Integer Points on A^4+B^4+C^4=28322*D^4
[2025.11.30]A^4+B^4+C^4=28322*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
28322=2*119^2であるので、以下では、n=119とする。
■n=137のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=119;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように79個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(119,1,200);
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
(1/7 : 8/7 : 1) C2b (-7058/44115 : -5233/44115 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
(17377/26853 : 1598/26853 : 1) C1b (35890/69023 : -92335/1173391 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
(401/2841 : 2668/2841 : 1) C2b (-474857/18922 : -46353/18922 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
(2476/6541 : 58391/111197 : 1) C1b (22307/11553 : -29849/196401 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
(78991/110195 : -13128/110195 : 1) C1b (-14523877993/5724260650 : -1615059959/5724260650 : 1)
** u= -11/185 ; tau(u)= 381/196 ; -76711*x^2 + 68329*y^2 + 145282*x*z - 76711*z^2
(9693/18391 : -10304/18391 : 1) C2b (2379830/272723 : 212457/272723 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
(3036/1153 : -455/1153 : 1) C1b (-5942/3461 : 10989/58837 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
(285/691 : 658/691 : 1) C2b (2333645670/503168173 : 228075331/503168173 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
(3/4 : 7/4 : 1) C2b (13583/13810 : 2067/13810 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
(548/2247 : 2599/2247 : 1) C2b (-117317570/37997123 : 16595765/37997123 : 1)
** u= 28/125 ; tau(u)= 222/97 ; -18034*x^2 + 30466*y^2 + 50068*x*z - 18034*z^2
(-6393/130342 : 107005/130342 : 1) C1b (-717746/76115 : 62201/76115 : 1)
** u= 28/173 ; tau(u)= 318/145 ; -41266*x^2 + 59074*y^2 + 101908*x*z - 41266*z^2
(42387/95936 : 25871/95936 : 1) C1b (-36399299/22640434 : -4261017/22640434 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
(17477/67823 : -5976/67823 : 1) C1b (33970319/53361878 : 4438823/53361878 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
(-363/2653 : -3562/2653 : 1) C2b (-6227953/2288866 : 793809/2288866 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
(99583/15937 : 128916/15937 : 1) C2b (171179/132695 : 15847/132695 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
(-911/573 : 574/573 : 1) C1b (4135/2843 : -7623/48331 : 1)
** u= 40/89 ; tau(u)= 138/49 ; -3202*x^2 + 14242*y^2 + 20644*x*z - 3202*z^2
(2407/379 : 112/379 : 1) C1b (-327209/115930 : 28383/115930 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
(3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1) C1b (-1337082/818819 : 2487233/13919923 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
(-3998/253 : 3185/253 : 1) C1b (1734275/697649 : -134577/697649 : 1)
** u= 49/53 ; tau(u)= 57/4 ; 2369*x^2 + 3217*y^2 + 5650*x*z + 2369*z^2
(-3209/4701 : 1624/4701 : 1) C1b (27950/31091 : -4275/31091 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
(-1/2 : 55/2 : 1) C2b (171/230 : -839/782 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
(78/241 : 935/9881 : 1) C1b (-4033/1566 : -267541/1091502 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
(7499/8195 : -21882/8195 : 1) C2b (56950/30369 : 198227/516273 : 1)
** u= -56/45 ; tau(u)= 146/101 ; -17266*x^2 + 914*y^2 + 24452*x*z - 17266*z^2
(1483/8986 : -34791/8986 : 1) C2b (3325025/695798 : 964313/695798 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
(4/7 : -11/7 : 1) C2b (-292854/80515 : 61049/80515 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
(-141/1795 : -1012/1795 : 1) C1b (2318/3405 : -299/3405 : 1)
** u= 56/157 ; tau(u)= 258/101 ; -17266*x^2 + 46162*y^2 + 69700*x*z - 17266*z^2
(11651/54251 : -14044/54251 : 1) C1b (-126178061/21695825 : 2122213/4339165 : 1)
** u= 57/4 ; tau(u)= 49/53 ; -2369*x^2 - 3217*y^2 + 5650*x*z - 2369*z^2
(457/477 : -248/477 : 1) C1a (53387/13114 : 4239/13114 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
(-957/5627 : 6280/5627 : 1) C1a (-8482575/3061934 : 758351/3061934 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
(-21933/71317 : 53012/71317 : 1) C1b (539282/182701 : 43011/182701 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
(1025/347 : 266/347 : 1) C1a (7081775/640334 : -9442809/10885678 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
(24/815 : -3269/815 : 1) C2b (12815/11446 : -2967/11446 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
(512045/261178 : -964513/261178 : 1) C2b (-31897/10630 : -136473/180710 : 1)
** u= 71/169 ; tau(u)= 267/98 ; -14167*x^2 + 52081*y^2 + 76330*x*z - 14167*z^2
(-58073/2031807 : 1138774/2031807 : 1) C1b (8635/21743 : 1715/21743 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
(-461/1401 : 2800/1401 : 1) C1a (-5678/2965 : 813/2965 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
(894/5539 : -211183/127397 : 1) C2b (-134/1165 : 72303/455515 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
(-14779/36579 : 21064/36579 : 1) C1b (2090/4737 : 7235/80529 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
(-31203/472877 : -858490/472877 : 1) C2b (-1013/2047 : -387/2047 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
(-2803/10199 : -4638/10199 : 1) C1b (811/3841 : -5309/65297 : 1)
** u= 83/157 ; tau(u)= 231/74 ; -4063*x^2 + 42409*y^2 + 60250*x*z - 4063*z^2
(-161373/159143 : 203486/159143 : 1) C1b (50/191 : 15/191 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
(-4968/6581 : -55327/6581 : 1) C2b (-43/1810 : -69/170 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
(-1068/5543 : -1529/5543 : 1) C1b (-257258/450335 : -7587/90067 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
(-1679/76 : 1169/76 : 1) C1a (442678/35521 : 639477/603857 : 1)
** u= -113/185 ; tau(u)= 483/298 ; -164839*x^2 + 55681*y^2 + 246058*x*z - 164839*z^2
(5117/8441 : 9878/8441 : 1) C2b (98243/2481055 : -329257/2481055 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
(29/153 : -14/9 : 1) C1a (-19489294/6969265 : -1786023/6969265 : 1)
** u= -124/169 ; tau(u)= 462/293 ; -156322*x^2 + 41746*y^2 + 228820*x*z - 156322*z^2
(278/57807 : -111469/57807 : 1) C2b (11081314/4702017 : -1302931/4702017 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
(-211/1076 : 18453/1076 : 1) C1a (-358/711 : -13477/12087 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
(-37/4267 : -2556/4267 : 1) C1a (-11258726/26599095 : -417283/5319819 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
(-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1) C2b (-29909867/174505 : 5106249/174505 : 1)
** u= 138/49 ; tau(u)= 40/89 ; 3202*x^2 - 14242*y^2 + 20644*x*z + 3202*z^2
(-411/33518 : -15253/33518 : 1) C1a (20807/16270 : 2211/16270 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
(-4093/6606 : -3679/6606 : 1) C1b (-8345879/3909435 : -654497/3909435 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
(683/163 : 232/163 : 1) C1a (-881746/266893 : 1271199/4537181 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
(991/8201 : -32466/8201 : 1) C1a (-3009/1109 : 11267/18853 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
(-13/11 : -2/11 : 1) C1b (-9261510/1517539 : -780251/1517539 : 1)
** u= 146/101 ; tau(u)= -56/45 ; 17266*x^2 - 914*y^2 + 24452*x*z + 17266*z^2
(-1255/1123 : -3984/1123 : 1) C1a (3771/6814 : 3301/6814 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
(13/11 : -2/11 : 1) C1a (-472243/15303 : -43403/15303 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
(-3373/4375 : -49776/4375 : 1) C2b (2297/2550 : -1001/2550 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
(1703/13168 : 1191/13168 : 1) C1a (345/6341 : 8329/107797 : 1)
** u= 157/173 ; tau(u)= 189/16 ; 24137*x^2 + 35209*y^2 + 60370*x*z + 24137*z^2
(-35083/70171 : 1320/70171 : 1) C1b (-2700506/366855 : -43727/73371 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
(2757/18968 : -1991/18968 : 1) C1a (246954641/12455078 : -19107063/12455078 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
(219/964 : -4627/964 : 1) C1a (275662/249673 : 153339/249673 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
(-717/10423 : -928/10423 : 1) C1a (8402246/292637 : -651537/292637 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
(15/11 : -26/11 : 1) C2b (79294/225665 : -34593/225665 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
(12/7 : 19/7 : 1) C2b (-84418/18409 : -290877/312953 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
(65479/50449 : 109194/50449 : 1) C1a (-1909/13017 : 18401/221289 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
(-1546/1179 : 1333/1179 : 1) C1a (-138690/90169 : 12365/90169 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
(2120/8643 : 26543/8643 : 1) C1a (-4330/821 : 12951/13957 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
(-939/48635 : 20372/48635 : 1) C1a (-2986/579 : -3919/9843 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
(-26113/330661 : -692824/330661 : 1) C1a (-210190/199113 : -27757/199113 : 1)
** u= 189/16 ; tau(u)= 157/173 ; -24137*x^2 - 35209*y^2 + 60370*x*z - 24137*z^2
(20921/33569 : 11472/33569 : 1) C1a (11112574/2830945 : -175061/566189 : 1)
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
(43931/5704 : 120687/5704 : 1) C2b (2732413798/621864291 : 544304389/621864291 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
(83809/260225 : 484524/260225 : 1) C1a (-17586/9845 : -1613/9845 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
(86162/186149 : -71019/186149 : 1) C1a (3970/3691 : -367/3691 : 1)
73
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
- u=56/157のとき
24258321330732962355999686867846^4+27118524650354270173210889778205^4+110405582064650932468485560587553^4=28322*8523272615206458085091781325017^4
9647379818361288889085270245772321383016256340842342797637163422535900778430365420347192952528822001272306939407267888970184616982704566156188344433389085220555681263640724470784500878693942613589762850704401195461206579365439557160462731577268117662431749969325709979780051703579849288706^4+44973728843547588170325768703352641598672607620435011413023989769964025243651648568687480814253478081389573261426335856812454710585686564219653231831042128953048277085640811899724414821322455172660110325032831221052964499480780399947955812131318709257323467179822469790229023158856441572235^4+55984699347295060844379097792623787093195586685423932167164159141660318659174144015833372016246141353764860642842285585197691576693502600827298263474529838698839020510401944231872678510533636014289007367518888109182682036515918007627122814682677749952957286051631099838102332541371445130817^4=28322*4708752981758889317355852083067980648276578037832281620115330729335828742157255988702435789520332909265974242219997373129469941904595242068738606422591602237976660236330213924791770654166581523730983836260909428283931419313256664649817817948643484300766933493629825826771282985607706037213^4
...
- u=-133/157のとき
30287965481668073^4+434289126261707635^4+996472927107738074^4=28322*77496631489680909^4
176303479836349941340768418538052164509623075560035941601835361313979074455289677927574164940429916324598424117303732749930638805989793540987380494406496168242239^4+290637449724426208734698092536762445329098042866584282557343985813567948789080179717306861654916470930674496521445402619697544793301117197266031065349736185174915^4+444571414939217823138387119204384359923159196189491926864724587305822772517189992642312967164975043283327880164104590871854045652030261947523564716554027439960942^4=28322*35922999906457150855550817099874217912352697323252513541607719120741002961575534244783143103140292108423662129593447917404737454550325340842791619013790129542983^4
466170490995762862079740474958387910873931679243583182421603562793665548941879964850476301761890910262837282476560095973321926895952489188701337691735434343301419189741514298121072174447557773178373283315405261399075771050151495063055057287405968797892648694400319534081985468549619009536088542526472791563053949107899535932699381559468509235164184448452844899358879433868511926903842528890896084655874358839242747950200450785686716718838889449563521^4+531327516635041708917419468102967299717913303119616730931133427520233598226903246079635438288226847840686823411488451103381137026755161644096998817197658262922113619733395919587709155262015404639743309916136607907016084845046062645135554923049683478038698900708270154351948659639832213344238597096339745579755166581415251499296218876309179150552515768913408773229291961987776385236626696374255110338455267894207796501242049857711639059182141188492125^4+821408681675490428151958926606779022019611582078947432276372519726310935209912988509457834326578386529066010477250626044704673493761423330012438507340230733811252630523552276611765133357191281302350400453608036386261695140168290013564784518779364160099265914328048210104882567551116952119148961300721032142530797124711709531465986506684256563984564845777443736399322805645633820849278047288496682258516654541118877321617727409900879501217831196921742^4=28322*67333275230721982994694028249228977660529224333758450823410568871334015945639359265539632539136347146316443446566343435592899506155890685466132845304685801834041906929358970475780349149363402419149400703859328578630037172305766950816028625107711659710013719593574823637505235097879850465045241115766168826878236056232951546069233251547918245596875499551678394462830008109416868875977401222496191727739325895827202933385818677040638630886310798634423^4
...
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2025.11.30 |
| H.Nakao |