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Integer Points on A^4+B^4+C^4=128018*D^4

[2026.01.15]A^4+B^4+C^4=128018*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

128018=2*253^2であるので、以下では、n=253とする。

■n=253のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=253;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように145個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(253,1,200);
** u= -1/17 ; tau(u)= 35/18 ; -647*x^2 + 577*y^2 + 1226*x*z - 647*z^2
  (2141/2881 : -1158/2881 : 1)  C2b (6304/25577 : 1483/25577 : 1)
** u= 1/181 ; tau(u)= 361/180 ; -64799*x^2 + 65521*y^2 + 130322*x*z - 64799*z^2
  (47657/40315 : -5664/40315 : 1)  C1b (-21263188/7305241 : -1610653/7305241 : 1)
** u= 3/5 ; tau(u)= 7/2 ; x^2 + 41*y^2 + 58*x*z + z^2
  (-1/3 : 2/3 : 1)  C1b (4616/4479 : 343/4479 : 1)
** u= -3/113 ; tau(u)= 229/116 ; -26903*x^2 + 25529*y^2 + 52450*x*z - 26903*z^2
  (-11021/4881 : -113656/34167 : 1)  C2b (34508/4725 : -577/1323 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (565194869/119199161 : 31607079/119199161 : 1)
** u= 7/2 ; tau(u)= 3/5 ; -x^2 - 41*y^2 + 58*x*z - z^2
  (9/167 : 38/167 : 1)  C1a (-131/17 : 7/17 : 1)
** u= 7/25 ; tau(u)= 43/18 ; -599*x^2 + 1201*y^2 + 1898*x*z - 599*z^2
  (-841/2179 : -2370/2179 : 1)  C1b (-728672/110549 : -43073/110549 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (130327/56029 : -6957/56029 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (22592491/1090684 : 1417803/1090684 : 1)
** u= 9/41 ; tau(u)= 73/32 ; -1967*x^2 + 3281*y^2 + 5410*x*z - 1967*z^2
  (-15421/367813 : 301000/367813 : 1)  C1b (119329/23244 : 6449/23244 : 1)
** u= 9/49 ; tau(u)= 89/40 ; -3119*x^2 + 4721*y^2 + 8002*x*z - 3119*z^2
  (4189/53959 : 39396/53959 : 1)  C1b (-7276/76169 : 4589/76169 : 1)
** u= 9/145 ; tau(u)= 281/136 ; -36911*x^2 + 41969*y^2 + 79042*x*z - 36911*z^2
  (8495/12429 : 692/12429 : 1)  C1b (24870892/9273133 : 1349309/9273133 : 1)
** u= 9/169 ; tau(u)= 329/160 ; -51119*x^2 + 57041*y^2 + 108322*x*z - 51119*z^2
  (2815/1753 : -696/1753 : 1)  C1b (9285359/4255877 : -501571/4255877 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (215489/443349 : 23813/443349 : 1)
** u= 12/109 ; tau(u)= 206/97 ; -18674*x^2 + 23618*y^2 + 42580*x*z - 18674*z^2
  (-67/12586 : 78815/88102 : 1)  C1b (-213241/13144 : -91641/92008 : 1)
** u= 13/49 ; tau(u)= 85/36 ; -2423*x^2 + 4633*y^2 + 7394*x*z - 2423*z^2
  (-337/601 : -756/601 : 1)  C1b (85196/52281 : 4723/52281 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (10800212/2198039 : 579921/2198039 : 1)
** u= 16/61 ; tau(u)= 106/45 ; -3794*x^2 + 7186*y^2 + 11492*x*z - 3794*z^2
  (211/1817 : 1074/1817 : 1)  C1b (10159733/2586828 : -540863/2586828 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (11993/23741 : 1557/23741 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-363025/238741 : 23205/238741 : 1)
** u= 21/89 ; tau(u)= 157/68 ; -8807*x^2 + 15401*y^2 + 25090*x*z - 8807*z^2
  (-1787/23 : 1376/23 : 1)  C1b (6030297/1570172 : -321893/1570172 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (447428/2438683 : -135021/2438683 : 1)
** u= -24/17 ; tau(u)= 58/41 ; -2786*x^2 + 2*y^2 + 3940*x*z - 2786*z^2
  (16/9 : 431/9 : 1)  C2b (-2220/109 : 4535/109 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (-608791/115141 : 5439/6773 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (-1224972/229711 : 94111/229711 : 1)
** u= -24/173 ; tau(u)= 370/197 ; -77042*x^2 + 59282*y^2 + 137476*x*z - 77042*z^2
  (-23232/72785 : 107273/72785 : 1)  C2b (-344636/659323 : 60859/659323 : 1)
** u= 27/53 ; tau(u)= 79/26 ; -623*x^2 + 4889*y^2 + 6970*x*z - 623*z^2
  (-157/227 : -246/227 : 1)  C1b (1646192/254637 : 87217/254637 : 1)
** u= 27/61 ; tau(u)= 95/34 ; -1583*x^2 + 6713*y^2 + 9754*x*z - 1583*z^2
  (-55701/69427 : -605702/485989 : 1)  C1b (240192/90869 : 91009/636083 : 1)
** u= -27/181 ; tau(u)= 389/208 ; -85799*x^2 + 64793*y^2 + 152050*x*z - 85799*z^2
  (19551/32089 : -19936/32089 : 1)  C2b (129320748/41922043 : -7572071/41922043 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (-422228/463597 : 65091/463597 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (52/349 : -21/349 : 1)
** u= 35/18 ; tau(u)= -1/17 ; 647*x^2 - 577*y^2 + 1226*x*z + 647*z^2
  (-209/1369 : -1242/1369 : 1)  C1a (-776/333 : 43/333 : 1)
** u= 36/181 ; tau(u)= 326/145 ; -40754*x^2 + 64226*y^2 + 107572*x*z - 40754*z^2
  (17793232/3829651 : -1400223/547093 : 1)  C1b (1462933/763369 : -78817/763369 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (664/393 : 47/393 : 1)
** u= 39/73 ; tau(u)= 107/34 ; -791*x^2 + 9137*y^2 + 12970*x*z - 791*z^2
  (1399/30183 : 4370/30183 : 1)  C1b (699889/94091 : 37101/94091 : 1)
** u= -39/193 ; tau(u)= 425/232 ; -106127*x^2 + 72977*y^2 + 182146*x*z - 106127*z^2
  (19643/127353 : 133804/127353 : 1)  C2b (-1175919/544507 : 109379/544507 : 1)
** u= -41/49 ; tau(u)= 139/90 ; -14519*x^2 + 3121*y^2 + 21002*x*z - 14519*z^2
  (155/547 : -966/547 : 1)  C2b (-329887/599163 : -99277/599163 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (37307/10081 : -117/593 : 1)
** u= 43/18 ; tau(u)= 7/25 ; 599*x^2 - 1201*y^2 + 1898*x*z + 599*z^2
  (-419/1999 : -870/1999 : 1)  C1a (6139/3279 : 437/3279 : 1)
** u= 45/53 ; tau(u)= 61/8 ; 1897*x^2 + 3593*y^2 + 5746*x*z + 1897*z^2
  (-7159/18635 : 1716/18635 : 1)  C1b (-13239724/2612243 : -709507/2612243 : 1)
** u= 48/109 ; tau(u)= 170/61 ; -5138*x^2 + 21458*y^2 + 31204*x*z - 5138*z^2
  (279/3353 : 166/479 : 1)  C1b (288204/105983 : -15559/105983 : 1)
** u= -48/157 ; tau(u)= 362/205 ; -81746*x^2 + 46994*y^2 + 133348*x*z - 81746*z^2
  (593/2611 : -406/373 : 1)  C2b (1052237/84921 : 75067/84921 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-9457388/645307 : 503013/645307 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (-467156/7201629 : -656713/7201629 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (2426648/516309 : 128357/516309 : 1)
** u= 51/149 ; tau(u)= 247/98 ; -16607*x^2 + 41801*y^2 + 63610*x*z - 16607*z^2
  (3051/1153139 : -723142/1153139 : 1)  C1b (1123336/1924961 : -107439/1924961 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-2347816/431471 : -136461/431471 : 1)
** u= -52/173 ; tau(u)= 398/225 ; -98546*x^2 + 57154*y^2 + 161108*x*z - 98546*z^2
  (2/13 : 15/13 : 1)  C2b (-1347/784 : -5903/32144 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (685081/105181 : -36771/105181 : 1)
** u= 56/65 ; tau(u)= 74/9 ; 2974*x^2 + 5314*y^2 + 8612*x*z + 2974*z^2
  (-3529/4183 : -2676/4183 : 1)  C1b (-70661/31268 : -3773/31268 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (160711/104692 : -10593/104692 : 1)
** u= 56/101 ; tau(u)= 146/45 ; -914*x^2 + 17266*y^2 + 24452*x*z - 914*z^2
  (251/7507 : -564/7507 : 1)  C1b (-3412/6811 : 409/6811 : 1)
** u= -56/169 ; tau(u)= 394/225 ; -98114*x^2 + 53986*y^2 + 158372*x*z - 98114*z^2
  (955/1124 : 897/1124 : 1)  C2b (-78419444/2659433 : 6098521/2659433 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (1695992/135607 : 130047/135607 : 1)
** u= 57/185 ; tau(u)= 313/128 ; -29519*x^2 + 65201*y^2 + 101218*x*z - 29519*z^2
  (2864959/32625105 : -18452848/32625105 : 1)  C1b (8498321/1097699 : 456703/1097699 : 1)
** u= 58/41 ; tau(u)= -24/17 ; 2786*x^2 - 2*y^2 + 3940*x*z + 2786*z^2
  (1/19 : 736/19 : 1)  C1a (76/9 : -163/9 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-603424/43499 : 33831/43499 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (66312/32953 : -10613/32953 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (56791/9984 : -3851/9984 : 1)
** u= 60/89 ; tau(u)= 118/29 ; 1918*x^2 + 12242*y^2 + 17524*x*z + 1918*z^2
  (-586/4903 : 541/4903 : 1)  C1b (-93/22703 : 1207/22703 : 1)
** u= 61/8 ; tau(u)= 45/53 ; -1897*x^2 - 3593*y^2 + 5746*x*z - 1897*z^2
  (5/9 : 4/9 : 1)  C1a (10159733/2586828 : -540863/2586828 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (-9444551/2410488 : -669383/2410488 : 1)
** u= -63/149 ; tau(u)= 361/212 ; -85919*x^2 + 40433*y^2 + 134290*x*z - 85919*z^2
  (21599/23849 : 22116/23849 : 1)  C2b (376670237/32525660 : -5780387/6505132 : 1)
** u= -63/181 ; tau(u)= 425/244 ; -115103*x^2 + 61553*y^2 + 184594*x*z - 115103*z^2
  (-45327/113623 : -208396/113623 : 1)  C2b (-1868307/1924511 : -263087/1924511 : 1)
** u= 64/73 ; tau(u)= 82/9 ; 3934*x^2 + 6562*y^2 + 10820*x*z + 3934*z^2
  (-1883/4337 : -252/4337 : 1)  C1b (-62505/91292 : 5135/91292 : 1)
** u= 64/181 ; tau(u)= 298/117 ; -23282*x^2 + 61426*y^2 + 92900*x*z - 23282*z^2
  (-2569/16483 : 13020/16483 : 1)  C1b (9599900/1052577 : 513445/1052577 : 1)
** u= -65/113 ; tau(u)= 291/178 ; -59143*x^2 + 21313*y^2 + 88906*x*z - 59143*z^2
  (337/2061 : -3034/2061 : 1)  C2b (1000328/95261 : -85317/95261 : 1)
** u= 72/85 ; tau(u)= 98/13 ; 4846*x^2 + 9266*y^2 + 14788*x*z + 4846*z^2
  (-599/253 : 144/253 : 1)  C1b (477079/60763 : -28097/60763 : 1)
** u= -72/97 ; tau(u)= 266/169 ; -51938*x^2 + 13634*y^2 + 75940*x*z - 51938*z^2
  (1021/994 : 1443/994 : 1)  C2b (-6440235/2025596 : 835555/2025596 : 1)
** u= 72/181 ; tau(u)= 290/109 ; -18578*x^2 + 60338*y^2 + 89284*x*z - 18578*z^2
  (3383/29435 : 1584/4205 : 1)  C1b (2409092252/2308101269 : -160574987/2308101269 : 1)
** u= -72/197 ; tau(u)= 466/269 ; -139538*x^2 + 72434*y^2 + 222340*x*z - 139538*z^2
  (157/2738 : -3629/2738 : 1)  C2b (1373556/96341 : 102439/96341 : 1)
** u= 73/32 ; tau(u)= 9/41 ; 1967*x^2 - 3281*y^2 + 5410*x*z + 1967*z^2
  (-4351/16329 : 7352/16329 : 1)  C1a (-62505/91292 : 5135/91292 : 1)
** u= 74/9 ; tau(u)= 56/65 ; -2974*x^2 - 5314*y^2 + 8612*x*z - 2974*z^2
  (4/7 : 3/7 : 1)  C1a (28658957/4836047 : -1548841/4836047 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (-244423/30572 : -29859/30572 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (150704/142183 : 14253/142183 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (-46017628/4166839 : 3836607/4166839 : 1)
** u= 79/26 ; tau(u)= 27/53 ; 623*x^2 - 4889*y^2 + 6970*x*z + 623*z^2
  (-239/7 : -10 : 1)  C1a (90657/38560 : 1079/7712 : 1)
** u= 80/89 ; tau(u)= 98/9 ; 6238*x^2 + 9442*y^2 + 16004*x*z + 6238*z^2
  (-3635/7583 : -42/7583 : 1)  C1b (-155149/68052 : 8281/68052 : 1)
** u= -80/101 ; tau(u)= 282/181 ; -59122*x^2 + 14002*y^2 + 85924*x*z - 59122*z^2
  (-1847/51171 : -107938/51171 : 1)  C2b (-201653/240703 : -44787/240703 : 1)
** u= -81/89 ; tau(u)= 259/170 ; -51239*x^2 + 9281*y^2 + 73642*x*z - 51239*z^2
  (-6085/283463 : 676386/283463 : 1)  C2b (-34984/1463547 : -186347/1463547 : 1)
** u= 82/9 ; tau(u)= 64/73 ; -3934*x^2 - 6562*y^2 + 10820*x*z - 3934*z^2
  (739/1033 : -540/1033 : 1)  C1a (119329/23244 : 6449/23244 : 1)
** u= -84/61 ; tau(u)= 206/145 ; -34994*x^2 + 386*y^2 + 49492*x*z - 34994*z^2
  (5/22 : -179/22 : 1)  C2b (517344/47897 : 243971/47897 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-1621471/148101 : 473363/148101 : 1)
** u= 84/85 ; tau(u)= 86 ; 7054*x^2 + 7394*y^2 + 14452*x*z + 7054*z^2
  (-1842/2107 : -337/2107 : 1)  C1b (380539/262703 : -34683/262703 : 1)
** u= 84/101 ; tau(u)= 118/17 ; 6478*x^2 + 13346*y^2 + 20980*x*z + 6478*z^2
  (-1641/4744 : 83/4744 : 1)  C1b (285544/304879 : -26629/304879 : 1)
** u= 84/109 ; tau(u)= 134/25 ; 5806*x^2 + 16706*y^2 + 25012*x*z + 5806*z^2
  (-736/2161 : 755/2161 : 1)  C1b (47857/86024 : -5859/86024 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (-1282544/5143341 : 491033/5143341 : 1)
** u= 85/36 ; tau(u)= 13/49 ; 2423*x^2 - 4633*y^2 + 7394*x*z + 2423*z^2
  (-1163/3193 : -336/3193 : 1)  C1a (477079/60763 : -28097/60763 : 1)
** u= 86 ; tau(u)= 84/85 ; -7054*x^2 - 7394*y^2 + 14452*x*z - 7054*z^2
  (4070/5073 : 29/5073 : 1)  C1a (40528/244411 : 14133/244411 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-1284232/193553 : -69633/193553 : 1)
** u= 87/89 ; tau(u)= 91/2 ; 7561*x^2 + 8273*y^2 + 15850*x*z + 7561*z^2
  (-5061/4271 : -1154/4271 : 1)  C1b (205825/136952 : -18255/136952 : 1)
** u= 89/40 ; tau(u)= 9/49 ; 3119*x^2 - 4721*y^2 + 8002*x*z + 3119*z^2
  (-1301/223 : 812/223 : 1)  C1a (-155149/68052 : 8281/68052 : 1)
** u= 91/2 ; tau(u)= 87/89 ; -7561*x^2 - 8273*y^2 + 15850*x*z - 7561*z^2
  (2283/2837 : 538/2837 : 1)  C1a (-361651/991889 : 74271/991889 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (256108/321881 : 26877/321881 : 1)
** u= 95/34 ; tau(u)= 27/61 ; 1583*x^2 - 6713*y^2 + 9754*x*z + 1583*z^2
  (-7/67 : 138/469 : 1)  C1a (-10781/5352 : -4213/37464 : 1)
** u= -96/169 ; tau(u)= 434/265 ; -131234*x^2 + 47906*y^2 + 197572*x*z - 131234*z^2
  (251/1980 : 2977/1980 : 1)  C2b (393902972/23755859 : -34174691/23755859 : 1)
** u= 98/9 ; tau(u)= 80/89 ; -6238*x^2 - 9442*y^2 + 16004*x*z - 6238*z^2
  (5/8 : 3/8 : 1)  C1a (-7276/76169 : 4589/76169 : 1)
** u= 98/13 ; tau(u)= 72/85 ; -4846*x^2 - 9266*y^2 + 14788*x*z - 4846*z^2
  (57/22 : 7/22 : 1)  C1a (85196/52281 : 4723/52281 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (-67298881/1440896 : -3559551/1440896 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-1048472/393077 : -56721/393077 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-1131223/36184 : 94071/36184 : 1)
** u= 106/45 ; tau(u)= 16/61 ; 3794*x^2 - 7186*y^2 + 11492*x*z + 3794*z^2
  (-353/5386 : -3513/5386 : 1)  C1a (-13239724/2612243 : -709507/2612243 : 1)
** u= 107/34 ; tau(u)= 39/73 ; 791*x^2 - 9137*y^2 + 12970*x*z + 791*z^2
  (4439/3261 : 4814/3261 : 1)  C1a (904819/31936 : -48057/31936 : 1)
** u= -108/149 ; tau(u)= 406/257 ; -120434*x^2 + 32738*y^2 + 176500*x*z - 120434*z^2
  (-53483/8344 : 114825/8344 : 1)  C2b (-332187/293753 : -59279/293753 : 1)
** u= 108/193 ; tau(u)= 278/85 ; -2786*x^2 + 62834*y^2 + 88948*x*z - 2786*z^2
  (32/21655 : -4451/21655 : 1)  C1b (1724616/4079387 : 231613/4079387 : 1)
** u= 109/145 ; tau(u)= 181/36 ; 9289*x^2 + 30169*y^2 + 44642*x*z + 9289*z^2
  (-26597/95081 : 3888/13583 : 1)  C1b (-743348/254993 : -39691/254993 : 1)
** u= -112/149 ; tau(u)= 410/261 ; -123698*x^2 + 31858*y^2 + 180644*x*z - 123698*z^2
  (33623/101785 : 158778/101785 : 1)  C2b (17177/10084 : 1337/10084 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-331261/108028 : 18981/108028 : 1)
** u= 117/149 ; tau(u)= 181/32 ; 11641*x^2 + 30713*y^2 + 46450*x*z + 11641*z^2
  (-49339/13619 : 4824/13619 : 1)  C1b (193493/245303 : -19049/245303 : 1)
** u= -117/173 ; tau(u)= 463/290 ; -154511*x^2 + 46169*y^2 + 228058*x*z - 154511*z^2
  (13085/30969 : 42202/30969 : 1)  C2b (15519142224/682601807 : 1488478381/682601807 : 1)
** u= 118/17 ; tau(u)= 84/101 ; -6478*x^2 - 13346*y^2 + 20980*x*z - 6478*z^2
  (503/558 : -409/558 : 1)  C1a (-46696/36141 : -3751/36141 : 1)
** u= 118/29 ; tau(u)= 60/89 ; -1918*x^2 - 12242*y^2 + 17524*x*z - 1918*z^2
  (1780/14029 : -2101/14029 : 1)  C1a (-90088/40217 : 5457/40217 : 1)
** u= 119/137 ; tau(u)= 155/18 ; 13513*x^2 + 23377*y^2 + 38186*x*z + 13513*z^2
  (-38063/64709 : 27666/64709 : 1)  C1b (2419152/69697 : -138901/69697 : 1)
** u= -119/169 ; tau(u)= 457/288 ; -151727*x^2 + 42961*y^2 + 223010*x*z - 151727*z^2
  (-164011/296371 : -810888/296371 : 1)  C2b (-9283792140/618527279 : -984013855/618527279 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-1174436/598097 : 64737/598097 : 1)
** u= 124/169 ; tau(u)= 214/45 ; 11326*x^2 + 41746*y^2 + 61172*x*z + 11326*z^2
  (-9461/7322 : 1131/1046 : 1)  C1b (799214968/239049383 : 47118143/239049383 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (2679049/996653 : 153309/996653 : 1)
** u= -133/101 ; tau(u)= 335/234 ; -91823*x^2 + 2713*y^2 + 129914*x*z - 91823*z^2
  (15973/2245673 : 12999066/2245673 : 1)  C2b (597456/61123 : 171023/61123 : 1)
** u= 134/25 ; tau(u)= 84/109 ; -5806*x^2 - 16706*y^2 + 25012*x*z - 5806*z^2
  (1487/1472 : -1325/1472 : 1)  C1a (-1866616/47131 : -102161/47131 : 1)
** u= 139/90 ; tau(u)= -41/49 ; 14519*x^2 - 3121*y^2 + 21002*x*z + 14519*z^2
  (2479/26137 : -60354/26137 : 1)  C1a (-10757/5319 : -929/5319 : 1)
** u= -144/145 ; tau(u)= 434/289 ; -146306*x^2 + 21314*y^2 + 209092*x*z - 146306*z^2
  (8/9 : 17/9 : 1)  C2b (509604/65777 : -64879/65777 : 1)
** u= 146/45 ; tau(u)= 56/101 ; 914*x^2 - 17266*y^2 + 24452*x*z + 914*z^2
  (2062/5965 : 4419/5965 : 1)  C1a (-147677/52732 : -8197/52732 : 1)
** u= -147/181 ; tau(u)= 509/328 ; -193559*x^2 + 43913*y^2 + 280690*x*z - 193559*z^2
  (-25927/43107 : -135268/43107 : 1)  C2b (18657351/572284 : -2053141/572284 : 1)
** u= -147/193 ; tau(u)= 533/340 ; -209591*x^2 + 52889*y^2 + 305698*x*z - 209591*z^2
  (-173/681 : -1624/681 : 1)  C2b (965121/955892 : -81407/955892 : 1)
** u= 148/157 ; tau(u)= 166/9 ; 21742*x^2 + 27394*y^2 + 49460*x*z + 21742*z^2
  (-5996/9779 : 171/1397 : 1)  C1b (52353/36973 : 4553/36973 : 1)
** u= -149/125 ; tau(u)= 399/274 ; -127951*x^2 + 9049*y^2 + 181402*x*z - 127951*z^2
  (-32881/119579 : 544330/119579 : 1)  C2b (321283/574744 : 82803/574744 : 1)
** u= 155/18 ; tau(u)= 119/137 ; -13513*x^2 - 23377*y^2 + 38186*x*z - 13513*z^2
  (593/647 : -426/647 : 1)  C1a (-184088/1717009 : 101729/1717009 : 1)
** u= -156/125 ; tau(u)= 406/281 ; -133586*x^2 + 6914*y^2 + 189172*x*z - 133586*z^2
  (66/133 : -431/133 : 1)  C2b (-3222481/756851 : 882463/756851 : 1)
** u= 157/68 ; tau(u)= 21/89 ; 8807*x^2 - 15401*y^2 + 25090*x*z + 8807*z^2
  (-167/417 : -44/417 : 1)  C1a (2776076/2608165 : 50231/521633 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-4776/3799 : 739/3799 : 1)
** u= 166/9 ; tau(u)= 148/157 ; -21742*x^2 - 27394*y^2 + 49460*x*z - 21742*z^2
  (10108/7639 : 3465/7639 : 1)  C1a (145619/136376 : 8929/136376 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (-7215697/1306412 : 2821569/1306412 : 1)
** u= 170/61 ; tau(u)= 48/109 ; 5138*x^2 - 21458*y^2 + 31204*x*z + 5138*z^2
  (1830/24961 : -14711/24961 : 1)  C1a (80324/281813 : -16377/281813 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-47885185/36694859 : -2726805/36694859 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (242886544/86463041 : 13365309/86463041 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (-794665/1257052 : -78345/1257052 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (49651/89248 : 57697/624736 : 1)
** u= 180/181 ; tau(u)= 182 ; 32398*x^2 + 33122*y^2 + 65524*x*z + 32398*z^2
  (-17572/19127 : 2241/19127 : 1)  C1b (-3096552/2010847 : 170947/2010847 : 1)
** u= 181/32 ; tau(u)= 117/149 ; -11641*x^2 - 30713*y^2 + 46450*x*z - 11641*z^2
  (1261/4581 : -424/4581 : 1)  C1a (9599900/1052577 : 513445/1052577 : 1)
** u= 181/36 ; tau(u)= 109/145 ; -9289*x^2 - 30169*y^2 + 44642*x*z - 9289*z^2
  (49861/42493 : -42588/42493 : 1)  C1a (2409092252/2308101269 : -160574987/2308101269 : 1)
** u= 182 ; tau(u)= 180/181 ; -32398*x^2 - 33122*y^2 + 65524*x*z - 32398*z^2
  (152630/138307 : 16227/138307 : 1)  C1a (-135549/45272 : -10177/45272 : 1)
** u= -189/181 ; tau(u)= 551/370 ; -238079*x^2 + 29801*y^2 + 339322*x*z - 238079*z^2
  (105929/653753 : 1647894/653753 : 1)  C2b (23997624/11553089 : -2684729/11553089 : 1)
** u= -192/185 ; tau(u)= 562/377 ; -247394*x^2 + 31586*y^2 + 352708*x*z - 247394*z^2
  (95525/1802251 : -4856902/1802251 : 1)  C2b (331099/202388 : 35337/202388 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (-843836/402977 : 55009/402977 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (-4035496/246967 : -215497/246967 : 1)
145
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.01.15
H.Nakao

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