Integer Points on A^4+B^4+C^4=69938*D^4

[2025.11.17]A^4+B^4+C^4=69938*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

69938=2*187^2であるので、以下では、n=187とする。

■n=187のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=187;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように120個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(187,1,200);
** u= -3/5 ; tau(u)= 13/8 ; -119*x^2 + 41*y^2 + 178*x*z - 119*z^2
  (-75/103 : -284/103 : 1)  C2b (317/1894 : 183/1894 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (-1780586/201409 : -139357/201409 : 1)
** u= -4/5 ; tau(u)= 14/9 ; -146*x^2 + 34*y^2 + 212*x*z - 146*z^2
  (2 : -3 : 1)  C2b (73/62 : 7/62 : 1)
** u= -8/109 ; tau(u)= 226/117 ; -27314*x^2 + 23698*y^2 + 51140*x*z - 27314*z^2
  (37/26 : -285/442 : 1)  C2b (-830393/24417 : -64087/24417 : 1)
** u= 9/61 ; tau(u)= 113/52 ; -5327*x^2 + 7361*y^2 + 12850*x*z - 5327*z^2
  (-2143/11483 : 11904/11483 : 1)  C1b (470194/775491 : -837647/13183347 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (-265341/67946 : -26903/67946 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-1742/3815 : 1053/12971 : 1)
** u= 13/8 ; tau(u)= -3/5 ; 119*x^2 - 41*y^2 + 178*x*z + 119*z^2
  (-3 : -4 : 1)  C1a (-2971/307 : 299/307 : 1)
** u= 14/9 ; tau(u)= -4/5 ; 146*x^2 - 34*y^2 + 212*x*z + 146*z^2
  (-28/5 : -51/5 : 1)  C1a (61/82 : -17/82 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (833867/92614 : 933813/1574438 : 1)
** u= 15/193 ; tau(u)= 371/178 ; -63143*x^2 + 74273*y^2 + 137866*x*z - 63143*z^2
  (-69/47 : -1858/799 : 1)  C1b (-81338/14659 : 106603/249203 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (3401/7438 : -8163/126446 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (1576478/503633 : -109713/503633 : 1)
** u= 20/29 ; tau(u)= 38/9 ; 238*x^2 + 1282*y^2 + 1844*x*z + 238*z^2
  (-4768/25381 : 417/1493 : 1)  C1b (129907/48546 : -8957/48546 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-35613/48586 : -4289/48586 : 1)
** u= -21/109 ; tau(u)= 239/130 ; -33359*x^2 + 23321*y^2 + 57562*x*z - 33359*z^2
  (-34941/10387 : 52882/10387 : 1)  C2b (316282/126769 : -1261/7457 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (503080654/106109981 : 32252049/106109981 : 1)
** u= 23/113 ; tau(u)= 203/90 ; -15671*x^2 + 25009*y^2 + 41738*x*z - 15671*z^2
  (17699/44323 : -10866/44323 : 1)  C1b (-1078621/311547 : 82163/311547 : 1)
** u= 24/61 ; tau(u)= 98/37 ; -2162*x^2 + 6866*y^2 + 10180*x*z - 2162*z^2
  (8207/49263 : 13636/49263 : 1)  C1b (-79429/4629 : -5071/4629 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
  (8441/47349 : 51952/47349 : 1)  C2b (363161/196095 : 84101/666723 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (2156718/1064167 : -1004831/7449169 : 1)
** u= 24/169 ; tau(u)= 314/145 ; -41474*x^2 + 56546*y^2 + 99172*x*z - 41474*z^2
  (1711/4935 : 15964/34545 : 1)  C1b (349222/196851 : 153997/1377957 : 1)
** u= -24/169 ; tau(u)= 362/193 ; -73922*x^2 + 56546*y^2 + 131620*x*z - 73922*z^2
  (-19/72 : -715/504 : 1)  C2b (-13994515/3084722 : -8798585/21593054 : 1)
** u= -27/181 ; tau(u)= 389/208 ; -85799*x^2 + 64793*y^2 + 152050*x*z - 85799*z^2
  (19551/32089 : -19936/32089 : 1)  C2b (-101906/517329 : 46019/517329 : 1)
** u= -36/53 ; tau(u)= 142/89 ; -14546*x^2 + 4322*y^2 + 21460*x*z - 14546*z^2
  (1539/914 : -1949/914 : 1)  C2b (1873973/544158 : 179447/544158 : 1)
** u= 36/65 ; tau(u)= 94/29 ; -386*x^2 + 7154*y^2 + 10132*x*z - 386*z^2
  (-276/935 : 4519/6545 : 1)  C1b (1078218/445927 : 495799/3121489 : 1)
** u= 36/101 ; tau(u)= 166/65 ; -7154*x^2 + 19106*y^2 + 28852*x*z - 7154*z^2
  (100148/432719 : -13113/61817 : 1)  C1b (-251954/110973 : 19027/110973 : 1)
** u= 38/9 ; tau(u)= 20/29 ; -238*x^2 - 1282*y^2 + 1844*x*z - 238*z^2
  (2/5 : -3/5 : 1)  C1a (92219/6518 : 5681/6518 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (24278/1711 : 26901/29087 : 1)
** u= -47/113 ; tau(u)= 273/160 ; -48991*x^2 + 23329*y^2 + 76738*x*z - 48991*z^2
  (-30319/38615 : -94408/38615 : 1)  C2b (-36074/75397 : -9591/75397 : 1)
** u= -48/41 ; tau(u)= 130/89 ; -13538*x^2 + 1058*y^2 + 19204*x*z - 13538*z^2
  (7/5 : 406/115 : 1)  C2b (5647/14 : 28563/322 : 1)
** u= -48/49 ; tau(u)= 146/97 ; -16514*x^2 + 2498*y^2 + 23620*x*z - 16514*z^2
  (-166/709 : -2149/709 : 1)  C2b (270/83 : -35/83 : 1)
** u= 48/53 ; tau(u)= 58/5 ; 2254*x^2 + 3314*y^2 + 5668*x*z + 2254*z^2
  (-282/539 : -13/77 : 1)  C1b (338671/28761 : 23743/28761 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (855120026/22342321 : -82268001/22342321 : 1)
** u= -48/181 ; tau(u)= 410/229 ; -102578*x^2 + 63218*y^2 + 170404*x*z - 102578*z^2
  (-6700/1473 : -10147/1473 : 1)  C2b (-6417566/1578697 : 634589/1578697 : 1)
** u= -52/173 ; tau(u)= 398/225 ; -98546*x^2 + 57154*y^2 + 161108*x*z - 98546*z^2
  (2/13 : 15/13 : 1)  C2b (-52873/1009 : 190417/41369 : 1)
** u= -56/169 ; tau(u)= 394/225 ; -98114*x^2 + 53986*y^2 + 158372*x*z - 98114*z^2
  (955/1124 : 897/1124 : 1)  C2b (-56873/133977 : -15499/133977 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-591857/115727 : 37701/115727 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (-80881/24914 : -94829/423538 : 1)
** u= 57/185 ; tau(u)= 313/128 ; -29519*x^2 + 65201*y^2 + 101218*x*z - 29519*z^2
  (2864959/32625105 : -18452848/32625105 : 1)  C1b (54961/20809 : 3401/20809 : 1)
** u= -57/193 ; tau(u)= 443/250 ; -121751*x^2 + 71249*y^2 + 199498*x*z - 121751*z^2
  (12109/21597 : -17758/21597 : 1)  C2b (7498578/2483329 : -544951/2483329 : 1)
** u= 58/5 ; tau(u)= 48/53 ; -2254*x^2 - 3314*y^2 + 5668*x*z - 2254*z^2
  (110/159 : 67/159 : 1)  C1a (120282/13151 : -7823/13151 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (1526/1349 : 1899/22933 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (7782/3233 : 11947/54961 : 1)
** u= 60/89 ; tau(u)= 118/29 ; 1918*x^2 + 12242*y^2 + 17524*x*z + 1918*z^2
  (-586/4903 : 541/4903 : 1)  C1b (61023698/2289487 : 3793431/2289487 : 1)
** u= -60/109 ; tau(u)= 278/169 ; -53522*x^2 + 20162*y^2 + 80884*x*z - 53522*z^2
  (8072/8919 : 9763/8919 : 1)  C2b (117358/89289 : -156269/1517913 : 1)
** u= 60/157 ; tau(u)= 254/97 ; -15218*x^2 + 45698*y^2 + 68116*x*z - 15218*z^2
  (-2724/85405 : 52709/85405 : 1)  C1b (19818802/7110099 : 1231249/7110099 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (-23101/7662 : -33809/130254 : 1)
** u= -63/53 ; tau(u)= 169/116 ; -22943*x^2 + 1649*y^2 + 32530*x*z - 22943*z^2
  (517/787 : 2076/787 : 1)  C2b (823/3687 : -12341/62679 : 1)
** u= -65/97 ; tau(u)= 259/162 ; -48263*x^2 + 14593*y^2 + 71306*x*z - 48263*z^2
  (-42871/387625 : -764334/387625 : 1)  C2b (-1209939/1199954 : 252223/1199954 : 1)
** u= 69/101 ; tau(u)= 133/32 ; 2713*x^2 + 15641*y^2 + 22450*x*z + 2713*z^2
  (-8163/50827 : -11656/50827 : 1)  C1b (1396150/446837 : -93945/446837 : 1)
** u= 72/169 ; tau(u)= 266/97 ; -13634*x^2 + 51938*y^2 + 75940*x*z - 13634*z^2
  (-69/1972 : -65/116 : 1)  C1b (-4050614/2009049 : -302237/2009049 : 1)
** u= 75/181 ; tau(u)= 287/106 ; -16847*x^2 + 59897*y^2 + 87994*x*z - 16847*z^2
  (-385293/7342267 : -4400050/7342267 : 1)  C1b (-2360937/388967 : 154501/388967 : 1)
** u= -76/181 ; tau(u)= 438/257 ; -126322*x^2 + 59746*y^2 + 197620*x*z - 126322*z^2
  (20292/3083 : -26149/3083 : 1)  C2b (11110931/4473434 : 840729/4473434 : 1)
** u= 79/97 ; tau(u)= 115/18 ; 5593*x^2 + 12577*y^2 + 19466*x*z + 5593*z^2
  (-14045/39899 : -498/2347 : 1)  C1b (546807/199214 : 40751/199214 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (24746/6327 : -6611/6327 : 1)
** u= -84/73 ; tau(u)= 230/157 ; -42242*x^2 + 3602*y^2 + 59956*x*z - 42242*z^2
  (1809/14998 : -47167/14998 : 1)  C2b (150861/98926 : 22639/98926 : 1)
** u= -84/113 ; tau(u)= 310/197 ; -70562*x^2 + 18482*y^2 + 103156*x*z - 70562*z^2
  (-495/568 : -1933/568 : 1)  C2b (224043/239018 : 22547/239018 : 1)
** u= 84/137 ; tau(u)= 190/53 ; 1438*x^2 + 30482*y^2 + 43156*x*z + 1438*z^2
  (-6364/185217 : 6967/185217 : 1)  C1b (1965219/526573 : 126217/526573 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (30022/37537 : 47641/638129 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
  (19970/540811 : -808891/540811 : 1)  C2b (-7078/9839 : 25837/167263 : 1)
** u= 84/197 ; tau(u)= 310/113 ; -18482*x^2 + 70562*y^2 + 103156*x*z - 18482*z^2
  (467/12540 : 5717/12540 : 1)  C1b (1280987/209117 : -78803/209117 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-62558/13873 : -3897/13873 : 1)
** u= -87/109 ; tau(u)= 305/196 ; -69263*x^2 + 16193*y^2 + 100594*x*z - 69263*z^2
  (39451/82853 : -125356/82853 : 1)  C2b (957046/201821 : 107109/201821 : 1)
** u= 91/181 ; tau(u)= 271/90 ; -7919*x^2 + 57241*y^2 + 81722*x*z - 7919*z^2
  (2921/54877 : -13746/54877 : 1)  C1b (-3619214/3022973 : -304927/3022973 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-17018/17041 : 25173/289697 : 1)
** u= 93/113 ; tau(u)= 133/20 ; 7849*x^2 + 16889*y^2 + 26338*x*z + 7849*z^2
  (-11319/8263 : 7388/8263 : 1)  C1b (-212814/32071 : -1021/2467 : 1)
** u= 94/29 ; tau(u)= 36/65 ; 386*x^2 - 7154*y^2 + 10132*x*z + 386*z^2
  (104/25 : 459/175 : 1)  C1a (22661/8997 : -10639/62979 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-5268335/1484521 : 390375/1484521 : 1)
** u= 97/169 ; tau(u)= 241/72 ; -959*x^2 + 47713*y^2 + 67490*x*z - 959*z^2
  (10487/1103293 : -90012/1103293 : 1)  C1b (2202824946/1165132951 : -152350811/1165132951 : 1)
** u= 98/37 ; tau(u)= 24/61 ; 2162*x^2 - 6866*y^2 + 10180*x*z + 2162*z^2
  (1089/4904 : -3983/4904 : 1)  C1a (628737/24353 : 39941/24353 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (4212413/3302 : 259041/3302 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (19703/18457 : 1931/18457 : 1)
** u= 104/113 ; tau(u)= 122/9 ; 10654*x^2 + 14722*y^2 + 25700*x*z + 10654*z^2
  (-10483/12169 : -6000/12169 : 1)  C1b (-321619/222051 : -355207/3774867 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (-2843702/482777 : -328059/482777 : 1)
** u= -108/137 ; tau(u)= 382/245 ; -108386*x^2 + 25874*y^2 + 157588*x*z - 108386*z^2
  (-6992/274441 : -572187/274441 : 1)  C2b (1103618/1239519 : 2026603/21071823 : 1)
** u= 108/149 ; tau(u)= 190/41 ; 8302*x^2 + 32738*y^2 + 47764*x*z + 8302*z^2
  (-5315/1654 : 2229/1654 : 1)  C1b (199/2953 : 187/2953 : 1)
** u= -108/149 ; tau(u)= 406/257 ; -120434*x^2 + 32738*y^2 + 176500*x*z - 120434*z^2
  (-53483/8344 : 114825/8344 : 1)  C2b (-71050/122937 : 21505/122937 : 1)
** u= 111/113 ; tau(u)= 115/2 ; 12313*x^2 + 13217*y^2 + 25546*x*z + 12313*z^2
  (-3487/4161 : 766/4161 : 1)  C1b (-1366014/1255981 : -96169/1255981 : 1)
** u= -112/113 ; tau(u)= 338/225 ; -88706*x^2 + 12994*y^2 + 126788*x*z - 88706*z^2
  (8881/15299 : -28470/15299 : 1)  C2b (-4724193/121054 : -776867/121054 : 1)
** u= 113/52 ; tau(u)= 9/61 ; 5327*x^2 - 7361*y^2 + 12850*x*z + 5327*z^2
  (769/933 : -1520/933 : 1)  C1a (-321619/222051 : -355207/3774867 : 1)
** u= 115/2 ; tau(u)= 111/113 ; -12313*x^2 - 13217*y^2 + 25546*x*z - 12313*z^2
  (22839/19597 : 4622/19597 : 1)  C1a (1202031/811993 : -77537/811993 : 1)
** u= 115/18 ; tau(u)= 79/97 ; -5593*x^2 - 12577*y^2 + 19466*x*z - 5593*z^2
  (3061/9475 : -894/9475 : 1)  C1a (-57587/275334 : -19109/275334 : 1)
** u= 117/125 ; tau(u)= 133/8 ; 13561*x^2 + 17561*y^2 + 31378*x*z + 13561*z^2
  (-6993/5477 : 2740/5477 : 1)  C1b (34678/69 : -2399/69 : 1)
** u= 117/181 ; tau(u)= 245/64 ; 5497*x^2 + 51833*y^2 + 73714*x*z + 5497*z^2
  (-3719/46055 : 4144/46055 : 1)  C1b (-23269017/1766191 : -1430881/1766191 : 1)
** u= 118/29 ; tau(u)= 60/89 ; -1918*x^2 - 12242*y^2 + 17524*x*z - 1918*z^2
  (1780/14029 : -2101/14029 : 1)  C1a (-55749/34963 : -4267/34963 : 1)
** u= 122/9 ; tau(u)= 104/113 ; -10654*x^2 - 14722*y^2 + 25700*x*z - 10654*z^2
  (1657/1024 : 465/1024 : 1)  C1a (470194/775491 : -837647/13183347 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (346/877 : 3021/14909 : 1)
** u= 130/89 ; tau(u)= -48/41 ; 13538*x^2 - 1058*y^2 + 19204*x*z + 13538*z^2
  (-209/159 : -12154/3657 : 1)  C1a (-914/3217 : 13443/73991 : 1)
** u= 133/8 ; tau(u)= 117/125 ; -13561*x^2 - 17561*y^2 + 31378*x*z - 13561*z^2
  (87913/147317 : 20340/147317 : 1)  C1a (7979/33333 : 36119/566661 : 1)
** u= 133/20 ; tau(u)= 93/113 ; -7849*x^2 - 16889*y^2 + 26338*x*z - 7849*z^2
  (1943/5459 : 968/5459 : 1)  C1a (94698/37681 : -5869/37681 : 1)
** u= 133/32 ; tau(u)= 69/101 ; -2713*x^2 - 15641*y^2 + 22450*x*z - 2713*z^2
  (511/151 : 248/151 : 1)  C1a (-651427/189818 : -43377/189818 : 1)
** u= -133/101 ; tau(u)= 335/234 ; -91823*x^2 + 2713*y^2 + 129914*x*z - 91823*z^2
  (15973/2245673 : 12999066/2245673 : 1)  C2b (-346241618/47216019 : -136359041/47216019 : 1)
** u= 141/193 ; tau(u)= 245/52 ; 14473*x^2 + 54617*y^2 + 79906*x*z + 14473*z^2
  (-16169/44445 : -21416/44445 : 1)  C1b (-48549/6746 : -2989/6746 : 1)
** u= -141/197 ; tau(u)= 535/338 ; -208607*x^2 + 57737*y^2 + 306106*x*z - 208607*z^2
  (89541/315253 : 488254/315253 : 1)  C2b (-964422/133249 : 126173/133249 : 1)
** u= 142/89 ; tau(u)= -36/53 ; 14546*x^2 - 4322*y^2 + 21460*x*z + 14546*z^2
  (-151/6 : 269/6 : 1)  C1a (-408470/345089 : -35485/345089 : 1)
** u= 146/97 ; tau(u)= -48/49 ; 16514*x^2 - 2498*y^2 + 23620*x*z + 16514*z^2
  (-2804/17413 : -39935/17413 : 1)  C1a (-3548321/106586 : 552481/106586 : 1)
** u= 147/157 ; tau(u)= 167/10 ; 21409*x^2 + 27689*y^2 + 49498*x*z + 21409*z^2
  (-33283/20869 : 6958/20869 : 1)  C1b (129186/220153 : -20713/220153 : 1)
** u= -156/125 ; tau(u)= 406/281 ; -133586*x^2 + 6914*y^2 + 189172*x*z - 133586*z^2
  (66/133 : -431/133 : 1)  C2b (731683/268221 : 155407/268221 : 1)
** u= 159/185 ; tau(u)= 211/26 ; 23929*x^2 + 43169*y^2 + 69802*x*z + 23929*z^2
  (-8153/20543 : 1486/143801 : 1)  C1b (-2254778/360923 : 993189/2526461 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (190191/2689 : 11741/2689 : 1)
** u= 161/197 ; tau(u)= 233/36 ; 23329*x^2 + 51697*y^2 + 80210*x*z + 23329*z^2
  (-11087/10703 : 8772/10703 : 1)  C1b (1813173/197165 : 411703/670361 : 1)
** u= 164/173 ; tau(u)= 182/9 ; 26734*x^2 + 32962*y^2 + 60020*x*z + 26734*z^2
  (-24043/17146 : 6585/17146 : 1)  C1b (224574/745769 : -60661/745769 : 1)
** u= 166/65 ; tau(u)= 36/101 ; 7154*x^2 - 19106*y^2 + 28852*x*z + 7154*z^2
  (3769/19556 : 16119/19556 : 1)  C1a (-1176073/586878 : -74789/586878 : 1)
** u= 167/10 ; tau(u)= 147/157 ; -21409*x^2 - 27689*y^2 + 49498*x*z - 21409*z^2
  (2949/4651 : -1034/4651 : 1)  C1a (-64739/160262 : -13627/160262 : 1)
** u= -168/149 ; tau(u)= 466/317 ; -172754*x^2 + 16178*y^2 + 245380*x*z - 172754*z^2
  (-89/71 : -484/71 : 1)  C2b (6245542/3421527 : 914563/3421527 : 1)
** u= 169/116 ; tau(u)= -63/53 ; 22943*x^2 - 1649*y^2 + 32530*x*z + 22943*z^2
  (42203/147607 : -671424/147607 : 1)  C1a (11106/13361 : 88273/227137 : 1)
** u= -171/149 ; tau(u)= 469/320 ; -175559*x^2 + 15161*y^2 + 249202*x*z - 175559*z^2
  (1127/48809 : -163392/48809 : 1)  C2b (356637/23926 : 71321/23926 : 1)
** u= 171/173 ; tau(u)= 175/2 ; 29233*x^2 + 30617*y^2 + 59866*x*z + 29233*z^2
  (-4819/5249 : -990/5249 : 1)  C1b (449127/137351 : 38317/137351 : 1)
** u= 175/2 ; tau(u)= 171/173 ; -29233*x^2 - 30617*y^2 + 59866*x*z - 29233*z^2
  (16279/19749 : -1790/19749 : 1)  C1a (-270519/153734 : 455683/2613478 : 1)
** u= 175/193 ; tau(u)= 211/18 ; 29977*x^2 + 43873*y^2 + 75146*x*z + 29977*z^2
  (-73187/36893 : 5910/36893 : 1)  C1b (-10133434/6835383 : -656629/6835383 : 1)
** u= 177/197 ; tau(u)= 217/20 ; 30529*x^2 + 46289*y^2 + 78418*x*z + 30529*z^2
  (-1791/859 : -64/859 : 1)  C1b (1134534/242789 : -84077/242789 : 1)
** u= -179/145 ; tau(u)= 469/324 ; -177911*x^2 + 10009*y^2 + 252002*x*z - 177911*z^2
  (35095/55157 : 165024/55157 : 1)  C2b (5448689/94926 : -1396439/94926 : 1)
** u= -180/173 ; tau(u)= 526/353 ; -216818*x^2 + 27458*y^2 + 309076*x*z - 216818*z^2
  (787/2338 : 747/334 : 1)  C2b (1853141/918558 : 238481/918558 : 1)
** u= 182/9 ; tau(u)= 164/173 ; -26734*x^2 - 32962*y^2 + 60020*x*z - 26734*z^2
  (3188/3761 : 1455/3761 : 1)  C1a (146594/155009 : 11093/155009 : 1)
** u= 190/41 ; tau(u)= 108/149 ; -8302*x^2 - 32738*y^2 + 47764*x*z - 8302*z^2
  (2030/2341 : -2121/2341 : 1)  C1a (-4351238/1991009 : -317917/1991009 : 1)
** u= 190/53 ; tau(u)= 84/137 ; -1438*x^2 - 30482*y^2 + 43156*x*z - 1438*z^2
  (4255/2352 : -3613/2352 : 1)  C1a (872794/6091097 : 376817/6091097 : 1)
** u= 195/197 ; tau(u)= 199/2 ; 38017*x^2 + 39593*y^2 + 77626*x*z + 38017*z^2
  (-10801/13095 : 13538/222615 : 1)  C1b (33698/29221 : -66897/496757 : 1)
** u= -195/197 ; tau(u)= 589/392 ; -269303*x^2 + 39593*y^2 + 384946*x*z - 269303*z^2
  (2867/6849 : 230636/116433 : 1)  C2b (-934533/93538 : -2747003/1590146 : 1)
** u= 199/2 ; tau(u)= 195/197 ; -38017*x^2 - 39593*y^2 + 77626*x*z - 38017*z^2
  (13/15 : 2/15 : 1)  C1a (7582654/565453 : -9012753/9612701 : 1)
120
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-4/5のとき

17122^4+69383^4+120513^4=69938*7607^4
2711220453295925570526675638446069564598822^4+3293453271810958654031762892184673672315713^4+4739804872579084282084095696581006247113697^4=69938*313597131124813092507065857179838684344683^4
1352269174692743975391667770518410195476296250777320459940410763961909367159900111778602881602442559071109477783103313^4+2744450865202797375238045432112948179299943916702667659080309273628479053875942526716052023801852355476588675595198538^4+7958413782859965906819246641341219832726939905191766247067398215498270165449238069255980334415605709584253129181034017^4=69938*491204264930186091492639119031791885589528665519561481961603808282522463709775955593869934423087087934764152137671363^4
...

u=84/197のとき

6086^4+9507^4+10861^4=69938*761^4
5923394966698561728962^4+15301293989247251073953^4+50176446083987978811471^4=69938*3092269961057201636083^4
1325365115393947891569013908422151^4+12585605149268636076631952580962753^4+21134041854104996350824134809098118^4=69938*1338652538719170937776437333686423^4
655528569063873331031607033961701815529^4+2443573905863403083943222897796025776943^4+3241475154389533379306077606059941463866^4=69938*213839131809240429256676332212942364759^4
894795953692228385413635330688177515303004939^4+5424408360320508127914350119119513703249651323^4+29378451022357335512811612436251701254644699178^4=69938*1807077588658221727476125087568492499927139057^4
836690988154992453050439422943340568412108612807908885648662961122545926476726258^4+2002688896898489898367259660418498655855727777528688897206678516840880880087869739^4+2144387915910739749699452019165279827597185095648086228863427411345684724200506557^4=69938*152394444609010519247517787322284022597074847745036842623981696733612154617960357^4
72122007388220220363047405479417210013404999296774690327384204600164227370167424637109234^4+340277515854549759315069520730939500110492917604858208251244354570145814557324491222700099^4+892196125239068855366102075277208731735851896349497062033332332567123051071776726491182027^4=69938*55151825886820003455874891982528165824294013217843206933049288915840751962214396024011221^4
127646338387976102246942085214185451682016818376343485359198407197034506119623701199990176441145088529^4+646480924802516029405252373110168347967068845551500304281483397220438461713502539385234624719583650337^4+950005332397511043770268026277408057064736933043197964427593678001216650432245349058889766055645429346^4=69938*61329787615430339681267730195229578553140487199155968617000799594449970621845372701364334566239393219^4
609305198122574929195129529095786028567751000212898878156084668854226463589387724762169676340666937588942^4+1037571932054335188189573742580950329572016690996648754680101727994382303597955794258878048712803469644589^4+4275325418303522055862686976031850140993826853158270223769325318667738435714975616483202350950810130770629^4=69938*263154914092977291908726962429946010228866601055910555838900158595212400334225253729117815068778257537941^4
11394225230688844504752570661512099370066592150043047944784200937605095699714147814106079193691688225922240294^4+116251391297713038055997202132758995738744555644149549856556702259527192283184675638023419528305260171002199607^4+260877824460305488048027342546127280026888001271490079833025736242988730884333257417060177699251051695442523633^4=69938*16197881483556057923794495220229906047065880568767403297444431898907744751806693204289837984681310856035961687^4
21462904497909046167185244371704330558365672866936776492676892214587755760995097105279856168804988428935609840899^4+36480969760446632268011283271618446335336671020513868168205234841165789803874609336344184218656957405997631566853^4+205696096859850992420165154432430199772522371240136089002372750470576676896691776604484026577335963353971591339486^4=69938*12652256043068870762201522659168984623844635114716645593851618600230001690348502895401322129825653197503310526781^4
124741659110561469834060147970817872846587573768256256662635636356495370128618134410586331898375440475996467860743385655271807263509719846980507033426^4+241212563588916632440741144558999599624111362192910341070499762866223279986563162455009827674262635753130615092882815030172071905313745001190633199433^4+251601922754216325274986265586594452475130820312176242742936137360480526124549355157695520179761062173172228079603746784947783084176717676164704500313^4=69938*18176945289177394819084003506488304007202456598718221217511144858098300053187988717337211643252857885934498435702742001612458380556446768929655722027^4
49801780620648030850840020410777030179964254491665824878881645272296623519129574051615294703068657887075515141575140765990213359668284007932694775420150546851731818^4+49995916047120450034096934531034402826141864647676328860077632422784951078841955842215473092150823498142369252396286559518102222836905987900830627561187984223240589^4+70316097137730599066820819094851395805510439238883764915762551478437556340403566627967882240858360192766179960566729211406094932132413916050688576751466667619564211^4=69938*4790926248655033554465668778759180414875380387816748778578416630832158283453459189758362528267592159601230033120688457353885424194508493448635213409239047905916161^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.11.17

H.Nakao