Integer Points on A^4+B^4+C^4=90738*D^4

[2025.12.25]A^4+B^4+C^4=90738*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

90738=2*213^2であるので、以下では、n=213とする。

■n=213のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=213;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように127個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(213,1,200);
** u= 3/5 ; tau(u)= 7/2 ; x^2 + 41*y^2 + 58*x*z + z^2
  (-1/3 : 2/3 : 1)  C1b (-121/13 : -7/13 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-4369/9421 : 939/9421 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (6203/26984 : -1793/26984 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (31952/22613 : 1997/22613 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (12731/10052 : 801/10052 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (1251493/866824 : -76241/866824 : 1)
** u= 7/2 ; tau(u)= 3/5 ; -x^2 - 41*y^2 + 58*x*z - z^2
  (9/167 : 38/167 : 1)  C1a (-61/104 : -7/104 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-9839/1664 : 569/1664 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
  (1/5 : 6/115 : 1)  C1b (19/328 : 439/7544 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
  (2402/7199 : 243/313 : 1)  C2b (-536836/858589 : -89183/858589 : 1)
** u= 8/153 ; tau(u)= 298/145 ; -41986*x^2 + 46754*y^2 + 88868*x*z - 41986*z^2
  (45115/66751 : 10248/66751 : 1)  C1b (656156/1199671 : 70879/1199671 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (32336/8135 : -373/1627 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (166556/71431 : -29731/71431 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (272752/126107 : -17799/126107 : 1)
** u= 12/65 ; tau(u)= 118/53 ; -5474*x^2 + 8306*y^2 + 14068*x*z - 5474*z^2
  (214/557 : 181/557 : 1)  C1b (140096/177319 : 11233/177319 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (-1277051/2606528 : -220611/2606528 : 1)
** u= -12/181 ; tau(u)= 374/193 ; -74354*x^2 + 65378*y^2 + 140020*x*z - 74354*z^2
  (25971/20068 : -10435/20068 : 1)  C2b (4504033/1701197 : 275003/1701197 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (-14779/27577 : -17131/193039 : 1)
** u= 12/197 ; tau(u)= 382/185 ; -68306*x^2 + 77474*y^2 + 146068*x*z - 68306*z^2
  (3907/6272 : 199/896 : 1)  C1b (-119251/355633 : 28253/355633 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (178424/300577 : -1133/17681 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (-119261/79096 : -12831/79096 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1b (-377927/120419 : -27361/120419 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (693692/126463 : 323889/885241 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (22948/69821 : 73611/1186957 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-218356/75869 : 22491/75869 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (532028/1755599 : -103149/1755599 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
  (241/35271 : 38158/35271 : 1)  C2b (-83558732/53316127 : 8681729/53316127 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (2912440/1094999 : -187565/1094999 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (106228/15997 : -8351/15997 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
  (-5/96 : 361/96 : 1)  C2b (-4549/7712 : -2381/7712 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (21128/66269 : 5079/66269 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-182173/392956 : -28317/392956 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (-3720079/1786676 : 614723/1786676 : 1)
** u= 23/153 ; tau(u)= 283/130 ; -33271*x^2 + 46289*y^2 + 80618*x*z - 33271*z^2
  (27697/52501 : -174/52501 : 1)  C1b (10614668327/21946969669 : -1282081229/21946969669 : 1)
** u= -24/17 ; tau(u)= 58/41 ; -2786*x^2 + 2*y^2 + 3940*x*z - 2786*z^2
  (16/9 : 431/9 : 1)  C2b (-241/196 : -869/196 : 1)
** u= 24/109 ; tau(u)= 194/85 ; -13874*x^2 + 23186*y^2 + 38212*x*z - 13874*z^2
  (-53175/32953 : -72316/32953 : 1)  C1b (637777/765812 : 49703/765812 : 1)
** u= -24/149 ; tau(u)= 322/173 ; -59282*x^2 + 43826*y^2 + 104260*x*z - 59282*z^2
  (54377/32917 : -34744/32917 : 1)  C2b (-494705/857843 : 90395/857843 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
  (-1/5 : -6/115 : 1)  C1a (9379/10271 : 20533/236233 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (110233/32152 : 16839/32152 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (222347/44024 : -16421/44024 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (68/491 : -127/491 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (5797928/3852947 : -357727/3852947 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (34807/16144 : 2119/16144 : 1)
** u= -33/65 ; tau(u)= 163/98 ; -18119*x^2 + 7361*y^2 + 27658*x*z - 18119*z^2
  (11/3 : -14/3 : 1)  C2b (4409456/1459033 : -340471/1459033 : 1)
** u= 33/169 ; tau(u)= 305/136 ; -35903*x^2 + 56033*y^2 + 94114*x*z - 35903*z^2
  (36611/168145 : 92924/168145 : 1)  C1b (52572901/31296428 : 3132047/31296428 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-46028/5863 : -249/451 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (6509764/2977931 : 435209/2977931 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-1642939/48401 : -95631/48401 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (7281656/1797077 : 420497/1797077 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (-778168/317011 : 215327/317011 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (140656/78671 : 14663/78671 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
  (-1/230 : 831/230 : 1)  C1a (-233/101 : -37/101 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-1593389/536876 : 99297/536876 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (3046148/271891 : 176489/271891 : 1)
** u= 58/41 ; tau(u)= -24/17 ; 2786*x^2 - 2*y^2 + 3940*x*z + 2786*z^2
  (1/19 : 736/19 : 1)  C1a (-17/28 : 43/28 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1b (-4248073/203011 : -253529/203011 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (-254521/7633408 : -563447/7633408 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (-26804/65681 : -3831/65681 : 1)
** u= -69/125 ; tau(u)= 319/194 ; -70511*x^2 + 26489*y^2 + 106522*x*z - 70511*z^2
  (5657/7837 : -8390/7837 : 1)  C2b (44148641/24983947 : 3241457/24983947 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
  (-1541/36689 : 16288/36689 : 1)  C1b (240628/1150169 : 66699/1150169 : 1)
** u= -69/157 ; tau(u)= 383/226 ; -97391*x^2 + 44537*y^2 + 151450*x*z - 97391*z^2
  (358093/1558749 : -1922350/1558749 : 1)  C2b (1619816/3889141 : 277503/3889141 : 1)
** u= -75/181 ; tau(u)= 437/256 ; -125447*x^2 + 59897*y^2 + 196594*x*z - 125447*z^2
  (19307/37694037 : 54528800/37694037 : 1)  C2b (-4174771/1707151 : -476251/1707151 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (12647/2507 : 19421/17549 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (434597/98327 : -28093/98327 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (12618559/3291824 : -1131401/3291824 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-27507496/124255 : 321945/24851 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-79393/2584 : 849/152 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (2197348/535699 : -260403/535699 : 1)
** u= 79/153 ; tau(u)= 227/74 ; -4711*x^2 + 40577*y^2 + 57770*x*z - 4711*z^2
  (-2209603/59070449 : 24320850/59070449 : 1)  C1b (-85138528/23189143 : -98219/437531 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (1110373/9929404 : -886789/9929404 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (1492/9413 : -1261/9413 : 1)
** u= 84/101 ; tau(u)= 118/17 ; 6478*x^2 + 13346*y^2 + 20980*x*z + 6478*z^2
  (-1641/4744 : 83/4744 : 1)  C1b (1223885/530713 : -89705/530713 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
  (5188/15605 : -22891/15605 : 1)  C2b (2371496/1766833 : 191149/1766833 : 1)
** u= 84/197 ; tau(u)= 310/113 ; -18482*x^2 + 70562*y^2 + 103156*x*z - 18482*z^2
  (467/12540 : 5717/12540 : 1)  C1b (17354189/21767497 : -87151/1280441 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (13270205/19116289 : 1302675/19116289 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1a (-4547/15991 : -1081/15991 : 1)
** u= 87/121 ; tau(u)= 155/34 ; 5257*x^2 + 21713*y^2 + 31594*x*z + 5257*z^2
  (-2723/15581 : 1078/15581 : 1)  C1b (191158049/131187904 : -14563753/131187904 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (2346716/1693153 : 292357/1693153 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (526411/414076 : -55123/414076 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (391190548/4806133 : -22543029/4806133 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (-8997019/1304959 : 657487/1304959 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (465655/35872 : 39525/35872 : 1)
** u= -96/85 ; tau(u)= 266/181 ; -56306*x^2 + 5234*y^2 + 79972*x*z - 56306*z^2
  (2859/2033 : 6602/2033 : 1)  C2b (447347/850663 : 117951/850663 : 1)
** u= -96/137 ; tau(u)= 370/233 ; -99362*x^2 + 28322*y^2 + 146116*x*z - 99362*z^2
  (-3/229 : 51536/27251 : 1)  C2b (10676/4273 : 109717/508487 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (-2149652/2522099 : 182657/2522099 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
  (-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1)  C2b (-2841609919/1029950608 : -375436711/1029950608 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (-1238863/14776 : 71851/14776 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-168284/56899 : 573/3347 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (10050587/977809 : 991359/977809 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-2609731/1083944 : 172087/1083944 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (983012/91517 : -147323/91517 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-280916/58001 : -20619/58001 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (-1273481/273491 : 81929/273491 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (10252/21743 : 2527/21743 : 1)
** u= 118/17 ; tau(u)= 84/101 ; -6478*x^2 - 13346*y^2 + 20980*x*z - 6478*z^2
  (503/558 : -409/558 : 1)  C1a (-937360/703523 : 81065/703523 : 1)
** u= 118/53 ; tau(u)= 12/65 ; 5474*x^2 - 8306*y^2 + 14068*x*z + 5474*z^2
  (-12336/57065 : -32467/57065 : 1)  C1a (8629/6592 : 803/6592 : 1)
** u= -120/157 ; tau(u)= 434/277 ; -139058*x^2 + 34898*y^2 + 202756*x*z - 139058*z^2
  (2859/34375 : 64576/34375 : 1)  C2b (20027111/13544203 : 1702243/13544203 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1a (-3194113/249512 : -194477/249512 : 1)
** u= -132/137 ; tau(u)= 406/269 ; -127298*x^2 + 20114*y^2 + 182260*x*z - 127298*z^2
  (6792/5753 : -12139/5753 : 1)  C2b (810632/406045 : -17555/81209 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (4883185/1065509 : -532305/1065509 : 1)
** u= 133/153 ; tau(u)= 173/20 ; 16889*x^2 + 29129*y^2 + 47618*x*z + 16889*z^2
  (-64579/119891 : 43644/119891 : 1)  C1b (-395146111/133482883 : -22890373/133482883 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-87889/67787 : 13129/67787 : 1)
** u= 145/149 ; tau(u)= 153/4 ; 20993*x^2 + 23377*y^2 + 44434*x*z + 20993*z^2
  (-469/345 : 56/345 : 1)  C1b (-1954732/696161 : -116077/696161 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
  (-47137/46037 : -20796/46037 : 1)  C1b (77425628/43405321 : -6815077/43405321 : 1)
** u= -145/169 ; tau(u)= 483/314 ; -176167*x^2 + 36097*y^2 + 254314*x*z - 176167*z^2
  (6427/4971 : -9854/4971 : 1)  C2b (-121707088/1943711 : -15825849/1943711 : 1)
** u= -147/109 ; tau(u)= 365/256 ; -109463*x^2 + 2153*y^2 + 154834*x*z - 109463*z^2
  (-107199/146047 : -98336/8591 : 1)  C2b (28207/174884 : -64187/174884 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (818239/886621 : -166347/886621 : 1)
** u= 153/4 ; tau(u)= 145/149 ; -20993*x^2 - 23377*y^2 + 44434*x*z - 20993*z^2
  (487/391 : 108/391 : 1)  C1a (656156/1199671 : 70879/1199671 : 1)
** u= 155/34 ; tau(u)= 87/121 ; -5257*x^2 - 21713*y^2 + 31594*x*z - 5257*z^2
  (2217/11731 : -1826/11731 : 1)  C1a (-890513/541363 : -65251/541363 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
  (-29727/12721 : 6178/12721 : 1)  C1b (1034744/1150481 : 110051/1150481 : 1)
** u= 159/169 ; tau(u)= 179/10 ; 25081*x^2 + 31841*y^2 + 57322*x*z + 25081*z^2
  (-23809/32403 : 1534/4629 : 1)  C1b (-94264/125101 : -7751/125101 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (19528204/6714623 : 2056947/6714623 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (162004/67841 : -2096347/6987623 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
  (79009/128645 : 5844/128645 : 1)  C1a (5596/1047553 : 68311/1047553 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (30447188/2675003 : 1777257/2675003 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (524144/423901 : -62501/423901 : 1)
** u= 163/98 ; tau(u)= -33/65 ; 18119*x^2 - 7361*y^2 + 27658*x*z + 18119*z^2
  (-3/11 : 14/11 : 1)  C1a (-518957/367048 : 36911/367048 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (137382892/23194429 : -9449871/23194429 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
  (439/2441 : -3132/2441 : 1)  C1a (-87426356/83100163 : 5877113/83100163 : 1)
** u= 173/20 ; tau(u)= 133/153 ; -16889*x^2 - 29129*y^2 + 47618*x*z - 16889*z^2
  (37621/30677 : -22812/30677 : 1)  C1a (989068/1099747 : 73717/1099747 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (64468801/315257083 : -166619081/315257083 : 1)
** u= 179/10 ; tau(u)= 159/169 ; -25081*x^2 - 31841*y^2 + 57322*x*z - 25081*z^2
  (15543/20597 : 7202/20597 : 1)  C1a (-167585827/32433137 : 11967947/32433137 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-18196432/6357245 : -236345/1271449 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (13228/5389 : -47/317 : 1)
** u= 194/85 ; tau(u)= 24/109 ; 13874*x^2 - 23186*y^2 + 38212*x*z + 13874*z^2
  (-1327/3231 : -484/3231 : 1)  C1a (30343/11524 : -2249/11524 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (-2083304/1129721 : -136247/1129721 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (52432/18743 : 118061/131201 : 1)
127
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-96/85のとき

46410580396087^4+48706449849644^4+118968414820139^4=90738*6940828958469^4
474157974098778911055234025106084541011403262631500384489389983231156482746136779658017866800985185932844046079914672349774618308^4+548918787192571265546084680949427257617331866714632144099955295191481475646793038987351068820272137577760262730508439870559371647^4+1297395679615706870821238613202316082257602678619894055028843667370474267374452429472352945739617395085897820613595423745729580507^4=90738*75667690148146713527015345252077155276199857096307562539010761068268118341046185996549508084561727180863922219853305609056943921^4
51818031239690887235882551424757513873817587041686679313183378053378657693677085082544647469510034349443302030879422853820292818829803700593261407719886132188490414660993727798765850440495817499878263749543726658056603213041403813886603520183768297926820650451334280550707423377122603018206495382245435766062794284875978547682849275975569274799208061896586127^4+66497934218024012304763933958987181058091890391333829747855603591376981085964566412573240804691801067365759803441242187195129797100241476474986114759907294033006326821516321932122634429405263055526775483128056951590320704410021163980223766770742817449220043919143445083432738111338964216911623341720503664616302393013667876053676112701583941167080182325596276^4+154294386413832479241384082438717575464092039926399711959594780006839063728678602655105822108762461368531483868696125002157278308502266729417529195416208098012616491659265819418600177122437601914303094805384460686317985860088812283902443197614754588787085132225897900659551349251448562865117566617445258683236241081609561786720418902195630530315151478980414523^4=90738*8993164213983157621821431097499253543776556085849014166261720697730191236807417487814334315080148444045855260470858658511352524634405276851205204483044723666240206159823615504326237080627001343166383873663660093519015623792404755471354139692877345331323797608183317560984269944040197267173335189549734752048458842881792174652804071627968846161083759706816473^4
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[参考文献]

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Last Update: 2025.12.30

H.Nakao