Integer Points on A^4+B^4+C^4=164738*D^4

[2026.01.27]A^4+B^4+C^4=164738*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

164738=2*287^2であるので、以下では、n=287とする。

■n=287のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=287;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように50個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(287,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (-8051/4338 : 26033/177858 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-1163/999 : 83/999 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (27982/7611 : -2387/7611 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (2442/289 : 14689/29767 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (-48303/47374 : -4619/47374 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (1082/379 : 2261/15539 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-3123/1838 : -169/1838 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-89/85 : -273/697 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-492258/118019 : -54341/118019 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (4758547/6843314 : -365163/6843314 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (48437/2038 : -5883/2038 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (-5077/10314 : 791/10314 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (-13469/2153 : -721/2153 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (-475582/345607 : -40347/345607 : 1)
** u= -35/113 ; tau(u)= 261/148 ; -42583*x^2 + 24313*y^2 + 69346*x*z - 42583*z^2
  (-417/389 : 1016/389 : 1)  C2b (3502/339 : -9551/13899 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (241/533 : -33/533 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (57/5 : -103/41 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (2090386/597851 : -110853/597851 : 1)
** u= -52/121 ; tau(u)= 294/173 ; -57154*x^2 + 26578*y^2 + 89140*x*z - 57154*z^2
  (1642/157 : -2233/157 : 1)  C2b (1290903/253382 : 87529/253382 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (40006/22451 : -84653/920491 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-321782/138771 : 16147/138771 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-113273/19834 : -5643/19834 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (3692119/200954 : -14551/15458 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (368957/263818 : 21771/263818 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-42599/15154 : 2517/15154 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-16442/11141 : 2881/11141 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (446/87 : -23/87 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
  (-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1)  C2b (-2510090/549671 : -253145/549671 : 1)
** u= 69/185 ; tau(u)= 301/116 ; -22151*x^2 + 63689*y^2 + 95362*x*z - 22151*z^2
  (-13883/125951 : -90568/125951 : 1)  C1b (157886/402019 : 20241/402019 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (-6697/2414 : 39/142 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (-8441/1643 : 17749/67363 : 1)
** u= -77/197 ; tau(u)= 471/274 ; -144223*x^2 + 71689*y^2 + 227770*x*z - 144223*z^2
  (22227/54923 : -56426/54923 : 1)  C2b (2410341455/440850779 : 160577865/440850779 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (74643/18346 : 8273/18346 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (26378902/12845813 : 1385359/12845813 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (173449/119786 : 31551/119786 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (1270762/6721 : 4869/517 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
  (103/346 : 1413/346 : 1)  C2b (381389/281934 : -67073/281934 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (-1993/2253 : -5167/92373 : 1)
** u= -105/97 ; tau(u)= 299/202 ; -70583*x^2 + 7793*y^2 + 100426*x*z - 70583*z^2
  (43361/255877 : 683414/255877 : 1)  C2b (1079138/542911 : 119469/542911 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (-71885354/15010941 : -3569969/15010941 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (19113/3533 : 953/3533 : 1)
** u= -119/173 ; tau(u)= 465/292 ; -156367*x^2 + 45697*y^2 + 230386*x*z - 156367*z^2
  (209905/806419 : 1233944/806419 : 1)  C2b (551317/134777 : 44083/134777 : 1)
** u= -140/101 ; tau(u)= 342/241 ; -96562*x^2 + 802*y^2 + 136564*x*z - 96562*z^2
  (-2709/3610 : -64171/3610 : 1)  C2b (185618/151197 : 72311/151197 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-11962/934909 : -48327/934909 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (6717/2479 : 1439/6901 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (-24864249/6956333 : -1279073/6956333 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (3027698/189503 : -151689/189503 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (-10471246/546659 : 1549219/546659 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (443370/364001 : -25985/364001 : 1)
** u= -196/153 ; tau(u)= 502/349 ; -205186*x^2 + 8402*y^2 + 290420*x*z - 205186*z^2
  (-1384/1073 : 11235/1073 : 1)  C2b (124566/102035 : -4381/20407 : 1)
50
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-16/13のとき

171944734111^4+1109428229629^4+4149623533526^4=164738*206235722667^4
149449494248667^4+226365715860362^4+667933900958977^4=164738*33283287846383^4
30334897308292322355098^4+52356828388471987043963^4+156679554443280297550993^4=164738*7803868283006536085097^4
106798149472099488075422145423^4+7635635436474855160004762825477^4+31527956602678841774438594060978^4=164738*1566283102040000900375134138951^4
45630762886669017680090962540485181784139030661^4+167067163779582183726428641474443988166465888919^4+577754342789468068967640557482855286997757200806^4=164738*28728004119388397935940534169533425197298627277^4
6806603642650208938435520451568940032098892153638228489346366^4+9200157383287903069690969755384776590832418436158102441614281^4+27111120501846543182459114707941236331008755072259395584765211^4=164738*1351463430522849879481943976261222488219771085848666480276019^4
6261255104538962215697979870964821179439937018320227582612228870572536605748046585441^4+12643996027621615276708737168254231323563834545802796169290864207793620960778130332766^4+38880921890237037585863958509051116185815097105697341711818163741975002526735597814291^4=164738*1935609846124364800481482392475586897738979729484613172033583922871042829675802674189^4
3365433211817103922541390737788717542648752005360518771245431072066985493288728306683581332602732132231^4+5020097513683940473107325691290083896080530729983586203880211773345152073473096201014905747227245679894^4+32425476475022927922667029575842562298018215101189302978510489217448348858222228151868426459963171788019^4=164738*1609766443343014987959353907750670534228876729834151770118467191753236213131840402633633877645714981551^4
79112321676440259808430639957028953314946975587423696440992702008189099353749075374759427845339008921907^4+487984666974832751704023127982572339752349850139370964085225393091651569010518660801584472847154983905287^4+2280565577729014083172870840966607358968387343005372980630442127181970625851598103967713751340070295809058^4=164738*113258717545811058008129890107766849296485889869353821425522193706688278152983916832328650083587676502161^4
4872734780758899488617092400411424417632007114664003184625843174417939036455487246205181215699286067762976891^4+4976029862803799168917103552418761547243062536214459033192060592297146196085035796341758721763035944811343129^4+15690844863460675883873326065227524582217314923011615413354780778074738891814312873365332818450190835863046166^4=164738*782592425886606496332044488281803804388209773841191063036801263675261768529225434361940482776131318304701147^4
5716653981180083115038728990956938695390078785581355355783911912981275562177952288061437945727945409579388112507^4+6413377883444597607207138448587856350596372892757413185543250002502826981418214658617624087237674008836798341153^4+19504809495186457339925064135640018536981728593845459135928244539409724519366691182374088324164574395011717475522^4=164738*972733945074620588902580778947979803653407699601209515947551877176372206889916641028460210923741020235863336399^4
16728419623251175162795063389120432928450631445687010426664453148690927216941985525888067181259273315179458795558954199631905587^4+19428473380797988928317485534262737190254748192707113529789202426620176000072369704113185319914421573182257844700766484583198878^4+139416608995822022295387700920296101487215663668957976665527232640074533407645959951685574987465909716815785261695221466358390017^4=164738*6921169761707993429875937332331598758821255107337203346461066214236682748024616948058682159818507397731520081261092562609155443^4
4804366892314654648770040760053061922114261015540351448184929103208304878829659190083512820011511256796280845425009012083353840180794^4+13476830133466584644725922376689666000934451565043013595101587752896796680128021744690034312925791810504468218772054908844850046399161^4+71797670768848127367625429093101643728338934750797989016344759230899037901375360959127413573364021307590440999811406734110360198295171^4=164738*3564911732398054850991623761680407737114034053536382840208492521681067745878186112774830621079172919883667451827915898479589093056809^4
88490461663156128462331214057954427949548058981952694369181572386669280603799827327781849981735768844951337884749022010794182719007640357^4+235376196868904641747867595122628381696357043499817274722395648270581830254667757820355773021300935813211838227096345143477946355063043983^4+765855969359225156492718111105100869280083552103201612725310196016305274918802439418251467754441708466552276831723036592966649644188836882^4=164738*38100636458283933623653883347199842397464293481343382714941924312241684866000495499728968717890985074154293874122585149964282772002101769^4
36226747566589883914328181713897193954290766834262085070185162101362305280755128506666135153525443656227809027179027471316276088068022973363987611781057740177139^4+38947599401912238671334105608976520058632168897557604282581775487455538161375311840790338700084321520267009339557915304762182900219341082336181674357983059639521^4+120185976021401384660553493614858290584402854018664786479421858801428849356697400058140181521712857793895689603588211838779156233598910779804913960329261345986726^4=164738*5994169807912275342416444926030558882583805314457074335592027880938690656613434629164228065606313212009169556108639217991577781663502716652594872360432716424317^4
320381464429853704085466705402994611008074188935486687998749122108740087019305201815825144818863412907324188988840912124654043560434266313648075211276012836345049^4+390568431323455798384481727560401023393999719915172823960969215578703755707210727676071420718741152125468146477223286818783471687667583176940027779687033481895854^4+1164168671566993585127537198863683547792329782718044077264792511228804395357257375206357579225411632312629639311211386320776182764005630861950058710388319892401339^4=164738*58049372929626799904973336963058862152779224293639882984087528328727863831004897199955344615254249170488872679953917260277588968595506585649590745978345494006981^4
6974765417155211496105363573200598804784391732035048296268444187784463790181077571872809235459317624380746292592023102346308992285548173152740320057689974555184587100777^4+8626675123424289251993272200442142616281273555607526668734608287124755323314714163403482723298028950174144440569866409279683075670641313010832038750744764692754183815603^4+25650539451174814238103560365748704459146658859347917173900941033061416795283151501859437139110423915143906351890349757066998257465428659341646317869618914526118699060082^4=164738*1278977053240010067517311363778835671670185066414016590716593617869760264295956781495516332801784732102308124013150946166356923707966483852544373108604847856057287844969^4
11615456602241757699901594251298167006309784467099136645210026973602170195737060071819550799762720775781959218568567080764315136138821519026836562421950766309242017672237006116395073686438162199796170414^4+28672734117930095880775029340735241854154582276520375338381331321029069281283142116759680240939588610266499898636003293588710678338863819695330311234853441585304944810465850501384925005568925873635861169^4+91863548145228982114178683091314081805642570097825702609260597678229600094553275642238374005752514047145731107839272604115357378054774778512447611747090120152244258412028129807548098200100283585032188179^4=164738*4570859259305617723412012918582913805294538287386709975739447198578585605509656320759097156241694172163328819879586664543338933320407692252417013669985793419518193113234344707464734010344422031321142091^4
53040119785268657081428476540515246824130565533061212582963073595366377670855369516090014036800826850196092620833837074440409298156322446570275466807460944331255014988964359342758692232471506477255802647218^4+109805275507155211777040458523868583527283714457693416083861085959310511013587380042227235478276674663297164029594088736648707170616144047672269238742757096952199396434019845515710291494302864459435612220477^4+634091604671471445281951160057330242686973148193143544544639207599493800198401549586321885532358606745490307076715963702330892175011276388489199088156735728735083221764579788945002633133045543980216480820033^4=164738*31481575482773484380729628566625456052058047524966077046919367960093744681078496122891828040935099095043595269281017396693552945871073532666151218175361357747432647619798708352026348120054910957749374897157^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.01.27

H.Nakao