - 51938*z^2
(1021/994 : 1443/994 : 1) C2b (7115630/4927927 : 507875/4927927 : 1)
** u= 72/169 ; tau(u)= 266/97 ; -13634*x^2 + 51938*y^2 + 75940*x*z - 13634*z^2
(-69/1972 : -65/116 : 1) C1b (983149/3975107 : -196469/3975107 : 1)
** u= 74/9 ; tau(u)= 56/65 ; -2974*x^2 - 5314*y^2 + 8612*x*z - 2974*z^2
(4/7 : 3/7 : 1) C1a (-60649414/10381999 : 3428377/10381999 : 1)
** u= 77/85 ; tau(u)= 93/8 ; 5801*x^2 + 8521*y^2 + 14578*x*z + 5801*z^2
(-11/7 : -4/7 : 1) C1b (-284053/114050 : -14129/114050 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
(23131/361149 : 13036/361149 : 1) C1b (562057/275065 : 30111/275065 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
(84/481 : -7/481 : 1) C1a (960026/118645 : 9477/23729 : 1)
** u= 81/89 ; tau(u)= 97/8 ; 6433*x^2 + 9281*y^2 + 15970*x*z + 6433*z^2
(-20089/30653 : -1620/4379 : 1) C1b (156127/309911 : -21709/309911 : 1)
** u= 81/101 ; tau(u)= 121/20 ; 5761*x^2 + 13841*y^2 + 21202*x*z + 5761*z^2
(-20135/15163 : -14256/15163 : 1) C1b (15716654/2160841 : 843211/2160841 : 1)
** u= 84/109 ; tau(u)= 134/25 ; 5806*x^2 + 16706*y^2 + 25012*x*z + 5806*z^2
(-736/2161 : 755/2161 : 1) C1b (72913/229727 : -13017/229727 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
(9561/17276 : 16799/17276 : 1) C2b (-838747/877054 : 117693/877054 : 1)
** u= -88/193 ; tau(u)= 474/281 ; -150178*x^2 + 66754*y^2 + 232420*x*z - 150178*z^2
(6401/1788 : -7715/1788 : 1) C2b (-1979827/111746 : -158853/111746 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
(13/7 : 20/7 : 1) C2b (30757327/7494535 : -2805667/7494535 : 1)
** u= 93/8 ; tau(u)= 77/85 ; -5801*x^2 - 8521*y^2 + 14578*x*z - 5801*z^2
(44093/83833 : -14692/83833 : 1) C1a (-57755/60851 : 5377/60851 : 1)
** u= 94/65 ; tau(u)= -36/29 ; 7154*x^2 - 386*y^2 + 10132*x*z + 7154*z^2
(-1093/4918 : 18147/4918 : 1) C1a (-416870/121873 : -4271/7169 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
(9241/331533 : 112798/331533 : 1) C1b (94993766/40181735 : -4911329/40181735 : 1)
** u= 97/8 ; tau(u)= 81/89 ; -6433*x^2 - 9281*y^2 + 15970*x*z - 6433*z^2
(6287/5923 : 3516/5923 : 1) C1a (11671/34417 : 1717/34417 : 1)
** u= 98/45 ; tau(u)= 8/53 ; 3986*x^2 - 5554*y^2 + 9668*x*z + 3986*z^2
(-2764/11243 : -6489/11243 : 1) C1a (1055275/788978 : -85123/788978 : 1)
** u= 99/101 ; tau(u)= 103/2 ; 9793*x^2 + 10601*y^2 + 20410*x*z + 9793*z^2
(-1572997/1988591 : 289110/1988591 : 1) C1b (1570116326/792343123 : 9160429/60949471 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
(763/123328 : -175/2624 : 1) C1b (-2987/4243 : -24921/411571 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
(-4345/27411 : 11068/27411 : 1) C1a (111479/46889 : 6729/46889 : 1)
** u= 103/2 ; tau(u)= 99/101 ; -9793*x^2 - 10601*y^2 + 20410*x*z - 9793*z^2
(524483/660417 : -99266/660417 : 1) C1a (-39569/110257 : -7697/110257 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
(-1583/473 : 1076/473 : 1) C1a (-54758/69605 : -3721/69605 : 1)
** u= -108/97 ; tau(u)= 302/205 ; -72386*x^2 + 7154*y^2 + 102868*x*z - 72386*z^2
(205/1162 : -22857/8134 : 1) C2b (-14105/1082 : 16379/7574 : 1)
** u= 108/149 ; tau(u)= 190/41 ; 8302*x^2 + 32738*y^2 + 47764*x*z + 8302*z^2
(-5315/1654 : 2229/1654 : 1) C1b (-3221/34706 : -1717/34706 : 1)
** u= -108/149 ; tau(u)= 406/257 ; -120434*x^2 + 32738*y^2 + 176500*x*z - 120434*z^2
(-53483/8344 : 114825/8344 : 1) C2b (27571/25922 : 2057/25922 : 1)
** u= 108/197 ; tau(u)= 286/89 ; -4178*x^2 + 65954*y^2 + 93460*x*z - 4178*z^2
(836/29 : 699/203 : 1) C1b (2044195/1099037 : 786565/7693259 : 1)
** u= 109/68 ; tau(u)= -27/41 ; 8519*x^2 - 2633*y^2 + 12610*x*z + 8519*z^2
(-1069/3451 : 708/493 : 1) C1a (225958/1275259 : -130409/1275259 : 1)
** u= -117/101 ; tau(u)= 319/218 ; -81359*x^2 + 6713*y^2 + 115450*x*z - 81359*z^2
(3531/2291 : 60862/16037 : 1) C2b (-3913775/784874 : 5416625/5494118 : 1)
** u= 121/20 ; tau(u)= 81/101 ; -5761*x^2 - 13841*y^2 + 21202*x*z - 5761*z^2
(1057/2729 : 924/2729 : 1) C1a (130034/484049 : 23899/484049 : 1)
** u= -124/169 ; tau(u)= 462/293 ; -156322*x^2 + 41746*y^2 + 228820*x*z - 156322*z^2
(278/57807 : -111469/57807 : 1) C2b (601771/286477 : 44329/286477 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
(52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1) C2b (-4819142/1110313 : 1187913/1110313 : 1)
** u= -128/97 ; tau(u)= 322/225 ; -84866*x^2 + 2434*y^2 + 120068*x*z - 84866*z^2
(1402/6293 : -31845/6293 : 1) C2b (-1781981/316630 : -587579/316630 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
(-785/1087 : -832/1087 : 1) C1b (-1450366/733445 : -74633/733445 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
(116/1119 : 4105/1119 : 1) C2b (-45134/262175 : -57603/262175 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
(820842/718661 : -1258255/718661 : 1) C2b (6330283/1107245 : 121419/221449 : 1)
** u= 134/25 ; tau(u)= 84/109 ; -5806*x^2 - 16706*y^2 + 25012*x*z - 5806*z^2
(1487/1472 : -1325/1472 : 1) C1a (-30478706/598639 : -1553199/598639 : 1)
** u= 136/145 ; tau(u)= 154/9 ; 18334*x^2 + 23554*y^2 + 42212*x*z + 18334*z^2
(-1285/751 : -72/751 : 1) C1b (71389/626194 : 36643/626194 : 1)
** u= 138/89 ; tau(u)= -40/49 ; 14242*x^2 - 3202*y^2 + 20644*x*z + 14242*z^2
(-101/710 : 1351/710 : 1) C1a (735955/247043 : -97237/247043 : 1)
** u= 144/157 ; tau(u)= 170/13 ; 20398*x^2 + 28562*y^2 + 49636*x*z + 20398*z^2
(-1685/3166 : 291/3166 : 1) C1b (-11170/97567 : 5111/97567 : 1)
** u= 146/81 ; tau(u)= -16/65 ; 12866*x^2 - 8194*y^2 + 21572*x*z + 12866*z^2
(-11585/14191 : 9702/14191 : 1) C1a (18041/59230 : 4807/59230 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
(-63077/63853 : -50344/63853 : 1) C1b (221441/174758 : 16587/174758 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
(-1559/2961 : 92/423 : 1) C1b (-364235437/963509 : -19642953/963509 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
(36083/46527 : 64264/46527 : 1) C2b (1370/2381 : -17095/230957 : 1)
** u= 154/9 ; tau(u)= 136/145 ; -18334*x^2 - 23554*y^2 + 42212*x*z - 18334*z^2
(1285/751 : -72/751 : 1) C1a (832087/581618 : 43349/581618 : 1)
** u= 157/72 ; tau(u)= 13/85 ; 10199*x^2 - 14281*y^2 + 24818*x*z + 10199*z^2
(17449/1108669 : -954804/1108669 : 1) C1a (-11170/97567 : 5111/97567 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
(-531/5897 : -3392/5897 : 1) C1a (17370805/15574931 : -1376567/15574931 : 1)
** u= 169/116 ; tau(u)= -63/53 ; 22943*x^2 - 1649*y^2 + 32530*x*z + 22943*z^2
(42203/147607 : -671424/147607 : 1) C1a (-1202/2611 : -34973/253267 : 1)
** u= 170/13 ; tau(u)= 144/157 ; -20398*x^2 - 28562*y^2 + 49636*x*z - 20398*z^2
(1301/2097 : 626/2097 : 1) C1a (3401194/47059 : -184813/47059 : 1)
** u= 176/185 ; tau(u)= 194/9 ; 30814*x^2 + 37474*y^2 + 68612*x*z + 30814*z^2
(-3455/5504 : -303/5504 : 1) C1b (-3564710/1941373 : 179659/1941373 : 1)
** u= 178/81 ; tau(u)= 16/97 ; 12866*x^2 - 18562*y^2 + 31940*x*z + 12866*z^2
(-938/1951 : -315/1951 : 1) C1a (156127/309911 : -21709/309911 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
(96751/193929 : -26884/193929 : 1) C1a (-403942/247651 : -29697/247651 : 1)
** u= 187/98 ; tau(u)= -9/89 ; 19127*x^2 - 15761*y^2 + 35050*x*z + 19127*z^2
(10243/32237 : -46074/32237 : 1) C1a (-221753/1575169 : 90619/1575169 : 1)
** u= 190/41 ; tau(u)= 108/149 ; -8302*x^2 - 32738*y^2 + 47764*x*z - 8302*z^2
(2030/2341 : -2121/2341 : 1) C1a (-19927/1185770 : 59551/1185770 : 1)
** u= 194/9 ; tau(u)= 176/185 ; -30814*x^2 - 37474*y^2 + 68612*x*z - 30814*z^2
(5713/3781 : 978/3781 : 1) C1a (13242430/5488901 : 664127/5488901 : 1)
101
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
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- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
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- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.01.28 |
| H.Nakao |