Integer Points on A^4+B^4+C^4=103058*D^4

[2025.12.30]A^4+B^4+C^4=103058*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

103058=2*227であるので、以下では、n=227とする。

■n=227のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=227;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように232個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(227,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (47/30 : -1/6 : 1)
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (38/349 : 143/2443 : 1)
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (-200590/33043 : -14065/33043 : 1)
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (497827/124654 : -30213/124654 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (128106/104701 : -7847/104701 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (806/69 : 127/69 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-90971/22637 : -7713/22637 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (14014/5893 : -809/5893 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (1481/414 : 109/414 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (-12542/3759 : -857/3759 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (-37033/921 : 16313/6447 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (-4226/10417 : -917/10417 : 1)
** u= -4/49 ; tau(u)= 102/53 ; -5602*x^2 + 4786*y^2 + 10420*x*z - 5602*z^2
  (88/81 : -35/81 : 1)  C2b (-341593/47602 : -25579/47602 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (-89402/251257 : -19389/251257 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (9759561/165271 : -658537/165271 : 1)
** u= 4/173 ; tau(u)= 342/169 ; -57106*x^2 + 59842*y^2 + 116980*x*z - 57106*z^2
  (45732/59503 : 7423/59503 : 1)  C1b (-2857754/1845089 : 268307/1845089 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (49826/10347 : -2783/10347 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (-30627/3517 : 2557/3517 : 1)
** u= -7/61 ; tau(u)= 129/68 ; -9199*x^2 + 7393*y^2 + 16690*x*z - 9199*z^2
  (-209/789 : -1096/789 : 1)  C2b (403961/289326 : 24229/289326 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (9683/3771 : -59399/388413 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (550031/129855 : 6443/25971 : 1)
** u= 7/137 ; tau(u)= 267/130 ; -33751*x^2 + 37489*y^2 + 71338*x*z - 33751*z^2
  (-11937/31495 : 41674/31495 : 1)  C1b (120357/37522 : -6979/37522 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-12726782113/966349103 : 900122937/966349103 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (313/154 : -169/1078 : 1)
** u= 8/81 ; tau(u)= 154/73 ; -10594*x^2 + 13058*y^2 + 23780*x*z - 10594*z^2
  (1973/7193 : -4392/7193 : 1)  C1b (-47299/17435 : 725/3487 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (11198/59407 : -3523/59407 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (52779866/8727461 : -3365121/8727461 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (313/154 : -169/1078 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (38/349 : 143/2443 : 1)
** u= 11/37 ; tau(u)= 63/26 ; -1231*x^2 + 2617*y^2 + 4090*x*z - 1231*z^2
  (899/23 : -590/23 : 1)  C1b (-152727/37633 : 9853/37633 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (198113/375786 : -21377/375786 : 1)
** u= -11/153 ; tau(u)= 317/164 ; -53671*x^2 + 46697*y^2 + 100610*x*z - 53671*z^2
  (803/58661 : -434580/410627 : 1)  C2b (2943866/2071559 : -1224809/14500913 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-2494/919 : -141/919 : 1)
** u= 12/109 ; tau(u)= 206/97 ; -18674*x^2 + 23618*y^2 + 42580*x*z - 18674*z^2
  (-67/12586 : 78815/88102 : 1)  C1b (2903501/30766 : 1274883/215362 : 1)
** u= 13/45 ; tau(u)= 77/32 ; -1879*x^2 + 3881*y^2 + 6098*x*z - 1879*z^2
  (24137/70751 : -4728/70751 : 1)  C1b (-269974/93539 : -18341/93539 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-78147/16301 : 5083/16301 : 1)
** u= -13/85 ; tau(u)= 183/98 ; -19039*x^2 + 14281*y^2 + 33658*x*z - 19039*z^2
  (53453/96389 : -63658/96389 : 1)  C2b (392789/271893 : 23611/271893 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (11441/2369 : 663/2369 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-1482/119 : -83/119 : 1)
** u= 15/17 ; tau(u)= 19/2 ; 217*x^2 + 353*y^2 + 586*x*z + 217*z^2
  (-2563/5209 : -1202/5209 : 1)  C1b (-15931/13018 : -993/13018 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (2503/58278 : -4883/58278 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (1850278/123147 : 108133/123147 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (4612346/2031661 : 278341/2031661 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (-599191/298142 : -46079/298142 : 1)
** u= 19/2 ; tau(u)= 15/17 ; -217*x^2 - 353*y^2 + 586*x*z - 217*z^2
  (5/3 : -2/3 : 1)  C1a (40546/12391 : 2283/12391 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
  (-1097/2523 : -1738/2523 : 1)  C1b (3299/1483 : 209/1483 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (877823/17759 : -68799/17759 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (-51089/377502 : 24707/377502 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (60987714/7486499 : -4014223/7486499 : 1)
** u= -19/193 ; tau(u)= 405/212 ; -89527*x^2 + 74137*y^2 + 164386*x*z - 89527*z^2
  (269/163 : -1044/1141 : 1)  C2b (-7380079/3563278 : -4788307/24942946 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (-6494/2787 : -707/2787 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (1399226/10853 : 80267/10853 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-90023/44753 : -5661/44753 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (2668919/163918 : -184659/163918 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-33005582/6714935 : -455919/1342987 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (534/11 : -47/11 : 1)
** u= 23/153 ; tau(u)= 283/130 ; -33271*x^2 + 46289*y^2 + 80618*x*z - 33271*z^2
  (27697/52501 : -174/52501 : 1)  C1b (-34501/414614 : -26633/414614 : 1)
** u= -24/61 ; tau(u)= 146/85 ; -13874*x^2 + 6866*y^2 + 21892*x*z - 13874*z^2
  (-17/59 : -104/59 : 1)  C2b (283342/154979 : 18483/154979 : 1)
** u= -24/73 ; tau(u)= 170/97 ; -18242*x^2 + 10082*y^2 + 29476*x*z - 18242*z^2
  (-1/3 : -368/213 : 1)  C2b (-838/10297 : 61737/731087 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (-2222573/74766 : -1139381/523362 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (138661/27275 : 325/1091 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (118999/15121 : 6651/15121 : 1)
** u= 28/89 ; tau(u)= 150/61 ; -6658*x^2 + 15058*y^2 + 23284*x*z - 6658*z^2
  (-5608/26373 : -23455/26373 : 1)  C1b (-1775566/395763 : 112427/395763 : 1)
** u= -28/109 ; tau(u)= 246/137 ; -36754*x^2 + 22978*y^2 + 61300*x*z - 36754*z^2
  (8634/13901 : 10399/13901 : 1)  C2b (-8239650/2486593 : -761345/2486593 : 1)
** u= 28/113 ; tau(u)= 198/85 ; -13666*x^2 + 24754*y^2 + 39988*x*z - 13666*z^2
  (2162/9079 : 4047/9079 : 1)  C1b (-18915871/83383 : -1130051/83383 : 1)
** u= 28/173 ; tau(u)= 318/145 ; -41266*x^2 + 59074*y^2 + 101908*x*z - 41266*z^2
  (42387/95936 : 25871/95936 : 1)  C1b (118478/97053 : -7331/97053 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-1179037/133035 : -14051/26607 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (156117/132094 : -9977/132094 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (-2122/1659 : 131/1659 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (-8318982/143809 : -478511/143809 : 1)
** u= -31/117 ; tau(u)= 265/148 ; -42847*x^2 + 26417*y^2 + 71186*x*z - 42847*z^2
  (-4307/4831 : -11136/4831 : 1)  C2b (-802682/1230793 : -140977/1230793 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (53/1155 : -13/231 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (766439/57617 : 71523/57617 : 1)
** u= -32/149 ; tau(u)= 330/181 ; -64498*x^2 + 43378*y^2 + 109924*x*z - 64498*z^2
  (-89/61 : 4054/1403 : 1)  C2b (146211/40277 : 217961/926371 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (-143/1098 : -67/1098 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (-1343510/1038929 : -156735/1038929 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (19582/25099 : 2901/25099 : 1)
** u= -37/181 ; tau(u)= 399/218 ; -93679*x^2 + 64153*y^2 + 160570*x*z - 93679*z^2
  (-13631/8029 : 25286/8029 : 1)  C2b (4228210/244149 : -303725/244149 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
  (3113/23499 : -854/3357 : 1)  C1a (-23641/7297 : 1419/7297 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (50761/319 : 20331/2233 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (1800051/2715149 : -177677/2715149 : 1)
** u= 40/113 ; tau(u)= 186/73 ; -9058*x^2 + 23938*y^2 + 36196*x*z - 9058*z^2
  (1085/8289 : 3584/8289 : 1)  C1b (-440871/888967 : 62711/888967 : 1)
** u= -41/81 ; tau(u)= 203/122 ; -28087*x^2 + 11441*y^2 + 42890*x*z - 28087*z^2
  (-8597/367 : -13914/367 : 1)  C2b (-1066883/9373 : -97507/9373 : 1)
** u= -43/117 ; tau(u)= 277/160 ; -49351*x^2 + 25529*y^2 + 78578*x*z - 49351*z^2
  (2869/1363 : 19128/9541 : 1)  C2b (58658/18623 : -28327/130361 : 1)
** u= 43/125 ; tau(u)= 207/82 ; -11599*x^2 + 29401*y^2 + 44698*x*z - 11599*z^2
  (211/278531 : 174690/278531 : 1)  C1b (-1728678/1471601 : -147241/1471601 : 1)
** u= -43/153 ; tau(u)= 349/196 ; -74983*x^2 + 44969*y^2 + 123650*x*z - 74983*z^2
  (-46909/149 : -60732/149 : 1)  C2b (1818171/3266666 : -202543/3266666 : 1)
** u= -44/125 ; tau(u)= 294/169 ; -55186*x^2 + 29314*y^2 + 88372*x*z - 55186*z^2
  (2/11 : 13/11 : 1)  C2b (10851/242893 : 19253/242893 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (-20463902/100519 : -1217349/100519 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (-237013/430891 : -56677/430891 : 1)
** u= 47/169 ; tau(u)= 291/122 ; -27559*x^2 + 54913*y^2 + 86890*x*z - 27559*z^2
  (5907/2111 : 130/2111 : 1)  C1b (7862737/700457 : 452773/700457 : 1)
** u= 48/157 ; tau(u)= 266/109 ; -21458*x^2 + 46994*y^2 + 73060*x*z - 21458*z^2
  (18158/63211 : 13805/63211 : 1)  C1b (68909921/70231 : 4031277/70231 : 1)
** u= 48/169 ; tau(u)= 290/121 ; -26978*x^2 + 54818*y^2 + 86404*x*z - 26978*z^2
  (566/13173 : -8591/13173 : 1)  C1b (561601/69503 : 32049/69503 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-143554/16813 : 8113/16813 : 1)
** u= 49/153 ; tau(u)= 257/104 ; -19231*x^2 + 44417*y^2 + 68450*x*z - 19231*z^2
  (27193/1489843 : 948108/1489843 : 1)  C1b (1094078/940937 : 71449/940937 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
  (5781/7861 : -5902/7861 : 1)  C2b (-839695/90121 : 70235/90121 : 1)
** u= 49/197 ; tau(u)= 345/148 ; -41407*x^2 + 75217*y^2 + 121426*x*z - 41407*z^2
  (44301/134587 : -37772/134587 : 1)  C1b (-150391/282417 : -21611/282417 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (-1045354/1002537 : -68063/1002537 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (9691994/483427 : 865191/483427 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (4158/14173 : -12739/14173 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (23539045/76734 : 9289495/537138 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (-1745978/8527 : 97461/8527 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (-246322/8475 : -2783/1695 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (-12093/21814 : 8717/152698 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (14270662/526033 : -1142219/526033 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-14142/135529 : 8069/135529 : 1)
** u= 56/97 ; tau(u)= 138/41 ; -226*x^2 + 15682*y^2 + 22180*x*z - 226*z^2
  (114/11737 : -305/11737 : 1)  C1b (-367470/4897 : -20515/4897 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-9587593/5864553 : 1227737/5864553 : 1)
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b (-15679578/191119 : 900023/191119 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (52651/19366 : 5149/19366 : 1)
** u= -59/45 ; tau(u)= 149/104 ; -18151*x^2 + 569*y^2 + 25682*x*z - 18151*z^2
  (-17287/73979 : 491772/73979 : 1)  C2b (427/9123 : -2783/9123 : 1)
** u= 59/157 ; tau(u)= 255/98 ; -15727*x^2 + 45817*y^2 + 68506*x*z - 15727*z^2
  (893/9761 : 4466/9761 : 1)  C1b (106759/444998 : 24857/444998 : 1)
** u= 63/26 ; tau(u)= 11/37 ; 1231*x^2 - 2617*y^2 + 4090*x*z + 1231*z^2
  (581/47 : 450/47 : 1)  C1a (-234398/241227 : -16501/241227 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b (-16732626/14469991 : 8872199/14469991 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (-7719/76106 : -4429/76106 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (-36602/32541 : -3599/32541 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (162313/5574 : -64487/39018 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (142969/4206 : -7991/4206 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (-96546/65401 : -12979/65401 : 1)
** u= 68/121 ; tau(u)= 174/53 ; -994*x^2 + 24658*y^2 + 34900*x*z - 994*z^2
  (-18/983 : -253/983 : 1)  C1b (-314766/446939 : -30929/446939 : 1)
** u= -69/181 ; tau(u)= 431/250 ; -120239*x^2 + 60761*y^2 + 190522*x*z - 120239*z^2
  (6881/14089 : -70/73 : 1)  C2b (3038833846/57555443 : -249554103/57555443 : 1)
** u= 69/197 ; tau(u)= 325/128 ; -28007*x^2 + 72857*y^2 + 110386*x*z - 28007*z^2
  (10011/313301 : -181712/313301 : 1)  C1b (2980694/761593 : 166557/761593 : 1)
** u= -71/125 ; tau(u)= 321/196 ; -71791*x^2 + 26209*y^2 + 108082*x*z - 71791*z^2
  (47121/1625711 : -2632420/1625711 : 1)  C2b (-4610366/2164583 : 596701/2164583 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
  (10799/88427 : 14814/88427 : 1)  C1b (3394729/7346194 : 431261/7346194 : 1)
** u= 73/125 ; tau(u)= 177/52 ; -79*x^2 + 25921*y^2 + 36658*x*z - 79*z^2
  (-5/97 : -4304/15617 : 1)  C1b (-36919/77497 : -772001/12477017 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (39982/5869 : -88599/134987 : 1)
** u= 76/185 ; tau(u)= 294/109 ; -17986*x^2 + 62674*y^2 + 92212*x*z - 17986*z^2
  (1681/94702 : 48377/94702 : 1)  C1b (-4778958/2712059 : 337987/2712059 : 1)
** u= 77/32 ; tau(u)= 13/45 ; 1879*x^2 - 3881*y^2 + 6098*x*z + 1879*z^2
  (-1235/19013 : -11784/19013 : 1)  C1a (139546/255353 : 19211/255353 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (-185358/147971 : -11293/147971 : 1)
** u= 77/85 ; tau(u)= 93/8 ; 5801*x^2 + 8521*y^2 + 14578*x*z + 5801*z^2
  (-11/7 : -4/7 : 1)  C1b (-66683/101 : 4091/101 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (-4032146/355309 : -225519/355309 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (283666/509407 : 31701/509407 : 1)
** u= 79/89 ; tau(u)= 99/10 ; 6041*x^2 + 9601*y^2 + 16042*x*z + 6041*z^2
  (-4967/10645 : -1234/10645 : 1)  C1b (-13025683/677922 : -775661/677922 : 1)
** u= -79/121 ; tau(u)= 321/200 ; -73759*x^2 + 23041*y^2 + 109282*x*z - 73759*z^2
  (9157/1303 : -14740/1303 : 1)  C2b (95491/159058 : -12057/159058 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
  (19970/540811 : -808891/540811 : 1)  C2b (464953/7031 : -41199/7031 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (-19033787/18448118 : 2910897/18448118 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (553054/257043 : 31381/257043 : 1)
** u= -87/157 ; tau(u)= 401/244 ; -111503*x^2 + 41729*y^2 + 168370*x*z - 111503*z^2
  (22233/7567 : 4028/1081 : 1)  C2b (139829914/165755 : -2634357/33151 : 1)
** u= 88/101 ; tau(u)= 114/13 ; 7406*x^2 + 12658*y^2 + 20740*x*z + 7406*z^2
  (-1377/2188 : 1013/2188 : 1)  C1b (1701638/1234863 : 8599/72639 : 1)
** u= -88/193 ; tau(u)= 474/281 ; -150178*x^2 + 66754*y^2 + 232420*x*z - 150178*z^2
  (6401/1788 : -7715/1788 : 1)  C2b (25596562/316533 : 2223757/316533 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1b (-13003/7637 : -747/7637 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (-816594/363169 : 47129/363169 : 1)
** u= 89/153 ; tau(u)= 217/64 ; -271*x^2 + 38897*y^2 + 55010*x*z - 271*z^2
  (-9071/1401919 : 177984/1401919 : 1)  C1b (-600722/1778157 : 104911/1778157 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (12386/39879 : 4199/39879 : 1)
** u= 91/197 ; tau(u)= 303/106 ; -14191*x^2 + 69337*y^2 + 100090*x*z - 14191*z^2
  (-24277/146867 : 98398/146867 : 1)  C1b (-13987102/5403537 : -884891/5403537 : 1)
** u= -92/113 ; tau(u)= 318/205 ; -75586*x^2 + 17074*y^2 + 109588*x*z - 75586*z^2
  (125315/53844 : 28229/7692 : 1)  C2b (1531251/304213 : 159287/304213 : 1)
** u= -92/137 ; tau(u)= 366/229 ; -96418*x^2 + 29074*y^2 + 142420*x*z - 96418*z^2
  (-27754/24839 : 89317/24839 : 1)  C2b (-1550567/54567 : 164953/54567 : 1)
** u= 93/8 ; tau(u)= 77/85 ; -5801*x^2 - 8521*y^2 + 14578*x*z - 5801*z^2
  (44093/83833 : -14692/83833 : 1)  C1a (-159839/126802 : -14753/126802 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-1391938/337999 : -78489/337999 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (4144979/1016086 : 391479/1016086 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-4729/4191 : 299/4191 : 1)
** u= 99/10 ; tau(u)= 79/89 ; -6041*x^2 - 9601*y^2 + 16042*x*z - 6041*z^2
  (61/123 : 26/123 : 1)  C1a (-3827101/250133 : -18331/19241 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (69209/17567 : -5339/17567 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (-7292278/598271 : 1198737/598271 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-47772354/2457997 : -2841113/2457997 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (3505007/324311 : 16407/24947 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (15535402/1208369 : -895329/1208369 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-18315/40714 : 2315/40714 : 1)
** u= 102/53 ; tau(u)= -4/49 ; 5602*x^2 - 4786*y^2 + 10420*x*z + 5602*z^2
  (-2432/4917 : -3031/4917 : 1)  C1a (47190/6607 : -3535/6607 : 1)
** u= 104/109 ; tau(u)= 114/5 ; 10766*x^2 + 12946*y^2 + 23812*x*z + 10766*z^2
  (-4849/7451 : -856/7451 : 1)  C1b (3761/818 : 267/818 : 1)
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b (1222639/494097 : 115183/494097 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1a (345769/46186 : 20389/46186 : 1)
** u= -109/117 ; tau(u)= 343/226 ; -90271*x^2 + 15497*y^2 + 129530*x*z - 90271*z^2
  (-104353/482759 : -1357230/482759 : 1)  C2b (150569651/13892115 : -3832841/2778423 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (-703681197/11690186 : -42778031/11690186 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (8386613/853274 : -469611/853274 : 1)
** u= 114/5 ; tau(u)= 104/109 ; -10766*x^2 - 12946*y^2 + 23812*x*z - 10766*z^2
  (778/791 : -47/113 : 1)  C1a (-818/3761 : 267/3761 : 1)
** u= 114/13 ; tau(u)= 88/101 ; -7406*x^2 - 12658*y^2 + 20740*x*z - 7406*z^2
  (1479/656 : -241/656 : 1)  C1a (-17405626/15843101 : 1646209/15843101 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (-8026/16409 : 931/16409 : 1)
** u= 115/173 ; tau(u)= 231/58 ; 6497*x^2 + 46633*y^2 + 66586*x*z + 6497*z^2
  (-2498147/12621949 : 4685894/12621949 : 1)  C1b (-102559/337602 : 19243/337602 : 1)
** u= -116/89 ; tau(u)= 294/205 ; -70594*x^2 + 2386*y^2 + 99892*x*z - 70594*z^2
  (1517/2760 : 10871/2760 : 1)  C2b (-3664701/160637 : -1147853/160637 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (-2010526/1203159 : 121511/1203159 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (680902/677585 : 13409/135517 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (31699718/219375 : 354197/43875 : 1)
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
  (821/4465 : 14624/4465 : 1)  C2b (526178/433249 : -78723/433249 : 1)
** u= 120/169 ; tau(u)= 218/49 ; 9598*x^2 + 42722*y^2 + 61924*x*z + 9598*z^2
  (-2683/814 : -1183/814 : 1)  C1b (8912863/620441 : 510219/620441 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
  (-3535/2603 : 616/2603 : 1)  C1b (-146437/1076874 : 65489/1076874 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (-1063/198114 : 12023/198114 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (-12011/19314 : 1243/19314 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-94/89 : 77/89 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-248361/202958 : -15479/202958 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (2526753/550223 : -265721/550223 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
  (19631/26239 : -5060/26239 : 1)  C1a (1815526/506663 : -105711/506663 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (6284266/214957 : 351757/214957 : 1)
** u= 129/68 ; tau(u)= -7/61 ; 9199*x^2 - 7393*y^2 + 16690*x*z + 9199*z^2
  (-23459/19257 : -11240/19257 : 1)  C1a (-2834434/867479 : -173821/867479 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (21347/96474 : 5921/96474 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b (183135103/15167642 : 76371303/15167642 : 1)
** u= 132/173 ; tau(u)= 214/41 ; 14062*x^2 + 42434*y^2 + 63220*x*z + 14062*z^2
  (-1691/6068 : -10235/42476 : 1)  C1b (311362/67715 : -921/3269 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-38007/294898 : -16597/294898 : 1)
** u= -136/145 ; tau(u)= 426/281 ; -139426*x^2 + 23554*y^2 + 199972*x*z - 139426*z^2
  (-14561/1023 : -37252/1023 : 1)  C2b (6958946/1952577 : 789029/1952577 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (-606825438/186057499 : 34108363/186057499 : 1)
** u= 138/41 ; tau(u)= 56/97 ; 226*x^2 - 15682*y^2 + 22180*x*z + 226*z^2
  (6472/29591 : 16855/29591 : 1)  C1a (2921/1110 : 35/222 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (768958/106877 : -82809/106877 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (-4537082/190007 : 271071/190007 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (5602918/88567 : -315637/88567 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (1299495598/7574579 : 103486497/7574579 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (-7993517/15730811 : 900607/15730811 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-248361/202958 : -15479/202958 : 1)
** u= 146/85 ; tau(u)= -24/61 ; 13874*x^2 - 6866*y^2 + 21892*x*z + 13874*z^2
  (-1853/688 : 1957/688 : 1)  C1a (-3274/154589 : 12783/154589 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (89642/256967 : 14887/256967 : 1)
** u= 148/153 ; tau(u)= 158/5 ; 21854*x^2 + 24914*y^2 + 46868*x*z + 21854*z^2
  (-14902/10691 : 2157/10691 : 1)  C1b (419778/98471 : 30497/98471 : 1)
** u= 149/104 ; tau(u)= -59/45 ; 18151*x^2 - 569*y^2 + 25682*x*z + 18151*z^2
  (-5575/7957 : 31764/7957 : 1)  C1a (-322626/114107 : 80431/114107 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (1342262/213833 : 83277/213833 : 1)
** u= 150/61 ; tau(u)= 28/89 ; 6658*x^2 - 15058*y^2 + 23284*x*z + 6658*z^2
  (-523/2136 : -641/2136 : 1)  C1a (685221/253562 : 46439/253562 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (39248930/10100049 : 3775475/10100049 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (-7719/76106 : -4429/76106 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (-4646/6873 : 41981/707919 : 1)
** u= 154/73 ; tau(u)= 8/81 ; 10594*x^2 - 13058*y^2 + 23780*x*z + 10594*z^2
  (-1223/458 : 603/458 : 1)  C1a (110661/17309 : -7561/17309 : 1)
** u= 158/5 ; tau(u)= 148/153 ; -21854*x^2 - 24914*y^2 + 46868*x*z - 21854*z^2
  (1889/2668 : -327/2668 : 1)  C1a (-1244131/80013 : -82613/80013 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (95289/10586 : 1441891/1090358 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (561514/1205041 : 145007/1205041 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (-599191/298142 : -46079/298142 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a (382494/374561 : -215167/374561 : 1)
** u= -164/117 ; tau(u)= 398/281 ; -131026*x^2 + 482*y^2 + 185300*x*z - 131026*z^2
  (-193/98 : 639/14 : 1)  C2b (82646/26241 : 61399/26241 : 1)
** u= -164/173 ; tau(u)= 510/337 ; -200242*x^2 + 32962*y^2 + 286996*x*z - 200242*z^2
  (1750/1479 : -3059/1479 : 1)  C2b (-8208794/2002521 : -1345039/2002521 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (130433/528922 : 41351/528922 : 1)
** u= 170/97 ; tau(u)= -24/73 ; 18242*x^2 - 10082*y^2 + 29476*x*z + 18242*z^2
  (-373/876 : -58759/62196 : 1)  C1a (-47482/4529 : 255369/321559 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (53367/235057 : 16859/235057 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (-1449499/628294 : 81919/628294 : 1)
** u= 174/53 ; tau(u)= 68/121 ; 994*x^2 - 24658*y^2 + 34900*x*z + 994*z^2
  (-409/15336 : -11/216 : 1)  C1a (649918/302943 : 40471/302943 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (4505/34594 : 14025/242158 : 1)
** u= -175/181 ; tau(u)= 537/356 ; -222847*x^2 + 34897*y^2 + 318994*x*z - 222847*z^2
  (549/551 : 1048/551 : 1)  C2b (48819647/1161623 : 6813171/1161623 : 1)
** u= -176/137 ; tau(u)= 450/313 ; -164962*x^2 + 6562*y^2 + 233476*x*z - 164962*z^2
  (155/237 : 842/237 : 1)  C2b (-63831/192727 : 67769/192727 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (94585106/335397 : -5679347/335397 : 1)
** u= 177/52 ; tau(u)= 73/125 ; 79*x^2 - 25921*y^2 + 36658*x*z + 79*z^2
  (1/329 : 4540/52969 : 1)  C1a (81183/36926 : 802061/5945086 : 1)
** u= 183/98 ; tau(u)= -13/85 ; 19039*x^2 - 14281*y^2 + 33658*x*z + 19039*z^2
  (-4107/31075 : -31766/31075 : 1)  C1a (1749/34387 : -2551/34387 : 1)
** u= 186/73 ; tau(u)= 40/113 ; 9058*x^2 - 23938*y^2 + 36196*x*z + 9058*z^2
  (2843/6609 : -6928/6609 : 1)  C1a (-1534327/219953 : 86251/219953 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-4959178/144833 : 312311/144833 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (-6632251/701107 : -1084577/701107 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (619811/14877 : 37037/14877 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (-344842/1838693 : 515337/1838693 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (-1817798/7081869 : -501071/7081869 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (488169/493441 : -35501/493441 : 1)
** u= 198/85 ; tau(u)= 28/113 ; 13666*x^2 - 24754*y^2 + 39988*x*z + 13666*z^2
  (-127/900 : 521/900 : 1)  C1a (-186882/443311 : -24941/443311 : 1)
232
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-1のとき

31731^4+855269^4+2323538^4=103058*130273^4
7282909634075310121011726912842702473064392293992250913^4+11157667299623415788649979509770055275091552818007947913^4+20739753119263602682365917352132480053667619589160301174^4=103058*1185168221380653973502090895004210612367282077459724579^4
719441088124591706510126948947492854833378774473941621393886301163158831592910814387161012966062925699351864537306451799593058564873644158142331457327223^4+901301061226918437531214419040368001007842939677980415540019651905772714065935872212264053631700810939634828648314823582779646790648917131581969747182223^4+1680846041011855084939349439710240264892573014603981974949945171885446947696725226478292318462857629786175741354140691479374230178061553710321046217009446^4=103058*96426555506047734742958397719389871396385966047345656862777614757959643274801655115191101088354982020736488033610895823708516170145925369134389231013691^4
118648903542084436821082824037848724387470426433069442530291373206539307422779640288077161831350418094202879536532435114046197245659623768288826345267575872437217475061167806337872900067162105602131629935645007919954096577232502076644872189497192837041282635338479227047523586200005041749621228037659^4+546490775160216569726458947300774083252314469996946187361431261945980618245345450845175452973532002682442136731440590185245717037459942352600876983331806811251410849324101601979055236888526582978288440918277358288340159043509194084753746788462226300556754677505499938152842475636578117138410539038659^4+1241250496411758847157754709711627082901841932169086957319031314593776419397178252789857745510801482227116422274706405189732656462523789580547952271675448510468582520686261874090485743489204982425733556760906011469419355149934290225690194187731929861325609992038189796033440910236379384191688374423682^4=103058*69920185124932653867216503440543833010809489243667527294485965740421586165881005042333048097902951027279826171707436341918258202405733995244628995933348277061399523235782457533567442008118586157932205624186868401250033449330518843828893786845398260242678952733331054228558358714569261262699445959097^4
...

u=4/9のとき

1713^4+2471^4+15818^4=103058*883^4
451362459^4+3366555589^4+20480797414^4=103058*1143288133^4
3208698024682227709^4+6234600632703828549^4+26025118293752363038^4=103058*1453798753783880329^4
6995918993555922293899761325879861^4+9939243338034553122628524610753947^4+50982334834658482872094463749838998^4=103058*2846718052183858938031965442098013^4
4386675890244802601774385936296032799^4+16379356479049012066075448325832568559^4+50005614691924908136393707102008593154^4=103058*2798964236047595274128998446257267383^4
8354226659392097623127430721216598207^4+8619842503449009238708624302317155263^4+56502659302311446130314996315387354354^4=103058*3154344353376992525472275958398018767^4
7098336972974656030110867190135296995469154905198111^4+17900369790278214594783466825966721223700797896824679^4+110673846866459532419457033375585537433932151515534938^4=103058*6178039623018589876379895172068744544879660862157499^4
5941399196880847966936488172320216770301843572161651343^4+34003921289814110831361310063385927873632301443122711297^4+91138289311075573586442629960972589576772886533724504258^4=103058*5111121438517958461871882182094883519979592322951569911^4
1293354895084991018401529926603921045125228082357561138265437^4+48350496444393443140046200569492073428911445981504973842422523^4+104298108863963347709615776782982013820544262467215830122888894^4=103058*5887190629430119446317580913483789657201091075206295862382297^4
35352391487441057811132557494556126260221278287561724440770836448818515980950062646413^4+94427727165153043989092481120476734862270254208049632736330876132257268582309591546651^4+331997133821813057203704068658760890468707115294962245320641863959071482122449187710734^4=103058*18560342838499361605239141411418337084236213469504534773279489612784554248051422509729^4
16377256159184456020193666803683775075698359114694540389728920641759736600253027017893011021^4+167083104572003085161597855285732156746922463690124857615248648021871081648197655585147450693^4+400653448092367455966837091210939594764219364232863367065046091242291897872314535431855962158^4=103058*22528583589698544393854757241540562312952224561754016743111208151014889767377725873601772273^4
33853598202155617189282201408833077399996278957949558491021089835078914209536026199933783077^4+82694545856830248880579258949981812701751446965374948192768815894059251152209078441444536333^4+511879706526821814896339637707813679212378236988013895977489903600538360603885618255909367758^4=103058*28574161108958357071376976434075306577284620414266493265882504661624052936476527551665667201^4
73568299564284140183210941180225054880524147029802156440173667239031379863963232866526143586130885639^4+193597721150397560065458296012824590944294608060714102827801290637867777025834181961242218221425523681^4+685580963739009446271579656967371859070059274746431598370012192315094125810361950991383018244565530234^4=103058*38325764329328063101508270155885849930435872993500175463300491302811113973425497668036819476537917003^4
26127627634351367192059543554763197285726079146363148055859216451036943679702067714182601834819799718001^4+276780922069260343915499151967297370126624501963264647300603872230126235135284485519905520789639516591569^4+497261629799519859761232430708263961516658273567818850208509968503218166545545808267358702665479423401458^4=103058*28396607637586488901518707446193836374149351231637003991317090444371750996640073227637141846775905287919^4
41914513166148627467717773376044430947425498193149802118417121223072169860351253089254042192626913368861737^4+279521046078133286065616183688170919349292602550657070927777386696180245918443627687122485266207884852519391^4+461631938672292026508624257935583119738969258965949724571455622586874885840169889041283451219632096664154314^4=103058*26590451585138916094252300868207276198042767985872237495888124980746347325704840360551400392605768382967059^4
13056125083813445843757059753605877336662251744206574783579976402613622060655544255364359955269688113112277182923^4+346459437459572282508451870026056040216867578765565175758577480678690627379896182867340525182703828281808314123141^4+678272043258526569565937548436292991543321917004488478176656399028599615605170616195175535492377838264586655877046^4=103058*38484339798408589751525801570308863137778953703181230121073815667309318650603095255280959244111371131866068408301^4
370135843181056726332200487201892014694323518650334202107512697343409490364997964982326802845422064867761414837599989083275953957557^4+375759705880051658133280271827859876030517399359472483698898829881876341909788938469496316547815994392345382232878732341310278705477^4+2495935142586830529114052492826886215008306272572367620948929254874340508393597737093030166650780927695467780375342367667837806429174^4=103058*139338489325401467735860218119318278919047718269168736473266246376272141401757925329836193342822657426129784129345907595029107490317^4
230570114127355367161169490038119075530289732761134801984106280169212304705935126665180958119395786660936873250433784881220853252405478427^4+920869060202192333958792028833080350587502945062274032362541097711774252439800817703454034804296229146574667310469229283536976398031180197^4+1307237298869171312863863776628249271197761591606136728235151724655833477379243011258574953032128277981251857168361227539040319789409569478^4=103058*77102677520283569294769346900347752068711733911835884694209298609010232060204633010859026750406725105793015719404156563897907724783196661^4
689297463878651057174104938422456445039335088880835433818786252970202088370793793161929241444480171448515015355035557294944066515066939699427054189581487^4+993544139888344881603650399026812035858737366845484448426436980276364027284215808836438383964662882794132171281116202450825091846600617420426483991446161^4+5044130924601674128406111968686530223056900355946885141619129874558662116845747208409145546883463881130484562337530897017603625030555085083041773674286546^4=103058*281654715890338744872542562174854804114324311298968439108035057714809029895234022316761244497827150398909479792057901306909012921260759868584245356104351^4
164573148759950335014006679609321832821202053861028811825909143452012401917959403453928563055690035338268092844607228464021344057044789907691002427074033367^4+1739465384525541696574494764248498626895522158760940640337410155574117527687588697925260523872104061402637807072792294976924339272775167955016942534342445647^4+4150257172286857927393077974606728386017917463675963177454694041730728879184998727761223054663646687276047624679610504060144336840293232571659162688320327482^4=103058*233401970520470934441190397003030999528205654551837742825611889519402674896995089793875264027645705765306847506536031857534540770664417594052315042257382539^4
978100392041750945223091500240835875659292619916431412850896920319609011557726915520878927373459283944120238171586336895517742273782957691519897662895556956674283668005487483^4+3273279294698433396945184170710151447317379034969911279570137003506834058795721051266064925296493731847039174581425471467071267682083463858655561241952525989319221322538012667^4+4322920844924361088990562404203806547198258027989411355332880074550704784565063826634306483758908678670163700516902966899017942054854399675474473349561202860739634308727684422^4=103058*259166567033030769439645772864544524359314274481821555894072956812775328028184040329517927701305544578833302771261415682186702516519710066396030731000906632886061278996858229^4
1290172588851935427848729218223531507715243291353942637781850311157487849504764868099482177310942396679879095776549119035456086816809061476298427754721288200117812389955555220374428531^4+6446542409194784895226475540168430883826989892571748660821490372383319655410878187473700585308958758741474024944958683998408297381368803008969707088202208067878398385053974008265946619^4+9869022749258424769781685546172998567203424152744015108644498558233766056732216210496736903229140623288455965717359296720746384112754886216746312712091795205720441552552753941258782254^4=103058*574368061273054805374036375595096735041021547005444624082098943899322226984339740546950380824824362981125402795715047147224961297154781126013581000976585623141086769653118420297744753^4
237401978686327180202504152812569563054430867213000346069925049126487193525356637042496814225325262046272419088904349165481959046101365194576536598088737367067052304866611452369799009^4+6804788088121936182011299819616441767219556837200833133255480430205366054582759830601803188659145427384316105538377497601124623451387252043844610371432086319201353189150231714753111487^4+13378333308421261485815829867465216632691445885118805595115511351158136170762312212582481803353084212063461031492353268829702550310823370001211639887010169634466397335612092329224169298^4=103058*758867649886723528953160051035787662056003528793705658873000310903932866043668415323386276092811869622863829345837151780737402112817226387512213896291590077336649687653667487326771263^4
387875343264818654716589571323773762425977526188637953210205859301269080814917880373151122614472117258765976982004988305493442312445624299318823640044624726655487229443920102196445649^4+3182412328579515300687708925666264017022058059263047734304278060476732468606218527489006945110933196987178660864505084075887663823749454429652670964075160879652503124553167794587744383^4+19353350865883109216835663384775484135500102166940271682342757452018104279006285543899008334987874148944887212337755905421568474307739699779299098561927134546187257682333670859767796514^4=103058*1080351585968890614886957179874940277293383780361881463949749328047319763908519128700537597139200580125538204443341286125938258975764178349169692465777168477331883160408452309951930759^4
2448195305835686552831461044285869843439332038078249316183930514310109922585547098717268926695482124195999324570272970626161463641395172397885475494456519774958621019668880382406815505227954153^4+6278687048211584353434629741215271628014341699934547189968903340865911770590988346942523915012267963123454171054607794539629569052905848112986873260621315600685214641741061068522665921977017761^4+7251791738257389901483209356571737833202693272708539518524152247782228776328995542892958885901637652603367578342792882006960946404123347367086198242185258967504855430975242301722048724579099786^4=103058*453409445572314282972491187587507080811703524958766615659017882828508494644656174059317263456327478382766648025255849274516501276922968325014878552822898192283775178808925555907332418944949491^4
1420313995382923973883313221329464697228850467387575150132325199392671869109267830154584902517322856996159806847961425343451833667504949476763854470122706018931039659955892152290462335186374537^4+7015393119693725169560499023723329218746700905928219237159217892268738845492273863228269301951851156196530102226628235603250688624778202475033177131633916938037645354544981754165144897657359153^4+10702342509240173971936783446517982897755891662973044902793794445521314001855534388932353933085245623662307121770384965451999093374652920804734289612891698534867041648934256849708106382461078746^4=103058*623206753782517936112329147740343563993407747873677191852303693393475171450015266360414111854724928663815383898488193202189298468004433136121353084529828421329915258439254170133270973632151003^4
...

u=-4/9のとき

186397^4+189699^4+194878^4=103058*13987^4
6467104507423495649487391360106602812453156190246^4+7008765874838308162941719511388829881292811858243^4+7400226767867420441310972048281390871825193704229^4=103058*513425171446509162752574765878497180479338069959^4
8123573222394440815107519530512766028930403106726676824195503276908484601051219159686897548721409150207824743218677630550438972426634421^4+9565491983151629015153477694109297942003573986191899918022221952351719508704713641782492815793416917503698439556439007697529467834080707^4+10215357787757837674431255843832019649033725304280135801116640216014885539961413282066898137848911427432674528144724477322648511331758454^4=103058*691885463666051508126429573713205955782502561302387047464635264544632562781680485565039465539128071378058621325821263321459431148371391^4
368414308047467427698514845482322674792193105283355600607429569608320435093355313942496491883548302359702300614434502817112369425348671288119870331041151386250434648468035963394536025125998497344985638497820373711946868774082324877477545049010823308248236800901067822^4+482053538813107950062361755230128894650611121200913353369622891807515121692863265136437535115897046525329023321342369832277251158500750709107521177854329391020045847318089891552282285030324653178306025211892922793100123514390766428970007764938268336282562429547614851^4+512862584294519143895391505621086658587354410023229531669600148622820165848376436135403245448380819558889754235428424855939970055767775621643350411723038764476996517752694014430165371026752293038056281134112945325505028789119302095915262362172138268393266127182459853^4=103058*34237250648630968919625200013693976411235834134082215511282116743377810397091731535692440915390066974866810617579636997074770070789592297078539665286584403720054254519185676537841351459882564834575051389394600722948285020307774419094845983487974483916507373402885163^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.12.30

H.Nakao