Integer Points on A^4+B^4+C^4=157922*D^4

[2026.01.25]A^4+B^4+C^4=157922*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

157922=2*281^2であるので、以下では、n=281とする。

■n=281のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=281;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように162個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(281,1,200);
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (3696/8983 : -461/8983 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (86991/18649 : 4769/18649 : 1)
** u= -1/81 ; tau(u)= 163/82 ; -13447*x^2 + 13121*y^2 + 26570*x*z - 13447*z^2
  (-1117/7127 : -8334/7127 : 1)  C2b (-32391/168812 : -11243/168812 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (-206629200/55961671 : -14247695/55961671 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (4 : -57/281 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (1537124/358145 : 84659/358145 : 1)
** u= 5/153 ; tau(u)= 301/148 ; -43783*x^2 + 46793*y^2 + 90626*x*z - 43783*z^2
  (1271951/969389 : -70872/969389 : 1)  C1b (-17014757/19528813 : -1848883/19528813 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-3632/735 : 5911/12495 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-1320328/2206799 : -189597/2206799 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-196501/20668 : -10977/20668 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-4667313/162377 : -335161/162377 : 1)
** u= 13/81 ; tau(u)= 149/68 ; -9079*x^2 + 12953*y^2 + 22370*x*z - 9079*z^2
  (1183/4297 : -2268/4297 : 1)  C1b (-248304/66037 : 15613/66037 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (99704/3561 : 7543/3561 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-1720840/82007 : -89457/82007 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-29279/22144 : -3339/22144 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (249264/11825 : -15827/11825 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (260896/51423 : 17393/51423 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (1191605/219828 : -100063/219828 : 1)
** u= 20/81 ; tau(u)= 142/61 ; -7042*x^2 + 12722*y^2 + 20564*x*z - 7042*z^2
  (-1193/25276 : -20079/25276 : 1)  C1b (-187796/744355 : 44389/744355 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (34225/98428 : -5663/98428 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (-615837/3565243 : -252067/3565243 : 1)
** u= -21/29 ; tau(u)= 79/50 ; -4559*x^2 + 1241*y^2 + 6682*x*z - 4559*z^2
  (-940973/973083 : 3414890/973083 : 1)  C2b (-108421/45685 : 14049/45685 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (49168/17531 : 2601/17531 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (47020640/5993221 : 2383689/5993221 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (443/2357 : -5361/16499 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
  (8223/10453 : 6556/10453 : 1)  C2b (1928/3111 : 47417/874191 : 1)
** u= 23/145 ; tau(u)= 267/122 ; -29239*x^2 + 41521*y^2 + 71818*x*z - 29239*z^2
  (11327/5835 : -74/5835 : 1)  C1b (-4644313/7523060 : -572829/7523060 : 1)
** u= 24/53 ; tau(u)= 82/29 ; -1106*x^2 + 5042*y^2 + 7300*x*z - 1106*z^2
  (-309/763 : 100/109 : 1)  C1b (-168976/126937 : -11481/126937 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (-444320/39677 : -176643/277739 : 1)
** u= -25/49 ; tau(u)= 123/74 ; -10327*x^2 + 4177*y^2 + 15754*x*z - 10327*z^2
  (4143/1483 : -4970/1483 : 1)  C2b (44628/10415 : 3163/10415 : 1)
** u= 25/173 ; tau(u)= 321/148 ; -43183*x^2 + 59233*y^2 + 103666*x*z - 43183*z^2
  (-98039/193251 : 259600/193251 : 1)  C1b (65312072/77241937 : 4333037/77241937 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-24116/43763 : 2393/43763 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
  (548/2247 : 2599/2247 : 1)  C2b (971803/581379 : 56419/581379 : 1)
** u= -28/109 ; tau(u)= 246/137 ; -36754*x^2 + 22978*y^2 + 61300*x*z - 36754*z^2
  (8634/13901 : 10399/13901 : 1)  C2b (-130732/183079 : 19403/183079 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-2895363/2848864 : -234973/2848864 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (284/19 : -4407/5339 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (7962205/107656 : -695661/107656 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (1355/683 : 19431/191923 : 1)
** u= 32/157 ; tau(u)= 282/125 ; -30226*x^2 + 48274*y^2 + 80548*x*z - 30226*z^2
  (129717/1594973 : 1121680/1594973 : 1)  C1b (-8527264/3493015 : -564341/3493015 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (2469/1493 : -199/1493 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-259/176 : 277/2992 : 1)
** u= 33/41 ; tau(u)= 49/8 ; 961*x^2 + 2273*y^2 + 3490*x*z + 961*z^2
  (-8707/29007 : 28/29007 : 1)  C1b (18047/13144 : -1311/13144 : 1)
** u= 35/37 ; tau(u)= 39/2 ; 1217*x^2 + 1513*y^2 + 2746*x*z + 1217*z^2
  (-5/7 : -2/7 : 1)  C1b (-70620/48701 : 3731/48701 : 1)
** u= 35/157 ; tau(u)= 279/122 ; -28543*x^2 + 48073*y^2 + 79066*x*z - 28543*z^2
  (62297/151873 : 20934/151873 : 1)  C1b (-9692613/366932 : 531833/366932 : 1)
** u= 39/2 ; tau(u)= 35/37 ; -1217*x^2 - 1513*y^2 + 2746*x*z - 1217*z^2
  (7/5 : -2/5 : 1)  C1a (2940/2603 : -167/2603 : 1)
** u= -39/89 ; tau(u)= 217/128 ; -31247*x^2 + 14321*y^2 + 48610*x*z - 31247*z^2
  (-991/35023 : 52880/35023 : 1)  C2b (5410115/496816 : 396735/496816 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (-98861/235 : 35523/1645 : 1)
** u= 41/49 ; tau(u)= 57/8 ; 1553*x^2 + 3121*y^2 + 4930*x*z + 1553*z^2
  (-1919/5403 : -140/5403 : 1)  C1b (35417/13015 : -439/2603 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-2761744/620805 : 32281/124161 : 1)
** u= -43/117 ; tau(u)= 277/160 ; -49351*x^2 + 25529*y^2 + 78578*x*z - 49351*z^2
  (2869/1363 : 19128/9541 : 1)  C2b (798992/546413 : 322921/3824891 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-9098891/405133 : 460179/405133 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (35556/262271 : 13177/262271 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (-3863591/162980 : 204617/162980 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (1628528/654487 : 103941/654487 : 1)
** u= 49/8 ; tau(u)= 33/41 ; -961*x^2 - 2273*y^2 + 3490*x*z - 961*z^2
  (3021/9041 : -1876/9041 : 1)  C1a (-423616/50993 : 23019/50993 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (23043/5059 : -1183/5059 : 1)
** u= 52/137 ; tau(u)= 222/85 ; -11746*x^2 + 34834*y^2 + 51988*x*z - 11746*z^2
  (391/4038 : -1787/4038 : 1)  C1b (-295837/45900 : 15947/45900 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (20708/181251 : 9199/181251 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (2504/21143 : 1071/21143 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (-98993/53169 : -161/1437 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (7698068/3636623 : 400563/3636623 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-438024/724885 : -39017/724885 : 1)
** u= -56/81 ; tau(u)= 218/137 ; -34402*x^2 + 9986*y^2 + 50660*x*z - 34402*z^2
  (4811/983759 : 1819368/983759 : 1)  C2b (2397297/1320976 : 169721/1320976 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (9347389/5092656 : -492067/5092656 : 1)
** u= 56/169 ; tau(u)= 282/113 ; -22402*x^2 + 53986*y^2 + 82660*x*z - 22402*z^2
  (-908/249 : -845/249 : 1)  C1b (12298960/11619 : -641795/11619 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (-1292621/62120 : 68929/62120 : 1)
** u= -56/185 ; tau(u)= 426/241 ; -113026*x^2 + 65314*y^2 + 184612*x*z - 113026*z^2
  (929/4437 : -83128/75429 : 1)  C2b (154863/78463 : 148933/1333871 : 1)
** u= 57/8 ; tau(u)= 41/49 ; -1553*x^2 - 3121*y^2 + 4930*x*z - 1553*z^2
  (2193/5437 : -1316/5437 : 1)  C1a (1505032/227721 : 76847/227721 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (-856/1579 : 2973/11053 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (4127/121 : -58233/34001 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (-3819379/2046676 : -379053/2046676 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (228631/6257 : -13399/6257 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (1369481/582940 : 136701/582940 : 1)
** u= -60/121 ; tau(u)= 302/181 ; -61922*x^2 + 25682*y^2 + 94804*x*z - 61922*z^2
  (-2016/10337 : -18557/10337 : 1)  C2b (67607/10780 : 4953/10780 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (169199/363289 : -19337/363289 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (-34044/189275 : 2399/37855 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (-77753040/7244227 : 4057775/7244227 : 1)
** u= -64/169 ; tau(u)= 402/233 ; -104482*x^2 + 53026*y^2 + 165700*x*z - 104482*z^2
  (81143/30651 : -4940/1803 : 1)  C2b (753031/18000 : 11063/3600 : 1)
** u= 65/97 ; tau(u)= 129/32 ; 2177*x^2 + 14593*y^2 + 20866*x*z + 2177*z^2
  (-3225/19201 : -808/2743 : 1)  C1b (980773325/102019024 : -50268751/102019024 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-14840/34017 : -14341/238119 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (716845/55352 : -37563/55352 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (745907/207856 : 96143/207856 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (2157664/527715 : 39719/105543 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (16634852/66707 : 1394709/66707 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
  (-12632/411 : 18415/411 : 1)  C2b (785796/1299703 : 75767/1299703 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (227224/121413 : 13867/121413 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (18478727/323761 : 938097/323761 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (39067/9885 : -4397/9885 : 1)
** u= 79/50 ; tau(u)= -21/29 ; 4559*x^2 - 1241*y^2 + 6682*x*z + 4559*z^2
  (-3343/5367 : -7090/5367 : 1)  C1a (455609/40529 : -47391/40529 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (-111600/123593 : 17621/123593 : 1)
** u= 82/29 ; tau(u)= 24/53 ; 1106*x^2 - 5042*y^2 + 7300*x*z + 1106*z^2
  (-953/7296 : 1345/7296 : 1)  C1a (-1238312/190261 : -62127/190261 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (358172/116327 : -24849/116327 : 1)
** u= 85/137 ; tau(u)= 189/52 ; 1817*x^2 + 30313*y^2 + 42946*x*z + 1817*z^2
  (-10403/15431 : -14376/15431 : 1)  C1b (-3986992/5001133 : -314437/5001133 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-1141835/43012 : -60525/43012 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-8580/2729 : -593/2729 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-3075995/2560709 : 455567/2560709 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (621193/92039 : 32941/92039 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (7672176/38945 : 395087/38945 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (147253/134200 : -19741/134200 : 1)
** u= -92/113 ; tau(u)= 318/205 ; -75586*x^2 + 17074*y^2 + 109588*x*z - 75586*z^2
  (125315/53844 : 28229/7692 : 1)  C2b (-93917/12155 : -10973/12155 : 1)
** u= -95/113 ; tau(u)= 321/208 ; -77503*x^2 + 16513*y^2 + 112066*x*z - 77503*z^2
  (-1465/25793 : -407504/180551 : 1)  C2b (-1774048/58915 : 1396369/412405 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (-393193/141775 : -19809/141775 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (85877432/358297 : 7929471/358297 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (-3800782621/618064245 : 204725677/618064245 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
  (-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1)  C2b (3839748/1979035 : -262567/1979035 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (-65444/37251 : -3401/37251 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (-218161/7855 : 31211/7855 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (50548552/7417357 : -2754213/7417357 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (2109420/419881 : 167887/419881 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
  (103/346 : 1413/346 : 1)  C2b (-3281/21240 : 5939/21240 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (247250024/9885721 : 33476971/9885721 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (7324808/1373003 : -391361/1373003 : 1)
** u= 107/117 ; tau(u)= 127/10 ; 11249*x^2 + 15929*y^2 + 27578*x*z + 11249*z^2
  (-13739/17245 : -8178/17245 : 1)  C1b (1703236/1638285 : 155621/1638285 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-12120568/2136735 : -615041/2136735 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (25000/28671 : 3479/28671 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (-10697252/2648511 : 537679/2648511 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (3557147/2436164 : 244251/2436164 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-843/200 : 11/40 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (1073299/1784408 : -146843/1784408 : 1)
** u= 123/74 ; tau(u)= -25/49 ; 10327*x^2 - 4177*y^2 + 15754*x*z + 10327*z^2
  (7153/104007 : -172270/104007 : 1)  C1a (8453/16972 : -1917/16972 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (413/300 : 17567/84300 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (385499/32348 : 19409/32348 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (-4862988/100343 : -244381/100343 : 1)
** u= 127/10 ; tau(u)= 107/117 ; -11249*x^2 - 15929*y^2 + 27578*x*z - 11249*z^2
  (38993/25867 : 14142/25867 : 1)  C1a (-2361909/122900 : -134021/122900 : 1)
** u= 127/153 ; tau(u)= 179/26 ; 14777*x^2 + 30689*y^2 + 48170*x*z + 14777*z^2
  (-22699/37949 : 20262/37949 : 1)  C1b (26114428/8855785 : -317489/1771157 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (-12676472/5514947 : 1547867/5514947 : 1)
** u= 129/32 ; tau(u)= 65/97 ; -2177*x^2 - 14593*y^2 + 20866*x*z - 2177*z^2
  (425295/2740183 : 720568/2740183 : 1)  C1a (-2578600/693161 : 138161/693161 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (276569/43799 : 14157/43799 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (-3897100/126319 : 221451/126319 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-1538601/180328 : 77947/180328 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
  (-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1)  C2b (5023892/13850045 : 1215957/13850045 : 1)
** u= 136/149 ; tau(u)= 162/13 ; 18158*x^2 + 25906*y^2 + 44740*x*z + 18158*z^2
  (-3364/4237 : -2025/4237 : 1)  C1b (-50712/65891 : 3593/65891 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (4021840/262583 : -370467/262583 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-68084671/1667660 : 3498159/1667660 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (3253257/1064185 : 33161/212837 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (727627/292420 : -37293/292420 : 1)
** u= 142/61 ; tau(u)= 20/81 ; 7042*x^2 - 12722*y^2 + 20564*x*z + 7042*z^2
  (712/161 : 99/23 : 1)  C1a (236052/134363 : 16573/134363 : 1)
** u= 148/153 ; tau(u)= 158/5 ; 21854*x^2 + 24914*y^2 + 46868*x*z + 21854*z^2
  (-14902/10691 : 2157/10691 : 1)  C1b (-42259164/106489 : -2442079/106489 : 1)
** u= 149/68 ; tau(u)= 13/81 ; 9079*x^2 - 12953*y^2 + 22370*x*z + 9079*z^2
  (586189/1429001 : -252288/204143 : 1)  C1a (-50712/65891 : 3593/65891 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-14039440/129363 : -4922533/129363 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (-77753040/7244227 : 4057775/7244227 : 1)
** u= 158/5 ; tau(u)= 148/153 ; -21854*x^2 - 24914*y^2 + 46868*x*z - 21854*z^2
  (1889/2668 : -327/2668 : 1)  C1a (-2604321/183164 : 155899/183164 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (362369/2337640 : -240819/2337640 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-7031/1465 : -20001/82333 : 1)
** u= 162/13 ; tau(u)= 136/149 ; -18158*x^2 - 25906*y^2 + 44740*x*z - 18158*z^2
  (3364/4237 : 2025/4237 : 1)  C1a (-248304/66037 : 15613/66037 : 1)
** u= 163/82 ; tau(u)= -1/81 ; 13447*x^2 - 13121*y^2 + 26570*x*z + 13447*z^2
  (-6329/18821 : -12762/18821 : 1)  C1a (11304019/495852 : 694081/495852 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (391796172/2206397 : 24042217/2206397 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (17515/25667 : 2163/25667 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (-13168/298039 : -34887/298039 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
  (-1546/1179 : 1333/1179 : 1)  C1a (-680260/163551 : 44195/163551 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (-11172380/382217 : 9596481/2675519 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (1718312/432137 : -90693/432137 : 1)
** u= 179/26 ; tau(u)= 127/153 ; -14777*x^2 - 30689*y^2 + 48170*x*z - 14777*z^2
  (1639/4541 : 678/4541 : 1)  C1a (935476/2077997 : -105703/2077997 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-912435/157988 : 56693/157988 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-21708836/1200775 : 2723949/1200775 : 1)
** u= -183/137 ; tau(u)= 457/320 ; -171311*x^2 + 4049*y^2 + 242338*x*z - 171311*z^2
  (-74901/281509 : -2202784/281509 : 1)  C2b (982252928/8165275 : -318669153/8165275 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (-44653883/703635 : 7131581/703635 : 1)
** u= 189/52 ; tau(u)= 85/137 ; -1817*x^2 - 30313*y^2 + 42946*x*z - 1817*z^2
  (127/2671 : -228/2671 : 1)  C1a (19896544/2886601 : 1003351/2886601 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-11448635/88384 : -577567/88384 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (3656064/131395 : 116731/26279 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (564332731/2618980 : 124271997/2618980 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (-69239911/387132 : -3544087/387132 : 1)
162
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=40/53のとき

7712425^4+9015359^4+21799904^4=157922*1105641^4
137187624413813437^4+139409074389769072^4+159072385971420075^4=157922*9654840323558963^4
14335380116036994032737547^4+40434103781167800273326680^4+177965252128152948471060363^4=157922*8933426054486323850962063^4
186252708433396080295614672015514744669946950394290267080^4+222110539077857930424812497555519252450194238625225371013^4+401961837479692515508657252191889535704584593878620221323^4=157922*20832235235219646171887185190731273696974632835956396423^4
389625762956323487880619220632007656811468213949643567783537003960^4+436866218283371300380821697765984840223137621699544803034712031649^4+626365748119684090100155700386750874280163395954890586684668999921^4=157922*34094635077576658134082697432655881695332436496845250107131480021^4
1930799002810175296413955036001032672915269245419838272439300215003^4+2211390537204472328332229750129672325239027276706661412297941421475^4+8454265331827412148950360949449060052716335375637689008172783182032^4=157922*424879603716932109252203685565080315658621100994836402129550896603^4
128299233034361413112942230631563855942489737264021222482075890593296212363^4+152638188469323237045669192154725685428015362680304421994580681936023935307^4+270804234538938235509318828368360657040372167785097280899622760282928800920^4=157922*14071593305390953068023497060412923853002500351417643318645373260703495983^4
2577507049903347738933136053588322099027584764676154020280544361671242368363312724956424878920^4+2840353937826957190052046534457374609320692078606778811523521754494869123043112806822714693427^4+3922531757881938110999584230983520499429664101141733506273368895461156481212310393832724416643^4=157922*216344454168678494013807037905492996961233070681064436090891804259501503236894087076378548863^4
5674016896510314860972183307704857822596498656499142167581882894333755014556598438424925509728437^4+5829221953956457423197190216642517136735945666351506413264037371090149923960827139078960380174272^4+21017143915086708510329841966978927579484247649450057401671356606845714297687905118807101171395875^4=157922*1057244654789933185130864474795389859379288440059302896480556285119945368760733831781309899893363^4
13733016112337122894013908314937616055121737929034519957841603754950108169966863282268253215659837589796065394182177046417991^4+45306505298276252443268294107009090089297606534807369497891658533536616345034160765048886630295814626172737770023553993319881^4+200597560062592813421281607373854989446514559772462078273436866056649578997689071193637277111868400088740229311876925145024440^4=157922*10069305763639982412058800502950532118487482562166193347486416415254665764510867137550659066541508591304188659971162582423021^4
1686722329898294289825332569506495808631242527615346318238896737564176135075764304108094921766102791005456819030702306990102242215163633460616677084603^4+1781143937873341142424742956559052409645245262200430854514915753857399453847458814426583250270560148301975132950898033869977754457402416850171848388515^4+6534362184557744438858823114413323263990750235556775821643667943020379483454848837289609785432994726035617197989630127813471894563976581641876942902192^4=157922*328600805840195047881492230085149865047974169793720236206038662420063807178775695678837990089612058839026116414599512724146492962872107804628542546123^4
70663887057203330524187899623341303796709399945489392255797091748679594812078911479059594952089923612876674471065692020122489997330563470782011473978881^4+71122028019846695651318846166834280598812565906668018662022896089650779781575782074337023416691409682368691381670186984321708385135486858427055423899305^4+82915669987591922729001041817895470297525959590300655417549027711898049739821190008122458954893978133957456811335901864515176493827976106929863605105184^4=157922*4988374241812710137094301029153209066291699144111503765142505741753219566443387131440706125853159936304208005652492423508272501452027467539053763258121^4
6428454548134276835638229134746396013786218061736824785538561701695386017567494477661986330906871335824062989879362671007438658775731565805764632585797540081^4+7032377287938514873356706819686977026572302096838095299650895341539124445613001841491913293814734363827815288380724853524414653661492846401259403620801088111^4+9571759375702059648958231873843818735680031367940269082661660456051285943189247973779061711507442634646810219224873809014382471354454378393455355388520232360^4=157922*530918955022000471851333783205719327535923259749951477073554384998953595871497943787479603161733359642766941013854736185138187531002563663616733762221101581^4
4919243622089568316114080158804873806651702975409681281386619200611249998224117364131235889410537587000054614925186080654635026153316732316260130711575137278334939822263912883^4+5806845046837230971316351688565628556525694308563512255821968644155575407655486107688914137455099246836330164412045278046121526804464235650946632447880091100290792813883043027^4+9821151140937234167631184213380373140024791456775309020117564677974729021889704074992311565144372439389630459267153981061408528913816972042239709917244245516971024749589972280^4=157922*514038219962211814147099437794598647892166435793086336488779669535934900915699472997152472894919444722499174579782640049510128432963163237412381350776388546071198903766287783^4
88095277252839884800295287746472895087971700964884137299848251357366625577683892335277014979956956027449740606776452284362648738456516395902896429224461655950679855868631063434930529^4+184093077651190295471313382476416938375236194372648502446492441604530342205399750302392592179168732197962023707363450314178457561035604408258539038512410221457647253129180356116382440^4+795128025385692820316745851468943080226906533303592549033875194208253919865951595664481287398089441819540747675170695015344221701102975005841015668645800606133990571749670671589621761^4=157922*39916664722521706900651949896815625689853571600789895597156247422811362914206290290821062363998419636459535552891664614264843878696832313648042172859728742840798406016198442296845501^4
20788807224057689139774262204746719590686929151239893203725758946392411880330107649476125789190949106886215816079927221717281479199373583021774136637745731516365845079030581366420961087709252110675^4+21141822240528171938105734072764704069603358451447993297686667891693018173388205535683467539723689588895618266979059746064864230797173474921768060244503182609046602311113799246487784243294220595643^4+25577654612062613280205992080080685721357568162075151577642908807727801157412938818020324921384242940845411639616981411373508526540226194313186429078878757801879645424435327963296534293407102084992^4=157922*1507024745972395014593811489385829013412032775175540129696252637133106362449130000802710826152169131943221000196395757680702676133199846006781210160835698852425034752291705465122135977935681971843^4
1340187489697923612336366629622805993984112472965214032055769560808154255059091556180244336928079472371406935564593393734783219360244063975389110983807356360600279721883824134044215247901554867507689452245634859902104915^4+1536299363192840237623217919385631621291368818937739093357481956923337640482226369343342183521998751830810072226200007345982610566472056688888537363542555375029730092561222342033461786657643868020302912886956845966999877^4+3993635981249078500549563803018845732205669164362247221755749050929519752741959589074600134917076507060300350878712428581636531539222126254836541228793024255010200367101533377290570836411289312123803077895734472409196672^4=157922*202045402036603140196953147127140033605533592744982916356679231871113951824880833777213360359418384903665959328767189438569680230017431264069036944417992168298667403583322810532108802915749191010791084712909206994179843^4
...

u=-116/173のとき

28015047415307057449^4+43139328898251410732^4+121107979790233516825^4=157922*6103819036810516077^4
1299862783139331791896017990354923943442411462621995809970350140864056928805600850169275609230558720605222122103738608912294024018201473213613769474822510112265399497631433126474866052^4+6152444710709948163174042045292542510963310483022793130577908566444066223040153856571810704177435598483849308934416417679304974260344564792062586876678361363208662414773538086563191689^4+13037897647751682632823289054830196062136019756413238849088381827314076357455405239556577202554580064632783395321536243231805764708329818036076475270207155567906638645085578728956451025^4=157922*662005585582294394002464435386418208027152687609595516312355710705745498941923073906411778260112609866519041455055395381860547866059378572748147535836265488381138081173235874209656097^4
...

[2026.01.27追記] u=-116/173のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.01.27

H.Nakao