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Integer Points on A^4+B^4+C^4=108578*D^4

[2026.01.02]A^4+B^4+C^4=108578*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

108578=2*233であるので、以下では、n=233とする。

■n=233のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=233;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように169個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(233,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (45/43 : -5/43 : 1)
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (93/16 : 37/112 : 1)
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (27680/68539 : -3865/68539 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-24903/130087 : 9557/130087 : 1)
** u= -1/81 ; tau(u)= 163/82 ; -13447*x^2 + 13121*y^2 + 26570*x*z - 13447*z^2
  (-1117/7127 : -8334/7127 : 1)  C2b (-31137703/47063583 : -4503791/47063583 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (20/17 : 5/17 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-234532/96953 : -14947/96953 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (-401564/69225 : -7703/13845 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (306356/562699 : -33077/562699 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (683404/373165 : -7707/74633 : 1)
** u= 4/185 ; tau(u)= 366/181 ; -65506*x^2 + 68434*y^2 + 133972*x*z - 65506*z^2
  (6098/4515 : 157/645 : 1)  C1b (-719237/1052 : -46651/1052 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (90336/3029 : -5071/3029 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (572019732/1667839 : -37970717/1667839 : 1)
** u= -7/193 ; tau(u)= 393/200 ; -79951*x^2 + 74449*y^2 + 154498*x*z - 79951*z^2
  (5891/8561 : 3364/8561 : 1)  C2b (-1454073848/22621081 : 97824063/22621081 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (9/137 : 59/959 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (-171427289/2523935 : 2173813/504787 : 1)
** u= -8/137 ; tau(u)= 282/145 ; -41986*x^2 + 37474*y^2 + 79588*x*z - 41986*z^2
  (2523/1738 : 1097/1738 : 1)  C2b (906403/598171 : -52611/598171 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (9/137 : 59/959 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (93/16 : 37/112 : 1)
** u= 11/37 ; tau(u)= 63/26 ; -1231*x^2 + 2617*y^2 + 4090*x*z - 1231*z^2
  (899/23 : -590/23 : 1)  C1b (228852/11447 : -13069/11447 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (-1076659/282556 : -78267/282556 : 1)
** u= 13/81 ; tau(u)= 149/68 ; -9079*x^2 + 12953*y^2 + 22370*x*z - 9079*z^2
  (1183/4297 : -2268/4297 : 1)  C1b (1463799/248585 : 16823/49717 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (5676/17627 : 1081/17627 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-1685149/434507 : 103227/434507 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (-71131224/2001557 : -5176709/2001557 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (-79/167 : 303/5177 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (26633/6471 : 1819/6471 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (-1050431/145713 : 85979/145713 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-7583/5592 : 473/5592 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-66304/53461 : 4743/53461 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-1188299/330536 : 84279/330536 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (1300/6503 : -635/6503 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
  (8223/10453 : 6556/10453 : 1)  C2b (-157272/116393 : 17887/116393 : 1)
** u= 23/153 ; tau(u)= 283/130 ; -33271*x^2 + 46289*y^2 + 80618*x*z - 33271*z^2
  (27697/52501 : -174/52501 : 1)  C1b (251901/574811 : 32021/574811 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (-10859/2024 : -4959/14168 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (315208/3869 : -5224431/901477 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (11/4 : 359/932 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
  (-1379/192144 : -62735/192144 : 1)  C1b (-66057/46151 : -4589/46151 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
  (548/2247 : 2599/2247 : 1)  C2b (-480663492/44721343 : 41909063/44721343 : 1)
** u= 28/113 ; tau(u)= 198/85 ; -13666*x^2 + 24754*y^2 + 39988*x*z - 13666*z^2
  (2162/9079 : 4047/9079 : 1)  C1b (-15016532/7305749 : -1107547/7305749 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (-375784/71721 : -23333/71721 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-173176/290029 : -22429/290029 : 1)
** u= -31/37 ; tau(u)= 105/68 ; -8287*x^2 + 1777*y^2 + 11986*x*z - 8287*z^2
  (59/17 : 104/17 : 1)  C2b (-552271/124127 : -77523/124127 : 1)
** u= 32/157 ; tau(u)= 282/125 ; -30226*x^2 + 48274*y^2 + 80548*x*z - 30226*z^2
  (129717/1594973 : 1121680/1594973 : 1)  C1b (-12927296/2669393 : 846533/2669393 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (-176/599 : -1107/18569 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (-1379/17581 : 1081/17581 : 1)
** u= -35/29 ; tau(u)= 93/64 ; -6967*x^2 + 457*y^2 + 9874*x*z - 6967*z^2
  (1941/10427 : -35744/10427 : 1)  C2b (6952/15043 : 2427/15043 : 1)
** u= 35/37 ; tau(u)= 39/2 ; 1217*x^2 + 1513*y^2 + 2746*x*z + 1217*z^2
  (-5/7 : -2/7 : 1)  C1b (-74321/24252 : -4193/24252 : 1)
** u= 35/157 ; tau(u)= 279/122 ; -28543*x^2 + 48073*y^2 + 79066*x*z - 28543*z^2
  (62297/151873 : 20934/151873 : 1)  C1b (-232008079/5775868 : -13910893/5775868 : 1)
** u= 39/2 ; tau(u)= 35/37 ; -1217*x^2 - 1513*y^2 + 2746*x*z - 1217*z^2
  (7/5 : -2/5 : 1)  C1a (-262052/36493 : -17483/36493 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (242229/51821 : -101947/362747 : 1)
** u= 40/113 ; tau(u)= 186/73 ; -9058*x^2 + 23938*y^2 + 36196*x*z - 9058*z^2
  (1085/8289 : 3584/8289 : 1)  C1b (12061/1469 : -671/1469 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (1034043/108176 : 77533/108176 : 1)
** u= 41/81 ; tau(u)= 121/40 ; -1519*x^2 + 11441*y^2 + 16322*x*z - 1519*z^2
  (67/5017 : 1692/5017 : 1)  C1b (175023/250241 : -16141/250241 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (4138976/1802567 : 292083/1802567 : 1)
** u= 44/49 ; tau(u)= 54/5 ; 1886*x^2 + 2866*y^2 + 4852*x*z + 1886*z^2
  (-1580/2879 : 777/2879 : 1)  C1b (-105020099/521541 : 6317819/521541 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (142092/120319 : -9277/120319 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (130352/111051 : -9239/111051 : 1)
** u= 48/85 ; tau(u)= 122/37 ; -434*x^2 + 12146*y^2 + 17188*x*z - 434*z^2
  (5591/224853 : -5354/224853 : 1)  C1b (55381/81128 : 5349/81128 : 1)
** u= -49/121 ; tau(u)= 291/170 ; -55399*x^2 + 26881*y^2 + 87082*x*z - 55399*z^2
  (-3889/33291 : 52294/33291 : 1)  C2b (-2663249/3522393 : -467479/3522393 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (-1961519/76367 : 111213/76367 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-25276/1079 : 2311221/1759849 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-421879/16636 : -24323/16636 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (-56669/118571 : -345989/4861411 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (-4421/19024 : 1071/19024 : 1)
** u= 54/5 ; tau(u)= 44/49 ; -1886*x^2 - 2866*y^2 + 4852*x*z - 1886*z^2
  (1580/2879 : -777/2879 : 1)  C1a (234268/16867 : 13757/16867 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (6716/4901 : 737/4901 : 1)
** u= -55/73 ; tau(u)= 201/128 ; -29743*x^2 + 7633*y^2 + 43426*x*z - 29743*z^2
  (-7353/5801 : 24176/5801 : 1)  C2b (2975749/1206152 : 256603/1206152 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (-374279/101448 : -9336869/23637384 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (651097/316471 : -37341/316471 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (-10525736/2686741 : -1001261/2686741 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-2487/12304 : 703/12304 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-100096/18793 : -14063/18793 : 1)
** u= 56/97 ; tau(u)= 138/41 ; -226*x^2 + 15682*y^2 + 22180*x*z - 226*z^2
  (114/11737 : -305/11737 : 1)  C1b (-78007/454657 : -25457/454657 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (-3243817/154560 : 36053/30912 : 1)
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b (18602752/7149519 : 1039999/7149519 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (215837/200837 : 14611/200837 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (100/69 : 2155/16077 : 1)
** u= 59/109 ; tau(u)= 159/50 ; -1519*x^2 + 20281*y^2 + 28762*x*z - 1519*z^2
  (-4923/750613 : 217810/750613 : 1)  C1b (131268/413411 : 23561/413411 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (1478787/315845 : -22055/63169 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (-2327/12356 : 3183/12356 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (1228/127 : -17381/29591 : 1)
** u= 63/26 ; tau(u)= 11/37 ; 1231*x^2 - 2617*y^2 + 4090*x*z + 1231*z^2
  (581/47 : 450/47 : 1)  C1a (44820/10729 : 2845/10729 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (1434011/639632 : -79901/639632 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-1897/584 : 829/4088 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-30752/55481 : 3237/55481 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (-1565813/292368 : -211787/292368 : 1)
** u= 68/169 ; tau(u)= 270/101 ; -15778*x^2 + 52498*y^2 + 77524*x*z - 15778*z^2
  (-6223/108502 : 67431/108502 : 1)  C1b (-886187/41756 : 50417/41756 : 1)
** u= 71/73 ; tau(u)= 75/2 ; 5033*x^2 + 5617*y^2 + 10666*x*z + 5033*z^2
  (-27239/19429 : -1370/19429 : 1)  C1b (812819/18612 : -52457/18612 : 1)
** u= -73/145 ; tau(u)= 363/218 ; -89719*x^2 + 36721*y^2 + 137098*x*z - 89719*z^2
  (2037335/1208027 : -2125586/1208027 : 1)  C2b (691061/684867 : -51197/684867 : 1)
** u= 75/2 ; tau(u)= 71/73 ; -5033*x^2 - 5617*y^2 + 10666*x*z - 5033*z^2
  (2371/2681 : -110/383 : 1)  C1a (32876/46553 : 2711/46553 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (-666364/13977 : -76919/13977 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (7228/18439 : -35049/424097 : 1)
** u= 76/113 ; tau(u)= 150/37 ; 3038*x^2 + 19762*y^2 + 28276*x*z + 3038*z^2
  (-899/8232 : 31/1176 : 1)  C1b (-247059/68413 : -13807/68413 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (3744172/950013 : -285463/950013 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
  (2/7 : -5/7 : 1)  C1a (144803/667541 : -38243/667541 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-1/12 : -469/2796 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (-2987437/318701 : -429759/318701 : 1)
** u= -80/89 ; tau(u)= 258/169 ; -50722*x^2 + 9442*y^2 + 72964*x*z - 50722*z^2
  (5/8 : -13/8 : 1)  C2b (347431/90399 : -37591/90399 : 1)
** u= 80/121 ; tau(u)= 162/41 ; 3038*x^2 + 22882*y^2 + 32644*x*z + 3038*z^2
  (-103/535 : 198/535 : 1)  C1b (150488/14877 : 8443/14877 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
  (19970/540811 : -808891/540811 : 1)  C2b (9278332/459971 : 793641/459971 : 1)
** u= -87/109 ; tau(u)= 305/196 ; -69263*x^2 + 16193*y^2 + 100594*x*z - 69263*z^2
  (39451/82853 : -125356/82853 : 1)  C2b (2779/3512 : 297/3512 : 1)
** u= -87/121 ; tau(u)= 329/208 ; -78959*x^2 + 21713*y^2 + 115810*x*z - 78959*z^2
  (4187/4957 : -6512/4957 : 1)  C2b (1441849/2826839 : -227253/2826839 : 1)
** u= 88/101 ; tau(u)= 114/13 ; 7406*x^2 + 12658*y^2 + 20740*x*z + 7406*z^2
  (-1377/2188 : 1013/2188 : 1)  C1b (1440584/2199739 : -179633/2199739 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (1686027/532568 : -105449/532568 : 1)
** u= 91/149 ; tau(u)= 207/58 ; 1553*x^2 + 36121*y^2 + 51130*x*z + 1553*z^2
  (-659/3361 : 1622/3361 : 1)  C1b (-17323436/3988091 : -973217/3988091 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (-12196/21569 : -8753/150983 : 1)
** u= -92/137 ; tau(u)= 366/229 ; -96418*x^2 + 29074*y^2 + 142420*x*z - 96418*z^2
  (-27754/24839 : 89317/24839 : 1)  C2b (-394179/767020 : -22019/153404 : 1)
** u= 92/193 ; tau(u)= 294/101 ; -11938*x^2 + 66034*y^2 + 94900*x*z - 11938*z^2
  (4664/42941 : 7033/42941 : 1)  C1b (-341900/52257 : 19565/52257 : 1)
** u= 93/64 ; tau(u)= -35/29 ; 6967*x^2 - 457*y^2 + 9874*x*z + 6967*z^2
  (373/8661 : 34864/8661 : 1)  C1a (10501/55512 : 13643/55512 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (404/43 : -9591/10019 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (21567131/115979 : 1431479/115979 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-843060/6881 : 53065/6881 : 1)
** u= 105/68 ; tau(u)= -31/37 ; 8287*x^2 - 1777*y^2 + 11986*x*z + 8287*z^2
  (-887/617 : -1324/617 : 1)  C1a (6224/1851 : 917/1851 : 1)
** u= -107/153 ; tau(u)= 413/260 ; -123751*x^2 + 35369*y^2 + 182018*x*z - 123751*z^2
  (-889/6197 : 12864/6197 : 1)  C2b (-59156136/113311619 : 16765919/113311619 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
  (-3109/2525 : -1002/2525 : 1)  C1b (7899528/412723 : -509963/412723 : 1)
** u= -112/193 ; tau(u)= 498/305 ; -173506*x^2 + 61954*y^2 + 260548*x*z - 173506*z^2
  (237/164 : -263/164 : 1)  C2b (-11261312/2056349 : -1208713/2056349 : 1)
** u= 114/13 ; tau(u)= 88/101 ; -7406*x^2 - 12658*y^2 + 20740*x*z - 7406*z^2
  (1479/656 : -241/656 : 1)  C1a (9622035/1732408 : 542425/1732408 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (-18021011/277556 : 1018301/277556 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (1903956/667855 : 23977/133571 : 1)
** u= 120/181 ; tau(u)= 242/61 ; 6958*x^2 + 51122*y^2 + 72964*x*z + 6958*z^2
  (-5563/34878 : 10351/34878 : 1)  C1b (-18105169/711343 : -998997/711343 : 1)
** u= 121/40 ; tau(u)= 41/81 ; 1519*x^2 - 11441*y^2 + 16322*x*z + 1519*z^2
  (-125/1943 : -396/1943 : 1)  C1a (150488/14877 : 8443/14877 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
  (3109/2525 : 1002/2525 : 1)  C1a (-820997/72936 : -53963/72936 : 1)
** u= 122/37 ; tau(u)= 48/85 ; 434*x^2 - 12146*y^2 + 17188*x*z + 434*z^2
  (85/178 : -151/178 : 1)  C1a (-81128/55381 : -5349/55381 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (126439376/581359 : 95163417/4069513 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-123472/356163 : -20167/356163 : 1)
** u= 136/149 ; tau(u)= 162/13 ; 18158*x^2 + 25906*y^2 + 44740*x*z + 18158*z^2
  (-3364/4237 : -2025/4237 : 1)  C1b (-5161896/2071069 : 287201/2071069 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (-34849/34697 : 2337/34697 : 1)
** u= 138/41 ; tau(u)= 56/97 ; 226*x^2 - 15682*y^2 + 22180*x*z + 226*z^2
  (6472/29591 : 16855/29591 : 1)  C1a (-114127/464127 : 26269/464127 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-235292579/1811404 : -13325619/1811404 : 1)
** u= -140/197 ; tau(u)= 534/337 ; -207538*x^2 + 58018*y^2 + 304756*x*z - 207538*z^2
  (692/269 : 997/269 : 1)  C2b (11140087/1375951 : 1088529/1375951 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (854792/153121 : 74919/153121 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (46092/28879 : 19081/202153 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (410932/648651 : 63751/648651 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (-437968/779505 : -10939/155901 : 1)
** u= 149/68 ; tau(u)= 13/81 ; 9079*x^2 - 12953*y^2 + 22370*x*z + 9079*z^2
  (586189/1429001 : -252288/204143 : 1)  C1a (-5161896/2071069 : 287201/2071069 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (-997003/591587 : -57627/591587 : 1)
** u= 150/37 ; tau(u)= 76/113 ; -3038*x^2 - 19762*y^2 + 28276*x*z - 3038*z^2
  (49/24 : 35/24 : 1)  C1a (154556/513893 : 28841/513893 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (3351923032/1202014575 : -31077637/48080583 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1b (401/376 : -9109/87608 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (1662743/115844 : 394383/115844 : 1)
** u= 159/50 ; tau(u)= 59/109 ; 1519*x^2 - 20281*y^2 + 28762*x*z + 1519*z^2
  (-8669/168801 : 8030/168801 : 1)  C1a (5432492/169249 : -300327/169249 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (-3093872309/26527596 : 492702923/26527596 : 1)
** u= 162/13 ; tau(u)= 136/149 ; -18158*x^2 - 25906*y^2 + 44740*x*z - 18158*z^2
  (3364/4237 : 2025/4237 : 1)  C1a (1463799/248585 : 16823/49717 : 1)
** u= 162/41 ; tau(u)= 80/121 ; -3038*x^2 - 22882*y^2 + 32644*x*z - 3038*z^2
  (490/3767 : 847/3767 : 1)  C1a (175023/250241 : -16141/250241 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (650209/165544 : 37837/165544 : 1)
** u= 163/82 ; tau(u)= -1/81 ; 13447*x^2 - 13121*y^2 + 26570*x*z + 13447*z^2
  (-6329/18821 : -12762/18821 : 1)  C1a (5849/467505 : -6203/93501 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (272991/108592 : 18673/108592 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (31160021/1788616 : -3733449/1788616 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (-332/227 : -33987/370237 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
  (-1546/1179 : 1333/1179 : 1)  C1a (-314985/132881 : -20785/132881 : 1)
** u= -176/149 ; tau(u)= 474/325 ; -180274*x^2 + 13426*y^2 + 255652*x*z - 180274*z^2
  (171/1346 : -31567/9422 : 1)  C2b (369664/32829 : -491423/229803 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (17488/5879 : -969/5879 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (-1348/5131 : -5661/35917 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-2720572/1176919 : -167573/1176919 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (-306692/172199 : 21843/172199 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1a (-133/1152 : 17011/268416 : 1)
** u= 186/73 ; tau(u)= 40/113 ; 9058*x^2 - 23938*y^2 + 36196*x*z + 9058*z^2
  (2843/6609 : -6928/6609 : 1)  C1a (-291651/118352 : -16291/118352 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-4053440/142719 : 251305/142719 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (-2638613/79072 : -319021/79072 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (389388/3323909 : -459287/3323909 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (290029/173176 : 22429/173176 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (181049628/1291271 : 10271801/1291271 : 1)
** u= -192/173 ; tau(u)= 538/365 ; -229586*x^2 + 22994*y^2 + 326308*x*z - 229586*z^2
  (893/811 : -2062/811 : 1)  C2b (-201296/84347 : 46671/84347 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (1420372/737947 : 252339/737947 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (-370113/104665 : 4531/20933 : 1)
** u= 198/85 ; tau(u)= 28/113 ; 13666*x^2 - 24754*y^2 + 39988*x*z + 13666*z^2
  (-127/900 : 521/900 : 1)  C1a (-24581/56676 : -3151/56676 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (-532868/1220521 : 69231/1220521 : 1)
** u= -200/173 ; tau(u)= 546/373 ; -238258*x^2 + 19858*y^2 + 338116*x*z - 238258*z^2
  (-108431/655609 : -2551180/655609 : 1)  C2b (-1625768/1688751 : 584939/1688751 : 1)
169
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.03追記] u=-55/73,-76/109のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.03
H.Nakao

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