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Integer Points on A^4+B^4+C^4=39762*D^4

[2025.11.27]A^4+B^4+C^4=39762*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

39762=2*141^2であるので、以下では、n=141とする。

■n=141のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=141;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように171個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(141,1,200);
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (2084/65 : -1111/455 : 1)
** u= -3/49 ; tau(u)= 101/52 ; -5399*x^2 + 4793*y^2 + 10210*x*z - 5399*z^2
  (6497/32943 : 28532/32943 : 1)  C2b (31756/48863 : -3641/48863 : 1)
** u= -3/61 ; tau(u)= 125/64 ; -8183*x^2 + 7433*y^2 + 15634*x*z - 8183*z^2
  (253/227 : 80/227 : 1)  C2b (-201556/272125 : -35827/272125 : 1)
** u= 3/101 ; tau(u)= 199/98 ; -19199*x^2 + 20393*y^2 + 39610*x*z - 19199*z^2
  (7797/10837 : 1918/10837 : 1)  C1b (39518752/16220621 : 2879047/16220621 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (1977209/749020 : -29239/149804 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (7624/871 : 4037/6097 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (-7769/3067 : 873/3067 : 1)
** u= -5/117 ; tau(u)= 239/122 ; -29743*x^2 + 27353*y^2 + 57146*x*z - 29743*z^2
  (-45383/464953 : 530466/464953 : 1)  C2b (18749161/5440091 : 1427231/5440091 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (-101/95 : 59/665 : 1)
** u= -8/9 ; tau(u)= 26/17 ; -514*x^2 + 98*y^2 + 740*x*z - 514*z^2
  (-1/2 : -45/14 : 1)  C2b (-185/668 : -925/4676 : 1)
** u= 8/81 ; tau(u)= 154/73 ; -10594*x^2 + 13058*y^2 + 23780*x*z - 10594*z^2
  (1973/7193 : -4392/7193 : 1)  C1b (2342204/680887 : -4171/16607 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (-70201/70340 : 1941/14068 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (219236/43385 : -17493/43385 : 1)
** u= 8/153 ; tau(u)= 298/145 ; -41986*x^2 + 46754*y^2 + 88868*x*z - 41986*z^2
  (45115/66751 : 10248/66751 : 1)  C1b (1779836/3259609 : -236681/3259609 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (-101/95 : 59/665 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (2084/65 : -1111/455 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
  (18/49 : -53/49 : 1)  C2b (-808/943 : -171/943 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (110053/78257 : -8259/78257 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (16653487/4842995 : -8583377/33900965 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (4347565/2911631 : -343367/2911631 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-2173/5255 : 693/5255 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (92941/327700 : 23733/327700 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (4085341/3360380 : 323797/3360380 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (73700/113021 : 9275/113021 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
  (-5/96 : 361/96 : 1)  C2b (320/191 : -59/191 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (1372240/336157 : 125087/336157 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (742601/384856 : 55721/384856 : 1)
** u= 21/29 ; tau(u)= 37/8 ; 313*x^2 + 1241*y^2 + 1810*x*z + 313*z^2
  (-1051/367 : 500/367 : 1)  C1b (-38668/3769 : 2747/3769 : 1)
** u= 21/137 ; tau(u)= 253/116 ; -26471*x^2 + 37097*y^2 + 64450*x*z - 26471*z^2
  (411/101 : -236/101 : 1)  C1b (-1196300/1119197 : -152675/1119197 : 1)
** u= -21/157 ; tau(u)= 335/178 ; -62927*x^2 + 48857*y^2 + 112666*x*z - 62927*z^2
  (16147/702459 : -780854/702459 : 1)  C2b (-2588984/185519 : -243887/185519 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (-908/2149 : -421/2149 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (-334179503/148879915 : 6240671/29775983 : 1)
** u= 26/17 ; tau(u)= -8/9 ; 514*x^2 - 98*y^2 + 740*x*z + 514*z^2
  (-257/113 : -3084/791 : 1)  C1a (-6764/5197 : -5603/36379 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (309407/27560 : -2297/2120 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (5296/43187 : 3161/43187 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-356572/239675 : 36883/239675 : 1)
** u= 29/193 ; tau(u)= 357/164 ; -52951*x^2 + 73657*y^2 + 128290*x*z - 52951*z^2
  (1188069/498019 : -403076/498019 : 1)  C1b (4308583/1334356 : -310389/1334356 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-88637/149320 : -13061/149320 : 1)
** u= 32/117 ; tau(u)= 202/85 ; -13426*x^2 + 26354*y^2 + 41828*x*z - 13426*z^2
  (18127/1005415 : 697296/1005415 : 1)  C1b (1909/5756 : -409/5756 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
  (-2585/48737 : -22136/48737 : 1)  C1b (360307/172580 : -27381/172580 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (-6929827/206704 : -660753/206704 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (30045833/12538243 : -2149147/12538243 : 1)
** u= 37/8 ; tau(u)= 21/29 ; -313*x^2 - 1241*y^2 + 1810*x*z - 313*z^2
  (2441/1797 : -2020/1797 : 1)  C1a (-2065/356 : -155/356 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (583880/142711 : -46809/142711 : 1)
** u= -39/97 ; tau(u)= 233/136 ; -35471*x^2 + 17297*y^2 + 55810*x*z - 35471*z^2
  (-411/1391 : 17372/9737 : 1)  C2b (71/28 : -43/196 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (-541100/51319 : -270297/359233 : 1)
** u= -41/81 ; tau(u)= 203/122 ; -28087*x^2 + 11441*y^2 + 42890*x*z - 28087*z^2
  (-8597/367 : -13914/367 : 1)  C2b (-1426517/22136 : -166157/22136 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (1321732/420031 : -94079/420031 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-121885/407528 : -29115/407528 : 1)
** u= 48/101 ; tau(u)= 154/53 ; -3314*x^2 + 18098*y^2 + 26020*x*z - 3314*z^2
  (849/6619 : 274/6619 : 1)  C1b (-1345132/1326895 : 28649/265379 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-22939669/124159 : 2594037/124159 : 1)
** u= 48/113 ; tau(u)= 178/65 ; -6146*x^2 + 23234*y^2 + 33988*x*z - 6146*z^2
  (-11589/181648 : -108827/181648 : 1)  C1b (437063/164995 : 31573/164995 : 1)
** u= -48/193 ; tau(u)= 434/241 ; -113858*x^2 + 72194*y^2 + 190660*x*z - 113858*z^2
  (227517/175867 : 157306/175867 : 1)  C2b (1072593748/1329871931 : 106686457/1329871931 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
  (69341/105087 : 6424/4569 : 1)  C2b (93805/1943 : 13541/1943 : 1)
** u= 51/181 ; tau(u)= 311/130 ; -31199*x^2 + 62921*y^2 + 99322*x*z - 31199*z^2
  (13033/66381 : -4294/9483 : 1)  C1b (21915248/13987405 : 1644863/13987405 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-92272/9365 : 27595/1873 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (16000520/3577757 : -1414245/3577757 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (-641/1469 : -737/10283 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
  (-1/230 : 831/230 : 1)  C1a (874495/447056 : -316451/447056 : 1)
** u= 55/153 ; tau(u)= 251/98 ; -16183*x^2 + 43793*y^2 + 66026*x*z - 16183*z^2
  (-52513/101051 : -113106/101051 : 1)  C1b (1669928/1025863 : -126673/1025863 : 1)
** u= -56/45 ; tau(u)= 146/101 ; -17266*x^2 + 914*y^2 + 24452*x*z - 17266*z^2
  (1483/8986 : -34791/8986 : 1)  C2b (-30044/13205 : -12463/13205 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (-26185927/379645 : 1918261/379645 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (935980/986417 : -92925/986417 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (22618195/1173089 : -2201967/1173089 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (88864/235405 : -16809/235405 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-578669/4823860 : 113795/964772 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (66425456/1573375 : 12028641/1573375 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1b (-51368/152195 : -10813/152195 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (881789/6055 : -446877/42385 : 1)
** u= 69/73 ; tau(u)= 77/4 ; 4729*x^2 + 5897*y^2 + 10690*x*z + 4729*z^2
  (-7113/7681 : -3340/7681 : 1)  C1b (165164/103903 : 18503/103903 : 1)
** u= 69/185 ; tau(u)= 301/116 ; -22151*x^2 + 63689*y^2 + 95362*x*z - 22151*z^2
  (-13883/125951 : -90568/125951 : 1)  C1b (5606084/2704105 : -410247/2704105 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
  (21/212 : -331/212 : 1)  C1a (226025/52928 : -28359/52928 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (714445/667456 : -62327/667456 : 1)
** u= 75/149 ; tau(u)= 223/74 ; -5327*x^2 + 38777*y^2 + 55354*x*z - 5327*z^2
  (3217/40401 : -6334/40401 : 1)  C1b (869944/658655 : -73951/658655 : 1)
** u= -75/181 ; tau(u)= 437/256 ; -125447*x^2 + 59897*y^2 + 196594*x*z - 125447*z^2
  (19307/37694037 : 54528800/37694037 : 1)  C2b (-35455/107908 : -14387/107908 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (-75877/519100 : 60087/519100 : 1)
** u= 77/4 ; tau(u)= 69/73 ; -4729*x^2 - 5897*y^2 + 10690*x*z - 4729*z^2
  (1143/707 : -128/707 : 1)  C1a (-232964/363397 : 40979/363397 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (114004/218435 : 18149/218435 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (193441/68987 : 13947/68987 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (2464/5303 : -621/5303 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (41976020/13698127 : -3261437/13698127 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (-82592500/412927 : -11040623/412927 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (79852/216547 : -20597/216547 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (5366668/2804579 : 1118591/2804579 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (14143/10933 : 1779/10933 : 1)
** u= -84/73 ; tau(u)= 230/157 ; -42242*x^2 + 3602*y^2 + 59956*x*z - 42242*z^2
  (1809/14998 : -47167/14998 : 1)  C2b (101579759/57144640 : -17860667/57144640 : 1)
** u= -84/97 ; tau(u)= 278/181 ; -58466*x^2 + 11762*y^2 + 84340*x*z - 58466*z^2
  (-1384/957 : 4855/957 : 1)  C2b (1648673/5657485 : 148883/1131497 : 1)
** u= -84/109 ; tau(u)= 302/193 ; -67442*x^2 + 16706*y^2 + 98260*x*z - 67442*z^2
  (18028/7763 : -27059/7763 : 1)  C2b (580753/281429 : -63301/281429 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
  (5188/15605 : -22891/15605 : 1)  C2b (119711/153304 : 15271/153304 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (329909/95953 : -23723/95953 : 1)
** u= 85/101 ; tau(u)= 117/16 ; 6713*x^2 + 13177*y^2 + 20914*x*z + 6713*z^2
  (-1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1b (-1665353/1429372 : -136043/1429372 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1a (167000/69557 : -11947/69557 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (25778155/99119 : 2118843/99119 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
  (-119159/68487 : 276676/68487 : 1)  C2b (32425828/6185675 : 3307967/6185675 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (76045/70292 : 12191/70292 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (-2733404/2526715 : -222043/2526715 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (756092/355117 : 54961/355117 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (-6320/827 : 3161/5789 : 1)
** u= 93/173 ; tau(u)= 253/80 ; -4151*x^2 + 51209*y^2 + 72658*x*z - 4151*z^2
  (-105085/1584357 : -663776/1584357 : 1)  C1b (10415653124/9977144971 : 993445709/9977144971 : 1)
** u= -96/89 ; tau(u)= 274/185 ; -59234*x^2 + 6626*y^2 + 84292*x*z - 59234*z^2
  (1185/8059 : 21718/8059 : 1)  C2b (146245/141641 : -23591/141641 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (81788/150757 : 14601/150757 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (9035908/1778705 : 666689/1778705 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
  (-19653/947555 : 42968/135365 : 1)  C1a (-1907564/216925 : -135123/216925 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (749/44120 : 19219/44120 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (59212121/35182000 : 5180677/35182000 : 1)
** u= 101/52 ; tau(u)= -3/49 ; 5399*x^2 - 4793*y^2 + 10210*x*z + 5399*z^2
  (-13421/16431 : 6104/16431 : 1)  C1a (-115228/53435 : -1705/10687 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-380/911 : 65/911 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (88249/88240 : 15707/88240 : 1)
** u= -105/137 ; tau(u)= 379/242 ; -106103*x^2 + 26513*y^2 + 154666*x*z - 106103*z^2
  (15/7 : 22/7 : 1)  C2b (7014976/2320955 : -816889/2320955 : 1)
** u= 105/157 ; tau(u)= 209/52 ; 5617*x^2 + 38273*y^2 + 54706*x*z + 5617*z^2
  (-36651/207235 : -66004/207235 : 1)  C1b (17338577/14704372 : -1698553/14704372 : 1)
** u= 111/113 ; tau(u)= 115/2 ; 12313*x^2 + 13217*y^2 + 25546*x*z + 12313*z^2
  (-3487/4161 : 766/4161 : 1)  C1b (44036224/11130191 : -4168757/11130191 : 1)
** u= -113/81 ; tau(u)= 275/194 ; -62503*x^2 + 353*y^2 + 88394*x*z - 62503*z^2
  (83/191 : 1926/191 : 1)  C2b (28013/123760 : 99719/123760 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (363595/757793 : 104043/757793 : 1)
** u= 115/2 ; tau(u)= 111/113 ; -12313*x^2 - 13217*y^2 + 25546*x*z - 12313*z^2
  (22839/19597 : 4622/19597 : 1)  C1a (-1028080/254087 : -97019/254087 : 1)
** u= 115/117 ; tau(u)= 119/2 ; 13217*x^2 + 14153*y^2 + 27386*x*z + 13217*z^2
  (-27653/21163 : -174/21163 : 1)  C1b (9263/25813 : 2597/25813 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (57136/9523 : 4309/9523 : 1)
** u= 117/16 ; tau(u)= 85/101 ; -6713*x^2 - 13177*y^2 + 20914*x*z - 6713*z^2
  (1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1a (1909/5756 : -409/5756 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (653348/294979 : 92197/294979 : 1)
** u= 119/2 ; tau(u)= 115/117 ; -13217*x^2 - 14153*y^2 + 27386*x*z - 13217*z^2
  (5407/4181 : -342/4181 : 1)  C1a (-68729032/60385907 : -9215267/60385907 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-87500/132593 : -10293/132593 : 1)
** u= 123/149 ; tau(u)= 175/26 ; 13777*x^2 + 29273*y^2 + 45754*x*z + 13777*z^2
  (-4873/2443 : -2150/2443 : 1)  C1b (-6845480/923423 : 493311/923423 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (-61159/23323 : -76617/163261 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
  (-352/313 : -45/313 : 1)  C1b (-48109/46775 : -3997/46775 : 1)
** u= 125/64 ; tau(u)= -3/61 ; 8183*x^2 - 7433*y^2 + 15634*x*z + 8183*z^2
  (-253/227 : -80/227 : 1)  C1a (-1198348/1508045 : 116461/1508045 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
  (352/313 : 45/313 : 1)  C1a (92272/51383 : 6731/51383 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (-16678253/5691785 : 1453123/5691785 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-57712/8119 : 72787/8119 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (591256/625345 : -65153/625345 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-1714379/1660105 : -145297/1660105 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (-388372/552335 : 320769/3866345 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (-65488003/4295513 : -8854427/4295513 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (73636/393481 : -28293/393481 : 1)
** u= -132/181 ; tau(u)= 494/313 ; -178514*x^2 + 48098*y^2 + 261460*x*z - 178514*z^2
  (-1261/12634 : -26171/12634 : 1)  C2b (-29101445/3555464 : 4392315/3555464 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (1542460/1387 : 117005/1387 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (15024089/3748172 : -1131697/3748172 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (-690332/323485 : -43597/64697 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (24736/1498489 : -107613/1498489 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-126155/32824 : 70837/229768 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-1714379/1660105 : -145297/1660105 : 1)
** u= 145/149 ; tau(u)= 153/4 ; 20993*x^2 + 23377*y^2 + 44434*x*z + 20993*z^2
  (-469/345 : 56/345 : 1)  C1b (-87517/99020 : 7907/99020 : 1)
** u= 146/101 ; tau(u)= -56/45 ; 17266*x^2 - 914*y^2 + 24452*x*z + 17266*z^2
  (-1255/1123 : -3984/1123 : 1)  C1a (8779/14860 : 6763/14860 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (-3419371/1813508 : -1517319/1813508 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (480671/135524 : -11473/7972 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (7683692/3966175 : 425497/793235 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1b (-2912132/848539 : -209127/848539 : 1)
** u= 153/4 ; tau(u)= 145/149 ; -20993*x^2 - 23377*y^2 + 44434*x*z - 20993*z^2
  (487/391 : 108/391 : 1)  C1a (1779836/3259609 : -236681/3259609 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (-623780/233803 : -49393/233803 : 1)
** u= 154/53 ; tau(u)= 48/101 ; 3314*x^2 - 18098*y^2 + 26020*x*z + 3314*z^2
  (-32/1731 : -685/1731 : 1)  C1a (-26732/33259 : -2851/33259 : 1)
** u= 154/73 ; tau(u)= 8/81 ; 10594*x^2 - 13058*y^2 + 23780*x*z + 10594*z^2
  (-1223/458 : 603/458 : 1)  C1a (-29324/7015 : 433/1403 : 1)
** u= -156/197 ; tau(u)= 550/353 ; -224882*x^2 + 53282*y^2 + 326836*x*z - 224882*z^2
  (-128/149 : -529/149 : 1)  C2b (11857528/1991465 : 1561341/1991465 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (84284/1385945 : 98189/1385945 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-134996/3374737 : 239127/3374737 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (95397448/57557315 : -2791705/11511463 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (4085341/3360380 : 323797/3360380 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (-3163748/1241545 : -226329/1241545 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (24749615/14052043 : 2466005/14052043 : 1)
** u= 175/26 ; tau(u)= 123/149 ; -13777*x^2 - 29273*y^2 + 45754*x*z - 13777*z^2
  (3527/2325 : 2102/2325 : 1)  C1a (-430637/336823 : 46269/336823 : 1)
** u= 178/65 ; tau(u)= 48/113 ; 6146*x^2 - 23234*y^2 + 33988*x*z + 6146*z^2
  (-548/7345 : 2909/7345 : 1)  C1a (-1600492/945725 : -122833/945725 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
  (-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1)  C1a (-120371/38785 : 14327/38785 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-9440/1723 : 1533/1723 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (180380/1540493 : -306725/1540493 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1a (-703834148/1941821 : 54644721/1941821 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-311095/127012 : 22455/127012 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (89507/28807 : 7717/28807 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (235637/172868 : -18843/172868 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (-3258532/482615 : -237499/482615 : 1)
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
  (43931/5704 : 120687/5704 : 1)  C2b (539896/549145 : -17963/109829 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (67985392/29612399 : 4962697/29612399 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (10343504/4255951 : 1365137/4255951 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-20068832/10217227 : -1458673/10217227 : 1)
** u= 199/98 ; tau(u)= 3/101 ; 19199*x^2 - 20393*y^2 + 39610*x*z + 19199*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1a (-901315/176072 : -68915/176072 : 1)
171
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.28
H.Nakao

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