Integer Points on A^4+B^4+C^4=50562*D^4
[2025.11.22]A^4+B^4+C^4=50562*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
50562=2*159^2であるので、以下では、n=159とする。
■n=159のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=159;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように175個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(159,1,200);
** u= 1/81 ; tau(u)= 161/80 ; -12799*x^2 + 13121*y^2 + 25922*x*z - 12799*z^2
(-1237/653 : 1872/653 : 1) C1b (-1326070/1168249 : -170023/1168249 : 1)
** u= 3/5 ; tau(u)= 7/2 ; x^2 + 41*y^2 + 58*x*z + z^2
(-1/3 : 2/3 : 1) C1b (2503/35 : -167/35 : 1)
** u= -3/49 ; tau(u)= 101/52 ; -5399*x^2 + 4793*y^2 + 10210*x*z - 5399*z^2
(6497/32943 : 28532/32943 : 1) C2b (4520657/2368786 : 314039/2368786 : 1)
** u= -3/61 ; tau(u)= 125/64 ; -8183*x^2 + 7433*y^2 + 15634*x*z - 8183*z^2
(253/227 : 80/227 : 1) C2b (46423/48302 : -3763/48302 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
(-61/4 : -75/4 : 1) C2b (731314/419605 : 52019/419605 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
(2 : -3/7 : 1) C1b (365/599 : 289/4193 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
(7/12 : 7/12 : 1) C2b (-72818/141031 : -16029/141031 : 1)
** u= 4/89 ; tau(u)= 174/85 ; -14434*x^2 + 15826*y^2 + 30292*x*z - 14434*z^2
(31303/22528 : 2603/22528 : 1) C1b (-6121282/2839427 : -611361/2839427 : 1)
** u= 5/9 ; tau(u)= 13/4 ; -7*x^2 + 137*y^2 + 194*x*z - 7*z^2
(-445/2537 : -1392/2537 : 1) C1b (125/154 : -13/154 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
(4817/1271 : 2776/1271 : 1) C1b (-30027226/2072999 : 2305983/2072999 : 1)
** u= 5/169 ; tau(u)= 333/164 ; -53767*x^2 + 57097*y^2 + 110914*x*z - 53767*z^2
(182033/581575 : 379548/581575 : 1) C1b (-51501949/25381910 : -5280187/25381910 : 1)
** u= 7/2 ; tau(u)= 3/5 ; -x^2 - 41*y^2 + 58*x*z - z^2
(9/167 : 38/167 : 1) C1a (2410/1801 : -199/1801 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
(1/5 : 6/115 : 1) C1b (-3302/787 : 5537/18101 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
(4051/74305 : -81888/74305 : 1) C2b (184794962/48846445 : 13983943/48846445 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
(17377/26853 : 1598/26853 : 1) C1b (160997/18185 : 2345/3637 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
(-15341/404539 : 401358/404539 : 1) C1b (5995723/2657231 : -409201/2657231 : 1)
** u= 8/13 ; tau(u)= 18/5 ; 14*x^2 + 274*y^2 + 388*x*z + 14*z^2
(-8/217 : 1/31 : 1) C1b (11185/6622 : 881/6622 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
(2402/7199 : 243/313 : 1) C2b (123286/76385 : -8669/76385 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
(401/2841 : 2668/2841 : 1) C2b (-48581/44290 : -6729/44290 : 1)
** u= 11/37 ; tau(u)= 63/26 ; -1231*x^2 + 2617*y^2 + 4090*x*z - 1231*z^2
(899/23 : -590/23 : 1) C1b (102257/416990 : -5585/83398 : 1)
** u= 11/157 ; tau(u)= 303/146 ; -42511*x^2 + 49177*y^2 + 91930*x*z - 42511*z^2
(-7101/5167 : 11630/5167 : 1) C1b (-29459486/1467883 : 2312901/1467883 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
(18/49 : -53/49 : 1) C2b (-10490/117383 : -12627/117383 : 1)
** u= 12/97 ; tau(u)= 182/85 ; -14306*x^2 + 18674*y^2 + 33268*x*z - 14306*z^2
(2232/13787 : -9727/13787 : 1) C1b (4104331/627185 : 290127/627185 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
(-1103/1008 : 2285/1008 : 1) C2b (-974938/190855 : 91509/190855 : 1)
** u= -12/181 ; tau(u)= 374/193 ; -74354*x^2 + 65378*y^2 + 140020*x*z - 74354*z^2
(25971/20068 : -10435/20068 : 1) C2b (59902/8699 : 4577/8699 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
(1484/16225 : 95681/113575 : 1) C1b (31589/25354 : -16097/177478 : 1)
** u= 12/197 ; tau(u)= 382/185 ; -68306*x^2 + 77474*y^2 + 146068*x*z - 68306*z^2
(3907/6272 : 199/896 : 1) C1b (1449550/1545287 : 119141/1545287 : 1)
** u= 13/4 ; tau(u)= 5/9 ; 7*x^2 - 137*y^2 + 194*x*z + 7*z^2
(5/361 : 96/361 : 1) C1a (11185/6622 : 881/6622 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
(8947/20739 : -2962/20739 : 1) C1b (-10057/28930 : 2461/28930 : 1)
** u= -15/101 ; tau(u)= 217/116 ; -26687*x^2 + 20177*y^2 + 47314*x*z - 26687*z^2
(111/77 : 64/77 : 1) C2b (595501/222050 : -43343/222050 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
(61/123 : -26/123 : 1) C1b (42847358/200225 : 3176397/200225 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
(241/35271 : 38158/35271 : 1) C2b (-6003167/1282774 : 563297/1282774 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
(-3/7 : 20/31 : 1) C1b (706/265 : -1629/8215 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
(4099/21893 : -7560/21893 : 1) C1b (-98513191/50755157 : -8418707/50755157 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
(79/1393 : -144/199 : 1) C1b (-97186555/195413137 : 17953577/195413137 : 1)
** u= 18/5 ; tau(u)= 8/13 ; -14*x^2 - 274*y^2 + 388*x*z - 14*z^2
(8/217 : -1/31 : 1) C1a (125/154 : -13/154 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
(-929/1733 : 3156/1733 : 1) C2b (-14749655/7330477 : -1792057/7330477 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
(239/369 : -244/369 : 1) C2b (198343/366619 : 26379/366619 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
(-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1) C1b (18331933/2918297 : -1278167/2918297 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
(-5/96 : 361/96 : 1) C2b (38575/25294 : 6637/25294 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
(125/192 : 193/192 : 1) C2b (-257854/23345 : -29307/23345 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
(-987/26695 : -17924/26695 : 1) C1b (459610/148913 : -30759/148913 : 1)
** u= 21/89 ; tau(u)= 157/68 ; -8807*x^2 + 15401*y^2 + 25090*x*z - 8807*z^2
(-1787/23 : 1376/23 : 1) C1b (-203578/102079 : 18451/102079 : 1)
** u= 21/137 ; tau(u)= 253/116 ; -26471*x^2 + 37097*y^2 + 64450*x*z - 26471*z^2
(411/101 : -236/101 : 1) C1b (-1134358/234841 : 92341/234841 : 1)
** u= -21/157 ; tau(u)= 335/178 ; -62927*x^2 + 48857*y^2 + 112666*x*z - 62927*z^2
(16147/702459 : -780854/702459 : 1) C2b (85240151/18836434 : 6500501/18836434 : 1)
** u= 23/169 ; tau(u)= 315/146 ; -42103*x^2 + 56593*y^2 + 99754*x*z - 42103*z^2
(2615/1183 : -822/1183 : 1) C1b (884401/2008630 : -135599/2008630 : 1)
** u= -24/17 ; tau(u)= 58/41 ; -2786*x^2 + 2*y^2 + 3940*x*z - 2786*z^2
(16/9 : 431/9 : 1) C2b (46/245 : 107/49 : 1)
** u= 24/61 ; tau(u)= 98/37 ; -2162*x^2 + 6866*y^2 + 10180*x*z - 2162*z^2
(8207/49263 : 13636/49263 : 1) C1b (3295813/1909310 : 46981/381862 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
(91/326 : -109/326 : 1) C1b (164275/3578 : 11541/3578 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
(8441/47349 : 51952/47349 : 1) C2b (4531727/1400365 : 71135/280073 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
(-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1) C1b (173/238 : 1/14 : 1)
** u= -24/157 ; tau(u)= 338/181 ; -64946*x^2 + 48722*y^2 + 114820*x*z - 64946*z^2
(-46037/742239 : 904280/742239 : 1) C2b (647738/143659 : -49821/143659 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
(-1/5 : -6/115 : 1) C1a (26 : 41/23 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
(5747/15548 : -3219/15548 : 1) C1b (-56654/138245 : 2383/27649 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
(17477/67823 : -5976/67823 : 1) C1b (9458174/2740843 : 632033/2740843 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
(-810247/82473 : 1015738/82473 : 1) C2b (92889205/106126198 : 8040415/106126198 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
(20317/15223 : 18548/15223 : 1) C2b (286219/156118 : -22671/156118 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
(9/61 : 380/1891 : 1) C1a (265/14 : 549/434 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
(99583/15937 : 128916/15937 : 1) C2b (451639/190739 : -37063/190739 : 1)
** u= -39/97 ; tau(u)= 233/136 ; -35471*x^2 + 17297*y^2 + 55810*x*z - 35471*z^2
(-411/1391 : 17372/9737 : 1) C2b (-3167/101 : -2279/707 : 1)
** u= -39/193 ; tau(u)= 425/232 ; -106127*x^2 + 72977*y^2 + 182146*x*z - 106127*z^2
(19643/127353 : 133804/127353 : 1) C2b (81574337/15333733 : 6529487/15333733 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
(8479/49169 : 26832/49169 : 1) C1b (8360174/261887 : -590749/261887 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
(25621/118498 : 22359/118498 : 1) C1b (468722/307165 : 34147/307165 : 1)
** u= -48/109 ; tau(u)= 266/157 ; -46994*x^2 + 21458*y^2 + 73060*x*z - 46994*z^2
(-691/1767 : 3470/1767 : 1) C2b (54154/183467 : -15967/183467 : 1)
** u= -48/193 ; tau(u)= 434/241 ; -113858*x^2 + 72194*y^2 + 190660*x*z - 113858*z^2
(227517/175867 : 157306/175867 : 1) C2b (25291/20585 : -383/4117 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
(5781/7861 : -5902/7861 : 1) C2b (344473/496414 : -37037/496414 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
(69341/105087 : 6424/4569 : 1) C2b (911422/673175 : -91487/673175 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
(-469/4513 : 6340/4513 : 1) C2b (-357590/92717 : -39105/92717 : 1)
** u= -52/73 ; tau(u)= 198/125 ; -28546*x^2 + 7954*y^2 + 41908*x*z - 28546*z^2
(602/843 : -1085/843 : 1) C2b (-700934/365029 : 126977/365029 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
(-83/152 : -25/1064 : 1) C1a (-1331/1574 : -821/11018 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
(-274/449 : 285/449 : 1) C1a (262993/229190 : -37697/229190 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
(-1/230 : 831/230 : 1) C1a (-323462/150575 : 58601/150575 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
(-33275/14731 : 63384/14731 : 1) C2b (64145638/31645163 : 4964321/31645163 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
(9487/703 : 4740/703 : 1) C1b (387559/443525 : -35371/443525 : 1)
** u= 57/89 ; tau(u)= 121/32 ; 1201*x^2 + 12593*y^2 + 17890*x*z + 1201*z^2
(-399/311 : 2728/2177 : 1) C1b (309557/74785 : 30253/104699 : 1)
** u= 58/41 ; tau(u)= -24/17 ; 2786*x^2 - 2*y^2 + 3940*x*z + 2786*z^2
(1/19 : 736/19 : 1) C1a (-2/271 : -671/271 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
(2359/26969 : 5280/26969 : 1) C1b (-368747/213745 : -29983/213745 : 1)
** u= 61/197 ; tau(u)= 333/136 ; -33271*x^2 + 73897*y^2 + 114610*x*z - 33271*z^2
(788999/9229 : 518676/9229 : 1) C1b (6124418/1501181 : -409747/1501181 : 1)
** u= 63/26 ; tau(u)= 11/37 ; 1231*x^2 - 2617*y^2 + 4090*x*z + 1231*z^2
(581/47 : 450/47 : 1) C1a (2338/214121 : -15061/214121 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
(-19/86 : 553/86 : 1) C2b (-2116127/920830 : 208993/184166 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
(-121/131 : 108/131 : 1) C1b (1234/129875 : -1799/25975 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
(-705/2023 : -8/17 : 1) C1a (-561146/72821 : 39807/72821 : 1)
** u= -69/125 ; tau(u)= 319/194 ; -70511*x^2 + 26489*y^2 + 106522*x*z - 70511*z^2
(5657/7837 : -8390/7837 : 1) C2b (5224270/3270629 : -440861/3270629 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
(-1541/36689 : 16288/36689 : 1) C1b (-917081/410075 : -69669/410075 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
(21/212 : -331/212 : 1) C1a (497/1685 : -207/1685 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
(10335/6841 : 10736/6841 : 1) C2b (2022997/25465 : 219837/25465 : 1)
** u= -75/89 ; tau(u)= 253/164 ; -48167*x^2 + 10217*y^2 + 69634*x*z - 48167*z^2
(531119/1754169 : 3080060/1754169 : 1) C2b (341813/406465 : 43881/406465 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
(-22649/4481 : 37040/4481 : 1) C2b (1959391/2182211 : -177717/2182211 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
(752/937 : 20403/6559 : 1) C2b (11758/15331 : 22223/107317 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
(7240/3743 : -7371/3743 : 1) C2b (61241018/77372777 : 6271339/77372777 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
(441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1) C2b (-859357/173671 : -120841/173671 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
(692/2119 : 3065/2119 : 1) C1a (64331/2098 : 5499/2098 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
(55/813 : 1864/813 : 1) C2b (-1353362/460483 : -275913/460483 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
(-503/97 : -168/97 : 1) C1a (1234/129875 : -1799/25975 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
(-3063/2645 : -766/2645 : 1) C1b (34787/22922 : -3873/22922 : 1)
** u= -84/73 ; tau(u)= 230/157 ; -42242*x^2 + 3602*y^2 + 59956*x*z - 42242*z^2
(1809/14998 : -47167/14998 : 1) C2b (-7090/667 : -1733/667 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
(5188/15605 : -22891/15605 : 1) C2b (1741510/1582223 : 169529/1582223 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
(-872/503 : -893/503 : 1) C1b (26059550/8821243 : -1780975/8821243 : 1)
** u= 84/185 ; tau(u)= 286/101 ; -13346*x^2 + 61394*y^2 + 88852*x*z - 13346*z^2
(3023/22810 : -3911/22810 : 1) C1b (21781/21170 : -1889/21170 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
(2373/1879 : -434/1879 : 1) C1a (-699295481/2838965 : 54331629/2838965 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
(-119159/68487 : 276676/68487 : 1) C2b (3698801149/1564441265 : 316810637/1564441265 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
(7019/8711 : 18720/8711 : 1) C2b (433898/249235 : -63557/249235 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
(-823/680 : 73/680 : 1) C1b (-156239/66379 : -10721/66379 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
(1783/2152 : -201/2152 : 1) C1a (3419870/1231807 : 236567/1231807 : 1)
** u= -92/81 ; tau(u)= 254/173 ; -51394*x^2 + 4658*y^2 + 72980*x*z - 51394*z^2
(148/1741 : -5445/1741 : 1) C2b (81091/56177 : -12781/56177 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
(-20/13 : -93/91 : 1) C1b (299270/55699 : -153529/389893 : 1)
** u= -93/85 ; tau(u)= 263/178 ; -54719*x^2 + 5801*y^2 + 77818*x*z - 54719*z^2
(571/9203 : -27046/9203 : 1) C2b (20521/3446 : 3751/3446 : 1)
** u= 93/113 ; tau(u)= 133/20 ; 7849*x^2 + 16889*y^2 + 26338*x*z + 7849*z^2
(-11319/8263 : 7388/8263 : 1) C1b (-388010/774119 : -52907/774119 : 1)
** u= 93/173 ; tau(u)= 253/80 ; -4151*x^2 + 51209*y^2 + 72658*x*z - 4151*z^2
(-105085/1584357 : -663776/1584357 : 1) C1b (153702310/584249651 : -39782543/584249651 : 1)
** u= -93/181 ; tau(u)= 455/274 ; -141503*x^2 + 56873*y^2 + 215674*x*z - 141503*z^2
(20027/9267 : -22534/9267 : 1) C2b (1617125/881881 : -134699/881881 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
(-3161/1527 : 1096/1527 : 1) C1b (-3595306/1870621 : 245481/1870621 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
(-8917/8227 : -26272/8227 : 1) C2b (1471117/522686 : 134251/522686 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
(-107/173 : -108/173 : 1) C1a (450574/34945 : 40631/34945 : 1)
** u= 97/113 ; tau(u)= 129/16 ; 8897*x^2 + 16129*y^2 + 26050*x*z + 8897*z^2
(-87/191 : -6400/24257 : 1) C1b (-14621/3607 : 125007/458089 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
(-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1) C2b (447125/1173409 : -112153/1173409 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
(1363/2147 : 1386/2147 : 1) C1a (-98513191/50755157 : -8418707/50755157 : 1)
** u= 98/37 ; tau(u)= 24/61 ; 2162*x^2 - 6866*y^2 + 10180*x*z + 2162*z^2
(1089/4904 : -3983/4904 : 1) C1a (-5260670/2934121 : 372295/2934121 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
(-1663/2862 : -1055/2862 : 1) C1b (-135835/31082 : 9229/31082 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
(-4345/27411 : 11068/27411 : 1) C1a (-66503/85915 : -6501/85915 : 1)
** u= 101/52 ; tau(u)= -3/49 ; 5399*x^2 - 4793*y^2 + 10210*x*z + 5399*z^2
(-13421/16431 : 6104/16431 : 1) C1a (-33686/26803 : 2453/26803 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
(-1024/471 : -1123/471 : 1) C1a (-972590/83927 : -98541/83927 : 1)
** u= 121/32 ; tau(u)= 57/89 ; -1201*x^2 - 12593*y^2 + 17890*x*z - 1201*z^2
(227/651 : 2840/4557 : 1) C1a (784739/3242 : 367057/22694 : 1)
** u= -121/97 ; tau(u)= 315/218 ; -80407*x^2 + 4177*y^2 + 113866*x*z - 80407*z^2
(1713/3253 : 10406/3253 : 1) C2b (-744125/2126383 : -791603/2126383 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
(809/2863 : 31460/20041 : 1) C2b (210419/225343 : 159147/1577401 : 1)
** u= 125/64 ; tau(u)= -3/61 ; 8183*x^2 - 7433*y^2 + 15634*x*z + 8183*z^2
(-253/227 : -80/227 : 1) C1a (-198361/288149 : -20339/288149 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
(716/1529 : -225/1529 : 1) C1a (30955/81434 : -5467/81434 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
(-3791/29205 : 1802/29205 : 1) C1b (-11285/126754 : -8459/126754 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
(-3593/1595 : 36/1595 : 1) C1b (-944839/831995 : -72341/831995 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
(719/431 : 880/431 : 1) C2b (844478/888665 : 85291/888665 : 1)
** u= 129/16 ; tau(u)= 97/113 ; -8897*x^2 - 16129*y^2 + 26050*x*z - 8897*z^2
(71/31 : 64/127 : 1) C1a (-4462/571 : 42429/72517 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
(59271/31369 : 24392/31369 : 1) C1a (30115/67198 : 4533/67198 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
(17971/36117 : -45782/36117 : 1) C1a (1012199/100781 : 76303/100781 : 1)
** u= 131/181 ; tau(u)= 231/50 ; 12161*x^2 + 48361*y^2 + 70522*x*z + 12161*z^2
(-1655/301 : 122/301 : 1) C1b (143465/152741 : 15363/152741 : 1)
** u= 133/20 ; tau(u)= 93/113 ; -7849*x^2 - 16889*y^2 + 26338*x*z - 7849*z^2
(1943/5459 : 968/5459 : 1) C1a (36101431/4046485 : 2458613/4046485 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
(-37/4267 : -2556/4267 : 1) C1a (5809114/4745167 : 575693/4745167 : 1)
** u= 133/153 ; tau(u)= 173/20 ; 16889*x^2 + 29129*y^2 + 47618*x*z + 16889*z^2
(-64579/119891 : 43644/119891 : 1) C1b (2371181/4575505 : 419627/4575505 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
(-18813/139661 : -24800/139661 : 1) C1b (102241/578077 : -40133/578077 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
(4045/39874 : 141159/39874 : 1) C2b (141395/6718 : -34721/6718 : 1)
** u= 141/193 ; tau(u)= 245/52 ; 14473*x^2 + 54617*y^2 + 79906*x*z + 14473*z^2
(-16169/44445 : -21416/44445 : 1) C1b (-528635/681977 : -53147/681977 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
(76/281 : -15/1967 : 1) C1a (-550/7631 : 3761/53417 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
(3257/12745 : 13248/12745 : 1) C1a (-944839/831995 : -72341/831995 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
(-47137/46037 : -20796/46037 : 1) C1b (-99533/397262 : 27541/397262 : 1)
** u= -147/109 ; tau(u)= 365/256 ; -109463*x^2 + 2153*y^2 + 154834*x*z - 109463*z^2
(-107199/146047 : -98336/8591 : 1) C2b (4309/5330 : 1811/5330 : 1)
** u= -147/193 ; tau(u)= 533/340 ; -209591*x^2 + 52889*y^2 + 305698*x*z - 209591*z^2
(-173/681 : -1624/681 : 1) C2b (695825/355714 : -70223/355714 : 1)
** u= 147/197 ; tau(u)= 247/50 ; 16609*x^2 + 56009*y^2 + 82618*x*z + 16609*z^2
(-4549/2899 : 3290/2899 : 1) C1b (3051106/694499 : -222197/694499 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
(967/802 : -3699/802 : 1) C2b (833038/1462541 : -375079/1462541 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
(-610/2699 : -1153/2699 : 1) C1a (-222515/1086457 : 73281/1086457 : 1)
** u= 157/68 ; tau(u)= 21/89 ; 8807*x^2 - 15401*y^2 + 25090*x*z + 8807*z^2
(-167/417 : -44/417 : 1) C1a (860011/245290 : -13937/49058 : 1)
** u= -157/117 ; tau(u)= 391/274 ; -125503*x^2 + 2729*y^2 + 177530*x*z - 125503*z^2
(35143/986239 : 6521790/986239 : 1) C2b (2675126/4120993 : 1322681/4120993 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
(79009/128645 : 5844/128645 : 1) C1a (-499735/168539 : -44957/168539 : 1)
** u= 161/80 ; tau(u)= 1/81 ; 12799*x^2 - 13121*y^2 + 25922*x*z + 12799*z^2
(-200033/84023 : 112752/84023 : 1) C1a (54050/122663 : -12341/122663 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
(823/985 : -576/985 : 1) C1a (-97186555/195413137 : 17953577/195413137 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
(667/1153 : -9324/1153 : 1) C1a (14407/83771 : 34741/83771 : 1)
** u= -168/185 ; tau(u)= 538/353 ; -220994*x^2 + 40226*y^2 + 317668*x*z - 220994*z^2
(-106/295 : 887/295 : 1) C2b (72749123/3165730 : 11123017/3165730 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
(-39447/20951 : 728/2993 : 1) C1b (295006750/37294063 : 23007867/37294063 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
(439/2441 : -3132/2441 : 1) C1a (63130/113857 : 13147/113857 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
(65479/50449 : 109194/50449 : 1) C1a (-190523/18266 : 13967/18266 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
(-1133/1808 : -447/1808 : 1) C1b (-35550943/13912562 : -2402243/13912562 : 1)
** u= 173/20 ; tau(u)= 133/153 ; -16889*x^2 - 29129*y^2 + 47618*x*z - 16889*z^2
(37621/30677 : -22812/30677 : 1) C1a (90241135/31714861 : 6049547/31714861 : 1)
** u= 174/85 ; tau(u)= 4/89 ; 14434*x^2 - 15826*y^2 + 30292*x*z + 14434*z^2
(-13903/22644 : -6431/22644 : 1) C1a (21908930/1361239 : 1752537/1361239 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
(21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1) C2b (2717909/1565135 : -306879/1565135 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
(135463/95547 : -318868/95547 : 1) C1a (14359/66437 : 7821/66437 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
(-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1) C1a (-6820357/6429785 : 723883/6429785 : 1)
** u= 182/85 ; tau(u)= 12/97 ; 14306*x^2 - 18674*y^2 + 33268*x*z + 14306*z^2
(-362/2947 : -2203/2947 : 1) C1a (16177/35365 : 3351/35365 : 1)
** u= -183/157 ; tau(u)= 497/340 ; -197711*x^2 + 15809*y^2 + 280498*x*z - 197711*z^2
(207/121 : 524/121 : 1) C2b (-250843/56770 : 69359/56770 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
(2075/22547 : -580866/157829 : 1) C2b (263785/365621 : -475619/2559347 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
(1233/10177 : -5920/10177 : 1) C1a (205210750/182932037 : 474733/4461757 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
(-865/707 : -564/707 : 1) C1a (5742353/2372230 : 663497/2372230 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
(-4217/18476 : -2577/18476 : 1) C1a (-1556465/436786 : -104021/436786 : 1)
** u= -192/157 ; tau(u)= 506/349 ; -206738*x^2 + 12434*y^2 + 292900*x*z - 206738*z^2
(5111/47523 : -25660/6789 : 1) C2b (28945025/16789462 : 5667895/16789462 : 1)
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
(43931/5704 : 120687/5704 : 1) C2b (1549594/1402105 : 46165/280421 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
(83809/260225 : 484524/260225 : 1) C1a (-174610546/36540905 : 15815113/36540905 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
(900/521 : -127/521 : 1) C1a (447685/514718 : -38723/514718 : 1)
** u= 198/125 ; tau(u)= -52/73 ; 28546*x^2 - 7954*y^2 + 41908*x*z + 28546*z^2
(-15559/420776 : 775755/420776 : 1) C1a (395032859/152769775 : -65836153/152769775 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
(-269/126 : 6131/882 : 1) C1a (-23134/44755 : 13381/62657 : 1)
175
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
- u=4/29のとき
337729^4+353654^4+622355^4=50562*43357^4
884233^4+3485981^4+5140450^4=50562*359711^4
742883648726397991398166^4+2554706198909780236288117^4+3888936361307686532836615^4=50562*270731288091866226576787^4
8298920035372733220732143875^4+21729517221296406810377784674^4+42762233083493591872602324521^4=50562*2899055786920506712544808737^4
670248981135495348225359291132702^4+3080472062301966002002857654179429^4+4401274900955935807654043848022495^4=50562*309757778707973926894400733091679^4
10331084820289393815597389333515421075^4+24956282913975454205633658231416721263^4+49655653619733756563888143986583145702^4=50562*3364488657706991651706400526019932869^4
208480854909209242390562586219262227755291843542702^4+239439471334839785443760106245221524352473412328777^4+403126181565021186101359801010750835270148399272115^4=50562*28113617743280560389927227913034630955164786767641^4
2829398567469487524658138725825502212423182608248461122729043^4+8046084560300555994629192102087324060342816159292689683010614^4+15677563667833151806114151838095054758649944010595051734428735^4=50562*1063440062105751538006520947724008750077861408404831697560323^4
4299150332207825463815492292576343517360248938533442009769779475^4+12247416452845817541906691559363237464975425475794949413796116151^4+23858969249287511394975374563505508736218998737893384827261584654^4=50562*1618419387062225358619000600632147798770270538850402963653459113^4
1939700406664844842090455693649079101762435440004827988882838539842923^4+5070240887611733456905317657909894882811508631223008224800198481823689^4+9980062532229786094134639621984807114104788325289828236456275080868250^4=50562*676588205795368020252105470432971273486166821749531574544086213462363^4
398971983804417206421204294898655079228463305623946876319608520108725027020187398737841^4+1212426994587424632465893803414750223615372145157695424553998688177512606250695664940397^4+1905788098335580193707561920432905216173470706364239148356984093627459164026982699820730^4=50562*132058857084563608783373733317235251628160975247371870518159580474385694901549758082027^4
8298842694984693652007206957335136214334538525110993237517855803600280752846740425866798275^4+18553198071164837373821491637303058667537032691503076716898855438072702248384707122579799578^4+37357316397253323555107682356743315121478594685898402751643886455946866159143856034791326337^4=50562*2529768669735230791119932686311639619814151194480532446614980826523119561234724021997003589^4
2659643570660857246205913379174840705798743013108103756219139346111583566116447868934689284837019^4+8265671609443751192977192573327644179017916333898851573146958400147434487877405661416845752734657^4+15956013521855428747051452827470980783088957119765184677501924046004317065269176408158184773041410^4=50562*1082920494106199552203502002662624391399983122015614105364308193362478551014203428672656886072079^4
321718023752115091899234270140404361648475584209423089387758322489957305944619882950327354647141748730369^4+1762895207989353824986113098310126155044160414145713380186196668300967340696771594810313073031254582402893^4+2440930353577739552629193136857264641827985609420740301026724764424678918164416667295784970208433021775530^4=50562*172883296687828353587839447079570698240227038286221971025498187142740917870358229902430753602352198906003^4
663346966457069862073254844140912054559111340627819375695015678365900985119714102770696268681376599374647^4+2287277767252641790465431383808191463474726836804568745045405305520926453795642404019171792648365137731485^4+3479555907242544409748197985822828492416640273046192743538162368868156571331453198074212712040738929306078^4=50562*242256363309841664428422579246470816285522891232704853228217039471840771548899392782089298294678629189249^4
857563960006085881176608191805895574932945665337599882096150587675838564446758101953224990237527246391640664104003033882339^4+2068219028933796821861358590636722121034750686871679639450712804338612002306423504399694589782743657049872756118178690981582^4+4116115567884394420435504331191960689055440492278423016223763243203890029846598063416046957197935996226651290564808623067495^4=50562*278889952782971062036798751569851852480425580395366947322493372632442194547866523997102610393819656891890001826226882059639^4
1003282594427582338240433574099949367340834008407622974662093320137050685778164787322369006831089658869046513587152233478418^4+3056270527004685599628906766249083631236972577433127167296227934154060647524674392402371288159248805784219448523002163843965^4+4800907100885189503446830152192555139365847071564443949567300059907768913582865985185167400404692164920814095770608670277657^4=50562*332701999645142915815992558168856456541837557179233500465813467661368046349721513598791947678593654697496472231332607562681^4
280348125658519767628764426532733964544692327594263334984179944896163984138093100941969227607260537130228973104243514483860924249594^4+1108523531987327569453433349356342219424109015266717574533792215355620194109940592143630809748701433865643460681724898161156353314845^4+1633571969160569545610866485656667091963761659540431529090067999782236820042752497115860588789279632824931800718322392000027769694081^4=50562*114324552480474999537868794299785430697475993910480378733433287639648090265448236007407419401198986930162245607762315176265085064373^4
83168230729982035911461200354695467856267339262795231848695278551198899722493676196185266168732134475589613697156346504648469901133655645913^4+104834889012186085382472437341012166663420675861224763082936802050150912264024057110625188407710453143727974519822416881489370204150988507038^4+169140060874381621836747877724097125805144617908295263045031618479652107576784923903030497808958672193287119105131991228428855752519070184435^4=50562*11820367321966662595807710302801541299350405696449511792096941603150019338422013831666069542845833839487034008953107197464495477833911183329^4
1435179251015577946698848220925575917988379464214440988397885872506861970710992082386774351301878615476025688520164233665297641347255668129038275^4+4468653834091476028258283887908160578560169239205205296747253793324363570855807482609475616419697645965871864516283995225670958824984539626271562^4+8624690277524415435543203016354902383110590535031157872476290606818825945259107854096884612833689923093547425492043680866321765707787329354671473^4=50562*585356563483362121872135312453546285974957754924655485737011633908997769800935770789813302757092967758392213142853959986623032696531671324145981^4
16482910007676196666033060092068698783030948334273703705609219137411892001866405926079500575234953097249527514763551176236500866172210484706477406471320503626681171697650^4+17227466187691103482073398346817213745388441192831273639055645713284025070777345840734697426149363951188126347629886901771694888879065136531929370281629573856969202441327^4+30344772261009113114298917839748581601869586443493696980110401394910114717973542180199168697745324727201472487025429569685020791045703018071920439655087162207116723537211^4=50562*2113977434143389703978165189738215186462974420363290283567389709901681837951252562944110695865700064789894354276164350881165636196161281530058603217450663875464694730391^4
28648850551605655097873848807695163323399093884933946513176300783399795101355906325506505913952714444903926337689211750136391991489510328518539257847735098350197648909135^4+32840520661890050147653086663228445053898557927939935302932052818524960548838737383497828417489284979414507919810367417891938924318630057480019625104419026937117046253594^4+55340453494543633438434045385437353098136105031298349326364404299791300048903748227384617352318674834926414735195621938973954266472133464641402750984892224356731541339187^4=50562*3859264354416547189954604781701457420139457868202666730024152198636057436597960005199230295095198906925778720751140998639929254581687966662101458072821867277757033081787^4
1609607549570065283133458165383116055387048133955388246160391715806967775333577467429542899282134736397599416092377047954544903067211830115401172320361487713527636083127107082051^4+5496945491838050350218387905811027732598110363671912762332001620885796441725849250840123287333600430539943794922273727886283842866614008494420067121736614056724632256672693800958^4+10521352065962346993846496888211266925498391685554481712098026175864868245279975759926424745986477008659254073319953239010922408798142082512788268418581917212654385699657085967735^4=50562*714452205687981194593753168597800343418722773849408862411059685677628539075283349014610639353288610200734068289489617298243387190503649207215299519728831542779992628998530654671^4
972542138494992116371024697097376809703169419815686713861857737002916860285543597666607759538591708152695519465058202492293880584154599306329546261256963841538620460979864829794812297871^4+2644558902562332945509431403928040926238039411917578655409980909278273131720005106801953043717800853501153912967767823940462958387476274093143613667364954303970827630764530051797382172605^4+4290849665801133203445955473732919003848878240698744072194056252440255951939026623065398645069057422842211504200316289372426029181181103821405931743532131876252663324962058514942667603254^4=50562*296122559883410182864171127027918854148455151657411137875707291182089645817264789766591210595243331666942397811213351484539509734820549427159073364393641541892432467958627532452548719357^4
4303795438821671459928910388692779026990005343400070422678414828048267279315931022403519529673291564866362895605243683354768302017176690520958032456971934564326952709685776025761758640534675^4+8927909876998559949103423163735206957173822740880053915868869695072305468877778665418181121654981840771061752975621979134385634571826650052564066032239749641090130796012123062360626671821959^4+18208753002269898600829131953385283178678520905712449081234256403416165904801485692951660729151168878051198591171577300578635735848365570172372219818319466174968737536987178842676527853856286^4=50562*1232378819353522507119558091378270942323801620338297409754809926558078938353651450384150151717398698423747028099840113324275880190566529913968858535988901430563329938975572725043551232950817^4
...
- u=-4/37のとき
63895100339895903870866433885496460698291^4+102870669902682539257387337490126679190305^4+147228542780410834428276085196632401082462^4=50562*10430676141012993029431337812742259084579^4
8244006691931109436400780116261839972022798891697287912177196207549789033340844933749160128307112812898006504582137481142354684753001074050185093168306184651425021269088364358947908230595596324822307097166824410023918202045660026677506699716700187521810330075643662806479811632150793883938148253801675778452073160950347344341063655709639904008585039417992520667937152185^4+9742930957001129045109946902565280973630083612778013125076304380723263867170345290190808654732416605492769870761446947164089480905598233571562736219598435180830995493264620159354931409654724954403443027619977717214614082433545729696230706358444342634389530788646803790877426785417489501521926103769046693160201909786576356791581764685631342384126361242246437902435702349^4+15144984310464909487315025163572812282713514198868797031863337388703218502508665009848375110999049058576754852331350608477720581126353217558714855263022060534024476886044592312615769273906828147438947858962789497754727286084464988398971888821552602394103199874436346266803366907118419354069204068740458160713191822697683760099587514863117560942510661408674943090824447418^4=50562*1069855226456883519861762988494199232084885727444854357398099372105122433784586132120366274087741318772278595209915884527653489356948399186878464953805440447213014965094492489697293393154364414656212725716857248716541828822581655855116180372025191464753207174875896109758224335166057123591469628734636102371156497567204183688810576851092128901425718376444796325447441519^4
...
- u=100/113のとき
2385615476550139572205^4+3415396128861355429097^4+4888027499437979748478^4=50562*347738676504223369799^4
13234717789541574542377558675^4+22807097970157185063684442369^4+41979121241903358238053558086^4=50562*2865031763270811629442013507^4
62610144760349822288835851715292537^4+89430449649480847896241835619008245^4+113515839565595274082508343338975318^4=50562*8346457817609721376364594806721299^4
4255283010752268434251317343878483004526514014087^4+6400945698213367254946693332055422206615595094310^4+6734221408674815406384098437181270416675924712677^4=50562*532427841629591899407834490470947614048497829819^4
854576324304827855123794323691013755547601888773619291333725^4+2173583958178677880089014183427012584847519431299266965933366^4+4514447066435586059983545263157796726382698787899026240628129^4=50562*305115285022743656639747411113703394175272641979224481990427^4
842906762494942907136308199837814404218551608761591060348564476445467306039806755^4+1310829288159954837791683356289736361692577438042263472930127466306784379763999758^4+2224481718040996820806252263704097691632677060917207638208479369324144673146490217^4=50562*153324893459914590417691689843572530083742571568451727350978314519159874029919439^4
2080094331078905683315000345281002922379486667949220374513179048195153960967405766799623689942367^4+4450075486375494098853900300655159009494177602991206940881405095306913269323659921081399657590325^4+8916517757900736916756533111641824961960202298541723451245730372668354648109388669218293151170158^4=50562*604055776513775679796696667715390276541694743429417996478778695055293602486037599060289773312439^4
1168696488129201023462345607583625175167428348388280425269572861172439639398806860611138920815097537694230481148693564240033^4+16874161450876790111238798921866093163641023523591240979444795881035129472872435507136419260155133932690644688084258747896085^4+37549569402872172375574033617765831303585421861058843777610598663881709341541107665077888541418293385109731206792503185814798^4=50562*2529233615927874612234214118026303019855180481511850592831190171065100835083141933463381011560779934984567608102837067256199^4
12659731541386781657427603680256342681580461436116856983102205764702295561551965486223949861217825796243374146593288031090192660638364315333324355^4+18281922201060579123646549756382619502329620008610315474104620282318474055611811594302521977056277179477998684107981835826858595853554530436884718^4+21772519621670271446940143355815220072589337146990740716263979672705741777347481343178984267226785295839470987820971793158871498467441124875263657^4=50562*1635891354088056173727492181969484457073404565742610840674371808928811975051352457184471207084469848242779599406757007606290363534147476399723519^4
89585896614112132103855939378779581625005298244931073517380749002059648126242905051091379673167346729795461335517537528926715797526834608027548734862202585542581076942075^4+133499855289354425894987346137854711661967087008983793951835590312521798528382774144671596014059779497223269670392272617058488325425531485445430504698315835175928366359729^4+143721321080571966298678714163568313477909457319896694242058754593100453736036664452945351180922866462539317653203716272530015675380231726707794812146453874153772876776766^4=50562*11245828269802146645624279810120857930979453634825610286477515159850700705430208407893830397464756358353864786024277864799167906642658439997745436430164589396191616690727^4
984355374065543119872800799277506209477156936764590317874969289095678016873954415179854663751271597933024471307752291941373969403723362960636566652122690232583386883735835847^4+1750151356687968170164784478231208606793393685043195933089285814992643555024005241927215137352631108472701558626331715461182008787978145494864515300525996735773059841602519398^4+3276833753655252293197844132169435873678667646048380215229145458697805353039759964523748839831880890640916175335340805534519516835271281617789835410640423983980632912028805605^4=50562*223257904714442996377722796683197707600293586776521165740479470450589668253100903146565022559493501104714074950861294724914902939714835923209769066441200349970821548731788379^4
199401160930144219131130992775506786469767833334013901977641789520185998993485493915152051045087853806457699884425153092097356305149050545715215572169950615123336117111254340943^4+304975762649871522136956456189487373790611250039586766108398306798418817815382930583792374034645547850282403010352316237189278911287128918860697195984535364963594190554932812965^4+507492796643487113226443558143245470777458665596582130328799754082742877416887615352460428403868001884274448221071829685990512563734751668133007312596727240125834415066503036078^4=50562*35079150709652004493760353815969072624766367467880996822100255935968776012491829200070099328611989252077272884996686915340588307418246516206919072095783979895805477357933039959^4
342247432725198151548009238150573744741509652050543744373671520317548515303612508503659638652603249096643273235714011397977625956181117953871051648837364832720665665218337310072125^4+504911257768226154061460722654426984930612779638779406474801986317156087773359027009397701805442257117647718533329497804024418563780815686244137631541701823579035155404251640774486^4+793648717353813943151668867150434714202560560311917087724962506376711485614272165632091749623105376987961104872548555902131621884683852470559805624416754925135739291548700802741409^4=50562*55376077208309262747799648546955721586864792221148940702827281048521224176522159255110094339583781436739580080863880256418505378966272258384233977151474310149892960662526735249067^4
10900935772244624389954586517525579712530762530638605293818110716120548401237059555726095011014070941608405341484552338315636432172873191093815935092034090512245760335061870624782210793018245^4+42285385200173779883236731995903391069594685623831978103329375089934969515652882942230106539709032684516458897292134696924032243278355293045493041377469688302571002644071262069653770614178617^4+91650896046968128868792827352192691848131437065393174729887051088423281774108876167878347560417709885901062179738828446813017361776062734279140123848603547813124310709355706821055715789865558^4=50562*6180348068267394334472167514977579524741314838226655092869528846112498896430641017368352244277801508260293408126215940934182625503300939440631521548744013387545690168897777880938684742606539^4
34585106294962507172859349424867763935755704604476076105107979187603498319751889282396221871750724728335045418669715041013036781440647432645086080544531478951859270846004430217589899502796098805^4+1049255921139253075776508837106156541571900195995702799505720476327840379793591203197550408591663362180810116505492503803927063521774695416953945990074792955232098262513741393762257264182856022438^4+2338403664161649518613392193071658608094363701234805267588204218591050448967935959857077259667813671678808159454363753385238953620500236607072379874229132747109691812487846526350135479630740425337^4=50562*157498989410302313760790538893563068979616769926485624721492894179702145448476581616224318164913901077135438968804751643195873797617425293830141022491273602340622802435402860779393732359629236179^4
1752941125384198965082319443945136045997037149252540303862063370399605044788844719998868693345529755424915338654981663463061187753685218250177878587715403576773726870213262104003499822372236167003178925767^4+2549461774896954613946561146405896686056057693686818460104008012077990719882022985844085553205989784314970507890838898696107119520309010225308888979670548415218551612040337977028557771954687481019291625350^4+3875722833497210589017389937533220627919550983893507833920829734718435667111741063365154827168447337654807571388850879694612804434415890313770015882691103727953434686218543856269434344074132834028435861317^4=50562*272139553674697409579782464575593163895692369976485951939719919538531430664484192105576364597954164758997744210363401528540725948296482963488100039247409954182350737489875023942869655838303433998053632939^4
64030595167879658182401177809916717648927996998386663630310349003269915369592337731481424268997432892002233813508201004722636202384199502797938102177665760771586051687826990382926347549765769797766811736959867421391793^4+91394291091354320609481917400386683361499226800250727092370853694856564259491082682734892083734598169539287634154393483276123886418418844700733628960025147738910560901636849385645488290391526039170752851723860071030430^4+127972218735121227709035302622705255378978972869171654288166523350454455247894699135153150655455175016885061814266061654546012009114411171666479466363272015285660733972670093491475589476479149775391900763213471055250677^4=50562*9152392683071632429824293180366814548628967058179650441221933886259775132551741563728980185469674047630574763499951613379350251539576812644225383553963530230063985468666316910516207231747787604077543701579378171542639^4
225494621150083445440291399419034272575034000539389205036140573044692257222527928716434879818441608323751790998266372846658532884417943636015808197391399875802519542640401550585518997752702168825083813988112760201690485258137^4+336394675806675647779213261013822820696414940481447522258347362216856481163909740726981253637567049289443550158780566655759824643005822354047016606007629293017879544312572651315960718026678881796030047767014100831584560108597^4+539755988803103882805441130577780964666252375335525225416980289965360637829815372730125450864247260015613129410992362696777018286340363640724682327456782336839326467427179533427295215488495919439326100863991186031703890995190^4=50562*37526191933288085957809235657197421258354357561249914168357264004855092754672109818007708836932088133011360406110980545911893274608441727254509823511135834432125320694240550383528341035771857392690455938915260671907920539939^4
555226223036351207217541578940900556126581758327900110266727957873640992876730426397807298222438927831575594996151915258257675810696401111180373876455411824400427215494882820794537074481575790996076009075037350473927228128854929286426712693711417^4+809418957622122857561585028644721008651342285793338622662905883233652343642407087919351403293169350349177806101537347037372709694472444759856496184113165608141831682362071022625291966049187686845908149908482135672498275520439886811936818989751798^4+929461887855995358820816728117853778692887777197384162280263738998516861195834745213926875931363944032287785439678208956307011083138242694920163024538176343255621025403014387394679595614979284476189785877937904406710152915960438985869058443588885^4=50562*70801959179166583185245262953602641841793994369995625135171365807957693381596492270317250166513062108245258763511164900720023751277075314322707568222544499211437652785626735448688406789102494904200684906589203670428260058241761337591011363156899^4
150200655658475535911356052207071292374062444995607042613772835162051785609914249033464251934710959882435994930413615562630050725576914408138150629710672848838931065207847220078488580058894417787838952950724828773426029729248640087983191449151855449373521525^4+214108670154323983216875847407136977391831630914450727932039364098358945829291054023024812706106819983825043772739826425607915859334616445144131115053260874287422585680935107889804920312973094805123959703869980441961745836205398243178893411288922773263441006^4+277956765891150173402256573196668723060673094083106768822240267520622096188273956269883804036122965607195765052803348369772062800804437241083993418154131640949321693766948657007870320291746395011286848964144872073563056202906072247670496925089936534781564049^4=50562*20296013314244320386944751069703617569738823024493396547233181124124495877642460103986253001130683828559927610321489136024545536304496525120039831059971318042639271017653949001120761155806607141915728396617153449655522286050587613387100262477302466764386047^4
...
[2025.11.23追記] u=100/113のときの整点を追加した。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2025.11.23 |
| H.Nakao |