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Integer Points on A^4+B^4+C^4=37538*D^4

[2025.11.28]A^4+B^4+C^4=37538*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

37538=2*137^2であるので、以下では、n=137とする。

■n=137のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=137;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように209個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(137,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (-124632/17449 : -1554469/2390513 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (-1793837/178248 : 160967/178248 : 1)
** u= 4/89 ; tau(u)= 174/85 ; -14434*x^2 + 15826*y^2 + 30292*x*z - 14434*z^2
  (31303/22528 : 2603/22528 : 1)  C1b (-1724/117 : -149/117 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (-50482548/24009835 : -1150301/4801967 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-587/744 : -77/744 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (2997/4664 : 349/4664 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (685755061/81493268 : -56149301/81493268 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (1175364/250925 : -3605/10037 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (408563/63416 : -33681/63416 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (480493/221861 : 35893/221861 : 1)
** u= 11/45 ; tau(u)= 79/34 ; -2191*x^2 + 3929*y^2 + 6362*x*z - 2191*z^2
  (1205/401 : 342/401 : 1)  C1b (4483404/119671 : 341599/119671 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (-32297068/206569 : 2550017/206569 : 1)
** u= 11/117 ; tau(u)= 223/106 ; -22351*x^2 + 27257*y^2 + 49850*x*z - 22351*z^2
  (-31309/1105559 : 147522/157937 : 1)  C1b (166436/149229 : 13597/149229 : 1)
** u= -11/185 ; tau(u)= 381/196 ; -76711*x^2 + 68329*y^2 + 145282*x*z - 76711*z^2
  (9693/18391 : -10304/18391 : 1)  C2b (1347131/1457264 : -120309/1457264 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (-19755404/1019309 : 2058003/1019309 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (96095/3004 : 1001445/411548 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
  (-1103/1008 : 2285/1008 : 1)  C2b (-370261/291652 : -52713/291652 : 1)
** u= 13/17 ; tau(u)= 21/4 ; 137*x^2 + 409*y^2 + 610*x*z + 137*z^2
  (-397/1673 : 16/1673 : 1)  C1b (15149/731 : 1131/731 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (172096/115017 : 13141/115017 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (2836140/366809 : 241235/366809 : 1)
** u= -13/181 ; tau(u)= 375/194 ; -75103*x^2 + 65353*y^2 + 140794*x*z - 75103*z^2
  (627/1435 : 134/205 : 1)  C2b (-10929844/292163 : -983229/292163 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-719/16 : -219/16 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (1061/3133 : -227/3133 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (2616/45187 : -4499/45187 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-49841/85656 : -9041/85656 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (809/23 : -1821/713 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-14632/153303 : 11737/153303 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (1353224/1404143 : 120457/1404143 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (915475/36557 : 95935/36557 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
  (-5/96 : 361/96 : 1)  C2b (5491/4203 : -1019/4203 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (165604/42253 : -16353/42253 : 1)
** u= 21/4 ; tau(u)= 13/17 ; -137*x^2 - 409*y^2 + 610*x*z - 137*z^2
  (27/19 : 20/19 : 1)  C1a (21240/2651 : -1535/2651 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-8123/5637 : -649/5637 : 1)
** u= 21/85 ; tau(u)= 149/64 ; -7751*x^2 + 14009*y^2 + 22642*x*z - 7751*z^2
  (-439/20487 : 15712/20487 : 1)  C1b (-8510552/229667 : -659883/229667 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (278107/212933 : -22143/212933 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (6046796/4733761 : -477237/4733761 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (45801/8936 : 6019/8936 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (1663663/40604 : -120257/40604 : 1)
** u= 23/169 ; tau(u)= 315/146 ; -42103*x^2 + 56593*y^2 + 99754*x*z - 42103*z^2
  (2615/1183 : -822/1183 : 1)  C1b (-9005158173/745447676 : 749468387/745447676 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (-7172/14611 : 1071/14611 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (-80593/29596 : 14911/29596 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-2291737/7407 : -165799/7407 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (-129292/132483 : -17171/132483 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (-113116/2831 : 9469/2831 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-7369212/516121 : 539647/516121 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (90757/26445 : -1393/5289 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (200192/23489 : 23397/23489 : 1)
** u= 32/117 ; tau(u)= 202/85 ; -13426*x^2 + 26354*y^2 + 41828*x*z - 13426*z^2
  (18127/1005415 : 697296/1005415 : 1)  C1b (-311088/511211 : -51631/511211 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (4475807/11843399 : 855927/11843399 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (9/17 : 41/527 : 1)
** u= 33/149 ; tau(u)= 265/116 ; -25823*x^2 + 43313*y^2 + 71314*x*z - 25823*z^2
  (60287/239769 : 112436/239769 : 1)  C1b (-26251993/562201 : -2051187/562201 : 1)
** u= 35/61 ; tau(u)= 87/26 ; -127*x^2 + 6217*y^2 + 8794*x*z - 127*z^2
  (-83/93 : 106/93 : 1)  C1b (-1208564/237043 : 88731/237043 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (-476804/216049 : 43733/216049 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (24013/73748 : 44971/516236 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-43592/64299 : -4847/64299 : 1)
** u= -40/49 ; tau(u)= 138/89 ; -14242*x^2 + 3202*y^2 + 20644*x*z - 14242*z^2
  (173/1461 : 2828/1461 : 1)  C2b (-35661/12608 : -6947/12608 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-2792071/2005984 : 301169/2005984 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (33401/3648 : -2657/3648 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (-6472/4057 : 1383/4057 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (231260/13457 : 17055/13457 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (-750908/1598403 : -131147/1598403 : 1)
** u= 44/153 ; tau(u)= 262/109 ; -21826*x^2 + 44882*y^2 + 70580*x*z - 21826*z^2
  (848/9509 : -5625/9509 : 1)  C1b (-28715708/7944987 : 2429957/7944987 : 1)
** u= 47/49 ; tau(u)= 51/2 ; 2201*x^2 + 2593*y^2 + 4810*x*z + 2201*z^2
  (-7801/9587 : 3010/9587 : 1)  C1b (-197660/98197 : 14475/98197 : 1)
** u= 49/113 ; tau(u)= 177/64 ; -5791*x^2 + 23137*y^2 + 33730*x*z - 5791*z^2
  (7619/50109 : 9296/50109 : 1)  C1b (642915992/55385097 : 46373263/55385097 : 1)
** u= 49/117 ; tau(u)= 185/68 ; -6847*x^2 + 24977*y^2 + 36626*x*z - 6847*z^2
  (-2503/616787 : -326424/616787 : 1)  C1b (2325176/705153 : -168269/705153 : 1)
** u= -49/193 ; tau(u)= 435/242 ; -114727*x^2 + 72097*y^2 + 191626*x*z - 114727*z^2
  (2557/76225 : -93478/76225 : 1)  C2b (163037489/5014044 : 15766909/5014044 : 1)
** u= 51/2 ; tau(u)= 47/49 ; -2201*x^2 - 2593*y^2 + 4810*x*z - 2201*z^2
  (3611/3529 : -1414/3529 : 1)  C1a (5434237/3320477 : 403449/3320477 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (2556319/149153 : 1779219/1044071 : 1)
** u= 51/197 ; tau(u)= 343/146 ; -40031*x^2 + 75017*y^2 + 120250*x*z - 40031*z^2
  (-43483/2304469 : 1730750/2304469 : 1)  C1b (122659/1084781 : -80337/1084781 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (2431943/77388 : -7454849/3172908 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (-121825/445903 : 372355/3121321 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (579389/387147 : -107597/387147 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (40203/9125 : -581/1825 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
  (-1/230 : 831/230 : 1)  C1a (-15047/44839 : -9349/44839 : 1)
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b (-55248/39803 : 20489/39803 : 1)
** u= -55/73 ; tau(u)= 201/128 ; -29743*x^2 + 7633*y^2 + 43426*x*z - 29743*z^2
  (-7353/5801 : 24176/5801 : 1)  C2b (66816/26753 : -7531/26753 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (-25382984/31617 : -2677897/31617 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (6523/2267 : -3097/2267 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-141888/338893 : -72283/338893 : 1)
** u= 56/169 ; tau(u)= 282/113 ; -22402*x^2 + 53986*y^2 + 82660*x*z - 22402*z^2
  (-908/249 : -845/249 : 1)  C1b (5502168/313633 : 405581/313633 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (-2937639/1862576 : -294097/1862576 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (7793096/312265 : 112041/62453 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
  (-11329/30921 : 67384/30921 : 1)  C2b (2462533/108771 : -297187/108771 : 1)
** u= 59/157 ; tau(u)= 255/98 ; -15727*x^2 + 45817*y^2 + 68506*x*z - 15727*z^2
  (893/9761 : 4466/9761 : 1)  C1b (64177/103151 : -7997/103151 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (1440956/1274503 : -198729/1274503 : 1)
** u= -60/121 ; tau(u)= 302/181 ; -61922*x^2 + 25682*y^2 + 94804*x*z - 61922*z^2
  (-2016/10337 : -18557/10337 : 1)  C2b (-136787/238517 : -39909/238517 : 1)
** u= -61/85 ; tau(u)= 231/146 ; -38911*x^2 + 10729*y^2 + 57082*x*z - 38911*z^2
  (30037/59109 : 80606/59109 : 1)  C2b (-7921/240761 : 34311/240761 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (101375303/43581207 : 8945413/43581207 : 1)
** u= -64/109 ; tau(u)= 282/173 ; -55762*x^2 + 19666*y^2 + 83620*x*z - 55762*z^2
  (13451/76439 : 112732/76439 : 1)  C2b (-151465195/8522856 : -19592365/8522856 : 1)
** u= -64/121 ; tau(u)= 306/185 ; -64354*x^2 + 25186*y^2 + 97732*x*z - 64354*z^2
  (-2515/28307 : 338602/198149 : 1)  C2b (-5837/2531 : 6449/17717 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (1648504/672653 : 124451/672653 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (-105687/207737 : 18299/207737 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (-10128/21283 : 1753/21283 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-6712/8317 : 699/8317 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (47976464/708703 : -5380529/708703 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
  (-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1)  C2b (998988/56947 : -121247/56947 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (-6198487/793001 : -812517/793001 : 1)
** u= -68/197 ; tau(u)= 462/265 ; -135826*x^2 + 72994*y^2 + 218068*x*z - 135826*z^2
  (98541/71458 : 80833/71458 : 1)  C2b (24795889/40104409 : 3276183/40104409 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (3611/18611 : -1637/18611 : 1)
** u= 71/81 ; tau(u)= 91/10 ; 4841*x^2 + 8081*y^2 + 13322*x*z + 4841*z^2
  (-1813/1175 : -18/25 : 1)  C1b (107644868/1051119 : 8379659/1051119 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (3573217/560800 : 60313/112160 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (10012788/1533517 : 748943/1533517 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (-1072589/111688 : -78153/111688 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (967076/7421 : -70421/7421 : 1)
** u= 79/34 ; tau(u)= 11/45 ; 2191*x^2 - 3929*y^2 + 6362*x*z + 2191*z^2
  (2623/19121 : -16998/19121 : 1)  C1a (-153589/37348 : -11149/37348 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (635688/15827 : -108823/15827 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (101375303/43581207 : 8945413/43581207 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (-7789/96 : 1157/96 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (-14189512/6166433 : -2681571/6166433 : 1)
** u= 83/157 ; tau(u)= 231/74 ; -4063*x^2 + 42409*y^2 + 60250*x*z - 4063*z^2
  (-161373/159143 : 203486/159143 : 1)  C1b (-405157/185132 : -32883/185132 : 1)
** u= 85/101 ; tau(u)= 117/16 ; 6713*x^2 + 13177*y^2 + 20914*x*z + 6713*z^2
  (-1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1b (374592/378643 : -46591/378643 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-18695/79 : 196575/10823 : 1)
** u= 87/26 ; tau(u)= 35/61 ; 127*x^2 - 6217*y^2 + 8794*x*z + 127*z^2
  (319/12585 : -2986/12585 : 1)  C1a (-243292/125059 : 19539/125059 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (11347312/682427 : 988333/682427 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-49841/85656 : -9041/85656 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (9990304/133379 : 732817/133379 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (-57283/44336 : 437/2608 : 1)
** u= 91/10 ; tau(u)= 71/81 ; -4841*x^2 - 8081*y^2 + 13322*x*z - 4841*z^2
  (15631/17993 : -11106/17993 : 1)  C1a (-8159341/216756 : 639197/216756 : 1)
** u= -92/81 ; tau(u)= 254/173 ; -51394*x^2 + 4658*y^2 + 72980*x*z - 51394*z^2
  (148/1741 : -5445/1741 : 1)  C2b (1273/217 : 37043/29729 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (6612/47891 : -25997/335237 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-285097372/14976791 : -20510127/14976791 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-235312/253999 : 21573/253999 : 1)
** u= -93/149 ; tau(u)= 391/242 ; -108479*x^2 + 35753*y^2 + 161530*x*z - 108479*z^2
  (-2020857/957443 : 4890182/957443 : 1)  C2b (3080629/3376691 : -337803/3376691 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-49001/8401 : 4479/8401 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (909324/171773 : 65543/171773 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (-3561871/452593 : 514821/452593 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-14632/153303 : 11737/153303 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (-155951/82689 : 12101/82689 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (-373484/540733 : 47421/540733 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-5007664/202845 : -76069/40569 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-17297/78448 : 5679/78448 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-2241/1297 : -197/1297 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (1732/12459 : 1981/12459 : 1)
** u= 103/153 ; tau(u)= 203/50 ; 5609*x^2 + 36209*y^2 + 51818*x*z + 5609*z^2
  (-193/1739 : -78/1739 : 1)  C1b (-2148471/857204 : 160823/857204 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
  (103/346 : 1413/346 : 1)  C2b (60428391/511991 : 21582757/511991 : 1)
** u= 104/193 ; tau(u)= 282/89 ; -5026*x^2 + 63682*y^2 + 90340*x*z - 5026*z^2
  (2246/79391 : 15649/79391 : 1)  C1b (-341227/2468373 : 180647/2468373 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (1376/1277 : 26563/174949 : 1)
** u= -105/97 ; tau(u)= 299/202 ; -70583*x^2 + 7793*y^2 + 100426*x*z - 70583*z^2
  (43361/255877 : 683414/255877 : 1)  C2b (3952036/182417 : 829743/182417 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (-1099823/90359 : 79447/90359 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (-543692/97659 : 40427/97659 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (-27361/35191 : 2927/35191 : 1)
** u= -112/181 ; tau(u)= 474/293 ; -159154*x^2 + 52978*y^2 + 237220*x*z - 159154*z^2
  (4543/12132 : 16043/12132 : 1)  C2b (-129649/146671 : 32299/146671 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (119748368/592381 : -12389391/592381 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (-19013108/34775251 : 2626893/34775251 : 1)
** u= -115/157 ; tau(u)= 429/272 ; -134743*x^2 + 36073*y^2 + 197266*x*z - 134743*z^2
  (5097/191 : 9584/191 : 1)  C2b (1268627/829949 : -131001/829949 : 1)
** u= 117/16 ; tau(u)= 85/101 ; -6713*x^2 - 13177*y^2 + 20914*x*z - 6713*z^2
  (1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1a (-311088/511211 : -51631/511211 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-18373/53483 : 4751/53483 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-7148/5879 : -98179/981793 : 1)
** u= -119/173 ; tau(u)= 465/292 ; -156367*x^2 + 45697*y^2 + 230386*x*z - 156367*z^2
  (209905/806419 : 1233944/806419 : 1)  C2b (137072/441729 : -49231/441729 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (-165413/177492 : -17113/177492 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (436746976/1646075 : 85784913/2304505 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (-2598724/636377 : 942813/636377 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (210132/577249 : -45401/577249 : 1)
** u= -128/101 ; tau(u)= 330/229 ; -88498*x^2 + 4018*y^2 + 125284*x*z - 88498*z^2
  (2661/2885 : 69968/20195 : 1)  C2b (8024/9393 : -16039/65751 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (97289/31257 : 8773/31257 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
  (-785/1087 : -832/1087 : 1)  C1b (1713136/48843 : -126929/48843 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (1036952/701737 : 100441/701737 : 1)
** u= -131/113 ; tau(u)= 357/244 ; -101911*x^2 + 8377*y^2 + 144610*x*z - 101911*z^2
  (25917/165779 : -518020/165779 : 1)  C2b (-1723/1768 : 809/1768 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (-1323467/524645 : -54405/104929 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (-11933641/133656 : 922271/133656 : 1)
** u= 133/153 ; tau(u)= 173/20 ; 16889*x^2 + 29129*y^2 + 47618*x*z + 16889*z^2
  (-64579/119891 : 43644/119891 : 1)  C1b (-33685288/1385061 : -2565889/1385061 : 1)
** u= -136/145 ; tau(u)= 426/281 ; -139426*x^2 + 23554*y^2 + 199972*x*z - 139426*z^2
  (-14561/1023 : -37252/1023 : 1)  C2b (927288/777569 : -119261/777569 : 1)
** u= 136/185 ; tau(u)= 234/49 ; 13694*x^2 + 49954*y^2 + 73252*x*z + 13694*z^2
  (-9325/39103 : -9576/39103 : 1)  C1b (4041456/566063 : -306113/566063 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (-10568/5599 : 1009/5599 : 1)
** u= 138/89 ; tau(u)= -40/49 ; 14242*x^2 - 3202*y^2 + 20644*x*z + 14242*z^2
  (-101/710 : 1351/710 : 1)  C1a (18149272/531627 : -2840879/531627 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (25144/6149 : -17841/6149 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
  (4045/39874 : 141159/39874 : 1)  C2b (329789/26436 : -85267/26436 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (29209/186996 : 29623/186996 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (-60733/12403 : -4399/12403 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (-397657/254911 : -40599/254911 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-115428/13829 : -62257/96803 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-15596/19377 : -3629/19377 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (97289/31257 : 8773/31257 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
  (-47137/46037 : -20796/46037 : 1)  C1b (-991807/799032 : 78031/799032 : 1)
** u= -145/169 ; tau(u)= 483/314 ; -176167*x^2 + 36097*y^2 + 254314*x*z - 176167*z^2
  (6427/4971 : -9854/4971 : 1)  C2b (-137888236/8354413 : -23058893/8354413 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-574691/403508 : 45123/403508 : 1)
** u= 149/64 ; tau(u)= 21/85 ; 7751*x^2 - 14009*y^2 + 22642*x*z + 7751*z^2
  (-13805/65971 : -32272/65971 : 1)  C1a (-453152/529759 : 43557/529759 : 1)
** u= -151/145 ; tau(u)= 441/296 ; -152431*x^2 + 19249*y^2 + 217282*x*z - 152431*z^2
  (15733/101615 : 256284/101615 : 1)  C2b (-6808761/1741681 : 1649329/1741681 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-40211379/881992 : 20374409/881992 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (-393000/1243259 : -592735/1243259 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (2311872/4136623 : 447863/4136623 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (-105687/207737 : 18299/207737 : 1)
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a (426424/233847 : -143047/233847 : 1)
** u= -160/157 ; tau(u)= 474/317 ; -175378*x^2 + 23698*y^2 + 250276*x*z - 175378*z^2
  (555/1291 : -45128/21947 : 1)  C2b (132329/9737 : 32271/12733 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
  (79009/128645 : 5844/128645 : 1)  C1a (10933856/14772147 : -1135129/14772147 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-879511/57881 : -63189/57881 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (1353224/1404143 : 120457/1404143 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (3573217/560800 : 60313/112160 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (552608/300557 : 57873/300557 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (63511/3676 : 786923/613892 : 1)
** u= 173/20 ; tau(u)= 133/153 ; -16889*x^2 - 29129*y^2 + 47618*x*z - 16889*z^2
  (37621/30677 : -22812/30677 : 1)  C1a (317977613/67739392 : 23226181/67739392 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (393876/522827 : 281441/522827 : 1)
** u= 174/85 ; tau(u)= 4/89 ; 14434*x^2 - 15826*y^2 + 30292*x*z + 14434*z^2
  (-13903/22644 : -6431/22644 : 1)  C1a (-793373/21396 : 65477/21396 : 1)
** u= -176/185 ; tau(u)= 546/361 ; -229666*x^2 + 37474*y^2 + 329092*x*z - 229666*z^2
  (20082/46969 : 87799/46969 : 1)  C2b (71600376/43416749 : 9255371/43416749 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (-5740352/1418353 : 1135203/1418353 : 1)
** u= 177/64 ; tau(u)= 49/113 ; 5791*x^2 - 23137*y^2 + 33730*x*z + 5791*z^2
  (1843/243 : -1232/243 : 1)  C1a (-545459/299160 : -8393/59832 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-198959/107623 : -27207/107623 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (45684212/224121 : -3374459/224121 : 1)
** u= 185/68 ; tau(u)= 49/117 ; 6847*x^2 - 24977*y^2 + 36626*x*z + 6847*z^2
  (-3907/23965 : -4932/23965 : 1)  C1a (4041456/566063 : -306113/566063 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (-1648/42015 : -623/8403 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (5599613/484968 : 408323/484968 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (102627/71549 : 25871/71549 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (196637528/11428329 : 42701557/11428329 : 1)
** u= 188/193 ; tau(u)= 198/5 ; 35294*x^2 + 39154*y^2 + 74548*x*z + 35294*z^2
  (-5918/7661 : -1359/7661 : 1)  C1b (-152234732/47536769 : -11363459/47536769 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (-950672/382399 : -79483/382399 : 1)
** u= 198/5 ; tau(u)= 188/193 ; -35294*x^2 - 39154*y^2 + 74548*x*z - 35294*z^2
  (1048/945 : 43/135 : 1)  C1a (2837/14996 : 1157/14996 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (813468/80521 : 59947/80521 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-13341639/7660492 : -999889/7660492 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (408264/19865 : -26633/3973 : 1)
209
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。


[2025.11.29追記] u=-115/157, -176/185, -187/169のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2025.11.29
H.Nakao

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