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Integer Points on A^4+B^4+C^4=77618*D^4

[2025.11.15]A^4+B^4+C^4=77618*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

77618=2*197^2であるので、以下では、n=197とする。

■n=197のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=197;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように146個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(197,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (-169/109 : 41/109 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-8/87 : -13/87 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (-139016/14887 : 9321/14887 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (21831/20464 : 1529/20464 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (38299/4216 : 2727/4216 : 1)
** u= 4/149 ; tau(u)= 294/145 ; -42034*x^2 + 44386*y^2 + 86452*x*z - 42034*z^2
  (31760/47417 : -12299/47417 : 1)  C1b (26343/15896 : 1633/15896 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-5672/2083 : 343/2083 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-13548/719 : -23849/12223 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
  (5491/19333 : 14808/19333 : 1)  C2b (4889836/2845531 : -304973/2845531 : 1)
** u= 8/45 ; tau(u)= 82/37 ; -2674*x^2 + 3986*y^2 + 6788*x*z - 2674*z^2
  (1091/227423 : -26448/32489 : 1)  C1b (-18908/1429 : -1283/1429 : 1)
** u= -8/45 ; tau(u)= 98/53 ; -5554*x^2 + 3986*y^2 + 9668*x*z - 5554*z^2
  (172/241 : -147/241 : 1)  C2b (414884/85247 : -29227/85247 : 1)
** u= 8/73 ; tau(u)= 138/65 ; -8386*x^2 + 10594*y^2 + 19108*x*z - 8386*z^2
  (-950/2397 : -3061/2397 : 1)  C1b (-3361071/98869 : 230423/98869 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-7/13 : 1/13 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-44195/11777 : 2715/11777 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (569960/106027 : -34785/106027 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
  (-1103/1008 : 2285/1008 : 1)  C2b (2681881/1307357 : -169479/1307357 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (1072711/290216 : 67101/290216 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (-24280/2477 : 1695/2477 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (620956/1778519 : 811809/12449633 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (7172/1393 : 437/1393 : 1)
** u= 16/173 ; tau(u)= 330/157 ; -49042*x^2 + 59602*y^2 + 109156*x*z - 49042*z^2
  (28877/110699 : -70106/110699 : 1)  C1b (3594239/2811283 : -233627/2811283 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (-12156028/1229079 : -822181/1229079 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (-3781/23249 : 2193/23249 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (31808/1959 : -3457/1959 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (-359192/221959 : 42763/221959 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-28025684/507527 : 1749201/507527 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (2157595/328316 : 136605/328316 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (969992/237567 : 58483/237567 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (-34033/1771 : 15903/12397 : 1)
** u= -25/49 ; tau(u)= 123/74 ; -10327*x^2 + 4177*y^2 + 15754*x*z - 10327*z^2
  (4143/1483 : -4970/1483 : 1)  C2b (-127523/97423 : 20061/97423 : 1)
** u= 28/89 ; tau(u)= 150/61 ; -6658*x^2 + 15058*y^2 + 23284*x*z - 6658*z^2
  (-5608/26373 : -23455/26373 : 1)  C1b (-773039/448448 : 62551/448448 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (-114277/240591 : -19943/240591 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (-653/2689 : 163/2689 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (-59476/11789 : -3627/11789 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (33205897/2224429 : -2099313/2224429 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-7/4 : -9/68 : 1)
** u= 35/37 ; tau(u)= 39/2 ; 1217*x^2 + 1513*y^2 + 2746*x*z + 1217*z^2
  (-5/7 : -2/7 : 1)  C1b (96241/14747 : 7033/14747 : 1)
** u= -35/173 ; tau(u)= 381/208 ; -85303*x^2 + 58633*y^2 + 146386*x*z - 85303*z^2
  (-83483/163555 : -288352/163555 : 1)  C2b (23973484/2049743 : -1818127/2049743 : 1)
** u= 37/41 ; tau(u)= 45/4 ; 1337*x^2 + 1993*y^2 + 3394*x*z + 1337*z^2
  (-1579/835 : -324/835 : 1)  C1b (-27612/893 : 1793/893 : 1)
** u= 39/2 ; tau(u)= 35/37 ; -1217*x^2 - 1513*y^2 + 2746*x*z - 1217*z^2
  (7/5 : -2/5 : 1)  C1a (1420056/23743 : 95677/23743 : 1)
** u= 40/113 ; tau(u)= 186/73 ; -9058*x^2 + 23938*y^2 + 36196*x*z - 9058*z^2
  (1085/8289 : 3584/8289 : 1)  C1b (1318308/193697 : -79519/193697 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (-26843347/4481188 : 1841261/4481188 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (673004/77197 : -2457/4541 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (3344084/3166537 : -264247/3166537 : 1)
** u= 44/73 ; tau(u)= 102/29 ; 254*x^2 + 8722*y^2 + 12340*x*z + 254*z^2
  (-1817/6018 : -26489/42126 : 1)  C1b (61376/40191 : -31063/281337 : 1)
** u= -44/113 ; tau(u)= 270/157 ; -47362*x^2 + 23602*y^2 + 74836*x*z - 47362*z^2
  (10997/5944 : -10311/5944 : 1)  C2b (-1699761/121648 : 159613/121648 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-141032625/9122192 : -12373205/9122192 : 1)
** u= 44/153 ; tau(u)= 262/109 ; -21826*x^2 + 44882*y^2 + 70580*x*z - 21826*z^2
  (848/9509 : -5625/9509 : 1)  C1b (38528/44195 : 617/8839 : 1)
** u= 45/4 ; tau(u)= 37/41 ; -1337*x^2 - 1993*y^2 + 3394*x*z - 1337*z^2
  (749/433 : -224/433 : 1)  C1a (-18908/1429 : -1283/1429 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (-4594157/690096 : -301813/690096 : 1)
** u= 49/149 ; tau(u)= 249/100 ; -17599*x^2 + 42001*y^2 + 64402*x*z - 17599*z^2
  (-91869/133069 : -172340/133069 : 1)  C1b (-6467099492/160090529 : -406284911/160090529 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-49923/3928 : 21461/27496 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (9454231/9951309 : 1628281/9951309 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (-5336/3079 : 341/3079 : 1)
** u= 56/97 ; tau(u)= 138/41 ; -226*x^2 + 15682*y^2 + 22180*x*z - 226*z^2
  (114/11737 : -305/11737 : 1)  C1b (-1960364/475311 : -121139/475311 : 1)
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b (278487/1149364 : -68923/1149364 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (259892/724405 : -9027/144881 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (21592/13631 : 3777/13631 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (7928/4519 : -897/4519 : 1)
** u= -61/85 ; tau(u)= 231/146 ; -38911*x^2 + 10729*y^2 + 57082*x*z - 38911*z^2
  (30037/59109 : 80606/59109 : 1)  C2b (4229443/1249657 : 406617/1249657 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (376751/397901 : 31971/397901 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (70776228/243347 : -328181/18719 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-2943436/157039 : -417041/157039 : 1)
** u= -64/157 ; tau(u)= 378/221 ; -93586*x^2 + 45202*y^2 + 146980*x*z - 93586*z^2
  (-122/49 : -235/49 : 1)  C2b (-167815/291444 : 38045/291444 : 1)
** u= 65/97 ; tau(u)= 129/32 ; 2177*x^2 + 14593*y^2 + 20866*x*z + 2177*z^2
  (-3225/19201 : -808/2743 : 1)  C1b (81489/404203 : 25337/404203 : 1)
** u= -67/49 ; tau(u)= 165/116 ; -22423*x^2 + 313*y^2 + 31714*x*z - 22423*z^2
  (1315/5949 : 43204/5949 : 1)  C2b (-80204/111987 : -90253/111987 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (825420/144217 : 94865/144217 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
  (-12632/411 : 18415/411 : 1)  C2b (-13451321/13482104 : 2189213/13482104 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
  (10799/88427 : 14814/88427 : 1)  C1b (-202136/176629 : -17329/176629 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (-120783451/4149473 : -7273201/4149473 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (-77051/224 : -141479/1568 : 1)
** u= -76/193 ; tau(u)= 462/269 ; -138946*x^2 + 68722*y^2 + 219220*x*z - 138946*z^2
  (-261804/3787507 : -5683805/3787507 : 1)  C2b (-9353552/1363407 : -924269/1363407 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (84069724/1259767 : 5043003/1259767 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (10475/808 : 825/808 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (-117696/79513 : -9791/79513 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (-353548/11409 : -52523/11409 : 1)
** u= -79/121 ; tau(u)= 321/200 ; -73759*x^2 + 23041*y^2 + 109282*x*z - 73759*z^2
  (9157/1303 : -14740/1303 : 1)  C2b (721583/515861 : 58503/515861 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-481004/968237 : 133343/968237 : 1)
** u= 82/37 ; tau(u)= 8/45 ; 2674*x^2 - 3986*y^2 + 6788*x*z + 2674*z^2
  (-593/3074 : 1863/3074 : 1)  C1a (-27612/893 : 1793/893 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
  (-3779/9222 : -163/9222 : 1)  C1b (172616/239767 : -21927/239767 : 1)
** u= 85/137 ; tau(u)= 189/52 ; 1817*x^2 + 30313*y^2 + 42946*x*z + 1817*z^2
  (-10403/15431 : -14376/15431 : 1)  C1b (-95909/293924 : 18307/293924 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-1631815/959768 : 101475/959768 : 1)
** u= -89/153 ; tau(u)= 395/242 ; -109207*x^2 + 38897*y^2 + 163946*x*z - 109207*z^2
  (34745/21773 : 39138/21773 : 1)  C2b (46757/3591 : -4597/3591 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (1807408/1218767 : 157017/1218767 : 1)
** u= -95/149 ; tau(u)= 393/244 ; -110047*x^2 + 35377*y^2 + 163474*x*z - 110047*z^2
  (11575/13669 : -16336/13669 : 1)  C2b (3702684/7807463 : 647477/7807463 : 1)
** u= 96/149 ; tau(u)= 202/53 ; 3598*x^2 + 35186*y^2 + 50020*x*z + 3598*z^2
  (-27331/370237 : -2440/52891 : 1)  C1b (459491/333556 : -35253/333556 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
  (-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1)  C2b (81024784/2715823 : 8553631/2715823 : 1)
** u= 98/53 ; tau(u)= -8/45 ; 5554*x^2 - 3986*y^2 + 9668*x*z + 5554*z^2
  (-3877/2269 : -2604/2269 : 1)  C1a (-77933/32756 : -5093/32756 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (3255304/345877 : 198539/345877 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-650459/224929 : 39177/224929 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-18888460/1009007 : 1191595/1009007 : 1)
** u= 101/181 ; tau(u)= 261/80 ; -2599*x^2 + 55321*y^2 + 78322*x*z - 2599*z^2
  (-16429/21613 : 162264/151291 : 1)  C1b (-214883/52359 : -93511/366513 : 1)
** u= 102/29 ; tau(u)= 44/73 ; -254*x^2 - 8722*y^2 + 12340*x*z - 254*z^2
  (28/69 : -355/483 : 1)  C1a (-241949/2184 : -101513/15288 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (-1139599/195259 : 135263/195259 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
  (405/914 : 179/914 : 1)  C1a (-723871/192368 : -52179/192368 : 1)
** u= 112/137 ; tau(u)= 162/25 ; 11294*x^2 + 24994*y^2 + 38788*x*z + 11294*z^2
  (-339/944 : -205/944 : 1)  C1b (-1805633/32004 : 112753/32004 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-100417/210876 : -13867/210876 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (-441404/137511 : -26579/137511 : 1)
** u= 115/173 ; tau(u)= 231/58 ; 6497*x^2 + 46633*y^2 + 66586*x*z + 6497*z^2
  (-2498147/12621949 : 4685894/12621949 : 1)  C1b (12866611/13133793 : 1159571/13133793 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b (-46425552/1613821 : 3135113/1613821 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-19672093/60830537 : 3795951/60830537 : 1)
** u= 119/169 ; tau(u)= 219/50 ; 9161*x^2 + 42961*y^2 + 62122*x*z + 9161*z^2
  (-10329/44687 : -14794/44687 : 1)  C1b (23896/1556073 : 94493/1556073 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-93728/49427 : -8787/49427 : 1)
** u= 123/74 ; tau(u)= -25/49 ; 10327*x^2 - 4177*y^2 + 15754*x*z + 10327*z^2
  (7153/104007 : -172270/104007 : 1)  C1a (255392/44749 : 28053/44749 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (59944/98791 : 18027/98791 : 1)
** u= 125/193 ; tau(u)= 261/68 ; 6377*x^2 + 58873*y^2 + 83746*x*z + 6377*z^2
  (-8077/14913 : 11840/14913 : 1)  C1b (-5872857/2871404 : 380813/2871404 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a (-1245912/46219 : 86947/46219 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (-113726344/3807919 : 6842891/3807919 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-500324/263357 : -30589/263357 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (30530732/297873 : 3962623/297873 : 1)
** u= 129/32 ; tau(u)= 65/97 ; -2177*x^2 - 14593*y^2 + 20866*x*z - 2177*z^2
  (425295/2740183 : 720568/2740183 : 1)  C1a (-1618844/136801 : -98723/136801 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (231955/236636 : -17185/236636 : 1)
** u= 138/41 ; tau(u)= 56/97 ; 226*x^2 - 15682*y^2 + 22180*x*z + 226*z^2
  (6472/29591 : 16855/29591 : 1)  C1a (680287/136332 : -41651/136332 : 1)
** u= 138/65 ; tau(u)= 8/73 ; 8386*x^2 - 10594*y^2 + 19108*x*z + 8386*z^2
  (-409/25782 : -22523/25782 : 1)  C1a (-377612/316767 : -25129/316767 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (-328309/37388 : 26129/37388 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-268443/127577 : -43643/127577 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-500324/263357 : -30589/263357 : 1)
** u= 148/153 ; tau(u)= 158/5 ; 21854*x^2 + 24914*y^2 + 46868*x*z + 21854*z^2
  (-14902/10691 : 2157/10691 : 1)  C1b (101547/103184 : -12113/103184 : 1)
** u= 150/61 ; tau(u)= 28/89 ; 6658*x^2 - 15058*y^2 + 23284*x*z + 6658*z^2
  (-523/2136 : -641/2136 : 1)  C1a (1712048/963767 : 137303/963767 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (71179513/255308 : 29538179/255308 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (-707461/112713 : 156347/112713 : 1)
** u= 158/5 ; tau(u)= 148/153 ; -21854*x^2 - 24914*y^2 + 46868*x*z - 21854*z^2
  (1889/2668 : -327/2668 : 1)  C1a (-641848/939 : 44381/939 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (1118696/145601 : 301047/145601 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (729713/244733 : 47259/244733 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (-47931259/747224 : 8342287/747224 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (-12156028/1229079 : -822181/1229079 : 1)
** u= 162/25 ; tau(u)= 112/137 ; -11294*x^2 - 24994*y^2 + 38788*x*z - 11294*z^2
  (61/133 : -54/133 : 1)  C1a (-129353/181996 : -15823/181996 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (1304412/311003 : -81443/311003 : 1)
** u= 165/116 ; tau(u)= -67/49 ; 22423*x^2 - 313*y^2 + 31714*x*z + 22423*z^2
  (-579/6025 : -47656/6025 : 1)  C1a (-171123/9748 : -83357/9748 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (5498608/3377477 : -593691/3377477 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (595921/870028 : 240327/870028 : 1)
** u= -168/169 ; tau(u)= 506/337 ; -198914*x^2 + 28898*y^2 + 284260*x*z - 198914*z^2
  (-20967/7568 : -70577/7568 : 1)  C2b (-253231/773116 : -152853/773116 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-673360/741179 : 50565/741179 : 1)
** u= -172/193 ; tau(u)= 558/365 ; -236866*x^2 + 44914*y^2 + 340948*x*z - 236866*z^2
  (60368/116509 : -193431/116509 : 1)  C2b (-222533/110136 : -42941/110136 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (43911/216077 : -118849/216077 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (182064452/271667775 : -5332513/54333555 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (1187599459/38916041 : -82803153/38916041 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (69504/33119 : 34403/231833 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (296901/12671 : -24913/12671 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (1291552/905689 : -316323/905689 : 1)
** u= 186/73 ; tau(u)= 40/113 ; 9058*x^2 - 23938*y^2 + 36196*x*z + 9058*z^2
  (2843/6609 : -6928/6609 : 1)  C1a (-86091/47108 : -5401/47108 : 1)
** u= -188/137 ; tau(u)= 462/325 ; -175906*x^2 + 2194*y^2 + 248788*x*z - 175906*z^2
  (-4538/19963 : 209465/19963 : 1)  C2b (102344/107399 : 43137/107399 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (2393708/354807 : 154283/354807 : 1)
** u= 189/52 ; tau(u)= 85/137 ; -1817*x^2 - 30313*y^2 + 42946*x*z - 1817*z^2
  (127/2671 : -228/2671 : 1)  C1a (1554843/1095911 : -111773/1095911 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-1351899/280628 : 81361/280628 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-41576/21859 : 55667/153013 : 1)
146
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.16
H.Nakao

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