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Integer Points on A^4+B^4+C^4=64082*D^4

[2025.11.19]A^4+B^4+C^4=64082*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

64082=2*179^2であるので、以下では、n=179とする。

■n=179のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=179;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように165個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(179,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (142435/74051 : 9253/74051 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (-289789/270003 : 36067/270003 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (6403534/8564825 : -115303/1712965 : 1)
** u= 3/37 ; tau(u)= 71/34 ; -2303*x^2 + 2729*y^2 + 5050*x*z - 2303*z^2
  (5053/7821 : -190/7821 : 1)  C1b (-97694/31925 : -333/1277 : 1)
** u= -3/101 ; tau(u)= 205/104 ; -21623*x^2 + 20393*y^2 + 42034*x*z - 21623*z^2
  (20951/17421 : 5908/17421 : 1)  C2b (-706135/420121 : -75129/420121 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (441/1175 : -89/1175 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (479/1121 : -73/1121 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (6/13 : 1/13 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (25497/7774 : -1657/7774 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (29919/2210 : 1903/2210 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (-37921/31359 : -5047/31359 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (1483795/873443 : -96899/873443 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (70/919 : 59/919 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-35844462/4284859 : 2925083/4284859 : 1)
** u= -8/29 ; tau(u)= 66/37 ; -2674*x^2 + 1618*y^2 + 4420*x*z - 2674*z^2
  (19/27 : 20/27 : 1)  C2b (-7011/1363 : 691/1363 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-14675/60307 : 5397/60307 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (-94921/21625 : -130777/367625 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (59270/88129 : 5895/88129 : 1)
** u= 13/17 ; tau(u)= 21/4 ; 137*x^2 + 409*y^2 + 610*x*z + 137*z^2
  (-397/1673 : 16/1673 : 1)  C1b (16983/191 : 1099/191 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-351434623/31609850 : -32721737/31609850 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (57114/35315 : -3757/35315 : 1)
** u= -13/157 ; tau(u)= 327/170 ; -57631*x^2 + 49129*y^2 + 107098*x*z - 57631*z^2
  (5549/8957 : 4678/8957 : 1)  C2b (-7581875/3267234 : -759853/3267234 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (1563/3715 : 271/3715 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (27278/20567 : -1959/20567 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-635862/221951 : 47227/221951 : 1)
** u= -20/149 ; tau(u)= 318/169 ; -56722*x^2 + 44002*y^2 + 101524*x*z - 56722*z^2
  (3018/11399 : 69953/79793 : 1)  C2b (30826/28395 : -15679/198765 : 1)
** u= 21/4 ; tau(u)= 13/17 ; -137*x^2 - 409*y^2 + 610*x*z - 137*z^2
  (27/19 : 20/19 : 1)  C1a (257030/112267 : -16545/112267 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (10338/9517 : 1001/9517 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (-31190/22127 : 2127/22127 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-1950/721 : 155/721 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (-3974/1699 : -17259/11893 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (637/4110 : 97/822 : 1)
** u= -23/41 ; tau(u)= 105/64 ; -7663*x^2 + 2833*y^2 + 11554*x*z - 7663*z^2
  (9657/8327 : -10576/8327 : 1)  C2b (-81994/114825 : 19211/114825 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (-9586/38203 : -2867/38203 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (21875/59186 : 5211/59186 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-245470/361319 : -30069/361319 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (-942850331/19457214 : 86340361/19457214 : 1)
** u= 28/101 ; tau(u)= 174/73 ; -9874*x^2 + 19618*y^2 + 31060*x*z - 9874*z^2
  (-7233/34846 : -32195/34846 : 1)  C1b (-5461/4962 : 563/4962 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (-5953463/3018526 : 509027/3018526 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (136486/38889 : 10043/38889 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (128954/1126415 : 74513/1126415 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (854962/201613 : -54117/201613 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-9965/87523 : -5875/87523 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (4751/486 : 329/486 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (-83274/19403 : 5293/19403 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (-579755/11434 : 64893/11434 : 1)
** u= 37/89 ; tau(u)= 141/52 ; -4039*x^2 + 14473*y^2 + 21250*x*z - 4039*z^2
  (40263/648073 : 281692/648073 : 1)  C1b (-10707775/409033 : -691195/409033 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
  (76871/10871 : 2722/1553 : 1)  C1b (2072798/1408831 : 146173/1408831 : 1)
** u= 43/117 ; tau(u)= 191/74 ; -9103*x^2 + 25529*y^2 + 38330*x*z - 9103*z^2
  (-4883/43237 : 220482/302659 : 1)  C1b (425758/877851 : 398917/6144957 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-198399/122350 : 1025/4894 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (1290110/241203 : -81587/241203 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-2336393/180943 : 147891/180943 : 1)
** u= -49/193 ; tau(u)= 435/242 ; -114727*x^2 + 72097*y^2 + 191626*x*z - 114727*z^2
  (2557/76225 : -93478/76225 : 1)  C2b (48123663/5489782 : 3881873/5489782 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (348157/140093 : -179091/980651 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (12099/6245 : -1631/6245 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (805202/168119 : -50727/168119 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (-7844953/5153025 : 288637/1442847 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (595/766 : 285/766 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (58945/21007 : 4129/21007 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (-1429318/569581 : -99833/569581 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (152421/211850 : 14623/211850 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (1385/2202 : 10813/15414 : 1)
** u= -59/197 ; tau(u)= 453/256 ; -127591*x^2 + 74137*y^2 + 208690*x*z - 127591*z^2
  (1871/1617 : 9920/11319 : 1)  C2b (562349/62597 : 326751/438179 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-72604222/25268725 : -68170267/176881075 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (-200570/205281 : -18551/205281 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-1032745298/8361285 : 65395577/8361285 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (-20434/23745 : -1693/23745 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-31229/157302 : 9917/157302 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (53075/76654 : -5639/76654 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (5553302/262091 : 352691/262091 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (106142/255221 : -16913/255221 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (266406/37621 : -17837/37621 : 1)
** u= 66/37 ; tau(u)= -8/29 ; 2674*x^2 - 1618*y^2 + 4420*x*z + 2674*z^2
  (-172/151 : 125/151 : 1)  C1a (141461/20485 : -159/241 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (-233554/85345 : 11693/17069 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (2439702/1062517 : 201377/1062517 : 1)
** u= -69/109 ; tau(u)= 287/178 ; -58607*x^2 + 19001*y^2 + 87130*x*z - 58607*z^2
  (14889/16421 : 19858/16421 : 1)  C2b (5349353/173410 : 118479/34682 : 1)
** u= 71/34 ; tau(u)= 3/37 ; 2303*x^2 - 2729*y^2 + 5050*x*z + 2303*z^2
  (599/14357 : 1970/2051 : 1)  C1a (1099/58 : 81/58 : 1)
** u= 71/73 ; tau(u)= 75/2 ; 5033*x^2 + 5617*y^2 + 10666*x*z + 5033*z^2
  (-27239/19429 : -1370/19429 : 1)  C1b (-4949622/916357 : 334207/916357 : 1)
** u= 75/2 ; tau(u)= 71/73 ; -5033*x^2 - 5617*y^2 + 10666*x*z - 5033*z^2
  (2371/2681 : -110/383 : 1)  C1a (384847626/73642175 : -25932209/73642175 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (223413/15094 : -409501/105658 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (148070/234489 : 26005/234489 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (-338198/60475 : 22567/60475 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (62278/610441 : -39603/610441 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (-69870/86359 : -6697/86359 : 1)
** u= -77/197 ; tau(u)= 471/274 ; -144223*x^2 + 71689*y^2 + 227770*x*z - 144223*z^2
  (22227/54923 : -56426/54923 : 1)  C2b (-74484298/6826259 : 7440759/6826259 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (-302134/309021 : -66197/309021 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (5548259/3284070 : 438557/3284070 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-31229/157302 : 9917/157302 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (-6086566/6990533 : 685457/6990533 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-6465/5014 : 439/5014 : 1)
** u= -83/125 ; tau(u)= 333/208 ; -79639*x^2 + 24361*y^2 + 117778*x*z - 79639*z^2
  (37477/466107 : -793960/466107 : 1)  C2b (3248930/1316731 : 296369/1316731 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (308390/27433 : -94263/27433 : 1)
** u= 84/169 ; tau(u)= 254/85 ; -7394*x^2 + 50066*y^2 + 71572*x*z - 7394*z^2
  (-50334/1786943 : -774943/1786943 : 1)  C1b (-605485/75157 : -39039/75157 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (68917/25002 : 4423/25002 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-8431/3953 : 537/3953 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-2539/76355 : -5671/76355 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (383714/34561 : 1747/2033 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (44649534/4357313 : -2923033/4357313 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (10340858/3318963 : 679193/3318963 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (-12372850/1474989 : -3702875/1474989 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (697910/157469 : 342809/1102283 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-709891/108790 : -45137/108790 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-36929/18406 : -2363/18406 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (-72335/1834226 : 218559/1834226 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (-2321922/376205 : 156733/376205 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (139333098/212155 : 8808169/212155 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-635862/221951 : 47227/221951 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (423487/13410 : -32509/13410 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-85812078/2661179 : -5719273/2661179 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-4685/10643 : 693/10643 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (165158/42895 : -2721/8579 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-9821/18525 : 1301/18525 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (-175649/47495 : 11267/47495 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (760855/32881 : -53779/32881 : 1)
** u= 105/64 ; tau(u)= -23/41 ; 7663*x^2 - 2833*y^2 + 11554*x*z + 7663*z^2
  (2309/661 : 4672/661 : 1)  C1a (2402/123125 : 13313/123125 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (-14111/15089 : -1393/15089 : 1)
** u= -112/145 ; tau(u)= 402/257 ; -119554*x^2 + 29506*y^2 + 174148*x*z - 119554*z^2
  (17337/532423 : -1046582/532423 : 1)  C2b (5484310/317799 : 676819/317799 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (131672034/1285561 : 8276287/1285561 : 1)
** u= -115/157 ; tau(u)= 429/272 ; -134743*x^2 + 36073*y^2 + 197266*x*z - 134743*z^2
  (5097/191 : 9584/191 : 1)  C2b (1594916002/31605527 : -194473049/31605527 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (3765/2533 : 56381/423011 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-856178/374975 : 55131/374975 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (-109671/327199 : -1571/19247 : 1)
** u= -123/121 ; tau(u)= 365/244 ; -103943*x^2 + 14153*y^2 + 148354*x*z - 103943*z^2
  (-47371/247759 : 768328/247759 : 1)  C2b (-985531/304885 : -208539/304885 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-85453/25757 : 5549/25757 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
  (-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1)  C2b (24646158/435677 : 2832527/435677 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b (20726/110353 : -48201/110353 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (30034337/1331110 : 7228953/1331110 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (10001258/998689 : 653227/998689 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-24254857/1169929 : 1557649/1169929 : 1)
** u= -136/145 ; tau(u)= 426/281 ; -139426*x^2 + 23554*y^2 + 199972*x*z - 139426*z^2
  (-14561/1023 : -37252/1023 : 1)  C2b (64683/226565 : 28843/226565 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (-3155006/765119 : 298647/765119 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (-198590/45887 : -88635/45887 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
  (4045/39874 : 141159/39874 : 1)  C2b (-213947685/35045149 : -57425953/35045149 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
  (-7713/35228 : 8081/35228 : 1)  C1b (1694711/344161 : -114107/344161 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (121462354/9101897 : 7657311/9101897 : 1)
** u= 141/52 ; tau(u)= 37/89 ; 4039*x^2 - 14473*y^2 + 21250*x*z + 4039*z^2
  (811/10059 : -908/1437 : 1)  C1a (32919/57593 : -4583/57593 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-31317/39638 : 25657/277466 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-133478/226517 : -29913/226517 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (12490865/234258 : 5379869/234258 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (5553302/262091 : 352691/262091 : 1)
** u= -156/113 ; tau(u)= 382/269 ; -120386*x^2 + 1202*y^2 + 170260*x*z - 120386*z^2
  (84/131 : -931/131 : 1)  C2b (-166858/133021 : 174459/133021 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (-5231161/352945 : -332837/352945 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
  (-183/1111 : 190/1111 : 1)  C1a (-6349761/1625218 : 400397/1625218 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (45094258/12414107 : -5390181/12414107 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (-408306/9479 : -7641689/976337 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (-519438/62491 : -2513/4807 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-245858/24007 : -15467/24007 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (-4294/7259 : -104183/1212253 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (442426/342643 : 43663/342643 : 1)
** u= 174/73 ; tau(u)= 28/101 ; 9874*x^2 - 19618*y^2 + 31060*x*z + 9874*z^2
  (-7/148 : 97/148 : 1)  C1a (30419/1918 : 2067/1918 : 1)
** u= 181/185 ; tau(u)= 189/4 ; 32729*x^2 + 35689*y^2 + 68482*x*z + 32729*z^2
  (-1613/2085 : -284/2085 : 1)  C1b (-1007743/450577 : -64847/450577 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (45283/104358 : -69071/730506 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (12263550/5715973 : 5549939/40011811 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (12555/10298 : 1067/10298 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (-332169025/4984519 : -66432829/4984519 : 1)
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b (-375070/345097 : -661/8417 : 1)
** u= 189/4 ; tau(u)= 181/185 ; -32729*x^2 - 35689*y^2 + 68482*x*z - 32729*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1a (52791530/19812477 : -3418073/19812477 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-634981/412341 : 45349/412341 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (224097/6239 : -44569/6239 : 1)
** u= 191/74 ; tau(u)= 43/117 ; 9103*x^2 - 25529*y^2 + 38330*x*z + 9103*z^2
  (-4249/17029 : -7674/119203 : 1)  C1a (-179279/102918 : 83551/720426 : 1)
** u= -191/149 ; tau(u)= 489/340 ; -194719*x^2 + 7921*y^2 + 275602*x*z - 194719*z^2
  (3881/2175 : 1235972/193575 : 1)  C2b (-1955/1501 : 88707/133589 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (-87017/466687 : 31851/466687 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (383809/373210 : -61579/373210 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-769/1158 : 1579/8106 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (62129/228817 : -56137/228817 : 1)
165
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.19
H.Nakao

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