Integer Points on A^4+B^4+C^4=138338*D^4
[2026.01.20]A^4+B^4+C^4=138338*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
138338=2*263^2であるので、以下では、n=263とする。
■n=263のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=263;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように182個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(263,1,200);
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
(347/237 : -32/237 : 1) C1b (1562/853 : 83/853 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
(-353/543 : 910/543 : 1) C2b (-213321/196867 : -22211/196867 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
(40591/47221 : -3916/47221 : 1) C1b (-3828186/796835 : -52591/159367 : 1)
** u= -1/169 ; tau(u)= 339/170 ; -57799*x^2 + 57121*y^2 + 114922*x*z - 57799*z^2
(3/55 : -12506/13145 : 1) C2b (35542/132537 : 1754603/31676343 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
(141/95 : 88/95 : 1) C2b (32254/8483 : -1917/8483 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
(1/22 : 9/22 : 1) C1b (23922/7181 : 1253/7181 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
(2 : -3/7 : 1) C1b (1269/1399 : -583/9793 : 1)
** u= 4/101 ; tau(u)= 198/97 ; -18802*x^2 + 20386*y^2 + 39220*x*z - 18802*z^2
(5558/11821 : 5565/11821 : 1) C1b (-2933802/2794007 : -297959/2794007 : 1)
** u= -4/145 ; tau(u)= 294/149 ; -44386*x^2 + 42034*y^2 + 86452*x*z - 44386*z^2
(100312/80239 : -29491/80239 : 1) C2b (74154551/3031454 : 4542537/3031454 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
(16243/11791 : 5662/11791 : 1) C2b (-698126/675011 : -74761/675011 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
(1/7 : 8/7 : 1) C2b (-31573/4926 : 2513/4926 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
(5491/19333 : 14808/19333 : 1) C2b (5925297/780274 : -350839/780274 : 1)
** u= -8/29 ; tau(u)= 66/37 ; -2674*x^2 + 1618*y^2 + 4420*x*z - 2674*z^2
(19/27 : 20/27 : 1) C2b (8938/20323 : 1191/20323 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
(401/2841 : 2668/2841 : 1) C2b (33318/54353 : -2959/54353 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
(327/784 : 71/112 : 1) C2b (8958/16141 : 869/16141 : 1)
** u= 11/45 ; tau(u)= 79/34 ; -2191*x^2 + 3929*y^2 + 6362*x*z - 2191*z^2
(1205/401 : 342/401 : 1) C1b (622098/5267551 : 282241/5267551 : 1)
** u= 11/157 ; tau(u)= 303/146 ; -42511*x^2 + 49177*y^2 + 91930*x*z - 42511*z^2
(-7101/5167 : 11630/5167 : 1) C1b (-1168619/259806 : 78047/259806 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
(-144/119 : -67/119 : 1) C1b (-21661/16510 : 243/3302 : 1)
** u= 13/45 ; tau(u)= 77/32 ; -1879*x^2 + 3881*y^2 + 6098*x*z - 1879*z^2
(24137/70751 : -4728/70751 : 1) C1b (2513933/31194 : 136883/31194 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
(-1707/4423 : -4972/4423 : 1) C1b (25309/17769 : -1411/17769 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
(2/3 : -1/3 : 1) C1a (187090/47059 : -9975/47059 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
(-1/22 : 9/22 : 1) C1a (-3377/5154 : 299/5154 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
(3429/1247 : 686/1247 : 1) C1b (1790958/2211857 : -128639/2211857 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
(241/35271 : 38158/35271 : 1) C2b (-164719/190411 : -20141/190411 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
(79/1393 : -144/199 : 1) C1b (-86902/2589 : -4939/2589 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
(-1097/2523 : -1738/2523 : 1) C1b (-3689/9586 : -519/9586 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
(153/223 : 196/223 : 1) C2b (408084014/12809259 : 31029781/12809259 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
(-929/1733 : 3156/1733 : 1) C2b (87737/207741 : 11957/207741 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
(5/2 : 7/2 : 1) C2b (10154/7437 : 733/7437 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
(9/431 : 16/431 : 1) C1b (95525/41329 : 5355/41329 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
(-987/26695 : -17924/26695 : 1) C1b (-975634/287743 : 58401/287743 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
(78457/165587 : 46612/165587 : 1) C1b (243805366/10278011 : -13885773/10278011 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
(1/3 : -124/21 : 1) C2b (327/187 : 631/1309 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
(2351/191 : 1562/191 : 1) C1b (475677/326158 : 26329/326158 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
(8223/10453 : 6556/10453 : 1) C2b (696861/612034 : 41527/612034 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
(-29/3351 : -27170/23457 : 1) C2b (-486398/116363 : -261791/814541 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
(-1379/192144 : -62735/192144 : 1) C1b (2402/1261 : -137/1261 : 1)
** u= -28/61 ; tau(u)= 150/89 ; -15058*x^2 + 6658*y^2 + 23284*x*z - 15058*z^2
(193/1062 : 1385/1062 : 1) C2b (12313/46434 : 3229/46434 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
(548/2247 : 2599/2247 : 1) C2b (85134910/8635631 : -6183595/8635631 : 1)
** u= -28/109 ; tau(u)= 246/137 ; -36754*x^2 + 22978*y^2 + 61300*x*z - 36754*z^2
(8634/13901 : 10399/13901 : 1) C2b (-10564958/6444213 : -1091237/6444213 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
(1553/18425 : -4534/18425 : 1) C1b (161544866/35090703 : -8412641/35090703 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
(-6585/28567 : -8248/4081 : 1) C2b (-4922/201 : 461/201 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
(87/47 : 128/47 : 1) C1a (40942/6685 : -533/1337 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
(6697/23029 : 5298/23029 : 1) C1b (3230067/403543 : 170677/403543 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
(613/2037 : 436/291 : 1) C1a (-63409/7229 : -4041/7229 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
(3113/23499 : -854/3357 : 1) C1a (-45429/28582 : -2899/28582 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
(-911/573 : 574/573 : 1) C1b (5121038/433501 : 282759/433501 : 1)
** u= 41/49 ; tau(u)= 57/8 ; 1553*x^2 + 3121*y^2 + 4930*x*z + 1553*z^2
(-1919/5403 : -140/5403 : 1) C1b (-2041822/1417477 : 6727/83381 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
(3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1) C1b (-1754727/2482978 : 192109/2482978 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
(76871/10871 : 2722/1553 : 1) C1b (3233517/77038 : 169807/77038 : 1)
** u= -44/65 ; tau(u)= 174/109 ; -21826*x^2 + 6514*y^2 + 32212*x*z - 21826*z^2
(167/14300 : 25951/14300 : 1) C2b (332767/124253 : 25679/124253 : 1)
** u= 44/73 ; tau(u)= 102/29 ; 254*x^2 + 8722*y^2 + 12340*x*z + 254*z^2
(-1817/6018 : -26489/42126 : 1) C1b (143158/9683 : 52163/67781 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
(-471/8572 : 3761/8572 : 1) C1b (16478678/2499111 : 856661/2499111 : 1)
** u= 44/181 ; tau(u)= 318/137 ; -35602*x^2 + 63586*y^2 + 103060*x*z - 35602*z^2
(324/101 : -107/101 : 1) C1b (1479293/255087 : 78359/255087 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
(-1094/9879 : -1715/9879 : 1) C1b (-523714/203341 : -28359/203341 : 1)
** u= 48/85 ; tau(u)= 122/37 ; -434*x^2 + 12146*y^2 + 17188*x*z - 434*z^2
(5591/224853 : -5354/224853 : 1) C1b (-70474/33337 : 4083/33337 : 1)
** u= -49/97 ; tau(u)= 243/146 ; -40231*x^2 + 16417*y^2 + 61450*x*z - 40231*z^2
(-6233/17987 : -36162/17987 : 1) C2b (1790114/209251 : -140089/209251 : 1)
** u= 49/117 ; tau(u)= 185/68 ; -6847*x^2 + 24977*y^2 + 36626*x*z - 6847*z^2
(-2503/616787 : -326424/616787 : 1) C1b (799714/392613 : -43421/392613 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
(-469/4513 : 6340/4513 : 1) C2b (9681517/2305610 : 122727/461122 : 1)
** u= 52/81 ; tau(u)= 110/29 ; 1022*x^2 + 10418*y^2 + 14804*x*z + 1022*z^2
(-281/1672 : -621/1672 : 1) C1b (-1314898/10151 : 68309/10151 : 1)
** u= -52/193 ; tau(u)= 438/245 ; -117346*x^2 + 71794*y^2 + 194548*x*z - 117346*z^2
(3519/5042 : -3703/5042 : 1) C2b (-194286387/3145546 : 14082341/3145546 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
(-43/4101 : -520/4101 : 1) C1a (96626/105419 : -7497/105419 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
(7499/8195 : -21882/8195 : 1) C2b (2096133/1147729 : 287413/1147729 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
(-83/152 : -25/1064 : 1) C1a (-87963/2833 : -35149/19831 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
(18969/262357 : -116378/262357 : 1) C1b (11298041/2841462 : -45137/218574 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
(-87/128 : -47/128 : 1) C1b (-1955833/1143541 : 104327/1143541 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
(-141/1795 : -1012/1795 : 1) C1b (72838/61741 : -4641/61741 : 1)
** u= -56/185 ; tau(u)= 426/241 ; -113026*x^2 + 65314*y^2 + 184612*x*z - 113026*z^2
(929/4437 : -83128/75429 : 1) C2b (-249242/46441 : 349047/789497 : 1)
** u= 57/8 ; tau(u)= 41/49 ; -1553*x^2 - 3121*y^2 + 4930*x*z - 1553*z^2
(2193/5437 : -1316/5437 : 1) C1a (609398/127553 : -31891/127553 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
(-957/5627 : 6280/5627 : 1) C1a (748479/23429 : 55123/23429 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
(7/3 : -484/21 : 1) C1a (-22594/12049 : 44097/84343 : 1)
** u= 57/97 ; tau(u)= 137/40 ; 49*x^2 + 15569*y^2 + 22018*x*z + 49*z^2
(-4611/113023 : 26396/113023 : 1) C1b (-99459163/22875289 : 5289231/22875289 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
(-21933/71317 : 53012/71317 : 1) C1b (-456335/350666 : -30975/350666 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
(1025/347 : 266/347 : 1) C1a (-175019/1098967 : -62319/1098967 : 1)
** u= 59/109 ; tau(u)= 159/50 ; -1519*x^2 + 20281*y^2 + 28762*x*z - 1519*z^2
(-4923/750613 : 217810/750613 : 1) C1b (632957/588617 : -43683/588617 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
(24/815 : -3269/815 : 1) C2b (-395434/308527 : -138369/308527 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
(512045/261178 : -964513/261178 : 1) C2b (-404146/90127 : 63573/90127 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
(-38355/358771 : -24572/51253 : 1) C1b (183820894/7164267 : 9532637/7164267 : 1)
** u= -64/157 ; tau(u)= 378/221 ; -93586*x^2 + 45202*y^2 + 146980*x*z - 93586*z^2
(-122/49 : -235/49 : 1) C2b (1091519/577474 : 66817/577474 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
(3501/2107 : -932/2107 : 1) C1a (-36786/49511 : -4189/49511 : 1)
** u= 66/37 ; tau(u)= -8/29 ; 2674*x^2 - 1618*y^2 + 4420*x*z + 2674*z^2
(-172/151 : 125/151 : 1) C1a (-373/22495 : -321/4499 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
(1073/11243 : 22392/11243 : 1) C2b (37146853/8723562 : 3555553/8723562 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
(-12632/411 : 18415/411 : 1) C2b (35914/111809 : 7261/111809 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
(10335/6841 : 10736/6841 : 1) C2b (-5922/391 : 31/23 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
(10799/88427 : 14814/88427 : 1) C1b (-8634029/3167202 : 502871/3167202 : 1)
** u= -76/73 ; tau(u)= 222/149 ; -38626*x^2 + 4882*y^2 + 55060*x*z - 38626*z^2
(436/231 : 127/33 : 1) C2b (-207111/85211 : -40079/85211 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
(894/5539 : -211183/127397 : 1) C2b (2938/873 : -5519/20079 : 1)
** u= 77/32 ; tau(u)= 13/45 ; 1879*x^2 - 3881*y^2 + 6098*x*z + 1879*z^2
(-1235/19013 : -11784/19013 : 1) C1a (145413/49838 : -9161/49838 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
(2/7 : -5/7 : 1) C1a (51961/12429 : -2819/12429 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
(-2713/2880 : -3773/2880 : 1) C1a (-19089/27763 : 1999/27763 : 1)
** u= 79/34 ; tau(u)= 11/45 ; 2191*x^2 - 3929*y^2 + 6362*x*z + 2191*z^2
(2623/19121 : -16998/19121 : 1) C1a (-157902/161849 : 10159/161849 : 1)
** u= -80/89 ; tau(u)= 258/169 ; -50722*x^2 + 9442*y^2 + 72964*x*z - 50722*z^2
(5/8 : -13/8 : 1) C2b (-545547/346087 : -99943/346087 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
(1369/727 : -1782/727 : 1) C2b (51178/76159 : -5459/76159 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
(-1068/5543 : -1529/5543 : 1) C1b (1444546/3869 : 75627/3869 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
(19970/540811 : -808891/540811 : 1) C2b (-343954/2252563 : -207033/2252563 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
(7019/8711 : 18720/8711 : 1) C2b (-149722/94509 : 35671/94509 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
(-823/680 : 73/680 : 1) C1b (-832322/564501 : -45323/564501 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
(-2279/32337 : -980/32337 : 1) C1b (-222502/291595 : -127/2011 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
(1783/2152 : -201/2152 : 1) C1a (-474181/21951 : 29597/21951 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
(-3276/113 : -721/113 : 1) C1b (-43871/194203 : 10323/194203 : 1)
** u= 92/193 ; tau(u)= 294/101 ; -11938*x^2 + 66034*y^2 + 94900*x*z - 11938*z^2
(4664/42941 : 7033/42941 : 1) C1b (-14674678/1853193 : 785141/1853193 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
(-203/1185 : -644/1185 : 1) C1a (13084706/200083 : 729657/200083 : 1)
** u= -95/149 ; tau(u)= 393/244 ; -110047*x^2 + 35377*y^2 + 163474*x*z - 110047*z^2
(11575/13669 : -16336/13669 : 1) C2b (-218253/228679 : -38317/228679 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
(-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1) C2b (-171884331/24535918 : -17685623/24535918 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
(8/3 : -5/3 : 1) C1a (546323/246119 : 30141/246119 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
(333/2783 : 1658/2783 : 1) C1a (522702/4053667 : -217009/4053667 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
(-4759/5571 : -1330/5571 : 1) C1a (201858/8761 : -12863/8761 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
(-1663/2862 : -1055/2862 : 1) C1b (101998/20399 : -6259/20399 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
(-4345/27411 : 11068/27411 : 1) C1a (-620363/134071 : -32241/134071 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
(-33991/86547 : 1144/5091 : 1) C1b (23643041/1469186 : 1321731/1469186 : 1)
** u= 102/29 ; tau(u)= 44/73 ; -254*x^2 - 8722*y^2 + 12340*x*z - 254*z^2
(28/69 : -355/483 : 1) C1a (-4438/11927 : 4651/83489 : 1)
** u= 104/193 ; tau(u)= 282/89 ; -5026*x^2 + 63682*y^2 + 90340*x*z - 5026*z^2
(2246/79391 : 15649/79391 : 1) C1b (-5902253/1553865 : -64255/310773 : 1)
** u= 110/29 ; tau(u)= 52/81 ; -1022*x^2 - 10418*y^2 + 14804*x*z - 1022*z^2
(587/5398 : -1269/5398 : 1) C1a (392967/122378 : 20969/122378 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
(-3109/2525 : -1002/2525 : 1) C1b (29288203/1302106 : 1772971/1302106 : 1)
** u= -112/121 ; tau(u)= 354/233 ; -96034*x^2 + 16738*y^2 + 137860*x*z - 96034*z^2
(18002/4593 : 36047/4593 : 1) C2b (-806629/176001 : 117347/176001 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
(-2781/3305 : 3518/3305 : 1) C1b (-2757859/471303 : -144539/471303 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
(-487/150 : -161/150 : 1) C1a (960406/582183 : -71117/582183 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
(-2051/4821 : -2282/4821 : 1) C1b (-3896682/851957 : -202243/851957 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
(-15994/66679 : -15579/66679 : 1) C1b (-367890/661567 : 36605/661567 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
(-3097/1263 : -3164/1263 : 1) C1a (-1315081/578850 : -16279/115770 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
(-30593/27883 : 6974/27883 : 1) C1b (-4649306/641901 : 265517/641901 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
(-1399/613 : 85662/102371 : 1) C1b (1099/767 : -13757/128089 : 1)
** u= -120/197 ; tau(u)= 514/317 ; -186578*x^2 + 63218*y^2 + 278596*x*z - 186578*z^2
(-11493/38591 : -11728/5513 : 1) C2b (164599/160541 : 12099/160541 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
(3109/2525 : 1002/2525 : 1) C1a (20751/10982 : -1099/10982 : 1)
** u= 122/37 ; tau(u)= 48/85 ; 434*x^2 - 12146*y^2 + 17188*x*z + 434*z^2
(85/178 : -151/178 : 1) C1a (1128623/64334 : 58719/64334 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
(10639/8237 : 550/8237 : 1) C1a (7987130/275677 : -476835/275677 : 1)
** u= -124/169 ; tau(u)= 462/293 ; -156322*x^2 + 41746*y^2 + 228820*x*z - 156322*z^2
(278/57807 : -111469/57807 : 1) C2b (-41228382/97182233 : -13159637/97182233 : 1)
** u= 124/197 ; tau(u)= 270/73 ; 4718*x^2 + 62242*y^2 + 88276*x*z + 4718*z^2
(-21613/148402 : 53331/148402 : 1) C1b (171659/71934 : -9847/71934 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
(716/1529 : -225/1529 : 1) C1a (269506/260871 : -16709/260871 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
(240/1657 : -941/1657 : 1) C1a (-209994/146053 : -12797/146053 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
(-3593/1595 : 36/1595 : 1) C1b (-1716419/23423 : -95969/23423 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
(116/1119 : 4105/1119 : 1) C2b (-478/361 : 159/361 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
(-1351/1944 : -259/1944 : 1) C1b (-6808378/1467739 : -373521/1467739 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
(-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1) C2b (-6624067/1305374 : -867663/1305374 : 1)
** u= 136/185 ; tau(u)= 234/49 ; 13694*x^2 + 49954*y^2 + 73252*x*z + 13694*z^2
(-9325/39103 : -9576/39103 : 1) C1b (-1023659/2984487 : -156743/2984487 : 1)
** u= 137/40 ; tau(u)= 57/97 ; -49*x^2 - 15569*y^2 + 22018*x*z - 49*z^2
(2551/3427 : -3508/3427 : 1) C1a (515222/1566353 : -85443/1566353 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
(-379/803 : 188/803 : 1) C1b (-1425894/415417 : -74537/415417 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
(-17961/8711 : 21934/8711 : 1) C1a (96662/254131 : 29781/254131 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
(4045/39874 : 141159/39874 : 1) C2b (2755074/425777 : 488293/425777 : 1)
** u= -140/197 ; tau(u)= 534/337 ; -207538*x^2 + 58018*y^2 + 304756*x*z - 207538*z^2
(692/269 : 997/269 : 1) C2b (6981478661/261765002 : 680124711/261765002 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
(829/1965 : -572/1965 : 1) C1a (-193454/341187 : 24181/341187 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
(4380/3017 : 73/431 : 1) C1a (82713943/7251667 : 4745877/7251667 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
(991/8201 : -32466/8201 : 1) C1a (-90647/15578 : -15181/15578 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
(3257/12745 : 13248/12745 : 1) C1a (-1716419/23423 : -95969/23423 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
(-47137/46037 : -20796/46037 : 1) C1b (18250342/3085359 : -1165733/3085359 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
(-63077/63853 : -50344/63853 : 1) C1b (40666/86209 : 5757/86209 : 1)
** u= 150/89 ; tau(u)= -28/61 ; 15058*x^2 - 6658*y^2 + 23284*x*z + 15058*z^2
(-31/84 : -95/84 : 1) C1a (541358/19749241 : 1639221/19749241 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
(-1559/2961 : 92/423 : 1) C1b (395150/202261 : -28925/202261 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
(-29727/12721 : 6178/12721 : 1) C1b (838106/1565943 : -111317/1565943 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
(2757/18968 : -1991/18968 : 1) C1a (305879/341546 : -22329/341546 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
(219/964 : -4627/964 : 1) C1a (-1130567/164869 : 216993/164869 : 1)
** u= 159/50 ; tau(u)= 59/109 ; 1519*x^2 - 20281*y^2 + 28762*x*z + 1519*z^2
(-8669/168801 : 8030/168801 : 1) C1a (2345314/51853 : -121951/51853 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
(-183/1111 : 190/1111 : 1) C1a (113386/503989 : 28267/503989 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
(79009/128645 : 5844/128645 : 1) C1a (7150697/415459 : -410339/415459 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
(-717/10423 : -928/10423 : 1) C1a (-384866/675541 : -39117/675541 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
(823/985 : -576/985 : 1) C1a (-86902/2589 : -4939/2589 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
(-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1) C1a (-2530017/87109 : -131213/87109 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
(15/11 : -26/11 : 1) C2b (-132686/918671 : -131649/918671 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
(13053/73843 : -60740/10549 : 1) C2b (-182057/342907 : -165159/342907 : 1)
** u= -168/121 ; tau(u)= 410/289 ; -138818*x^2 + 1058*y^2 + 196324*x*z - 138818*z^2
(3/14 : -3179/322 : 1) C2b (-1583/4907 : 83733/112861 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
(-1042/895 : 551/895 : 1) C1b (94113299/3631546 : -5461863/3631546 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
(9/7 : 1034/1169 : 1) C1a (-13714/34587 : 370577/5776029 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
(-5167/12659 : 270/12659 : 1) C1a (355781/81711 : 21803/81711 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
(4523/3463 : 33930/3463 : 1) C2b (28911/539 : 15643/539 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
(-1546/1179 : 1333/1179 : 1) C1a (-10770/18557 : 1115/18557 : 1)
** u= 174/109 ; tau(u)= -44/65 ; 21826*x^2 - 6514*y^2 + 32212*x*z + 21826*z^2
(10288/57009 : 118931/57009 : 1) C1a (-288089/35306 : -25737/35306 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
(21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1) C2b (-5368714/1195973 : 753843/1195973 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
(72807/171839 : -5516/171839 : 1) C1a (-307226/85713 : -19399/85713 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
(2120/8643 : 26543/8643 : 1) C1a (-39043/62801 : 6087/62801 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
(255/721 : -38/103 : 1) C1a (-822803/61234 : 44791/61234 : 1)
** u= 185/68 ; tau(u)= 49/117 ; 6847*x^2 - 24977*y^2 + 36626*x*z + 6847*z^2
(-3907/23965 : -4932/23965 : 1) C1a (-1023659/2984487 : -156743/2984487 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
(2075/22547 : -580866/157829 : 1) C2b (249659/146042 : -256091/1022294 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
(96751/193929 : -26884/193929 : 1) C1a (1058125/3160946 : -165555/3160946 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
(4/11 : 7/11 : 1) C1a (-91617/146803 : 127/2011 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
(-939/48635 : 20372/48635 : 1) C1a (142233677/9518418 : 7536493/9518418 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
(29101/89360 : -193833/89360 : 1) C2b (4981680746/263683773 : -677381641/263683773 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
(-865/707 : -564/707 : 1) C1a (-4548591/542627 : 296647/542627 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
(-2010/11 : -8881/11 : 1) C2b (3204914/762673 : 621271/762673 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
(61541/289924 : 38411/289924 : 1) C1a (895007/53658 : 46841/53658 : 1)
** u= 198/97 ; tau(u)= 4/101 ; 18802*x^2 - 20386*y^2 + 39220*x*z + 18802*z^2
(659/768 : -1385/768 : 1) C1a (470269/615574 : 56657/615574 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
(-953/209 : 366/209 : 1) C1a (-24944662/587613 : -1349677/587613 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
(18581/12043 : 61860/12043 : 1) C2b (4591770/1207817 : -71875/92909 : 1)
182
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ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.01.20 |
| H.Nakao |