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Integer Points on A^4+B^4+C^4=44402*D^4

[2025.11.23]A^4+B^4+C^4=44402*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

44402=2*149^2であるので、以下では、n=149とする。

■n=149のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=149;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように194個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(149,1,200);
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (-56440/62447 : 8667/62447 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (920009/744188 : -69291/744188 : 1)
** u= 3/61 ; tau(u)= 119/58 ; -6719*x^2 + 7433*y^2 + 14170*x*z - 6719*z^2
  (-49/279 : 314/279 : 1)  C1b (-2840849/90968 : -230757/90968 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (2545/1448 : -187/1448 : 1)
** u= -4/49 ; tau(u)= 102/53 ; -5602*x^2 + 4786*y^2 + 10420*x*z - 5602*z^2
  (88/81 : -35/81 : 1)  C2b (-19418519/68477 : 1662953/68477 : 1)
** u= 4/101 ; tau(u)= 198/97 ; -18802*x^2 + 20386*y^2 + 39220*x*z - 18802*z^2
  (5558/11821 : 5565/11821 : 1)  C1b (620688/196841 : 44509/196841 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (3329433/99056 : 273367/99056 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (983524/32475 : 69047/32475 : 1)
** u= 5/153 ; tau(u)= 301/148 ; -43783*x^2 + 46793*y^2 + 90626*x*z - 43783*z^2
  (1271951/969389 : -70872/969389 : 1)  C1b (-41426145/2894789 : 3458447/2894789 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (6995/13524 : -1039/13524 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-692296/339973 : 71009/339973 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
  (5491/19333 : 14808/19333 : 1)  C2b (-3291326548/3769935 : 276182681/3769935 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (1123681/157387 : 88023/157387 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (4634516/142395 : -389231/142395 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (-125775/271549 : -28067/271549 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (-169188/297685 : -34441/297685 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (65/51 : 13/51 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (-102987987/21466847 : -8544331/21466847 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (109/2417 : -189/2417 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-222691/31295 : -23459/31295 : 1)
** u= -13/85 ; tau(u)= 183/98 ; -19039*x^2 + 14281*y^2 + 33658*x*z - 19039*z^2
  (53453/96389 : -63658/96389 : 1)  C2b (110482400/11907411 : 9267619/11907411 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (2528/1949 : -189/1949 : 1)
** u= 15/17 ; tau(u)= 19/2 ; 217*x^2 + 353*y^2 + 586*x*z + 217*z^2
  (-2563/5209 : -1202/5209 : 1)  C1b (22885/3983 : 1839/3983 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (14567560/353543 : -1110699/353543 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (-21815/17963 : 21507/125741 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (64307/16543 : 5501/16543 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (330580/57203 : -27013/57203 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (-65/493 : -1053/15283 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (662964/611357 : 55517/611357 : 1)
** u= 19/2 ; tau(u)= 15/17 ; -217*x^2 - 353*y^2 + 586*x*z - 217*z^2
  (5/3 : -2/3 : 1)  C1a (8440/4711 : 597/4711 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (-1612780/2372921 : 352257/2372921 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (-582445/31756 : 55781/31756 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (75752/32335 : -7661/32335 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (4716/505 : -343/505 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (970492/32891 : -66861/32891 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (6306631/488333 : -554169/488333 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (1211227/1165265 : 19653/233053 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (-113/108 : -727/756 : 1)
** u= -24/73 ; tau(u)= 170/97 ; -18242*x^2 + 10082*y^2 + 29476*x*z - 18242*z^2
  (-1/3 : -368/213 : 1)  C2b (14452/3593 : -88257/255103 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (172605028/53549033 : 13322607/53549033 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
  (-1379/192144 : -62735/192144 : 1)  C1b (121413/4072 : 8369/4072 : 1)
** u= -28/61 ; tau(u)= 150/89 ; -15058*x^2 + 6658*y^2 + 23284*x*z - 15058*z^2
  (193/1062 : 1385/1062 : 1)  C2b (-1838777/69755 : -204163/69755 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (-420000/296383 : -64093/296383 : 1)
** u= 28/113 ; tau(u)= 198/85 ; -13666*x^2 + 24754*y^2 + 39988*x*z - 13666*z^2
  (2162/9079 : 4047/9079 : 1)  C1b (436616/16009 : 31763/16009 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (3121989753/923163512 : -217982219/923163512 : 1)
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b (-135944/394165 : -8785/78833 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (-65/51 : 13/51 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (96211/106297 : -8863/106297 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (5203368/8584631 : -629437/8584631 : 1)
** u= -31/37 ; tau(u)= 105/68 ; -8287*x^2 + 1777*y^2 + 11986*x*z - 8287*z^2
  (59/17 : 104/17 : 1)  C2b (25700/8399 : 3129/8399 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (4596/2249 : 427/2249 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (-204/13879 : 1697/13879 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (55/68 : -177/2108 : 1)
** u= 33/41 ; tau(u)= 49/8 ; 961*x^2 + 2273*y^2 + 3490*x*z + 961*z^2
  (-8707/29007 : 28/29007 : 1)  C1b (-62764/75793 : 6033/75793 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
  (99583/15937 : 128916/15937 : 1)  C2b (280158684/11224769 : 29019977/11224769 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (12595155/10844369 : 1009267/10844369 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (789680/49513 : -57519/49513 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (28969/11204 : 2007/11204 : 1)
** u= -43/117 ; tau(u)= 277/160 ; -49351*x^2 + 25529*y^2 + 78578*x*z - 49351*z^2
  (2869/1363 : 19128/9541 : 1)  C2b (6822220/2770539 : 3927421/19393773 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (801408/24413 : -55277/24413 : 1)
** u= -44/113 ; tau(u)= 270/157 ; -47362*x^2 + 23602*y^2 + 74836*x*z - 47362*z^2
  (10997/5944 : -10311/5944 : 1)  C2b (6352320/606079 : -617581/606079 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (68867592/9590873 : 4768147/9590873 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (-1033969/21604 : -119549/21604 : 1)
** u= 49/8 ; tau(u)= 33/41 ; -961*x^2 - 2273*y^2 + 3490*x*z - 961*z^2
  (3021/9041 : -1876/9041 : 1)  C1a (324270052/14030965 : -4603845/2806193 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (-546272/45947 : -43803/45947 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (2808297968/7372993 : 197343393/7372993 : 1)
** u= 52/81 ; tau(u)= 110/29 ; 1022*x^2 + 10418*y^2 + 14804*x*z + 1022*z^2
  (-281/1672 : -621/1672 : 1)  C1b (2280/185321 : -12809/185321 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (121952/96391 : 10699/96391 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (-202091/7033 : 1071/541 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (-5415/8819 : -649/8819 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-4725/2423 : 331/2423 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (14964/19789 : 1789/19789 : 1)
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b (47925/166873 : 17219/166873 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (2575810301/32433556 : -274599659/32433556 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (43726077/40556713 : 3626399/40556713 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (-29213/32748 : 2657/32748 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (-556/235 : 1509/1645 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (10819996/2170565 : -150273/434113 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (42184/17275 : -2943/17275 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (-1754888/193551 : 132947/193551 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (1211065/670661 : -247773/670661 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (593525/145648 : 90009/145648 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (-1480556/384311 : 106921/384311 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (298000/70683 : 21635/70683 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-9922028/790575 : -1646233/790575 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (9561956/1381637 : -714127/1381637 : 1)
** u= -64/109 ; tau(u)= 282/173 ; -55762*x^2 + 19666*y^2 + 83620*x*z - 55762*z^2
  (13451/76439 : 112732/76439 : 1)  C2b (8781/263812 : -30823/263812 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (-8186932/1654353 : 587177/1654353 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (335756/33267 : -1787/2559 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (-16300/22629 : 2513/22629 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (271356/175957 : 41359/175957 : 1)
** u= 68/121 ; tau(u)= 174/53 ; -994*x^2 + 24658*y^2 + 34900*x*z - 994*z^2
  (-18/983 : -253/983 : 1)  C1b (-367907/1052369 : -77509/1052369 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (-8276353832/21878103 : 957134123/21878103 : 1)
** u= -69/181 ; tau(u)= 431/250 ; -120239*x^2 + 60761*y^2 + 190522*x*z - 120239*z^2
  (6881/14089 : -70/73 : 1)  C2b (2063576/760675 : 173343/760675 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
  (10335/6841 : 10736/6841 : 1)  C2b (3740263/302332 : -401703/302332 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (1221960/424981 : 84799/424981 : 1)
** u= 76/197 ; tau(u)= 318/121 ; -23506*x^2 + 71842*y^2 + 106900*x*z - 23506*z^2
  (-81883/626328 : 454817/626328 : 1)  C1b (3777041/142328 : 264867/142328 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (43556/54599 : -6559/54599 : 1)
** u= 77/85 ; tau(u)= 93/8 ; 5801*x^2 + 8521*y^2 + 14578*x*z + 5801*z^2
  (-11/7 : -4/7 : 1)  C1b (-9940/177519 : 13169/177519 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (-90959568/4171289 : 11890481/4171289 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
  (2/7 : -5/7 : 1)  C1a (2728904/353259 : 191633/353259 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (-1615440/176323 : 195589/176323 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (28356/151831 : -22319/151831 : 1)
** u= -79/121 ; tau(u)= 321/200 ; -73759*x^2 + 23041*y^2 + 109282*x*z - 73759*z^2
  (9157/1303 : -14740/1303 : 1)  C2b (19241/33939 : 3193/33939 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-45889/118995 : -8483/118995 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (739532/827117 : 82091/827117 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (9561956/1381637 : -714127/1381637 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (46616/32305 : 837/6461 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (-2764799/2321072 : -487911/2321072 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (144236/53025 : -10141/53025 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (57555403/4651980 : 4858933/4651980 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
  (-2279/32337 : -980/32337 : 1)  C1b (-41161/87123 : 6473/87123 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (10786820/15231 : 756955/15231 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (-62321/139765 : -14479/139765 : 1)
** u= 92/109 ; tau(u)= 126/17 ; 7886*x^2 + 15298*y^2 + 24340*x*z + 7886*z^2
  (-16064/6749 : 3999/6749 : 1)  C1b (53385/109237 : -9955/109237 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (35955/37384 : -28951/261688 : 1)
** u= 93/8 ; tau(u)= 77/85 ; -5801*x^2 - 8521*y^2 + 14578*x*z - 5801*z^2
  (44093/83833 : -14692/83833 : 1)  C1a (16476/20555 : -1561/20555 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (4497697/4805852 : -477537/4805852 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (662964/611357 : 55517/611357 : 1)
** u= -100/157 ; tau(u)= 414/257 ; -122098*x^2 + 39298*y^2 + 181396*x*z - 122098*z^2
  (98/5233 : -63675/36631 : 1)  C2b (210920/172617 : -138493/1208319 : 1)
** u= 102/53 ; tau(u)= -4/49 ; 5602*x^2 - 4786*y^2 + 10420*x*z + 5602*z^2
  (-2432/4917 : -3031/4917 : 1)  C1a (-965/4233 : -325/4233 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (3416464/608055 : -368489/608055 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (266224/350991 : 39497/350991 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (-12363796/2865843 : -1756589/2865843 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
  (103/346 : 1413/346 : 1)  C2b (-2526469/70335 : 887743/70335 : 1)
** u= -104/185 ; tau(u)= 474/289 ; -156226*x^2 + 57634*y^2 + 235492*x*z - 156226*z^2
  (-31669/19548 : -79271/19548 : 1)  C2b (23408124/1033445 : 2662249/1033445 : 1)
** u= 105/68 ; tau(u)= -31/37 ; 8287*x^2 - 1777*y^2 + 11986*x*z + 8287*z^2
  (-887/617 : -1324/617 : 1)  C1a (-7163/14825 : -1677/14825 : 1)
** u= -107/153 ; tau(u)= 413/260 ; -123751*x^2 + 35369*y^2 + 182018*x*z - 123751*z^2
  (-889/6197 : 12864/6197 : 1)  C2b (827/228 : 91/228 : 1)
** u= 110/29 ; tau(u)= 52/81 ; -1022*x^2 - 10418*y^2 + 14804*x*z - 1022*z^2
  (587/5398 : -1269/5398 : 1)  C1a (-95623/595747 : 42113/595747 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (263487/99160 : -23851/99160 : 1)
** u= -112/85 ; tau(u)= 282/197 ; -65074*x^2 + 1906*y^2 + 92068*x*z - 65074*z^2
  (397/3840 : -20861/3840 : 1)  C2b (139037/50137 : -44087/50137 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-25343795/3590124 : 1757989/3590124 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (576796/108745 : 39929/108745 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-3184420/75367 : -310401/75367 : 1)
** u= 119/58 ; tau(u)= 3/61 ; 6719*x^2 - 7433*y^2 + 14170*x*z + 6719*z^2
  (3389/10719 : -13546/10719 : 1)  C1a (-664640/460471 : -48225/460471 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-3501/23960 : 279617/4001320 : 1)
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
  (821/4465 : 14624/4465 : 1)  C2b (2222639/1423459 : 406557/1423459 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (2467376/1076201 : 171743/1076201 : 1)
** u= -124/169 ; tau(u)= 462/293 ; -156322*x^2 + 41746*y^2 + 228820*x*z - 156322*z^2
  (278/57807 : -111469/57807 : 1)  C2b (434671/369072 : -44147/369072 : 1)
** u= 126/17 ; tau(u)= 92/109 ; -7886*x^2 - 15298*y^2 + 24340*x*z - 7886*z^2
  (511/194 : -61/194 : 1)  C1a (17176/3093 : -1201/3093 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (237331/48472 : -16693/48472 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (308827/148528 : 24413/148528 : 1)
** u= -127/145 ; tau(u)= 417/272 ; -131839*x^2 + 25921*y^2 + 190018*x*z - 131839*z^2
  (-1083/3443 : 1557568/554323 : 1)  C2b (-26052/21173 : 1098497/3408853 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (10871693/11730532 : -1151351/11730532 : 1)
** u= 132/197 ; tau(u)= 262/65 ; 8974*x^2 + 60194*y^2 + 86068*x*z + 8974*z^2
  (-213/100 : 149/100 : 1)  C1b (205133/152065 : -18549/152065 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (944907/147764 : 4151/8692 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (-4066347/626716 : -1014919/626716 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (-65404348/935215 : 7843419/935215 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (-355115/66584 : -24713/66584 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (-750332/82895 : -68799/82895 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-453555/243032 : -16609/100072 : 1)
** u= -148/169 ; tau(u)= 486/317 ; -179074*x^2 + 35218*y^2 + 258100*x*z - 179074*z^2
  (33172/34121 : -56745/34121 : 1)  C2b (-12894627/603625 : 417787/120725 : 1)
** u= 150/89 ; tau(u)= -28/61 ; 15058*x^2 - 6658*y^2 + 23284*x*z + 15058*z^2
  (-31/84 : -95/84 : 1)  C1a (-1131201/34189 : -120181/34189 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (1058171/171932 : 286173/171932 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (-783371/4626052 : 1914859/4626052 : 1)
** u= -152/125 ; tau(u)= 402/277 ; -130354*x^2 + 8146*y^2 + 184708*x*z - 130354*z^2
  (41303/37923 : -121640/37923 : 1)  C2b (-1303/127980 : -35557/127980 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (335756/33267 : -1787/2559 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (318355/67148 : 22021/67148 : 1)
** u= -157/117 ; tau(u)= 391/274 ; -125503*x^2 + 2729*y^2 + 177530*x*z - 125503*z^2
  (35143/986239 : 6521790/986239 : 1)  C2b (-80235/372623 : 202345/372623 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-107317672/353819 : -7465149/353819 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-9321472/1995737 : 2269869/1995737 : 1)
** u= -160/157 ; tau(u)= 474/317 ; -175378*x^2 + 23698*y^2 + 250276*x*z - 175378*z^2
  (555/1291 : -45128/21947 : 1)  C2b (10364/24545 : -60159/417265 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (564092/142301 : -40887/142301 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (-300242355/9016024 : -60698735/9016024 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-298699/20340 : 20579/20340 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (-115184/683495 : -132303/683495 : 1)
** u= -168/121 ; tau(u)= 410/289 ; -138818*x^2 + 1058*y^2 + 196324*x*z - 138818*z^2
  (3/14 : -3179/322 : 1)  C2b (-6460/12127 : 314139/278921 : 1)
** u= -168/157 ; tau(u)= 482/325 ; -183026*x^2 + 21074*y^2 + 260548*x*z - 183026*z^2
  (-123016/5320071 : 15938425/5320071 : 1)  C2b (685244/898915 : 130773/898915 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (-1643780/201977 : 119427/201977 : 1)
** u= 170/97 ; tau(u)= -24/73 ; 18242*x^2 - 10082*y^2 + 29476*x*z + 18242*z^2
  (-373/876 : -58759/62196 : 1)  C1a (25/19 : 279/1349 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (-12720/10781 : -228653/1800427 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (765144/176677 : -67879/176677 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-118854128/1035601 : 9640023/1035601 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (-495267/387671 : 37007/387671 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (11432/7841 : -829/7841 : 1)
** u= 174/53 ; tau(u)= 68/121 ; 994*x^2 - 24658*y^2 + 34900*x*z + 994*z^2
  (-409/15336 : -11/216 : 1)  C1a (-3168952/1533719 : -239903/1533719 : 1)
** u= -176/185 ; tau(u)= 546/361 ; -229666*x^2 + 37474*y^2 + 329092*x*z - 229666*z^2
  (20082/46969 : 87799/46969 : 1)  C2b (436721/112701 : -63011/112701 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (168160/31363 : -34281/31363 : 1)
** u= 183/98 ; tau(u)= -13/85 ; 19039*x^2 - 14281*y^2 + 33658*x*z + 19039*z^2
  (-4107/31075 : -31766/31075 : 1)  C1a (4632903/23800 : 413213/23800 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (25599/37669 : 50641/263683 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
  (4/11 : 7/11 : 1)  C1a (4734396/27803537 : -1925119/27803537 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (1013675/677748 : 87623/677748 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (-1489052/1021711 : -169511/1021711 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (1071905/1158812 : -184393/1158812 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (-65727/17765 : 2339/3553 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (135120/185461 : -17939/185461 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (-2167789/446280 : -759409/446280 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
  (83809/260225 : 484524/260225 : 1)  C1a (-45268964/45479279 : 4082087/45479279 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (-93281469/5862304 : 6906107/5862304 : 1)
** u= 198/85 ; tau(u)= 28/113 ; 13666*x^2 - 24754*y^2 + 39988*x*z + 13666*z^2
  (-127/900 : 521/900 : 1)  C1a (-2131579/181160 : -152897/181160 : 1)
** u= 198/97 ; tau(u)= 4/101 ; 18802*x^2 - 20386*y^2 + 39220*x*z + 18802*z^2
  (659/768 : -1385/768 : 1)  C1a (1799856/217543 : -153763/217543 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (-1888975648/34302633 : 185096347/34302633 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (-1379633/393403 : 95457/393403 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-4278409/2252880 : 303713/2252880 : 1)
194
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。


[2025.11.24追記] u=-56/89のときの整点を追加した。
[2025.11.26追記] u=-196/157のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2025.11.27
H.Nakao

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