Integer Points on A^4+B^4+C^4=578*D^4

[2026.02.01]A^4+B^4+C^4=578*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

578=2*17^2であるので、以下では、n=17とする。

■n=17のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=17;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように176個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(17,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (-4/21 : -13/21 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-239/84 : -103/84 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (356/21 : -73/21 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (3199/6591 : 1441/6591 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (2932/6247 : 1347/6247 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (91635/35564 : 22295/35564 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-23/39 : 329/663 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-182253/1277 : 771587/21709 : 1)
** u= -7/193 ; tau(u)= 393/200 ; -79951*x^2 + 74449*y^2 + 154498*x*z - 79951*z^2
  (5891/8561 : 3364/8561 : 1)  C2b (17685768/147353 : -4350619/147353 : 1)
** u= -8/29 ; tau(u)= 66/37 ; -2674*x^2 + 1618*y^2 + 4420*x*z - 2674*z^2
  (19/27 : 20/27 : 1)  C2b (-452635/149141 : 157515/149141 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (832/569 : 3133/9673 : 1)
** u= 8/45 ; tau(u)= 82/37 ; -2674*x^2 + 3986*y^2 + 6788*x*z - 2674*z^2
  (1091/227423 : -26448/32489 : 1)  C1b (18959/21951 : 5071/21951 : 1)
** u= -8/45 ; tau(u)= 98/53 ; -5554*x^2 + 3986*y^2 + 9668*x*z - 5554*z^2
  (172/241 : -147/241 : 1)  C2b (14217/2249 : 3487/2249 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (556/2091 : 427/2091 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (-262588/201661 : 86921/201661 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (-58959/23647 : -18977/23647 : 1)
** u= -11/149 ; tau(u)= 309/160 ; -51079*x^2 + 44281*y^2 + 95602*x*z - 51079*z^2
  (-16633/5217 : 23192/5217 : 1)  C2b (-31783424/863767 : 8127519/863767 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (356/1309 : -339/1309 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-14951/1601 : 57771/27217 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (997/2324 : -8187/39508 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (-3645404/904817 : 973383/904817 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (133/1541 : 2589/10787 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (67/69 : 17/69 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (293180/4913 : 66105/4913 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (3052/8243 : 1909/8243 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (8807/2639 : -2187/2639 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (861344/49807 : 3135041/846719 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
  (241/35271 : 38158/35271 : 1)  C2b (222416/200209 : -51689/200209 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (470471/131321 : 116943/131321 : 1)
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
  (7299/4079 : 466/4079 : 1)  C1b (-2070237/4436956 : -1289273/4436956 : 1)
** u= 20/109 ; tau(u)= 198/89 ; -15442*x^2 + 23362*y^2 + 39604*x*z - 15442*z^2
  (-899/770 : -207/110 : 1)  C1b (7377588/1150139 : 1565197/1150139 : 1)
** u= -21/29 ; tau(u)= 79/50 ; -4559*x^2 + 1241*y^2 + 6682*x*z - 4559*z^2
  (-940973/973083 : 3414890/973083 : 1)  C2b (149/883 : -5337/15011 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-344/659 : -153/659 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (921584/584953 : -201921/584953 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (-964087/483748 : 233597/483748 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (-199663/29896 : -776937/508232 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
  (-1379/192144 : -62735/192144 : 1)  C1b (35321/12937 : 7519/12937 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
  (548/2247 : 2599/2247 : 1)  C2b (-40703/86748 : 35527/86748 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (719/204 : 3517/3468 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-46393/12368 : 10717/12368 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (2454327/1221892 : 520441/1221892 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (17/32 : 9/32 : 1)
** u= -32/117 ; tau(u)= 266/149 ; -43378*x^2 + 26354*y^2 + 71780*x*z - 43378*z^2
  (4453/4972 : 3609/4972 : 1)  C2b (31853/4493 : -8309/4493 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (2893328/180811 : -623557/180811 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (39/23 : 329/391 : 1)
** u= -33/97 ; tau(u)= 227/130 ; -32711*x^2 + 17729*y^2 + 52618*x*z - 32711*z^2
  (41/2773 : 3722/2773 : 1)  C2b (37453/178604 : 46701/178604 : 1)
** u= -35/29 ; tau(u)= 93/64 ; -6967*x^2 + 457*y^2 + 9874*x*z - 6967*z^2
  (1941/10427 : -35744/10427 : 1)  C2b (-361757/11104 : 294693/11104 : 1)
** u= 35/37 ; tau(u)= 39/2 ; 1217*x^2 + 1513*y^2 + 2746*x*z + 1217*z^2
  (-5/7 : -2/7 : 1)  C1b (32071/4377 : -134471/74409 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (1927687/3041953 : -658981/3041953 : 1)
** u= 35/157 ; tau(u)= 279/122 ; -28543*x^2 + 48073*y^2 + 79066*x*z - 28543*z^2
  (62297/151873 : 20934/151873 : 1)  C1b (329091964/1249955027 : -257780209/1249955027 : 1)
** u= 37/41 ; tau(u)= 45/4 ; 1337*x^2 + 1993*y^2 + 3394*x*z + 1337*z^2
  (-1579/835 : -324/835 : 1)  C1b (105312/20539 : 25729/20539 : 1)
** u= 39/2 ; tau(u)= 35/37 ; -1217*x^2 - 1513*y^2 + 2746*x*z - 1217*z^2
  (7/5 : -2/5 : 1)  C1a (-7331/1093 : -30937/18581 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (6432/9479 : 3259/9479 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (-5517/971344 : -302473/971344 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-471872/148017 : -1989053/2516289 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (1992/3371 : 709/3371 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (2024/2567 : 581/2567 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
  (76871/10871 : 2722/1553 : 1)  C1b (-77047/164623 : -40213/164623 : 1)
** u= -44/113 ; tau(u)= 270/157 ; -47362*x^2 + 23602*y^2 + 74836*x*z - 47362*z^2
  (10997/5944 : -10311/5944 : 1)  C2b (-71948/5237 : 23017/5237 : 1)
** u= 45/4 ; tau(u)= 37/41 ; -1337*x^2 - 1993*y^2 + 3394*x*z - 1337*z^2
  (749/433 : -224/433 : 1)  C1a (18959/21951 : 5071/21951 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (-515392/523663 : 143631/523663 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (170579/102544 : -42171/102544 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (30117128/2330123 : -6146169/2330123 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
  (5781/7861 : -5902/7861 : 1)  C2b (1718291/697596 : -402377/697596 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (159411/4156 : 32521/4156 : 1)
** u= -52/121 ; tau(u)= 294/173 ; -57154*x^2 + 26578*y^2 + 89140*x*z - 57154*z^2
  (1642/157 : -2233/157 : 1)  C2b (1638852/21203 : -510481/21203 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (1136/9659 : -153/743 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (-199/732 : -11153/12444 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (-6641/27784 : -5739/27784 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (156/607 : -187/607 : 1)
** u= -55/73 ; tau(u)= 201/128 ; -29743*x^2 + 7633*y^2 + 43426*x*z - 29743*z^2
  (-7353/5801 : 24176/5801 : 1)  C2b (293/16 : -1963/272 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-9006867/10548877 : 8226773/10548877 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
  (-141/1795 : -1012/1795 : 1)  C1b (-4216/12533 : 48243/213061 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (165865/97511 : -38055/97511 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (708/3787 : -16651/64379 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (301028/10117 : 245769/10117 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (-4083/532 : 17419/9044 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (144/827 : 5803/14059 : 1)
** u= 66/37 ; tau(u)= -8/29 ; 2674*x^2 - 1618*y^2 + 4420*x*z + 2674*z^2
  (-172/151 : 125/151 : 1)  C1a (109064/49521 : -40961/49521 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (30092/327 : -106733/5559 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (70808/2955 : 3061/591 : 1)
** u= -73/145 ; tau(u)= 363/218 ; -89719*x^2 + 36721*y^2 + 137098*x*z - 89719*z^2
  (2037335/1208027 : -2125586/1208027 : 1)  C2b (3998564/1290753 : 1094011/1290753 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (23397/6188 : -5143/6188 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (-697908/284693 : 155809/284693 : 1)
** u= 76/185 ; tau(u)= 294/109 ; -17986*x^2 + 62674*y^2 + 92212*x*z - 17986*z^2
  (1681/94702 : 48377/94702 : 1)  C1b (-1338436/405231 : -306239/405231 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (7015908/4345763 : 1946429/4345763 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
  (2/7 : -5/7 : 1)  C1a (-18156/1373 : -3703/1373 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (-1825/601 : 405/601 : 1)
** u= 79/50 ; tau(u)= -21/29 ; 4559*x^2 - 1241*y^2 + 6682*x*z + 4559*z^2
  (-3343/5367 : -7090/5367 : 1)  C1a (-1436/751 : -7269/12767 : 1)
** u= 82/37 ; tau(u)= 8/45 ; 2674*x^2 - 3986*y^2 + 6788*x*z + 2674*z^2
  (-593/3074 : 1863/3074 : 1)  C1a (105312/20539 : 25729/20539 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (-29663/18503 : 130283/314551 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (412/1079 : 15081/18343 : 1)
** u= -84/101 ; tau(u)= 286/185 ; -61394*x^2 + 13346*y^2 + 88852*x*z - 61394*z^2
  (659/280 : -1063/280 : 1)  C2b (-1306861/363259 : -699087/363259 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (32092/19073 : -8127/19073 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-1151/1855 : -1347/6307 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (-371529/19879 : -76759/19879 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-4359968/1781861 : 2051359/1781861 : 1)
** u= -88/193 ; tau(u)= 474/281 ; -150178*x^2 + 66754*y^2 + 232420*x*z - 150178*z^2
  (6401/1788 : -7715/1788 : 1)  C2b (49365/89272 : -21965/89272 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (-1856/3921 : -869/3921 : 1)
** u= -91/121 ; tau(u)= 333/212 ; -81607*x^2 + 21001*y^2 + 119170*x*z - 81607*z^2
  (5213/4187831 : -8247800/4187831 : 1)  C2b (30341/28611 : 9583/28611 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (649736/30953 : 144211/30953 : 1)
** u= 93/64 ; tau(u)= -35/29 ; 6967*x^2 - 457*y^2 + 9874*x*z + 6967*z^2
  (373/8661 : 34864/8661 : 1)  C1a (-385552/5041 : -304527/5041 : 1)
** u= -95/149 ; tau(u)= 393/244 ; -110047*x^2 + 35377*y^2 + 163474*x*z - 110047*z^2
  (11575/13669 : -16336/13669 : 1)  C2b (-6584/14939 : -125179/253963 : 1)
** u= 96/149 ; tau(u)= 202/53 ; 3598*x^2 + 35186*y^2 + 50020*x*z + 3598*z^2
  (-27331/370237 : -2440/52891 : 1)  C1b (148496/8671 : 30543/8671 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (-11056633/13350112 : 3741131/13350112 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (-415048/3083 : -85041/3083 : 1)
** u= 98/53 ; tau(u)= -8/45 ; 5554*x^2 - 3986*y^2 + 9668*x*z + 5554*z^2
  (-3877/2269 : -2604/2269 : 1)  C1a (-132832/6981 : -34441/6981 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-4039/673 : -14443/11441 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (216573/219844 : -1027/3604 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-18112/24701 : 5619/24701 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (265371/202228 : -87989/202228 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (-562997/476901 : 128813/476901 : 1)
** u= 104/193 ; tau(u)= 282/89 ; -5026*x^2 + 63682*y^2 + 90340*x*z - 5026*z^2
  (2246/79391 : 15649/79391 : 1)  C1b (47816/41445 : 42719/140913 : 1)
** u= 107/117 ; tau(u)= 127/10 ; 11249*x^2 + 15929*y^2 + 27578*x*z + 11249*z^2
  (-13739/17245 : -8178/17245 : 1)  C1b (11651/861 : 46141/14637 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (169948/84001 : -48539/84001 : 1)
** u= -112/81 ; tau(u)= 274/193 ; -61954*x^2 + 578*y^2 + 87620*x*z - 61954*z^2
  (19 : 3222/17 : 1)  C2b (16/19 : -491/323 : 1)
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
  (-1187/1987 : 7374/1987 : 1)  C2b (139408/36703 : -59801/36703 : 1)
** u= -113/185 ; tau(u)= 483/298 ; -164839*x^2 + 55681*y^2 + 246058*x*z - 164839*z^2
  (5117/8441 : 9878/8441 : 1)  C2b (-11516461/2185996 : -4716271/2185996 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (-16939/1347 : -61271/22899 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-9032/10741 : -2569/10741 : 1)
** u= 120/181 ; tau(u)= 242/61 ; 6958*x^2 + 51122*y^2 + 72964*x*z + 6958*z^2
  (-5563/34878 : 10351/34878 : 1)  C1b (-4854856/4136797 : 1243779/4136797 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
  (-3535/2603 : 616/2603 : 1)  C1b (306664/43207 : -1316649/734519 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (901/3228 : 671/3228 : 1)
** u= -123/121 ; tau(u)= 365/244 ; -103943*x^2 + 14153*y^2 + 148354*x*z - 103943*z^2
  (-47371/247759 : 768328/247759 : 1)  C2b (15806347/67709 : 8750121/67709 : 1)
** u= -124/121 ; tau(u)= 366/245 ; -104674*x^2 + 13906*y^2 + 149332*x*z - 104674*z^2
  (4798/7669 : 14861/7669 : 1)  C2b (1844/587 : -14259/9979 : 1)
** u= -124/181 ; tau(u)= 486/305 ; -170674*x^2 + 50146*y^2 + 251572*x*z - 170674*z^2
  (6905/394 : -12213/394 : 1)  C2b (-19064713/2406532 : -7979351/2406532 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (2247/817 : -7843/13889 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (375396/17519 : -76651/17519 : 1)
** u= 127/10 ; tau(u)= 107/117 ; -11249*x^2 - 15929*y^2 + 27578*x*z - 11249*z^2
  (38993/25867 : 14142/25867 : 1)  C1a (-7181/1428 : -30199/24276 : 1)
** u= -128/149 ; tau(u)= 426/277 ; -137074*x^2 + 28018*y^2 + 197860*x*z - 137074*z^2
  (-551/121 : 1424/121 : 1)  C2b (-15720/227999 : 108995/227999 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
  (-785/1087 : -832/1087 : 1)  C1b (172191/10871 : -36539/10871 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
  (19631/26239 : -5060/26239 : 1)  C1a (2273/3793 : -13569/64481 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (16669/237968 : -48837/237968 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (815161/163404 : -10669/9612 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b (-2324/1679 : -101793/28543 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (134261/71788 : 41997/71788 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-681477/412352 : 148351/412352 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (-251616/170867 : 54299/170867 : 1)
** u= 133/173 ; tau(u)= 213/40 ; 14489*x^2 + 42169*y^2 + 63058*x*z + 14489*z^2
  (-32443/131975 : 7516/131975 : 1)  C1b (234680497/20570831 : 50383031/20570831 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-231843/39352 : 47369/39352 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (3037/2116 : 27443/35972 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (-56693/8509 : -11913/8509 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (-1746764/489119 : -357307/489119 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-13637/23052 : -5011/23052 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (81397296/189869 : 23635933/189869 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (-8284/111347 : 27057/111347 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-13497/1964 : -153881/33388 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (-1530044/604469 : 321719/604469 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (-25995/57632 : -14185/57632 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (2617898444/1300403967 : -547543961/1300403967 : 1)
** u= -147/113 ; tau(u)= 373/260 ; -113591*x^2 + 3929*y^2 + 160738*x*z - 113591*z^2
  (-39513/46909 : 429632/46909 : 1)  C2b (-3256331/1407683 : 4789449/1407683 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (-9128/1201 : -32409/20417 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (-16088/1859 : -11741/1859 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
  (-29727/12721 : 6178/12721 : 1)  C1b (-52668/38383 : -198497/652511 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-2083/563 : -459/563 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-54484/7127 : -41559/7127 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
  (-183/1111 : 190/1111 : 1)  C1a (-55316/6231 : -11311/6231 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-232840/100451 : 50445/100451 : 1)
** u= -164/117 ; tau(u)= 398/281 ; -131026*x^2 + 482*y^2 + 185300*x*z - 131026*z^2
  (-193/98 : 639/14 : 1)  C2b (13500/9367 : 32105/9367 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (163728/33167 : 34273/33167 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (4799/18748 : 8043/18748 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (1500383/1867399 : 40173/109847 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (30785/22249 : 10245/22249 : 1)
** u= -172/193 ; tau(u)= 558/365 ; -236866*x^2 + 44914*y^2 + 340948*x*z - 236866*z^2
  (60368/116509 : -193431/116509 : 1)  C2b (-47299/30148 : -575191/512516 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (392012/364839 : 626947/364839 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
  (-1546/1179 : 1333/1179 : 1)  C1a (-77341/467876 : -128753/467876 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (13136411/5364499 : 2697753/5364499 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (-120136/108953 : 46377/108953 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
  (-939/48635 : 20372/48635 : 1)  C1a (-27168/2243 : 5551/2243 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (1864/10023 : 5207/10023 : 1)
** u= -193/145 ; tau(u)= 483/338 ; -191239*x^2 + 4801*y^2 + 270538*x*z - 191239*z^2
  (-30587/69561 : 591526/69561 : 1)  C2b (225569/291431 : -266571/291431 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (40804/45253 : -10921/45253 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (139977/43252 : 30211/43252 : 1)
** u= 198/89 ; tau(u)= 20/109 ; 15442*x^2 - 23362*y^2 + 39604*x*z + 15442*z^2
  (-8/21 : -1/3 : 1)  C1a (-10413804/2877493 : 2157517/2877493 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-3294092491/25412240269 : 5276994727/25412240269 : 1)
** u= -200/173 ; tau(u)= 546/373 ; -238258*x^2 + 19858*y^2 + 338116*x*z - 238258*z^2
  (-108431/655609 : -2551180/655609 : 1)  C2b (1020256/122333 : -663841/122333 : 1)
176
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

-7/13のとき

2959^4+7223^4+15572^4=578*3213^4
144024966770113413682917690070657^4+929715128113405033206391282672567^4+1331465720141687292034576933169588^4=578*286428553063604454847326228395541^4
4035300817909692177043875823578874850101682134207895266446208658821452706579728882469718777^4+8546245034610608522267005025712215906940878306268321042746601761259672598973408075142080399^4+9814007297467103298380667689512531920590897702702599981487216719959924038018497141274860148^4=578*2252379821695030449752885911060872052578347302175772340273906251265904526060184544129720037^4
4323251497917437640345623332328114777316366476804874271345104428266284066450390870567783674254738240842792452514945188016596939636160076076668911102468228837629843835228163377049^4+6000518794025991915263090682768303256980084681290343561262786223957458734576224341352774078008570132992547987062365963745855714356493130553481632992002829026846780887437654755967^4+6323332443232484056397932840066181100442703973222449111236081942619588080989631314719140939196561006805485771154809072958971786695664151740137324962751444132228332851399422739732^4=578*1539240663868586431560214641926404225487202673091811674467961368567171774035159545171312343387669349143847346523321034639175180946296296261453384328930808826710723243946891522173^4
...

u= -8/29のとき

9537^4+14972^4+18217^4=578*4133^4
114791^4+152036^4+193919^4=578*43773^4
20433473^4+21407897^4+28928592^4=578*6581821^4
20554039^4+48068111^4+52542784^4=578*12278829^4
48781432^4+156934477^4+159262653^4=578*38391011^4
7251551419^4+7672377944^4+9968981339^4=578*2297579091^4
33479765524721517^4+64624427214728908^4+74272617364702933^4=578*17074672185310319^4
2341497663107502592^4+2776364959411976513^4+3645893537835737817^4=578*823771195081796957^4
1607711267386602691^4+12517439365944807019^4+14430703612417540564^4=578*3292477369890415527^4
19642252279577631737^4+22575217910367745948^4+29875606754431554177^4=578*6757502740643071597^4
29856107360122270732^4+36234409057700117253^4+41048762045931726173^4=578*9812065040293613023^4
117306456289333380048^4+214819478843140259837^4+250449854381816088197^4=578*57351770717275046191^4
4296205280569336893^4+1212472189162780011413^4+1554140949992715534892^4=578*342944599243190708263^4
4407338475723975530717^4+20899157964916508259192^4+22412480266213999408237^4=578*5263021318579166127043^4
339137493610941938604724^4+434749440960896100758731^4+457750646471834025579379^4=578*112582753699298604175407^4
35994647123309342560253497^4+41436084623885069708762937^4+49731334154736554681636968^4=578*11676219159053562761258321^4
8327590142874455816046077^4+461260970577209993397327867^4+601855520280675664371775628^4=578*132187619689374172332940879^4
115655653565105447005594724732^4+130727458457890407826075431657^4+159787323966094046045424217793^4=578*37333586224743435851660165701^4
26951271232969908399470523337^4+153624477659811994951681438863^4+226968054446258400374020901468^4=578*48549716323680637171318104077^4
326220007670939238213795283608^4+1113771502832913582368094819673^4+1116297041935316296242809620903^4=578*270683377765869114645115990897^4
435834119701120660079151014533^4+1858579260446793714284476082493^4+1951898496161709702881573449868^4=578*462661165712813277531296095727^4
1408607910956191203844023737997^4+2443911764174195939818689090848^4+4749120607355694036488194619957^4=578*986898614204653260871540457423^4
2284747117814082879051685871703^4+11724615129711594363061263205072^4+12752812129140661260701206163297^4=578*2976598748370801697717452841621^4
23175937902674187047179200023320728^4+24722865098229008542754556663054203^4+58847734451660031305199149814105397^4=578*12164164212067154417585663877188171^4
750431162557616213812753856693747343^4+5051500027303828362113518985787934793^4+7311513144205397150753355945081776732^4=578*1569717867362999801229430991102426701^4
11499054843423902585989291179676716856^4+39457138503788864380999368666337785539^4+63489772107233403171754429321495365619^4=578*13409719205003127751326136593432477891^4
6573816141778400740994716169471563621^4+59533974527585235132642094134728157901^4+69712301559834178763156484655269814804^4=578*15817577139149056349865735377338650231^4
642300343145438999152140190627739344597^4+809871817785314228463480925182247581333^4+873674930838055331796940686647085417352^4=578*212699795011245968931648283400222321171^4
3293816639900999524694320386230969966864^4+10159357856689245133463909964147386458849^4+16730761397581570928930484625108655305319^4=578*3523852522550061519825584221077102999117^4
56518427060001316054963860784700146029548^4+73822016684139937431200243456223762139173^4+75352573035590219722663012235475664917613^4=578*18796029342615425468601772628147592058247^4
63240284681847588189573469869810590714167^4+118968149390086488991272306838707297004032^4+224839850511129643585912543236048586549937^4=578*46796464209786515593284605456493769974541^4
336534030140639078305996565920509457267027^4+673598234714176263412664068816107746091628^4+766659832730533203511112201929648323568827^4=578*176754695886998468899938181468645111420567^4
1203545254342448492351492595800476976079863^4+1945886876563534756152896397518618724945532^4+2348237249617913953424013680896623086312127^4=578*533552789042576027659454200293538147676501^4
1741420403405284616865273072600482390024069^4+4254561957459208851060940762159858776513499^4+4600212580867929818839218767165888440675496^4=578*1079422378364160946707931678938048780565107^4
4885493128958591307825272801189574596622419^4+12216758561611473290539458058398269941292596^4+13134119769834263814003364190072578501998059^4=578*3088664228775654857066688145023477006623919^4
11496516179445449518823565111689029099664179^4+15804952411267520545681726266185240402563939^4+19954314138519719059151884866299106729896776^4=578*4506602610821503861548811415288001062328627^4
8646527575238851343682433211926841172456087^4+19525909867758020611161531504840814252846897^4+34854824465056038863041996038778351039452892^4=578*7283727252807541785246473892099994637897981^4
245141544267806470629829809445527449605467191^4+291062885218955076717044401684663102435980304^4+338087622152461347060970913646813099392750959^4=578*80150584255073469497461996626838719107237949^4
824561152424145168373010981501242326950441191^4+2188606509355083702659540669487950842970861921^4+3737609920490192607130952978389759305119734756^4=578*784170565054910054934396469595524321654001133^4
437425380684496887669524261946082426469182496^4+5320738449436951796221223112889436380342724981^4+6383212085407433325516274469793580930289210339^4=578*1436569313661477437624014968907394217771373671^4
27963980684721902399880271715734151228625988077^4+42054354600773679640589019888309316860410430157^4+51787325466135928250924121698616526657954786472^4=578*11727180701545281425345869142797546960043431723^4
74066801647760233445117800860114686649006874117^4+97624400013382453473584577956528645100333847272^4+97972345675847056244320383086280046593724293797^4=578*24640120159218072512961057322435432456003813363^4
144175849576928879874654375931102995688091341597^4+147168492882670932371519933542798901472341460748^4+199887601531681276999107442121482368333153325893^4=578*45592996522656630356194288943056018177828739039^4
20375305669141228893851195770779079941062175903^4+185798923728672287564524591419553431483293949208^4+260920630291895174339951929433818479738360681457^4=578*56347418050449343416130125887546023565456461601^4
2085124337313035636777865359866802226405346713027^4+9248359611550655390164000435385385496575583812773^4+14185205306777286804142113282134313970763762732428^4=578*3015989880435323844552282838847835989900139956767^4
11966724471180019655365093590721129233363311041856^4+118531685781811393012617126380708544422870001143639^4+139933093471494942442085194043565433093480026392879^4=578*31661583046762043758468765347610232318860424806797^4
1295445916949686687635695160874483308242691612610649^4+1744750050139740288143924213437670972827878571283071^4+3738826096899054581296532899488352265586052273093604^4=578*774047542590091269704368648843406844276317513177181^4
19704912799045077705548271781081721444059869261701156^4+20384102197081520906245811094869725010069330989194991^4+27008422631732709093229495935635480320711267270972951^4=578*6202623082502600740551826812943801542355315506934509^4
10297797269679814688291636146553611086922207329887416^4+15560769438132258307299583973052484351603162570240919^4+31830313605468776551994422461186246513770751555495271^4=578*6599469555320324538540123079175584225538091164589369^4
3897363678038459001961106051528778066286655251513773349^4+10211177092976958859363639698882223822163522419955664884^4+10855027315269036308297883218127335755354910021255313181^4=578*2564164804903116314587666061702148268070857825651075887^4
7859112371870773517729366253912857521391255878790480513^4+9675827707567596514128581414492170157171873135054678832^4+10772010567649564564964835836196976230741883830739192777^4=578*2590876243557254561912837911699642904190803853114799157^4
3903387917999882097981079713686408519734921499740728257^4+11543607702624574313079783664523393424421603034116374812^4+11932478022475925415658102318841376422289469939290665433^4=578*2852401088786783756452410041736046600174417456720932541^4
181517076885602611748664925709912346859682253467299369289^4+246356118156092038841209850357206498061191774434089128964^4+312133717954519494186773564401919755806355402812011499809^4=578*70478501874383921429011648027148984064288736798305901221^4
13168895759769132044048214485571559050960774701867789809328^4+15118151006035218817523225996309421682510393241300543238897^4+34759147769705438835379867625523189827190350217301579826633^4=578*7186925193896360071778957435812509525773778419597441134637^4
437269775134632680802823653982457806865069271174624895739352^4+529646444150321538355168045275820826972819138366953668244477^4+691760517965098422067350119987910345422896369066702708625123^4=578*156219648257563711380094775568611131643778202946464210047611^4
47730488797782305788699243115272556386777866135620744314367883^4+50905480443972708259148069317875757610364063536356954492653677^4+68533522004595502799284734108879075409372226535544866343066928^4=578*15569628511680544744303717110087168999272654138220093203253503^4
24191890980042647474386547736631149344037082397980550111335947^4+110465414128300300675160569771095904063974737217841078160830883^4+117616580313676741365896624718021300044457974791947134336292268^4=578*27706674108799714974452777008193790703457008554883416629668199^4
80898976738623297819510807471713120608112778949125587395961957^4+598831241624187411828207500449086292940417068905359204162779128^4+857786227564045877748342517721329531276866467854680044200818853^4=578*184519458369228199645518400341877334073100986161411327477827267^4
1372119427489312719753946204395920620905788652220155156126961637^4+1508671079655040775407862516869750202481488155570208714451127997^4+1893279479625319386618376201998913634365615878281834961930241248^4=578*439541689897398278979448257059737590378452575109286867175258591^4
144073917486182327931832594541528636585601026117562881491168337^4+3011080648655807586361692371487468316950647389218759930935263032^4+3719302444404456658415511934706187107465058326400802703144480833^4=578*829433909376133906415502748731325845971316111683380929842579137^4
94064916912705013872111249478155605643322147243540110658300750679^4+117574986783706279089915337452264268213960391161986905415744389569^4+260157019578314400188145158610285273534156771181541853972926745476^4=578*53821765646087053680658797542033303520613531630363195015376550693^4
307870406493268761431586134614801330909003714865626005219932607689^4+901068527716140594933494047851313934267153202620926562361302341471^4+1502100203195136520979382382661483362072443109396427214018666230276^4=578*315941757919456541024093445260841780990926752397729950316344881189^4
13661870830582343495766059712004541829263777836421369313735610193372^4+13995450005786314225465498052594397337369929837398665577665632953617^4+18698423343108681666891789488572536138479544164310816929230766192937^4=578*4288191272211836922493416911555342299575476349523133232121686526733^4
10825037558008789762196049221996501623746213475444874647711923360901^4+187043551669394158494108390904221452747151841992827423790782802374771^4+252078405654146573569467921756503739465169077204995753564677178722964^4=578*54928896203491314158177671327481388520607876561307823771733168448327^4
125093519342241468622758181174413185747725707726417962370589347417008^4+237106949862403721205302196573642298199654380489979933195927872755257^4+273851682404624641802410025936786972928777546397911938957088440506143^4=578*62869041572747424110341710402851412580757117141218824153165042951773^4
375947200154668175129176463433686824156284143471896792954387249421159^4+476439663114440654778251397557521267744563926406727795899798025281776^4+510290891386823634386453667930788055156175481157990053337448337253119^4=578*124598518471001922574775497525130581035507155960502386246607444087837^4
822250344579692069707606536145165314971696433687642780461213908095896^4+8751411236579279332610949456566630505332288972264025819344116760169331^4+12138663973994010982930933091730158182851072284600464575259561413844099^4=578*2628183897900086050058993884741254478816655380774507818818214514775907^4
7974295001007935302636004066378667511237740146270320843633277466318337^4+16514230428692033362821352395245543076873334477737601442684473243399143^4+30258034031293084662584565130131492295778300180767845764210479287844892^4=578*6310573156867849495651510177567363977135245175286955408566596123382013^4
1314302955743490696643067883704288439662897575845926015426964908871552^4+37505906892225767072231569869624096752251853317560716589000662391921697^4+46829228707795547455122215086449741198228069485406686014740916162001993^4=578*10410041444806088374414221011815311331308673773881375559917343748975877^4
7392211904264352969267484654709815105979718534872864003716426272868448^4+44613712839511884984529907545004168861088919062303147672148654881681777^4+49787656409750838149902378337821608373520963034155981662309162686782777^4=578*11499959769761447891389428441721404432170623129450577770596639458428261^4
171501491186035533646752894127297012322402093806005026137351958427056401^4+241861247003185528655004501785709140545517675991430810215506145522873391^4+303215555498800412276647516968073427230694633763649882109562294964408936^4=578*68518763885997251142547024187167754465608910753252030835471470321087049^4
414589481337774394604878220686782455702736926874572732612468283357600572^4+516150184286252853616608869835989537577082993032088309223562146297328273^4+566478357558698605237318924310466370946871560511481273935747796413258617^4=578*136979689561837983265999441000909721148216244642462192879996683013055221^4
2165786051778747126471800724617233203582119976034538214739670534688350073^4+2582596498364197044721550588575017473183994163308909622654095807199293103^4+5835635685173543737203255203255283333876016814743978034372986688398391612^4=578*1206865837211143227831520304675129816244386933104046688145817565261469141^4
6556319901675479167902093534215512632430841750496991909830428730096182516^4+8464609586396095009488495815168519065654502679251796042080432688736576541^4+8812814888817049629600471791240299720317791263769050586928486178921557221^4=578*2178288847630061492947171485961793937873808010114728400190540406083345999^4
11589290650748498151838268383164371995719658387285600070163956325155007823^4+14883810556468416683021687044360251802766959595259960522085681258757871417^4+32546752144382106814367057653505554666511461585060587018749301525322315708^4=578*6734926193427628316568577426631654528791881744072684703411395983837107237^4
1807318205749940087501480894836921330641531496393582953504308017357762993^4+34689485748269412062355440290794624043752788122943701760843559678645783048^4+46533955259613590623941820402699604642893703992204546388269828927877723617^4=578*10150993296219300197787742225573163110556536883722410582803588709933724481^4
46939473655355395314134624523420125843048853525097894319073825918827165548^4+52635795441062006601161699482361157279025232764464869818179511512863902573^4+64835740682351656828390641670953791084365290935742854311909235583767759877^4=578*15119045884359252374368762695706158513015873445462367005652300430190842839^4
160438129930325047917580675741573269547460848262376591705862314051892410599^4+174764893378985575391104868161198462110765199292056022700244868200894725956^4+234200414477089514788163143852201710980811958274428853270208727345846095311^4=578*53125164190524623943388081147455229034678064501507033158106920646535389333^4
286378419418161196689029901038083439942764916778809918914995429920254817457^4+441150880604255774597509215847177677471162470516378322923612690530509880903^4+895706459005426793578734117273451706826014163645587808941835047826092720572^4=578*185762376819173811061958708643538887539820379891351531346004391319241496933^4
...

u=-7/157のとき

32678269618390349972969309^4+153600163919967708485211428^4+178088490311913542919201251^4=578*40555757421380334192115371^4
1831083708706673227150640937167022819234018799147873125770845498835136103^4+2178788528163354216630543524564273870872552634638291434330842881608692396^4+3776472410017476524689548750185905047757287566244730493791001587215707097^4=578*800359127954434698491243940661741921237308421009580726674119755696163697^4
6566938892161394531043719883075542645287784728506029654890073574491324219260412751904072285320519286605679056153066911956843232086281968234092^4+11018955668437387701561431650701436215941263378384315419291995241435098101014971570263918495129821268788023325587841776677254519540409953940311^4+16026333235498616838736171592440154744190915373792428606108592710152506789429896897425611133660493974611080738947832771259764678856188666252649^4=578*3457197391316194441563195557945482093935422272763323244440534938120625093101826773297249138561790818257269667940132427157511841333859149864769^4
4432335804951519069154723142774605763054303590096207087519518133553109287231157779687253033577659654660252679926727378334065914302689702252342346773383118673172106480852617400002685835528106540099843705181255575698037989609247055722724^4+11681001022376481796120603054285256586134111539829459469894439172326012172590699561850534028433189781470478882688229047729983833314484562736463539228339362643982741202501302634403145302838020546048430516242676337552044532426523747571277^4+13862260857160257252074027975108934762698295068121164736912110660183107465161625586229594435470794028839284956090654151210316855120984633521370029042760855604082475722818787431904252383564664180777458981298550284032427363757353908386163^4=578*3136380497942199991223287037779731731153227000441879428149900713188674681791011795958886632378898172188568252993687081316195953155886420526770586535643269801222342297762810480504860128159952465318088666691019208213393870237909713182843^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.02.01

H.Nakao