Integer Points on A^4+B^4+C^4=97682*D^4
[2025.12.28]A^4+B^4+C^4=97682*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
97682=2*221^2であるので、以下では、n=221とする。
■n=209のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=221;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように100個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(221,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
(1 : -2 : 1) C2b (45/23 : 5/23 : 1)
** u= -1/73 ; tau(u)= 147/74 ; -10951*x^2 + 10657*y^2 + 21610*x*z - 10951*z^2
(8607/10111 : 2170/10111 : 1) C2b (146005003/72419024 : -8526143/72419024 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
(-7/3 : -14/3 : 1) C1a (-16/137 : -19/137 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
(-1/2 : -1/2 : 1) C1b (0 : -1/17 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
(7/12 : 7/12 : 1) C2b (-18008/11725 : 75/469 : 1)
** u= -4/121 ; tau(u)= 246/125 ; -31234*x^2 + 29266*y^2 + 60532*x*z - 31234*z^2
(-2742/131557 : -138655/131557 : 1) C2b (-2761488/2612143 : -320077/2612143 : 1)
** u= -5/117 ; tau(u)= 239/122 ; -29743*x^2 + 27353*y^2 + 57146*x*z - 29743*z^2
(-45383/464953 : 530466/464953 : 1) C2b (457475/102633 : 483229/1744761 : 1)
** u= 5/121 ; tau(u)= 237/116 ; -26887*x^2 + 29257*y^2 + 56194*x*z - 26887*z^2
(5667/21485 : 14828/21485 : 1) C1b (-52603/34135 : 84239/580295 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
(1/2 : -1/2 : 1) C1a (-48/13 : 53/221 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
(-137/187 : -138/187 : 1) C1b (74203/136 : 4331/136 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
(5/3 : 92/51 : 1) C2b (-36/251 : -443/4267 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
(10141/7671 : -3688/7671 : 1) C2b (-14731/48503 : -5181/63427 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
(1123/1460 : -903/1460 : 1) C2b (-17179/34905 : -59801/593385 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
(2476/6541 : 58391/111197 : 1) C1b (-4/15 : 19/255 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
(17/43 : 18/43 : 1) C1a (408/679 : 41/679 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
(527/257 : -336/257 : 1) C2b (2314652/4899915 : 291791/4899915 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
(3036/1153 : -455/1153 : 1) C1b (-184/1105 : 243/3757 : 1)
** u= 13/29 ; tau(u)= 45/16 ; -343*x^2 + 1513*y^2 + 2194*x*z - 343*z^2
(47/297 : 16/297 : 1) C1b (-15100/7213 : 17257/122621 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
(7837/4345 : 6414/4345 : 1) C2b (157577/49232 : 10579/49232 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
(-747/251 : 18056/4267 : 1) C2b (325277/51100 : -358371/868700 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
(-7/3 : 14/3 : 1) C2b (-20/311 : 481/5287 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
(239/369 : -244/369 : 1) C2b (12724/127993 : 9063/127993 : 1)
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
(7299/4079 : 466/4079 : 1) C1b (1605137/590755 : -92167/590755 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
(-1691/4607 : -720/271 : 1) C2b (53/399 : 43/399 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
(4943/44507 : -8330/44507 : 1) C1b (5277752/877705 : 298721/877705 : 1)
** u= 23/81 ; tau(u)= 139/58 ; -6199*x^2 + 12593*y^2 + 19850*x*z - 6199*z^2
(277/1537 : 5094/10759 : 1) C1b (238101/14687 : -97789/102809 : 1)
** u= -25/121 ; tau(u)= 267/146 ; -42007*x^2 + 28657*y^2 + 71914*x*z - 42007*z^2
(-8087/164833 : 208010/164833 : 1) C2b (63959/269600 : 17931/269600 : 1)
** u= 28/197 ; tau(u)= 366/169 ; -56338*x^2 + 76834*y^2 + 134740*x*z - 56338*z^2
(1380316/3397353 : -1279265/3397353 : 1) C1b (218457/2246896 : 136349/2246896 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
(17477/67823 : -5976/67823 : 1) C1b (1834705476/177681977 : -105119329/177681977 : 1)
** u= 32/45 ; tau(u)= 58/13 ; 686*x^2 + 3026*y^2 + 4388*x*z + 686*z^2
(-167/1030 : -51/1030 : 1) C1b (-12/55 : -53/935 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
(-1/583 : 15956/9911 : 1) C1a (-991/844 : 1233/14348 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
(-2585/48737 : -22136/48737 : 1) C1b (12209/3244 : -11919/55148 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
(6697/23029 : 5298/23029 : 1) C1b (-11692288/2930147 : 765247/2930147 : 1)
** u= 37/89 ; tau(u)= 141/52 ; -4039*x^2 + 14473*y^2 + 21250*x*z - 4039*z^2
(40263/648073 : 281692/648073 : 1) C1b (-2230604/1553763 : 170071/1553763 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
(-911/573 : 574/573 : 1) C1b (1427/4720 : 5271/80240 : 1)
** u= 45/16 ; tau(u)= 13/29 ; 343*x^2 - 1513*y^2 + 2194*x*z + 343*z^2
(-49/2279 : -1008/2279 : 1) C1a (-12/55 : -53/935 : 1)
** u= -47/113 ; tau(u)= 273/160 ; -48991*x^2 + 23329*y^2 + 76738*x*z - 48991*z^2
(-30319/38615 : -94408/38615 : 1) C2b (-39012076/1593881 : -3454869/1593881 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
(-1383/98507 : 27748/98507 : 1) C1b (-116445/103108 : -8987/103108 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
(5781/7861 : -5902/7861 : 1) C2b (-120158587/34495111 : -11405137/34495111 : 1)
** u= 52/101 ; tau(u)= 150/49 ; -2098*x^2 + 17698*y^2 + 25204*x*z - 2098*z^2
(34261/1283440 : -364399/1283440 : 1) C1b (2647/11888 : 679/11888 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
(-91167/3659 : -147064/3659 : 1) C2b (5444989/991559 : 446509/991559 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
(-6771/3641 : -16048/3641 : 1) C2b (-54513492/30008419 : 7426679/30008419 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
(-21933/71317 : 53012/71317 : 1) C1b (-39947/170396 : 10089/170396 : 1)
** u= 58/13 ; tau(u)= 32/45 ; -686*x^2 - 3026*y^2 + 4388*x*z - 686*z^2
(13/53 : 18/53 : 1) C1a (-15100/7213 : 17257/122621 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
(1025/347 : 266/347 : 1) C1a (26675/4079 : -1521/4079 : 1)
** u= -59/45 ; tau(u)= 149/104 ; -18151*x^2 + 569*y^2 + 25682*x*z - 18151*z^2
(-17287/73979 : 491772/73979 : 1) C2b (15085572/5313445 : 3814711/5313445 : 1)
** u= -65/113 ; tau(u)= 291/178 ; -59143*x^2 + 21313*y^2 + 88906*x*z - 59143*z^2
(337/2061 : -3034/2061 : 1) C2b (1351424/1525289 : -115371/1525289 : 1)
** u= 69/185 ; tau(u)= 301/116 ; -22151*x^2 + 63689*y^2 + 95362*x*z - 22151*z^2
(-13883/125951 : -90568/125951 : 1) C1b (4752023/655468 : -270279/655468 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
(151/2201 : -1190/2201 : 1) C1a (-4106544517/235015208 : 232996379/235015208 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
(752/937 : 20403/6559 : 1) C2b (1624/663 : -36691/78897 : 1)
** u= -76/193 ; tau(u)= 462/269 ; -138946*x^2 + 68722*y^2 + 219220*x*z - 138946*z^2
(-261804/3787507 : -5683805/3787507 : 1) C2b (-921241/598440 : -23455/119688 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
(692/2119 : 3065/2119 : 1) C1a (-183400/108889 : -10935/108889 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
(-2803/10199 : -4638/10199 : 1) C1b (-11463/21332 : 22241/362644 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
(-2087/7201 : -12060/7201 : 1) C1a (-13343/33516 : -3089/33516 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
(10511/53693 : 90160/53693 : 1) C2b (635348/34361 : -1160169/584137 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
(-48053/910999 : 487970/910999 : 1) C1b (-946453/484776 : -1092931/8241192 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
(-3779/9222 : -163/9222 : 1) C1b (4165483/342047 : 260859/342047 : 1)
** u= -84/101 ; tau(u)= 286/185 ; -61394*x^2 + 13346*y^2 + 88852*x*z - 61394*z^2
(659/280 : -1063/280 : 1) C2b (472423/106427 : 49857/106427 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
(-1679/76 : 1169/76 : 1) C1a (-169/320 : -63/1088 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
(7019/8711 : 18720/8711 : 1) C2b (348644/171105 : -44483/171105 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
(-823/680 : 73/680 : 1) C1b (-1609015/1096228 : 95651/1096228 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
(1783/2152 : -201/2152 : 1) C1a (120343/7708 : 7769/7708 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
(-1613/1789 : 1092/1789 : 1) C1a (611/401 : 1151/6817 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
(929/148 : -1541/148 : 1) C1a (20611/8356 : 19/68 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
(-3276/113 : -721/113 : 1) C1b (5248/495 : -5069/8415 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
(9241/331533 : 112798/331533 : 1) C1b (-9200/13323 : -967/13323 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
(-19653/947555 : 42968/135365 : 1) C1a (121/1765 : 1719/30005 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
(-59329/90065 : -3284/90065 : 1) C1b (118575/50917 : -9661/50917 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
(26171/37907 : 58398/37907 : 1) C2b (-815311/68576 : -109747/68576 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
(2827/316949 : 415062/316949 : 1) C1a (-194123/37793 : -13771/37793 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
(65205/55589 : 21796/55589 : 1) C1a (-179840676/248872129 : 23858807/248872129 : 1)
** u= 109/173 ; tau(u)= 237/64 ; 3689*x^2 + 47977*y^2 + 68050*x*z + 3689*z^2
(-241109/1363189 : 564656/1363189 : 1) C1b (160347259/2594452 : 9092541/2594452 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
(405/914 : 179/914 : 1) C1a (-21784/8711 : 1587/8711 : 1)
** u= -116/89 ; tau(u)= 294/205 ; -70594*x^2 + 2386*y^2 + 99892*x*z - 70594*z^2
(1517/2760 : 10871/2760 : 1) C2b (-731901/215176 : 276059/215176 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
(172/169 : 375/169 : 1) C2b (60224/34833 : 121711/592161 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
(-352/313 : -45/313 : 1) C1b (-710672/551603 : 43439/551603 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
(352/313 : 45/313 : 1) C1a (810695/245037 : -48211/245037 : 1)
** u= -127/169 ; tau(u)= 465/296 ; -159103*x^2 + 40993*y^2 + 232354*x*z - 159103*z^2
(-33/245 : -76/35 : 1) C2b (1120156/2638759 : 231243/2638759 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
(-2283/23621 : -2048/165347 : 1) C1b (166060/2503 : -66159/17521 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
(719/431 : 880/431 : 1) C2b (204265/98684 : -273587/1677628 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
(-349/27159 : -5516/27159 : 1) C1a (341864516/132420831 : 21047101/132420831 : 1)
** u= -132/181 ; tau(u)= 494/313 ; -178514*x^2 + 48098*y^2 + 261460*x*z - 178514*z^2
(-1261/12634 : -26171/12634 : 1) C2b (40591631/20880112 : -3375243/20880112 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
(-37/4267 : -2556/4267 : 1) C1a (-9979/17505 : 209/3501 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
(-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1) C2b (51652928/1690157 : -6300657/1690157 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
(-18813/139661 : -24800/139661 : 1) C1b (572652/364745 : 8107/72949 : 1)
** u= 139/58 ; tau(u)= 23/81 ; 6199*x^2 - 12593*y^2 + 19850*x*z + 6199*z^2
(-1523/21143 : 91386/148001 : 1) C1a (-56504/72875 : -6439/102025 : 1)
** u= 141/52 ; tau(u)= 37/89 ; 4039*x^2 - 14473*y^2 + 21250*x*z + 4039*z^2
(811/10059 : -908/1437 : 1) C1a (9383796/995317 : 554609/995317 : 1)
** u= 147/74 ; tau(u)= -1/73 ; 10951*x^2 - 10657*y^2 + 21610*x*z + 10951*z^2
(-4331/4439 : -734/4439 : 1) C1a (-472144193/256945579 : -27595307/256945579 : 1)
** u= -148/109 ; tau(u)= 366/257 ; -110194*x^2 + 1858*y^2 + 155860*x*z - 110194*z^2
(-5784/2489 : -59659/2489 : 1) C2b (11954833/481285 : -1012401/96257 : 1)
** u= 149/104 ; tau(u)= -59/45 ; 18151*x^2 - 569*y^2 + 25682*x*z + 18151*z^2
(-5575/7957 : 31764/7957 : 1) C1a (12107/32943 : 13541/32943 : 1)
** u= 150/49 ; tau(u)= 52/101 ; 2098*x^2 - 17698*y^2 + 25204*x*z + 2098*z^2
(244/111 : -217/111 : 1) C1a (-965207/69328 : -54601/69328 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
(-3373/4375 : -49776/4375 : 1) C2b (-13642373/314823 : -5446793/314823 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
(1703/13168 : 1191/13168 : 1) C1a (9364/26805 : -26447/455685 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
(-717/10423 : -928/10423 : 1) C1a (367229/34292 : -21063/34292 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
(15/11 : -26/11 : 1) C2b (653272/502997 : 66477/502997 : 1)
** u= -168/169 ; tau(u)= 506/337 ; -198914*x^2 + 28898*y^2 + 284260*x*z - 198914*z^2
(-20967/7568 : -70577/7568 : 1) C2b (-118588/11029 : -18879/11029 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
(1269/944 : -2717/944 : 1) C2b (-1903405/30367 : -332225/30367 : 1)
** u= -188/137 ; tau(u)= 462/325 ; -175906*x^2 + 2194*y^2 + 248788*x*z - 175906*z^2
(-4538/19963 : 209465/19963 : 1) C2b (-236560/111049 : 164471/111049 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
(-269/126 : 6131/882 : 1) C1a (-104/7 : 2917/833 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
(-953/209 : 366/209 : 1) C1a (-34620504/2950895 : 2011919/2950895 : 1)
100
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2025.12.28 |
| H.Nakao |