Integer Points on A^4+B^4+C^4=87362*D^4

[2025.12.25]A^4+B^4+C^4=87362*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

87362=2*209^2であるので、以下では、n=209とする。

■n=209のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=209;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように101個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(209,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (4/35 : 1/7 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (196/103 : 43/103 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-4244/2895 : -269/2895 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (2540/8051 : -471/8051 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (620/65657 : -4733/65657 : 1)
** u= 4/117 ; tau(u)= 230/113 ; -25522*x^2 + 27362*y^2 + 52916*x*z - 25522*z^2
  (-200161/74654 : 267333/74654 : 1)  C1b (162163956/71731645 : -9672559/71731645 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (163/277 : 17/277 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (397/160 : -37/160 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (-82120/26529 : -8141/26529 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
  (4051/74305 : -81888/74305 : 1)  C2b (99096/139021 : 8749/139021 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-511311/658423 : 66709/658423 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (-679135/17704 : 843291/300968 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-107/4800 : 437/4800 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (24240/35027 : 2309/35027 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (67720/213737 : -12493/213737 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (-1728440/602141 : 161041/602141 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
  (241/35271 : 38158/35271 : 1)  C2b (28081576/4014143 : 1892819/4014143 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
  (-1097/2523 : -1738/2523 : 1)  C1b (-14677/10532 : -1011/10532 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-10523824/29449075 : 128807/1177963 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (-148439/87895 : 17697/87895 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (310632/586637 : -37193/586637 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (2594364/1713091 : 158231/1713091 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (619568/5852515 : -404779/5852515 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (-526777/1282623 : 121291/1282623 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-616199/1086095 : -19071/217219 : 1)
** u= -24/61 ; tau(u)= 146/85 ; -13874*x^2 + 6866*y^2 + 21892*x*z - 13874*z^2
  (-17/59 : -104/59 : 1)  C2b (-403096/950065 : -108753/950065 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (328/8955 : -1097/8955 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-657485/31132 : -39213/31132 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (135545/221313 : -14069/221313 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (-899044/188919 : 101011/188919 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (1010151/235984 : -59257/235984 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (-11276/2135 : 669/2135 : 1)
** u= 32/117 ; tau(u)= 202/85 ; -13426*x^2 + 26354*y^2 + 41828*x*z - 13426*z^2
  (18127/1005415 : 697296/1005415 : 1)  C1b (-627357/60440 : 40009/60440 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
  (3113/23499 : -854/3357 : 1)  C1a (1300/2507 : 159/2507 : 1)
** u= 40/89 ; tau(u)= 138/49 ; -3202*x^2 + 14242*y^2 + 20644*x*z - 3202*z^2
  (2407/379 : 112/379 : 1)  C1b (-410768048/45918707 : -24753089/45918707 : 1)
** u= 40/113 ; tau(u)= 186/73 ; -9058*x^2 + 23938*y^2 + 36196*x*z - 9058*z^2
  (1085/8289 : 3584/8289 : 1)  C1b (-624832/385615 : -48851/385615 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (-12080/28401 : -3133/28401 : 1)
** u= 43/125 ; tau(u)= 207/82 ; -11599*x^2 + 29401*y^2 + 44698*x*z - 11599*z^2
  (211/278531 : 174690/278531 : 1)  C1b (-899180/1159613 : -98993/1159613 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-841024/69439 : -82161/69439 : 1)
** u= 48/193 ; tau(u)= 338/145 ; -39746*x^2 + 72194*y^2 + 116548*x*z - 39746*z^2
  (15393/1559 : -9646/1559 : 1)  C1b (626600/522463 : -41331/522463 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (1271695/73088 : -205555/73088 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (102624/14635 : 6391/14635 : 1)
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b (335/9136 : -541/9136 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (494360/122063 : 46733/122063 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-1747061/296192 : 104607/296192 : 1)
** u= 57/193 ; tau(u)= 329/136 ; -33743*x^2 + 71249*y^2 + 111490*x*z - 33743*z^2
  (139247/443397 : -75356/443397 : 1)  C1b (2790472/1164479 : 163899/1164479 : 1)
** u= -59/45 ; tau(u)= 149/104 ; -18151*x^2 + 569*y^2 + 25682*x*z - 18151*z^2
  (-17287/73979 : 491772/73979 : 1)  C2b (-765077/96733 : 274793/96733 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (563/763 : -129/763 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-9623/54140 : 42097/378980 : 1)
** u= 61/197 ; tau(u)= 333/136 ; -33271*x^2 + 73897*y^2 + 114610*x*z - 33271*z^2
  (788999/9229 : 518676/9229 : 1)  C1b (-900357/148861 : -58127/148861 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (-359621/20404 : 36399/20404 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (-11956737/1985356 : -1912909/1985356 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (47876/9699 : -106709/223077 : 1)
** u= 76/113 ; tau(u)= 150/37 ; 3038*x^2 + 19762*y^2 + 28276*x*z + 3038*z^2
  (-899/8232 : 31/1176 : 1)  C1b (-521545/168532 : 31043/168532 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-10262224/7590505 : -1580207/7590505 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-74236/156985 : -65031/156985 : 1)
** u= 85/101 ; tau(u)= 117/16 ; 6713*x^2 + 13177*y^2 + 20914*x*z + 6713*z^2
  (-1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1b (-92160/237217 : 13879/237217 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-157105/55113 : 10637/55113 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-9352/395 : 817/395 : 1)
** u= -92/113 ; tau(u)= 318/205 ; -75586*x^2 + 17074*y^2 + 109588*x*z - 75586*z^2
  (125315/53844 : 28229/7692 : 1)  C2b (-216236/911161 : 132813/911161 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (990829/504820 : -513941/3533740 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (2065519/784004 : -188769/784004 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-35940/49373 : -3083/49373 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
  (-107/173 : -108/173 : 1)  C1a (-598776/208261 : -38389/208261 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (3257456/2821425 : -346549/2821425 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (-989/8469 : 1199/8469 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-80132/7685 : -4677/7685 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (736071/566455 : -46201/566455 : 1)
** u= 112/113 ; tau(u)= 114 ; 12542*x^2 + 12994*y^2 + 25540*x*z + 12542*z^2
  (-106117/122901 : 13630/122901 : 1)  C1b (44680/103937 : 9035/103937 : 1)
** u= 114 ; tau(u)= 112/113 ; -12542*x^2 - 12994*y^2 + 25540*x*z - 12542*z^2
  (7/8 : 1/8 : 1)  C1a (94555/1046728 : 68825/1046728 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (-3127008/409195 : -187307/409195 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-114800/118791 : 8527/118791 : 1)
** u= 117/16 ; tau(u)= 85/101 ; -6713*x^2 - 13177*y^2 + 20914*x*z - 6713*z^2
  (1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1a (-627357/60440 : 40009/60440 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-61087/15425 : -917/3085 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (314189/277147 : 189729/1940029 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (197717/73860 : -38321/73860 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (745835/3709947 : 345659/3709947 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-538866507/954874331 : -61056229/954874331 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (68281340/83149239 : 13499071/83149239 : 1)
** u= 138/49 ; tau(u)= 40/89 ; 3202*x^2 - 14242*y^2 + 20644*x*z + 3202*z^2
  (-411/33518 : -15253/33518 : 1)  C1a (-2621173/202093 : -152961/202093 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-4489348/452777 : -263859/452777 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (84296/18571 : -8007/18571 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-15372/15793 : -611/6503 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
  (-47137/46037 : -20796/46037 : 1)  C1b (7574040/1199761 : 539707/1199761 : 1)
** u= 146/85 ; tau(u)= -24/61 ; 13874*x^2 - 6866*y^2 + 21892*x*z + 13874*z^2
  (-1853/688 : 1957/688 : 1)  C1a (66925/59083 : 9951/59083 : 1)
** u= 149/104 ; tau(u)= -59/45 ; 18151*x^2 - 569*y^2 + 25682*x*z + 18151*z^2
  (-5575/7957 : 31764/7957 : 1)  C1a (101323/269435 : -114517/269435 : 1)
** u= 150/37 ; tau(u)= 76/113 ; -3038*x^2 - 19762*y^2 + 28276*x*z - 3038*z^2
  (49/24 : 35/24 : 1)  C1a (1483764/641039 : 90791/641039 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (-450947/153949 : -176987/153949 : 1)
** u= -152/125 ; tau(u)= 402/277 ; -130354*x^2 + 8146*y^2 + 184708*x*z - 130354*z^2
  (41303/37923 : -121640/37923 : 1)  C2b (218056/745181 : -142339/745181 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
  (-29727/12721 : 6178/12721 : 1)  C1b (22810844/10605795 : -1752767/10605795 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-91987/34460 : -17151/34460 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
  (79009/128645 : 5844/128645 : 1)  C1a (-2218552/1699305 : 220499/1699305 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (2536103/235280 : 29913/47056 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (7577/911 : 1387/911 : 1)
** u= -168/157 ; tau(u)= 482/325 ; -183026*x^2 + 21074*y^2 + 260548*x*z - 183026*z^2
  (-123016/5320071 : 15938425/5320071 : 1)  C2b (799325/120712 : 123771/120712 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (85027/81755 : 8943/81755 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (-10044/297643 : 19529/297643 : 1)
** u= 186/73 ; tau(u)= 40/113 ; 9058*x^2 - 23938*y^2 + 36196*x*z + 9058*z^2
  (2843/6609 : -6928/6609 : 1)  C1a (-28144/110885 : -6457/110885 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-76357/71120 : -5291/71120 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (-720395/198877 : -48857/198877 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (52772/64355 : 11823/64355 : 1)
101
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=4/17のとき

456741325525^4+11021276613067^4+13918037099988^4=87362*879530604163^4
3698939684760253649465869297427789760463792704238357104700729448620698796208840723978355098280270968035526104851230719^4+47520439503632896843597374930097185316706738687890499522200258139460474863852685112691782637051877805605930221670441980^4+115905323236837557809351259589036870619891038120314870372686796940785070919573590910625072372156515962375727034895958711^4=87362*6788880224034431984035875704367148539523589423311685499327506973728655857623778903638902194281075590996714454048771701^4
134002576507050903591187235963120941955822173145525710065305525344354640124744511379557358736648049010719038112821280848291873673811572440823048948933708732344389334964953820095908460653190408209089966050175528596729752245543808275833374855577561375554770397068589541110915720560602286260677054105922973809601391959351494440968693^4+889618879088770612245344198285053613769637566159016349908896366714181289568877935499823038324675664496962431510659532555017381506780191234935740458181164378357687587732236128442501051236215085719802480600315568284416451691630688560488209398821126541282156648976969158073882328963248905307605862357020426554320355913983206876450877^4+992477811389608669022997025332385631879974785528761287150868721137483963888670900355699657870532868963771820534703450529685711445331731358477588661047930491752627449757900676383073071640419379549761356014331143780408774073490124089785667186402281142921456789857698234317676587392722811813240815770013030997086728138540167728343740^4=87362*65386808410388116285580072720347872726762370479213062749442546863808120085822451308413754373472772243375971072498699661531811542772627717576044965089437522296321006957847374476098686924626544434386439060955455305178237826009365198193038742642607352736028467997330077080064318794013609104514563820083540734037032084482808066227223^4
...

u=-76/109のとき

4555385196102500^4+6561988016927367^4+8312759490194201^4=87362*533173003199071^4
2487685665922945440727408329^4+14357062638234334792502189300^4+30379917310312343812721225287^4=87362*1788732455094701399718442823^4
142846063205862465140903746416172534020455492395406418257572500585^4+768991387027770308659353743359760437058816843573354462650163595796^4+1252413308886999566455588181494573459912022720733669057925816839343^4=87362*75311673337761159711243028004222387040074484220829353074181106963^4
1722449410848971877211678888447748213503161308188617607521542968950644780712036184028585937157934708589988^4+1958405103591213920427103670191901959199757642790482138773428827586385120377429661584140578454301830900105^4+2531526070554940075633589539549113311683292967705562740566398911990460985430593193553695258273787265185121^4=87362*164891406170572895793902775583169136802419189566794712715541499039494539512074358866852232670226128217339^4
230301681464389157680156744054896435903563698930710749030258935263465443922196854068002650410930367336203203414678300^4+349721019155752009070093024446182140885552792366818371106902425264026840989246459472955483849045304852529377089582749^4+445058262453622416451792276620885761670941939302276880750271750905111186928315629177707960531891030311273429727188653^4=87362*28421666987354816245585075885786925022003820950185374201963390243597358642584820435698025648754649777307575627895037^4
241756640045098259494164363509908734781366422869006593965030457120364507935106751442151772960216842905357169606463857459529190222814619324755^4+2765912658666430570346387138765019487932876897084420965751494120741231319081508794262001497713348947046061222349036119745567557669712957215252^4+5503637355387987750695556026568680365108639374164978182260992556514326176642773360960808633251854262310540941201129934924822238534532594192891^4=87362*325112414683653569802741800695673265205108042350251972531162518878872385668951714066562603941661991570478301875509344450300982314553674574569^4
146745758306766397235243573429365769902808902021635789426681263610833362449652655086880018128154912067946321621038492428118967025186253743434038902057768003^4+614016897195727162392352006849348180951496200646348494284722014048345615358795079134036435712996543739999975079491753230071249550334942163138831182173377300^4+962723586753322755131242164185475671594937727376580173922913067444115386880545513135002954306413698892251646203497626848986902678015368520517226650897890691^4=87362*58189733207242693336122527269970337155687645119200837763872030886815047335217659121376274944484919113844859061828946993430022668248205242187818082222671061^4
1702455578348117356179522211298258365543647590746270452924482307019962684793585846604141787395156020114372211244332541348341556681096276574166932973747451747892401411295863380317108^4+3359743462083684827655822432765632166754283103050391564852737190924692681936882562522066405100083405868158186879175095878803748113290572614818815732630082614625483645774116915339145^4+4484255672745428228059177272243181927326250910833049396693939072669336276211711949255146730011202576275861760489157196777004289889448006318098840392170071121772536835640506282985041^4=87362*280415517969925926376808147320793982499038342827328254068101063993578401969878563867002017601188912227669864754938860615284668227719866254703842207782657604934279727410203266753859^4
20974135903748734517469732885596146597699119406400596888618936613189161328835347255466397973339813202965757197659573006707318933299088650830675075565305818378814843652139247766773545923219843458210172912426014821199687267112475884^4+24901446381633197326438712521964104781012070636036608895585597649412626606967838696076528635257446569435994473677130358520329188160116262902293807531157494726908176737722363067391847826189862807509404157515807435841815773352269635^4+31874207825743494481465712015959217008503755193763739299984026675366552192790297599900771678591929188776450812445121058315275622267475996482330939292127863463755345895656253713445977023710818796961159875320444197415296940605011157^4=87362*2072001618669640201510901555336877675870747712483024744802732475201676089916813800290808615180225732967548503431228899705946002264378919381300655493465508055298519436918640382293322204492379238402779435053102933641378055247677657^4
32327942559901381710141231006156647461140703288774589324213238651117744257657750407419143168864168067529800731458578575109895415909977790670799039354608660018891524652026813282336536507727275985629162677861543169685525964382559421248100736426935^4+36504163254622946874329780839146583907636215120080004075055731629806842176713381071161996984372165426280281223769270475223128277373652063779730824169288022804815575906880476171865229511748980288783230589218401318661810838884360857734560503934756^4+119730557473270925086195287174319607226755516317342278998606511355724358418972202227331037654023905235884279934176218980073869147637080488602290772161934602232326542027343836239046775531666210711780884865131731179790378621996672916685155149728863^4=87362*6988421558793878474741713995303420333536079204951129501596403296067268646964825682512043215378707535960494290984621484080401598218321495650790035023828944668271795444257606786247296497591112022483830823624206082457972751064339979578995141699963^4
350816317524514264239820709007325574194469688372800736382247638104068023010849899194537175034346077837018175910050932891697087050270570516208612182078776830468256558437233565988916118227415732287037659818847919184165092603301770502241615408059296653111769404^4+750274924635162373850219379543489472756038824515507012635823527795560834054140063589845412963538360709390804029206805877111707265391639238653587973081894068898950694262178390088220851373235655454655865363303633419543981607494660553279500973252961948587436515^4+1020266021627955498810349137941536626403326899648938633254343865853225338962403813438171833868878293287500623472007513327474452283195528967639257645014394741398825002859624173101286707918574062274454767965735407144980613259211284930150320858419663667504791557^4=87362*63445801150749735804962815621345703417134599597786848598977288493004769104627979250295242317831359138361214266838643408803330860962461661514292556424793682984793228177616574684805645040654552870425504165302234830325646825928061501293242893824401934770709537^4
826451288002161077318466879255175934168540836033638415394741210875064403069247336037558560203800208926138407001661281126970558221310000223142702183017439297884050472350697657641734387267995815287567458429491133861913944119872947374581242005395540782845997771335207670574260426506994947395435884214078038909478940544115554694657612^4+1132425213034926033876921348520207481998477795382167353429896573774208472000519649219301641815409448960331600798959129725354785252955365339363524346429186177769225310547249036611999928206457981612931952768284058907674485395439639380732764924526523345051987525179878091275953937168488836705951828704730857390728208004314874607706695^4+1431938110520505153589493087943452376166878638924366664032977240648050702668473448688755875919991137289278529420309164281952343884203487237390993550255353160724490412872680897626285945513194208834359035250316156210753607400951125102935100905393827244454966687219886868514163773311701812833985037788237542638865045489518282808559679^4=87362*92208084481665559881711511074644461901712801569035443493501467056362118304349101682936333631213356633018143141552651174326788274838596005277709741455454053909915935801013510559223027812904545658526665146118825875032545549263317820841976732708209129616422366141662925145008563974287122160596698726999257757327082573543162995172339^4
9055221834488508398076462169788702527724905584104603504812144300849520262853466119363374146741928397736845971782304236394343913869832516263915128064924184664214675321811519013930678712236882033427214512155417917788049211034930643237657104315405314602082949595149784329172168641860728063027634026106680898245211261389990801861714361^4+33451787219775002867951743882188177652058986762034811837560354926299109807048250303041116958761531756980649840902939640833270560285321579130557846111988339842496238486515829210592606746553261446999096195660064135779916981507856335777300931184419330618020789400566480436380741646866104592045303109813280134965137927734815805270380100^4+75750046174276137495779913854004667805367467965824323923797250150397284566492599703496515103054194615113332956611765581555746315136566678675660397899385980263314095133560365833079152763704134706897387848297739930677148005306997952442423384900094254374710215321972267823731592846297822205731691965344255337591385958902639216808559417^4=87362*4447605620915044227659620942093493708132289709152534457357816452651028901146212735080438324481578487144455058383514528899139328412574120604774800636925792969790683891051625577650459157392586595483086384319816496646057853390865860505386014611854143268736516964886276336785257844471263106292161546236760294317245383469427581833621807^4
...

u=133/197のとき
47520089323843184261611247^4+50898001613372928716830560^4+380464494843118736664797759^4=87362*22133223684614979433668223^4 25436411037371578628895158951026890188556746431519228050504418322397204643049461306909891995870379158496424992369827814203579005595747437557527142199628618709723536313667527078067485282715865850821010366230874631867024954198548611147263^4+44594248401771150150915698574929578802265561367734313028317654684202434161950912558511456207986763949718273843282454177578034293953236185832610566751797365033265901071662264978297213438206075731568907924378724899431501484446279765554720^4+111832051465092128398602359547156867730416956829051718952541448358326878490307469295945155558453430488260759854632222607570555481034847931432562544248434007352253559961083831710253699410911684451814425091745054266135540514678867669080911^4=87362*6549826227444634468961950314562072958871143719369349791698712873046937178567769137816335154013252489163283728878849872304858195058334864564003479535991083111011205777266633296444398175895997787496647594776862565553809730277749748887567^4
```
...
```

[2025.12.26追記] u=-76/109, 133/197のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.12.27

H.Nakao