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Integer Points on A^4+B^4+C^4=59858*D^4

[2025.11.20]A^4+B^4+C^4=59858*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

59858=2*173^2であるので、以下では、n=173とする。

■n=173のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=173;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように145個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(173,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (-159/16 : -29/16 : 1)
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (-219/199 : 169/1393 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-21/40 : -1/8 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (52891/7097 : 4113/7097 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (44624/20069 : 2883/20069 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (100509/77089 : 6937/77089 : 1)
** u= -4/121 ; tau(u)= 246/125 ; -31234*x^2 + 29266*y^2 + 60532*x*z - 31234*z^2
  (-2742/131557 : -138655/131557 : 1)  C2b (24504/82357 : -5629/82357 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (2628/319 : -169/319 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-16444/8867 : -42201/150739 : 1)
** u= -7/193 ; tau(u)= 393/200 ; -79951*x^2 + 74449*y^2 + 154498*x*z - 79951*z^2
  (5891/8561 : 3364/8561 : 1)  C2b (3422401/56692 : 262803/56692 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (37/132 : 73/924 : 1)
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b (3169/3052 : -249/3052 : 1)
** u= -8/29 ; tau(u)= 66/37 ; -2674*x^2 + 1618*y^2 + 4420*x*z - 2674*z^2
  (19/27 : 20/27 : 1)  C2b (-547/1820 : 3/28 : 1)
** u= -8/137 ; tau(u)= 282/145 ; -41986*x^2 + 37474*y^2 + 79588*x*z - 41986*z^2
  (2523/1738 : 1097/1738 : 1)  C2b (483761/467741 : -36249/467741 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (37/132 : 73/924 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (-219/199 : 169/1393 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (260707/67944 : 16979/67944 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (-56169/69637 : 8839/69637 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (2561/1429 : 243/1429 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (741184/63623 : -390441/445361 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (489653/78104 : 39997/78104 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (-12616829/1320649 : -1084491/1320649 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (-33439/6344 : -2601/6344 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
  (-1097/2523 : -1738/2523 : 1)  C1b (-696/3719 : -239/3719 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (2593084/1178979 : 197051/1178979 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-164608/204481 : -40931/204481 : 1)
** u= 20/81 ; tau(u)= 142/61 ; -7042*x^2 + 12722*y^2 + 20564*x*z - 7042*z^2
  (-1193/25276 : -20079/25276 : 1)  C1b (-152752/205859 : 20189/205859 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (436503/367304 : 31961/367304 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-14156/1363 : 913/1363 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (-432949/5329 : -29187/5329 : 1)
** u= -21/29 ; tau(u)= 79/50 ; -4559*x^2 + 1241*y^2 + 6682*x*z - 4559*z^2
  (-940973/973083 : 3414890/973083 : 1)  C2b (18949064/1967947 : -2203659/1967947 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (479404/182033 : 30927/182033 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (203783159/13743472 : -16098981/13743472 : 1)
** u= -23/81 ; tau(u)= 185/104 ; -21103*x^2 + 12593*y^2 + 34754*x*z - 21103*z^2
  (1043/3401 : -23652/23807 : 1)  C2b (424892/209537 : 213217/1466759 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
  (8223/10453 : 6556/10453 : 1)  C2b (113387396/3690405 : 1891859/738081 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (353548/420833 : 30753/420833 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (26062948/20651 : 12723597/144557 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-2548832/375891 : 583261/375891 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (38629/52016 : -3803/52016 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (283328/249239 : 20683/249239 : 1)
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b (-55328023/6603288 : 4986811/6603288 : 1)
** u= -28/193 ; tau(u)= 414/221 ; -96898*x^2 + 73714*y^2 + 172180*x*z - 96898*z^2
  (-74681/335774 : -462717/335774 : 1)  C2b (-40566249/12437371 : -3998401/12437371 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (-5520596/169819 : 377433/169819 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (448393983/4317196 : 30034297/4317196 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (2087/456 : -157/456 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (22443777/578611 : -1442207/578611 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (3157464/1254587 : -205211/1254587 : 1)
** u= -32/137 ; tau(u)= 306/169 ; -56098*x^2 + 36514*y^2 + 94660*x*z - 56098*z^2
  (4799/10879 : -9048/10879 : 1)  C2b (-4987/510097 : -44411/510097 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (-559843/348881 : -52407/348881 : 1)
** u= -32/149 ; tau(u)= 330/181 ; -64498*x^2 + 43378*y^2 + 109924*x*z - 64498*z^2
  (-89/61 : 4054/1403 : 1)  C2b (11489/46357 : 80099/1066211 : 1)
** u= 32/157 ; tau(u)= 282/125 ; -30226*x^2 + 48274*y^2 + 80548*x*z - 30226*z^2
  (129717/1594973 : 1121680/1594973 : 1)  C1b (866667/170852 : -56807/170852 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-2396/2561 : -3717/43537 : 1)
** u= 35/181 ; tau(u)= 327/146 ; -41407*x^2 + 64297*y^2 + 108154*x*z - 41407*z^2
  (-49501/393027 : -365762/393027 : 1)  C1b (9721311/4311149 : 36913/253597 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-89741/1492 : -7437/1492 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
  (3113/23499 : -854/3357 : 1)  C1a (11392/139473 : 8917/139473 : 1)
** u= -41/153 ; tau(u)= 347/194 ; -73591*x^2 + 45137*y^2 + 122090*x*z - 73591*z^2
  (1321/230401 : 292794/230401 : 1)  C2b (-123440/22953 : 12245/22953 : 1)
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a (-3052/3169 : -249/3169 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-167001/21931 : 10687/21931 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (-3136008/292001 : 203497/292001 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (23929/784 : 1611/784 : 1)
** u= -48/185 ; tau(u)= 418/233 ; -106274*x^2 + 66146*y^2 + 177028*x*z - 106274*z^2
  (-24740/465767 : 616741/465767 : 1)  C2b (-3001996/3398953 : -503817/3398953 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (857557/101791 : -54987/101791 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (410276/67519 : 30151/67519 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (11397/4316 : -859/4316 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-11377148/10003805 : -201249/2000761 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (30461/31711 : -19393/221977 : 1)
** u= 66/37 ; tau(u)= -8/29 ; 2674*x^2 - 1618*y^2 + 4420*x*z + 2674*z^2
  (-172/151 : 125/151 : 1)  C1a (-1231297/282580 : 19263/56516 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
  (67687/836328 : 396403/836328 : 1)  C1b (-2426945/216139 : -163395/216139 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (21980823/83963 : -1508473/83963 : 1)
** u= -69/157 ; tau(u)= 383/226 ; -97391*x^2 + 44537*y^2 + 151450*x*z - 97391*z^2
  (358093/1558749 : -1922350/1558749 : 1)  C2b (32553032/2239267 : 3089139/2239267 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (2682509/37425 : -54949/7485 : 1)
** u= -77/101 ; tau(u)= 279/178 ; -57439*x^2 + 14473*y^2 + 83770*x*z - 57439*z^2
  (-73329/562759 : 1231694/562759 : 1)  C2b (-443753/316872 : 90551/316872 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (137420/133811 : -13305/133811 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-8765/4313 : 675/4313 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (-72648/27649 : 6961/27649 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (156816/317 : -32411/317 : 1)
** u= 79/50 ; tau(u)= -21/29 ; 4559*x^2 - 1241*y^2 + 6682*x*z + 4559*z^2
  (-3343/5367 : -7090/5367 : 1)  C1a (41723/911 : 5283/911 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (3799468/2196831 : -23249/168987 : 1)
** u= 80/109 ; tau(u)= 138/29 ; 4718*x^2 + 17362*y^2 + 25444*x*z + 4718*z^2
  (-609/205 : -266/205 : 1)  C1b (-276395627/5206404 : -17928389/5206404 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-6348804/245669 : 407329/245669 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-960312/206209 : 65497/206209 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (110113/603067 : -67251/603067 : 1)
** u= 83/157 ; tau(u)= 231/74 ; -4063*x^2 + 42409*y^2 + 60250*x*z - 4063*z^2
  (-161373/159143 : 203486/159143 : 1)  C1b (-3865432/601375 : 10129/24055 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
  (-3779/9222 : -163/9222 : 1)  C1b (-38806592/5712011 : 2551533/5712011 : 1)
** u= 85/137 ; tau(u)= 189/52 ; 1817*x^2 + 30313*y^2 + 42946*x*z + 1817*z^2
  (-10403/15431 : -14376/15431 : 1)  C1b (-3772/90549 : -5789/90549 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (3579728/3454211 : -267793/3454211 : 1)
** u= -88/97 ; tau(u)= 282/185 ; -60706*x^2 + 11074*y^2 + 87268*x*z - 60706*z^2
  (-487/2325 : 44192/16275 : 1)  C2b (87357/3716 : 89599/26012 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
  (-2279/32337 : -980/32337 : 1)  C1b (-2806252/268693 : 179473/268693 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-21291/5641 : 2863/5641 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (13543/2077 : 869/2077 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (251204/124249 : -21417/124249 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (97468/57339 : -9811/57339 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (342128/200601 : 26923/200601 : 1)
** u= 100/117 ; tau(u)= 134/17 ; 9422*x^2 + 17378*y^2 + 27956*x*z + 9422*z^2
  (-12427/16148 : 9885/16148 : 1)  C1b (-32352/397 : 2197/397 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-7073/159331 : -10449/159331 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-1963/2584 : -11/152 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (165513/262709 : -33407/262709 : 1)
** u= -104/185 ; tau(u)= 474/289 ; -156226*x^2 + 57634*y^2 + 235492*x*z - 156226*z^2
  (-31669/19548 : -79271/19548 : 1)  C2b (-5606257/3860691 : -941441/3860691 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (260571/36967 : -18017/36967 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
  (405/914 : 179/914 : 1)  C1a (11905696/276637 : -810363/276637 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (234805128/56307689 : -18366041/56307689 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (22519676/1910483 : 1442691/1910483 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-80197/8708 : 7171/8708 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-499376/959149 : -62889/959149 : 1)
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
  (821/4465 : 14624/4465 : 1)  C2b (2424644/83593 : -564291/83593 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (6935942728/28997043 : 517918691/28997043 : 1)
** u= -123/121 ; tau(u)= 365/244 ; -103943*x^2 + 14153*y^2 + 148354*x*z - 103943*z^2
  (-47371/247759 : 768328/247759 : 1)  C2b (10359172/1061819 : -1678767/1061819 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (360236/233161 : -230931/1632127 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
  (-352/313 : -45/313 : 1)  C1b (215320344/110983313 : 21625777/110983313 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
  (352/313 : 45/313 : 1)  C1a (-75369/848 : 5717/848 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (354264/1179977 : -80743/1179977 : 1)
** u= -127/193 ; tau(u)= 513/320 ; -188671*x^2 + 58369*y^2 + 279298*x*z - 188671*z^2
  (102487361/17493921583 : 31315886688/17493921583 : 1)  C2b (-5139788/591389 : -653431/591389 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-134012/278557 : 19453/278557 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (13914389/739076 : -930807/739076 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-51856/238383 : 15251/238383 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
  (-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1)  C2b (280283/359441 : 36861/359441 : 1)
** u= 134/17 ; tau(u)= 100/117 ; -9422*x^2 - 17378*y^2 + 27956*x*z - 9422*z^2
  (83/154 : 9/22 : 1)  C1a (136329/1143832 : -75371/1143832 : 1)
** u= -136/157 ; tau(u)= 450/293 ; -153202*x^2 + 30802*y^2 + 220996*x*z - 153202*z^2
  (112/3 : 245/3 : 1)  C2b (954639/269099 : -114077/269099 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (-130348/58281 : -8417/58281 : 1)
** u= 138/29 ; tau(u)= 80/109 ; -4718*x^2 - 17362*y^2 + 25444*x*z - 4718*z^2
  (4807/24126 : -2347/24126 : 1)  C1a (362519/123053 : 23467/123053 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (15529216/2173747 : -1065351/2173747 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (39950599/2220395 : 513237/444079 : 1)
** u= 142/61 ; tau(u)= 20/81 ; 7042*x^2 - 12722*y^2 + 20564*x*z + 7042*z^2
  (712/161 : 99/23 : 1)  C1a (-13477504/561817 : 908753/561817 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (1823599/2507973 : -281293/2507973 : 1)
** u= -143/149 ; tau(u)= 441/292 ; -150079*x^2 + 23953*y^2 + 214930*x*z - 150079*z^2
  (-351/1499 : 4424/1499 : 1)  C2b (5160861/1509551 : -683863/1509551 : 1)
** u= 143/193 ; tau(u)= 243/50 ; 15449*x^2 + 54049*y^2 + 79498*x*z + 15449*z^2
  (-4889/20855 : 4338/20855 : 1)  C1b (2153797321/206095992 : -143644513/206095992 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (341857/840384 : -103043/840384 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (7757413/50639808 : 3552521/50639808 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (27903/24077 : 5689/24077 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (1433996/756231 : 139301/756231 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (17720399/275293 : 1139417/275293 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (87133/363031 : 27117/363031 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (69588/5201 : 1236961/535703 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (3754108/7526155 : -110979/1505231 : 1)
** u= -164/149 ; tau(u)= 462/313 ; -169042*x^2 + 17506*y^2 + 240340*x*z - 169042*z^2
  (5351/4928 : -12205/4928 : 1)  C2b (8367056/2603285 : 270627/520657 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (-2283333/711631 : -146347/711631 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (20284/36757 : 2413/36757 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-526032/445541 : 38591/445541 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (841207/375227 : -124087/375227 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (-11656443/10353508 : 5887457/72474556 : 1)
** u= 185/104 ; tau(u)= -23/81 ; 21103*x^2 - 12593*y^2 + 34754*x*z + 21103*z^2
  (-163/6049 : -53604/42343 : 1)  C1a (-1996/531 : 1079/3717 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (14589719/7248413 : 6712603/50738891 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
  (4/11 : 7/11 : 1)  C1a (-309940/108041 : -21485/108041 : 1)
** u= 189/52 ; tau(u)= 85/137 ; -1817*x^2 - 30313*y^2 + 42946*x*z - 1817*z^2
  (127/2671 : -228/2671 : 1)  C1a (-3027057/501643 : -197677/501643 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (862671/130733 : 87287/130733 : 1)
145
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.20
H.Nakao

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