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Integer Points on A^4+B^4+C^4=142578*D^4

[2026.01.20]A^4+B^4+C^4=142578*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

142578=2*267^2であるので、以下では、n=267とする。

■n=267のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=267;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように153個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(267,1,200);
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (-1/2 : -1/14 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (33265715/6170683 : -1887325/6170683 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (279506/46979 : -15123/46979 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
  (1/5 : 6/115 : 1)  C1b (226/373 : -479/8579 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (10396378/2082401 : -47/173 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (-113/41 : 1/7 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (225958/51043 : 12957/51043 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (-113/41 : 1/7 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (-1/2 : -1/14 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (91006/32381 : 15073/32381 : 1)
** u= -11/153 ; tau(u)= 317/164 ; -53671*x^2 + 46697*y^2 + 100610*x*z - 53671*z^2
  (803/58661 : -434580/410627 : 1)  C2b (-3677783/116777 : 1663549/817439 : 1)
** u= -12/13 ; tau(u)= 38/25 ; -1106*x^2 + 194*y^2 + 1588*x*z - 1106*z^2
  (-32/11 : -97/11 : 1)  C2b (746/3763 : 407/3763 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
  (18/49 : -53/49 : 1)  C2b (58654/54017 : 3771/54017 : 1)
** u= -12/109 ; tau(u)= 230/121 ; -29138*x^2 + 23618*y^2 + 53044*x*z - 29138*z^2
  (-243/1024 : -9713/7168 : 1)  C2b (554174/195889 : 215917/1371223 : 1)
** u= 12/113 ; tau(u)= 214/101 ; -20258*x^2 + 25394*y^2 + 45940*x*z - 20258*z^2
  (88/161 : -5/23 : 1)  C1b (774202/344855 : 8089/68971 : 1)
** u= 12/149 ; tau(u)= 286/137 ; -37394*x^2 + 44258*y^2 + 81940*x*z - 37394*z^2
  (40808/70867 : 17207/70867 : 1)  C1b (650245/253094 : -34165/253094 : 1)
** u= 13/29 ; tau(u)= 45/16 ; -343*x^2 + 1513*y^2 + 2194*x*z - 343*z^2
  (47/297 : 16/297 : 1)  C1b (-1634 : -7579/89 : 1)
** u= -15/17 ; tau(u)= 49/32 ; -1823*x^2 + 353*y^2 + 2626*x*z - 1823*z^2
  (-425/3057 : -7672/3057 : 1)  C2b (9323/10714 : -937/10714 : 1)
** u= -15/101 ; tau(u)= 217/116 ; -26687*x^2 + 20177*y^2 + 47314*x*z - 26687*z^2
  (111/77 : 64/77 : 1)  C2b (-9815647/3234622 : 791399/3234622 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-82526/89017 : 11403/89017 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (2738/1019 : 4869/31589 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-1303954/1248425 : -35501/249685 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (-668233/55634 : -58329/55634 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (489913/212231 : 26981/212231 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-433694/50183 : 23973/50183 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (-25623899/1342301 : -1813317/1342301 : 1)
** u= 21/149 ; tau(u)= 277/128 ; -32327*x^2 + 43961*y^2 + 77170*x*z - 32327*z^2
  (-20719/882591 : -777968/882591 : 1)  C1b (12708434/3264379 : 672077/3264379 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (-217903/11633 : -24259/11633 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
  (-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1)  C1b (19534/18863 : 106049/1678807 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
  (-1/5 : -6/115 : 1)  C1a (-9479/2462 : -11249/56626 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (143159/2186 : 23529/2186 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (408581486/169846573 : 21207697/169846573 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (-419738/148603 : -5353/11431 : 1)
** u= 29/45 ; tau(u)= 61/16 ; 329*x^2 + 3209*y^2 + 4562*x*z + 329*z^2
  (-1633/12209 : -3576/12209 : 1)  C1b (-16201/2986 : -839/2986 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (102958/90169 : 6149/90169 : 1)
** u= -31/117 ; tau(u)= 265/148 ; -42847*x^2 + 26417*y^2 + 71186*x*z - 42847*z^2
  (-4307/4831 : -11136/4831 : 1)  C2b (39702179/8145187 : -2514871/8145187 : 1)
** u= 32/45 ; tau(u)= 58/13 ; 686*x^2 + 3026*y^2 + 4388*x*z + 686*z^2
  (-167/1030 : -51/1030 : 1)  C1b (-622/709 : -4021/63101 : 1)
** u= 32/61 ; tau(u)= 90/29 ; -658*x^2 + 6418*y^2 + 9124*x*z - 658*z^2
  (941/14597 : 1552/14597 : 1)  C1b (68721974/13715939 : -3565361/13715939 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (934/299 : -117/713 : 1)
** u= 33/37 ; tau(u)= 41/4 ; 1057*x^2 + 1649*y^2 + 2770*x*z + 1057*z^2
  (-747/763 : -68/109 : 1)  C1b (943/1922 : 137/1922 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
  (99583/15937 : 128916/15937 : 1)  C2b (6007859/477586 : 453527/477586 : 1)
** u= 38/25 ; tau(u)= -12/13 ; 1106*x^2 - 194*y^2 + 1588*x*z + 1106*z^2
  (-3/2 : 5/2 : 1)  C1a (-229682/117931 : 21059/117931 : 1)
** u= -39/157 ; tau(u)= 353/196 ; -75311*x^2 + 47777*y^2 + 126130*x*z - 75311*z^2
  (379247/42909 : -432040/42909 : 1)  C2b (10300054/1157885 : -135751/231577 : 1)
** u= 41/4 ; tau(u)= 33/37 ; -1057*x^2 - 1649*y^2 + 2770*x*z - 1057*z^2
  (149/213 : -100/213 : 1)  C1a (155374/18799 : 8369/18799 : 1)
** u= 41/81 ; tau(u)= 121/40 ; -1519*x^2 + 11441*y^2 + 16322*x*z - 1519*z^2
  (67/5017 : 1692/5017 : 1)  C1b (45878/129109 : 6871/129109 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (-13287878/3672595 : -164869/734519 : 1)
** u= 44/49 ; tau(u)= 54/5 ; 1886*x^2 + 2866*y^2 + 4852*x*z + 1886*z^2
  (-1580/2879 : 777/2879 : 1)  C1b (-43/1739 : -97/1739 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (-1148657687/7796398 : -63044679/7796398 : 1)
** u= 45/16 ; tau(u)= 13/29 ; 343*x^2 - 1513*y^2 + 2194*x*z + 343*z^2
  (-49/2279 : -1008/2279 : 1)  C1a (-622/709 : -4021/63101 : 1)
** u= 48/185 ; tau(u)= 322/137 ; -35234*x^2 + 66146*y^2 + 105988*x*z - 35234*z^2
  (-211/508 : -577/508 : 1)  C1b (10421122/2340341 : -541891/2340341 : 1)
** u= -48/193 ; tau(u)= 434/241 ; -113858*x^2 + 72194*y^2 + 190660*x*z - 113858*z^2
  (227517/175867 : 157306/175867 : 1)  C2b (21192977/13911970 : -239743/2782394 : 1)
** u= 49/32 ; tau(u)= -15/17 ; 1823*x^2 - 353*y^2 + 2626*x*z + 1823*z^2
  (-3039/2953 : -5096/2953 : 1)  C1a (8378/13541 : 2393/13541 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
  (5781/7861 : -5902/7861 : 1)  C2b (-354331/630170 : -12865/126034 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (954202/68387 : 471951/478709 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
  (-469/4513 : 6340/4513 : 1)  C2b (114726014/31246321 : 7103019/31246321 : 1)
** u= -52/45 ; tau(u)= 142/97 ; -16114*x^2 + 1346*y^2 + 22868*x*z - 16114*z^2
  (-1711/3560 : 17037/3560 : 1)  C2b (301526/63997 : -46451/63997 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (19154866/2822789 : 3237391/2822789 : 1)
** u= 54/5 ; tau(u)= 44/49 ; -1886*x^2 - 2866*y^2 + 4852*x*z - 1886*z^2
  (1580/2879 : -777/2879 : 1)  C1a (6122/20173 : -1051/20173 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (4701446/197219 : -245373/197219 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (3832742/3035071 : -269531/3035071 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-588506/557885 : 8673/111577 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (323574751/5037983 : -16917677/5037983 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (26565751/6705143 : 1684053/6705143 : 1)
** u= 58/13 ; tau(u)= 32/45 ; -686*x^2 - 3026*y^2 + 4388*x*z - 686*z^2
  (13/53 : 18/53 : 1)  C1a (-1634 : -7579/89 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-1016762/1055605 : -29777/211121 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (93809/28366 : -6647/28366 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1b (383098/442151 : -35941/442151 : 1)
** u= 61/16 ; tau(u)= 29/45 ; -329*x^2 - 3209*y^2 + 4562*x*z - 329*z^2
  (1633/12209 : 3576/12209 : 1)  C1a (68721974/13715939 : -3565361/13715939 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (15106/75373 : 4177/75373 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (-3403/10147 : 531/10147 : 1)
** u= 69/85 ; tau(u)= 101/16 ; 4249*x^2 + 9689*y^2 + 14962*x*z + 4249*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1b (7255898/3826567 : 490097/3826567 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
  (21/212 : -331/212 : 1)  C1a (-148093/113699 : 9063/113699 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
  (10335/6841 : 10736/6841 : 1)  C2b (-242816831/28124182 : -22165671/28124182 : 1)
** u= 75/181 ; tau(u)= 287/106 ; -16847*x^2 + 59897*y^2 + 87994*x*z - 16847*z^2
  (-385293/7342267 : -4400050/7342267 : 1)  C1b (-1809527/420737 : -9031281/37445593 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (-47527/1849534 : 144003/1849534 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (1206319/786247 : -85577/786247 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
  (-31203/472877 : -858490/472877 : 1)  C2b (1047301/1288357 : -88911/1288357 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-174749/12827 : -273/127 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-2380759/19169554 : 986563/19169554 : 1)
** u= 80/121 ; tau(u)= 162/41 ; 3038*x^2 + 22882*y^2 + 32644*x*z + 3038*z^2
  (-103/535 : 198/535 : 1)  C1b (540539/212582 : -30959/212582 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-20756914/8487767 : -2325827/8487767 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (32239/3689 : 3743/3689 : 1)
** u= -84/97 ; tau(u)= 278/181 ; -58466*x^2 + 11762*y^2 + 84340*x*z - 58466*z^2
  (-1384/957 : 4855/957 : 1)  C2b (-119602/355585 : -10357/71117 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1a (-870994/1424723 : -101407/1424723 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (2313959477/331765571 : -190996301/331765571 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (-506567/305434 : 30363/305434 : 1)
** u= 90/29 ; tau(u)= 32/61 ; 658*x^2 - 6418*y^2 + 9124*x*z + 658*z^2
  (3/146 : 53/146 : 1)  C1a (-16201/2986 : -839/2986 : 1)
** u= -91/153 ; tau(u)= 397/244 ; -110791*x^2 + 38537*y^2 + 165890*x*z - 110791*z^2
  (-409/521 : 1476/521 : 1)  C2b (283/3347 : 25291/297883 : 1)
** u= 93/125 ; tau(u)= 157/32 ; 6601*x^2 + 22601*y^2 + 33298*x*z + 6601*z^2
  (-6697/1393 : 40/199 : 1)  C1b (6737971/4858058 : 475583/4858058 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (29926622/402187 : -1645563/402187 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (17171/94742 : 26749/94742 : 1)
** u= 97/113 ; tau(u)= 129/16 ; 8897*x^2 + 16129*y^2 + 26050*x*z + 8897*z^2
  (-87/191 : -6400/24257 : 1)  C1b (-6326/4819 : -45489/612013 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (-261028442/192123913 : 17626669/192123913 : 1)
** u= 101/16 ; tau(u)= 69/85 ; -4249*x^2 - 9689*y^2 + 14962*x*z - 4249*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1a (-11700718/5322929 : 761669/5322929 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-770923/145418 : 2343/8554 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-133438/9787 : 639763/871043 : 1)
** u= 101/181 ; tau(u)= 261/80 ; -2599*x^2 + 55321*y^2 + 78322*x*z - 2599*z^2
  (-16429/21613 : 162264/151291 : 1)  C1b (191813/73709 : -73237/515963 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-174413/56222 : 11919/56222 : 1)
** u= 103/153 ; tau(u)= 203/50 ; 5609*x^2 + 36209*y^2 + 51818*x*z + 5609*z^2
  (-193/1739 : -78/1739 : 1)  C1b (58591/83687 : 5551/83687 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (74407/44926 : 7649/44926 : 1)
** u= 105/121 ; tau(u)= 137/16 ; 10513*x^2 + 18257*y^2 + 29794*x*z + 10513*z^2
  (-13017/5881 : -2728/5881 : 1)  C1b (-168329/690959 : 35983/690959 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (-54632186/31086647 : 6788331/31086647 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (-3081958/2359859 : -213901/2359859 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
  (-3109/2525 : -1002/2525 : 1)  C1b (-129206/425993 : 22639/425993 : 1)
** u= -113/81 ; tau(u)= 275/194 ; -62503*x^2 + 353*y^2 + 88394*x*z - 62503*z^2
  (83/191 : 1926/191 : 1)  C2b (668491/640358 : 343459/640358 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (1684238/111949 : 129717/111949 : 1)
** u= 116/117 ; tau(u)= 118 ; 13454*x^2 + 13922*y^2 + 27380*x*z + 13454*z^2
  (-4808/5599 : -555/5599 : 1)  C1b (-1025582/850367 : -58141/850367 : 1)
** u= -116/117 ; tau(u)= 350/233 ; -95122*x^2 + 13922*y^2 + 135956*x*z - 95122*z^2
  (52/1213 : 3075/1213 : 1)  C2b (10413254/1214749 : 1298581/1214749 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (107257/127702 : 9213/127702 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (769274/206773 : 39643/206773 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (207532825/130454183 : 23641205/130454183 : 1)
** u= 118 ; tau(u)= 116/117 ; -13454*x^2 - 13922*y^2 + 27380*x*z - 13454*z^2
  (10487/10102 : 1857/10102 : 1)  C1a (16595/5222 : -895/5222 : 1)
** u= -120/157 ; tau(u)= 434/277 ; -139058*x^2 + 34898*y^2 + 202756*x*z - 139058*z^2
  (2859/34375 : 64576/34375 : 1)  C2b (210362/692173 : -343/4001 : 1)
** u= -120/169 ; tau(u)= 458/289 ; -152642*x^2 + 42722*y^2 + 224164*x*z - 152642*z^2
  (-15091/107265 : 224536/107265 : 1)  C2b (-1801006/501457 : -215471/501457 : 1)
** u= 121/40 ; tau(u)= 41/81 ; 1519*x^2 - 11441*y^2 + 16322*x*z + 1519*z^2
  (-125/1943 : -396/1943 : 1)  C1a (540539/212582 : -30959/212582 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
  (3109/2525 : 1002/2525 : 1)  C1a (-35794/723773 : 43589/723773 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (5225329/1186334 : -669379/1186334 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (-4094/89353 : 32229/625471 : 1)
** u= 129/16 ; tau(u)= 97/113 ; -8897*x^2 - 16129*y^2 + 26050*x*z - 8897*z^2
  (71/31 : 64/127 : 1)  C1a (1037/1243 : 9213/157861 : 1)
** u= 129/145 ; tau(u)= 161/16 ; 16129*x^2 + 25409*y^2 + 42562*x*z + 16129*z^2
  (-277/565 : -104/565 : 1)  C1b (10689706/400139 : 607551/400139 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (-94738/137693 : -10467/137693 : 1)
** u= -132/137 ; tau(u)= 406/269 ; -127298*x^2 + 20114*y^2 + 182260*x*z - 127298*z^2
  (6792/5753 : -12139/5753 : 1)  C2b (31403/10138 : -294259/902282 : 1)
** u= -132/173 ; tau(u)= 478/305 ; -168626*x^2 + 42434*y^2 + 245908*x*z - 168626*z^2
  (-32/839 : -12037/5873 : 1)  C2b (2414717/123571 : -1700327/864997 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (67657/16210 : 62681/288538 : 1)
** u= -133/117 ; tau(u)= 367/250 ; -107311*x^2 + 9689*y^2 + 152378*x*z - 107311*z^2
  (311/335 : 822/335 : 1)  C2b (168069041/22343242 : 26283899/22343242 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (849314/933305 : -23107/186661 : 1)
** u= 137/16 ; tau(u)= 105/121 ; -10513*x^2 - 18257*y^2 + 29794*x*z - 10513*z^2
  (3907/7555 : 2552/7555 : 1)  C1a (-883402/1361303 : 103159/1361303 : 1)
** u= -141/101 ; tau(u)= 343/242 ; -97247*x^2 + 521*y^2 + 137530*x*z - 97247*z^2
  (-201/2819 : 40502/2819 : 1)  C2b (4119150610/1904436053 : 2167107775/1904436053 : 1)
** u= 142/97 ; tau(u)= -52/45 ; 16114*x^2 - 1346*y^2 + 22868*x*z + 16114*z^2
  (1711/3560 : -17037/3560 : 1)  C1a (-149/118 : -19/118 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-2346041/206698 : 413117/206698 : 1)
** u= -148/169 ; tau(u)= 486/317 ; -179074*x^2 + 35218*y^2 + 258100*x*z - 179074*z^2
  (33172/34121 : -56745/34121 : 1)  C2b (6127031/5001266 : 524329/5001266 : 1)
** u= -151/145 ; tau(u)= 441/296 ; -152431*x^2 + 19249*y^2 + 217282*x*z - 152431*z^2
  (15733/101615 : 256284/101615 : 1)  C2b (454679/248498 : 48211/248498 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (414742/65521 : -21359/65521 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (-4714093/787709 : 259183/787709 : 1)
** u= 157/32 ; tau(u)= 93/125 ; -6601*x^2 - 22601*y^2 + 33298*x*z - 6601*z^2
  (2761/2929 : -2680/2929 : 1)  C1a (-3882962/2296699 : 256723/2296699 : 1)
** u= -157/117 ; tau(u)= 391/274 ; -125503*x^2 + 2729*y^2 + 177530*x*z - 125503*z^2
  (35143/986239 : 6521790/986239 : 1)  C2b (569002/518873 : 146243/518873 : 1)
** u= -159/113 ; tau(u)= 385/272 ; -122687*x^2 + 257*y^2 + 173506*x*z - 122687*z^2
  (179/109 : 2792/109 : 1)  C2b (552193/223961 : 477281/223961 : 1)
** u= 159/185 ; tau(u)= 211/26 ; 23929*x^2 + 43169*y^2 + 69802*x*z + 23929*z^2
  (-8153/20543 : 1486/143801 : 1)  C1b (68575778/26311321 : 31368801/184179247 : 1)
** u= 161/16 ; tau(u)= 129/145 ; -16129*x^2 - 25409*y^2 + 42562*x*z - 16129*z^2
  (2321/1065 : 32/1065 : 1)  C1a (446986/260353 : -23721/260353 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (794903/342137 : -45843/342137 : 1)
** u= -161/137 ; tau(u)= 435/298 ; -151687*x^2 + 11617*y^2 + 215146*x*z - 151687*z^2
  (126043/70479 : -328298/70479 : 1)  C2b (-665689198/115905377 : 140028657/115905377 : 1)
** u= 162/41 ; tau(u)= 80/121 ; -3038*x^2 - 22882*y^2 + 32644*x*z - 3038*z^2
  (490/3767 : 847/3767 : 1)  C1a (45878/129109 : 6871/129109 : 1)
** u= 164/193 ; tau(u)= 222/29 ; 25214*x^2 + 47602*y^2 + 76180*x*z + 25214*z^2
  (-7468/19481 : -215/2783 : 1)  C1b (1771571/1029365 : 25455/205873 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (44209/139126 : 37659/139126 : 1)
** u= -168/185 ; tau(u)= 538/353 ; -220994*x^2 + 40226*y^2 + 317668*x*z - 220994*z^2
  (-106/295 : 887/295 : 1)  C2b (3347569/4617506 : -403711/4617506 : 1)
** u= -177/169 ; tau(u)= 515/346 ; -208103*x^2 + 25793*y^2 + 296554*x*z - 208103*z^2
  (-4427/4049 : 22282/4049 : 1)  C2b (4574059/4778318 : 530673/4778318 : 1)
** u= 181/185 ; tau(u)= 189/4 ; 32729*x^2 + 35689*y^2 + 68482*x*z + 32729*z^2
  (-1613/2085 : -284/2085 : 1)  C1b (-65918/38383 : 311087/3416087 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (86777/138481 : 139841/969367 : 1)
** u= 189/4 ; tau(u)= 181/185 ; -32729*x^2 - 35689*y^2 + 68482*x*z - 32729*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1a (5565242/2757709 : 26085869/245436101 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (6488774/4060711 : -475937/4060711 : 1)
** u= 195/197 ; tau(u)= 199/2 ; 38017*x^2 + 39593*y^2 + 77626*x*z + 38017*z^2
  (-10801/13095 : 13538/222615 : 1)  C1b (-10036574/913193 : 9911817/15524281 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
  (83809/260225 : 484524/260225 : 1)  C1a (-14573/64141 : -4439/64141 : 1)
** u= 199/2 ; tau(u)= 195/197 ; -38017*x^2 - 39593*y^2 + 77626*x*z - 38017*z^2
  (13/15 : 2/15 : 1)  C1a (16830214/1161709 : 16782939/19749053 : 1)
153
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.21追記] u=-161/137,164/193のときの整点を追加した。
[2026.01.22追記] u=-168/185のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.22
H.Nakao

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