Integer Points on A^4+B^4+C^4=51842*D^4

[2025.11.21]A^4+B^4+C^4=51842*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

51842=2*161^2であるので、以下では、n=161とする。

■n=161のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=161;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように100個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(161,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-7044/9115 : -1121/9115 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (-11096425/4580568 : 1096855/4580568 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-127580/15201 : 8789/15201 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (-278620/2092911 : -180395/2092911 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-1000/513 : -83/513 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (-46784/35005 : -10243/35005 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (48721/16180 : 3267/16180 : 1)
** u= -7/61 ; tau(u)= 129/68 ; -9199*x^2 + 7393*y^2 + 16690*x*z - 9199*z^2
  (-209/789 : -1096/789 : 1)  C2b (107752672/30373781 : 7910503/30373781 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (2021/1275 : 14557/131325 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-37805/62124 : -6545/62124 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
  (5491/19333 : 14808/19333 : 1)  C2b (15841240/12135199 : -1133981/12135199 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (82891936/17710507 : -6062649/17710507 : 1)
** u= -8/17 ; tau(u)= 42/25 ; -1186*x^2 + 514*y^2 + 1828*x*z - 1186*z^2
  (4 : -5 : 1)  C2b (43160/80377 : -6497/80377 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (1048652/254935 : 14043/50987 : 1)
** u= -13/85 ; tau(u)= 183/98 ; -19039*x^2 + 14281*y^2 + 33658*x*z - 19039*z^2
  (53453/96389 : -63658/96389 : 1)  C2b (-5652412/2005053 : -597599/2005053 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (10692/13925 : -1267/13925 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (79679/48000 : -1123/9600 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-5958704/3690083 : -869447/3690083 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-110020/39681 : 17549/39681 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (513/1000 : 83/1000 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (43504/6563 : 2907/6563 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (-1535125/2076076 : 271959/2076076 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-7338481/1102792 : 585657/1102792 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (-4711913/4871168 : 548187/4871168 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (3659/10944 : -1867/10944 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-21596/7557 : -1469/7557 : 1)
** u= -28/61 ; tau(u)= 150/89 ; -15058*x^2 + 6658*y^2 + 23284*x*z - 15058*z^2
  (193/1062 : 1385/1062 : 1)  C2b (-55436/129505 : -17787/129505 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-55716139/20202995 : 873125/4040599 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-240481/354705 : 34441/354705 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (-4805/4264 : 9/104 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (-2687/11252 : -747/11252 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-57899/30285 : -3929/30285 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (-25096/48465 : -4951/48465 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (-90800/13529 : 6849/13529 : 1)
** u= 42/25 ; tau(u)= -8/17 ; 1186*x^2 - 514*y^2 + 1828*x*z + 1186*z^2
  (1107/1997 : 4460/1997 : 1)  C1a (6661/9336 : -1531/9336 : 1)
** u= 48/157 ; tau(u)= 266/109 ; -21458*x^2 + 46994*y^2 + 73060*x*z - 21458*z^2
  (18158/63211 : 13805/63211 : 1)  C1b (-11918183/3891320 : -188727/778264 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-1659991/83840 : -110481/83840 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (-1411783/53560 : 158529/53560 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (-224897/55095 : -140953/451779 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (260368/81961 : -18207/81961 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (-619/428 : 53/428 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (-13785/10961 : -2429/10961 : 1)
** u= 55/153 ; tau(u)= 251/98 ; -16183*x^2 + 43793*y^2 + 66026*x*z - 16183*z^2
  (-52513/101051 : -113106/101051 : 1)  C1b (-625411043/91410540 : 44740933/91410540 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (-812216/1081307 : -335509/1081307 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-12184/25909 : 1739/25909 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-52635/38557 : -4151/38557 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (643820/143959 : 53307/143959 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-107255/35089 : 8349/35089 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (17348/181255 : -29217/181255 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-307539/172688 : 21397/172688 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (-68584/93335 : -10049/93335 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-73812/2575 : 5311/2575 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (904207704/147198761 : 73784273/147198761 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (2303471/1250252 : -210389/1250252 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (83833/3132 : 10777/3132 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-259253/274475 : -53707/274475 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-307539/172688 : 21397/172688 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (-27089553/6720745 : -386455/1344149 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-798481/145060 : 311163/145060 : 1)
** u= 84/169 ; tau(u)= 254/85 ; -7394*x^2 + 50066*y^2 + 71572*x*z - 7394*z^2
  (-50334/1786943 : -774943/1786943 : 1)  C1b (70769/560116 : -37131/560116 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
  (19970/540811 : -808891/540811 : 1)  C2b (-8840236/809371 : 997473/809371 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (53321/178828 : -15309/178828 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (-578483/137880 : 49139/137880 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (44147/69716 : -231/2404 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (79679/48000 : -1123/9600 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (297307/49300 : 893/1700 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (-290211/15404 : -55511/15404 : 1)
** u= -109/117 ; tau(u)= 343/226 ; -90271*x^2 + 15497*y^2 + 129530*x*z - 90271*z^2
  (-104353/482759 : -1357230/482759 : 1)  C2b (-330732/619949 : -142247/619949 : 1)
** u= -112/85 ; tau(u)= 282/197 ; -65074*x^2 + 1906*y^2 + 92068*x*z - 65074*z^2
  (397/3840 : -20861/3840 : 1)  C2b (-235896/948869 : 436897/948869 : 1)
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
  (-1187/1987 : 7374/1987 : 1)  C2b (8271728/2940261 : 1092523/2940261 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-12754907/3983475 : 911711/3983475 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (-769771/245388 : -117457/245388 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-620792/120441 : -54769/120441 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-1721735/225724 : -126015/225724 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-87404/63155 : 1062149/10546885 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (58433108/15043361 : 4037691/15043361 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-57792628/51713005 : -1463613/10342601 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (1302017/2320856 : -246301/2320856 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
  (-785/1087 : -832/1087 : 1)  C1b (-104056/509941 : -33817/509941 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (114760/5979 : 7639/5979 : 1)
** u= 129/68 ; tau(u)= -7/61 ; 9199*x^2 - 7393*y^2 + 16690*x*z + 9199*z^2
  (-23459/19257 : -11240/19257 : 1)  C1a (-3256/37077 : 2963/37077 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (7563559/120476 : -1958337/120476 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-113741/77867 : 8281/77867 : 1)
** u= 136/173 ; tau(u)= 210/37 ; 15758*x^2 + 41362*y^2 + 62596*x*z + 15758*z^2
  (-71/205 : 64/205 : 1)  C1b (-9/104 : 7/104 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (945940/297917 : 87199/297917 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (46273676/12598505 : -3237397/12598505 : 1)
** u= 150/89 ; tau(u)= -28/61 ; 15058*x^2 - 6658*y^2 + 23284*x*z + 15058*z^2
  (-31/84 : -95/84 : 1)  C1a (-795335/288284 : 67467/288284 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (-1913/3895 : -27959/401185 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (-70664/59251 : -5349/59251 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (-2090903553/4988140345 : -146568449/997628069 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (1575521/1412095 : 193929/1412095 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (991328/433495 : 22737/86699 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (857/153 : -9577/25551 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (826460/28073 : -63725/28073 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (-1637408/1068761 : 113137/1068761 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-76135/225356 : 31101/225356 : 1)
** u= 183/98 ; tau(u)= -13/85 ; 19039*x^2 - 14281*y^2 + 33658*x*z + 19039*z^2
  (-4107/31075 : -31766/31075 : 1)  C1a (-68349/360140 : -27923/360140 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (10048736/2216075 : -28021/88643 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (1199909/842805 : -118019/842805 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (66092/91085 : -18831/91085 : 1)
100
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=56/61のとき

18012285839^4+160993697295^4+304142156648^4=51842*20540619617^4
3196120809491994199987^4+10144284254198726496565^4+18184981538985852348816^4=51842*1233593881662660701911^4
950327580098864897110513805183573^4+2044196037777235605022373204865229^4+3328961491779438726210096954139200^4=51842*228403089705836140439106452999239^4
273153700053235327645632262714198420185260178694430875919265642601^4+494906366445391777574798955603432960870935307734084631169630490727^4+709655808295851303733398671371468557237625402518385467930071879000^4=51842*49812646468418023611552186197134055359943140976559167130352296593^4
11117511219291948244370500230904223519768755869645810119353876991942872203992649582631559^4+19098679406342335303071667350416069505023084934506859625868513779390288919431615131360567^4+23677003511798472420389596275037207719521127082560162964633849164339913387662107183949560^4=51842*1728346348859601829275196602612896706238452391014600186686703952734187863929610855482033^4
85100498512718946073852102048867437741790050311215078124426788052815970281744298238650603487563820425447^4+756730796374326400216361479482802837845024444706776829857230123838162646069180646272233299082795046251335^4+1429481214477448994185055320665365014674320877345874376045714752817555587260763868148341899231465985250504^4=51842*96542298150522186190890381723017262988138626224549193836386024434047906175955482499875854578527907690009^4
768477280217556653727043803866188931206214766777596883184556794701476689338418323304038160660394235710539^4+2442748994096342131231578169120631621958543376242068127008638858471985856274321807085890296908025056153853^4+4379825965558592608482068943358904211869738509637215360434894308473365629528341148092129309880054969762800^4=51842*297103608154990020280389317626700820995901396777006692259279490377931528397447182123882271825070562974527^4
87246868937721157476389284445135385035331204519406221912358958900589647171050275675368075788818036128132975456261864395295913852867116861^4+187546909310746709283527862850151189599461913051731196546180600223472795424686129499798463966049905797539729924180107948623828595858208405^4+305328132237043510920611812000214451582656772222731731641148791634923608637111244789682317743869451350697851971399715322674073006907473952^4=51842*20949731501574027178430593531548787850419448084987729500603335064752477843813321996971548994991826026975501941299544166179464935567894383^4
3369176953849613512753753383752230920519479754911288801614049306618728723230585990978820284452433995388615958559460691030872159429679442833^4+6105995811403615565875286741053768460411585213479699743209942980454956111083126215909969630297042668017333936316588589217639298644568762271^4+8758670963390095281419873527116846332454705688074169364141886149481205708085108577554040431335779673811796895031824901430205122323989863480^4=51842*614746134832892676475827928309112459110689666549120830319933342091040385741432757105827841848637133362833175550153211717962836962830490121^4
9588704558138919681710836023175027027290681808537028212629818567532689299105667295226203935352045852974122272975352909510547584793835875136187^4+16879271143348103658079913274935075558364406646328575372264986903219246982559161837297352105865399457916581928465767741155226916597695420963869^4+17918809831891826830282536130667399127467491216518214449056894144481414651079729920830970694132796805252090841068960497501804288427169278753120^4=51842*1388552626394279214669477796063010357070090543558515997800228701389231374141948003966454429099848044505212155859010499069655381172481344601319^4
62535602894537063833788306427497543256914167124799230157792573854697053148420310823026487004126544554609873119934959744624450466329353402109036878031890268288850355700810848093^4+108797458458239934858284538982907348359581794147156588378988617841297070324328001548672313781781069818704846677616000691381339789757163346678846768872232893525301470652737853296^4+119909662665723891049349744302589368447309057329002146566311903221937132893375980000481080461961190299556860574972606163531814058507672966618496663047904982784340242381620435685^4=51842*9142168447822814978288560055756044184147465447514130650585730477508374312380339502682481791441975765087354956695375241208283674627096798571345723458562288852027827577722194231^4
19906745935887476456891000938398343699932802453669782163071699455230627637863539298073265625057781379025622565515114267102720450726642071064842254870266187497046996197841934687245664624922523982298422367^4+34196721837635575420232521213568289299357946711141576719907930698528256270844685162821430769508965825694358250508116296342809819104602180689345390041180689794062154023722858282236988354831852961081159791^4+42377530547554398984498652410062746648085379657019039272379271616743229751749464333650192653647851655227342909752401806033147628150282134417798198895376634516183841931185746776998276518524975065673322200^4=51842*3093821967398523879791906574722107993063332580982497578716742926879224547977409414267396123005529482783767718590034293540457380867190550605453210581483543212987209082609307442762237484590513316550515881^4
6062981678441758178771427401677162901718429367021260720421709318083949789790394386046749367366573891068539123248681476985908843600211489832662781206322413457961262451949847520283030481979491418924991096019^4+10671268414181829813149175037949999536534775192081854595751985275862299398540499341000745681224660119653504681154925588326772768591740108286601452686557185844985909350918127791516357692913935614838823286245^4+11333131405580897934448301037177195181086107657231388064161611877229249164772033045155463207260325728223993489741841953351797840602416925075850433968470665297662437712753662093305670230757062454838310714432^4=51842*878057541956991536250891200479319625380876031264502467949999639157575914699969409553852801596536103225501965524475429066337117956180674113547124590404144757608736584082973012331464910099402468215202414223^4
...

u=77/81のとき

262692^4+641495^4+842767^4=51842*60149^4
331913320561044^4+928880285751419^4+1311823766263315^4=51842*92025390542207^4
9019433662370909748^4+20557474549673188723^4+24891537678758974955^4=51842*1820237411441634919^4
17653727348589111547927870214379521052274348164^4+62644383152379178883632204528590112934485579615^4+93890652156849113944474873186907838387919307639^4=51842*6511705885652024469708520376876117888422865533^4
1694423352205575416652605860837988376636338008476^4+8952535554683911287690609036667926517467822991295^4+13990854273557889327846557445522236283540683879911^4=51842*963878078592829086523288005424811167520200812757^4
199850824781847008702093528059305979884578444858145996^4+701081170750431712214973887730325233729062887097546731^4+1048708500548953519886091524881783037117395704871883795^4=51842*72757031100018093496694725338567494199110119790880503^4
13625238172401969966037872717590608136563136961572307396^4+30471207436063299774715952522035656877321474094733013135^4+33801411876086208074282449546746024581341230855032676071^4=51842*2552887215435026955296496280779495537597445924348379437^4
418161512429716988274579081938980587637296449644488695997031002348^4+5361100296290478150000668528292607430070496751958538549223637402803^4+8586485318515275489242074171173642929698412423950716443150433378235^4=51842*589529700646080300219428905111592520371689280876854155704691953839^4
923184177086170327234999583589463022182245011656452230423082730480160667668616828^4+2566389386792048069824435954988645755203653989381514078891804334033525169854175735^4+3615312827166408641882505374737249758064585998681673822958210458661220828956457983^4=51842*253752846117121805509438660293304001966468269300575973795319438772733146197653421^4
36600571370564688653724848001551302854883336970962063810055969615867944142798541861301949738016547572^4+197512905026759172564651506336329831753801936097873114216940937527888008726258148971562934222375908547^4+309067890674483858241306651403274543703802521921672463614539366619394122052528847826258654177634595195^4=51842*21288731982839049819883440486463778086150320313600142834624802368760054934085085023882477652161413591^4
6035590515991380575794001277615367873325881716635088141711911394596333865265977204842867038308934120556868^4+150854497909221323297904765475135090082255442792358107107661407249059940616426924250799372836782564099369415^4+242456002339419236998966291746270912537668631269508174128232209063347345597830306034191901538701236914304527^4=51842*16638887611916003413443660039759966533386799103614545957833541422995455015440953711581730719503311531106749^4
911702806133826642950029532962565275976679385164571351177471866892813660945031483784940067643474349815158044033236^4+2083825067838859373137164224122714824279316801067493283912591404172661595927877150281287799434153930442888935748011^4+2111243790042632826708586202901222989143320969051875362492219231061168919135850586381579991108918378908388271013635^4=51842*166051973654967376746067608967345590250537159206653864651687054971885273491529436826898284087052430634171804387983^4
179812888550232655339415694839389135449504604862278439063495127431218256762725011674848875798215353416398680776185836991205588124332^4+437491899267544179440255638508589940387559831021066500431462886896181040211082835119912434652300195114615801691724365091140227056227^4+573076139133465699385863762939376265464086222590466646890758279708832075920026837472011228098865271325907646725765729772836452031915^4=51842*40932887495329155492144868345949310148277235575230616273403274545847605199514871451196362496757296161303558477853278408022921716351^4
1272254798520404168819309737734996660528883644753052274388298430616637917281083177672541262611161694461658210067949758989585527845606684^4+2903560902656220084288015502012531589813972074503935536325208623534202418537001010945054549525052034208604170764304165631867435992151775^4+2951903588764908938367873393024697936553012057613759591274017311076405006564471667355016156760934645141205848198660096223104032602664519^4=51842*231782584693537186103736933680634824973999895860253874906711404591103763729187228371807092220382884031562554958131409169832889977923733^4
4685082354067819445828515274416025656319160239260253058770036586271516849608084741852323814983938047326165677170740545262066115430944492^4+10476955442882576557151686257632480944276862945091688313681534556777100279737649331985392078544133479179370789053558442098066662062716147^4+11661268219022449361880658642728462169784521108536965834879362814245684726604250106656411116096854103437699628697875709367080049119986875^4=51842*879525990196482398609637878627307153033663198397994609979749365861702598375661886126638344643244806342502362409079043862930882522603471^4
15337783791026785748914896392820203875602944565343850276932283132906921370704106343919251405425282415232781985272459557452138923875233743672752303222543581644^4+34400091890785298858503018355173020905019547179358149507234469789544850781302608459920145757715871153538194136447914448482776225620271814818924793485299758675^4+37062489165508800147083636027641863050169948723401012167203972781911118361392814780517598765514239725794118868861017988147079414285804862097967115293815868779^4=51842*2833668800519613645882752568552426928063730219711599756546262995897293788503839075014166230566604794425799614106150320921942680550905420118691288008610645847^4
764071770591770848315752081479602799565481387259881161774298338472289560142581213723562995736027238995731382916829028197654097494362348255916912864392300043068^4+1744319887040939214523608783091439619892067600826526361555312626511134208689521389997906850673923549877679457250848396517532469744438476247737951993303615089575^4+2118846116781447122267371323815801953392155959629066466576157447352140880216030199742525958526781136116639043946554022029057352169298056730064761141062026281263^4=51842*154780702160234488356288138187472538417948523754200250393113982895179161919910955103581610744441163817155505078037430839152212953539675259915970119955005630141^4
30832493511912654444098358869604827047244004256976733178058162019067642441276298371515131235327482326410129679470899788511398140610583378473054929248502506562425897418996^4+199520268026212493458613252053501541053634652879949708163888083134998799540934671081389384194251790716804079268279385904970654635434731238280338075713940516621324816671419^4+314996940013370852543499770371791383275924465138704380410136711067254333619334243218876054595847860682693483433521970686384352354803753227931325114457252223845387853896355^4=51842*21669503557093743430440829150338787444826367716255210306451953430320391110997783246253920170046318780391483235593469049554127754773315974760082092740201726481103241191847^4
2149932634865483284175249640476523925375066414944185990599867781854390190813082691938534277592064863893424598452524166601605927296243055966500778915693093894077976512326827166948^4+29206730330808773252628092705609908569688867728449174610356574168688069063612596624851893894841442498539809230433849853710127470992037462280124751860750319213901164168797802140455^4+46802648976523188896592398664491286798622959057103908307993742885683106745475156797521458974515607876269135160302600727626726885770549984321235559553168739377614887171712909979423^4=51842*3213148486761917955462407207280707772596868768588014777053612931778059935701029508594039400996836379455944326658245916114786075927451952758785874468765851081157738776401727126981^4
2708340414260922472141508790672045216233330431328065930497765910148712919039139854222823561654240545596256721757965659264825621244765256537233777759289137513340756105894801658863353293590241111908^4+6071035633031043789579690251881244831598936027843029431547967885455383655254620837420169988553546382596103335441256000780697475329052012661035531950303702090867471244038452146034594184160411574783^4+6563225728195431511408080831673464359864365822649202813061731417070906654537790960887240882615273039286130703725669674260686655472698709880612636940816717142827012655118231494580159531167242584455^4=51842*501064765935004426441030595570223925162478779404122094578561273833250957420247989772893839200706843581909877671836624472901145483534130661965844551984332373687419875638421398622811658478523678501^4
8199685409868028692841139287958972243032004905846335437805049039722926896754791300564085617780385404816596169966192995836796487243408723377915961179445001114028792669886248822420598505534659395873761532^4+18483549570320468563899198829134851089103814181401585131513328886396581445535360880574299957852128953840571728933605866099835274437408871500903160068336297121476363025922163213008249971476612914658153887^4+21765135985249254603394425619284074307562848830560741944634301083389039631127852285461613991511143884931443285318329843678710337159614721631227211049777793988308086478107286447052393990364584282930149975^4=51842*1606900887254345247634381691223931227262322157161710220811237944747364404948416535073069126180282386393853021811648206166394248272908031423168914023590065668760466862950340477819009402465275160374040109^4
...

u=-55/109のとき

84031440653299^4+124447038425085^4+126853114541444^4=51842*10142715081589^4
101369250466448398670179521210282472792131223572010977^4+158618199937414802298196827889063125207983563555748735^4+163147733345082188327705546595727689059667242904536468^4=51842*12925652712531052376263428738446518111817300532484607^4
11458684269163592283709544510444081201380420719853451696011319299824236875218239153457901299519360690644916705^4+16112308748204872963506563695825898132249979066274248201717770284806589386684596132597394443544589423767362591^4+16325328340083921019720338667503551936875177763684773412888941050034136290940513907853044176045992883882367956^4=51842*1316371276584582058064633311507755930728727319214962501500249196832848092256487987746160543064280061771950031^4
596645993030371552785404254541002693475558455486874371522171067893364582920924918295222765949332881628170106875^4+1641392403434230601391215033557106700272673795211266421470933865450912952034154413749337117871027680199690736571^4+3336132266618523425371934270230493139392807008947797701697035931384692461509762842933170011614870184251639505884^4=51842*224316067209540095221641109235312075208410001345256087738448825168897355482043991624042613437471877732354757301^4
35109894616790255534395050078209830921838852618280854650895713503428480151397389415274799630275277117992584671997366704155196849^4+139471698235049135073133296263696314264980436561286682270103937282131410710389701201145206263566491131354002604291426089821015745^4+262589887630574334929138785130726278899101701667886416533486798717315177890937270682246480428943217822051509417612167313032345324^4=51842*17740012816288593663549554202808625028894695745362436051535201190634158422668382183435106012032821195541556098943131081527358871^4
20100638127350627794122062491926380510724827737679608828277056945333535834706167364946125430452850771726468583414339542671755421322866966158082703481865702694770564885345631139579071865225197881271060187729824945323814738704355^4+33362176346847753630209896222090003953282052231246163058877824454212834922226150732707740439196379227551758299453827438122078595860030835892934970604529081658272560152050209128865477313450584507617621146571142383802623720631277^4+34727859004626789520272021268557375244207830917163450733968821112105583126682121014489663765102970972737400281675891188005697209450842321011219667767233795298301661714443362088598779394022344778191686410382300030654293324230788^4=51842*2724528627524931231843365713609292543364719519955314824449451841490570172890191983834419347158175313334783068347214330467769713357000263339657918112268970820670609050766610792560506600572555683223821759126308656258452472890997^4
...

[2025.11.22追記] u=-55/109のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.11.23

H.Nakao