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Integer Points on A^4+B^4+C^4=2052338*D^4

[2025.12.06]A^4+B^4+C^4=2052338*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

2052338=2*1013^2であるので、以下では、n=1013とする。

■n=1013のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=1013;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように210個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(1013,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (216/49 : 13/49 : 1)
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (-547/292 : 143/2044 : 1)
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (14635163/1811404 : -430711/1811404 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-168/17 : -11/17 : 1)
** u= -3/101 ; tau(u)= 205/104 ; -21623*x^2 + 20393*y^2 + 42034*x*z - 21623*z^2
  (20951/17421 : 5908/17421 : 1)  C2b (2493049/278684 : 75333/278684 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-3944/2803 : 139/2803 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (-1543/8688 : -401/8688 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (-488/1727 : 409/12089 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (-7808/14807 : -671/14807 : 1)
** u= 4/45 ; tau(u)= 86/41 ; -3346*x^2 + 4034*y^2 + 7412*x*z - 3346*z^2
  (-2650/11177 : 12801/11177 : 1)  C1b (-235031/8632 : 7199/8632 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (692904/99821 : -19789/99821 : 1)
** u= 4/117 ; tau(u)= 230/113 ; -25522*x^2 + 27362*y^2 + 52916*x*z - 25522*z^2
  (-200161/74654 : 267333/74654 : 1)  C1b (477781/442993 : 14503/442993 : 1)
** u= -4/145 ; tau(u)= 294/149 ; -44386*x^2 + 42034*y^2 + 86452*x*z - 44386*z^2
  (100312/80239 : -29491/80239 : 1)  C2b (-602067/302161 : 25501/302161 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (-33188/95689 : -3357/95689 : 1)
** u= -5/117 ; tau(u)= 239/122 ; -29743*x^2 + 27353*y^2 + 57146*x*z - 29743*z^2
  (-45383/464953 : 530466/464953 : 1)  C2b (5716759832/762185051 : 172112729/762185051 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (25455589/9858256 : 691307/9858256 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (4/63 : 13/441 : 1)
** u= 8/45 ; tau(u)= 82/37 ; -2674*x^2 + 3986*y^2 + 6788*x*z - 2674*z^2
  (1091/227423 : -26448/32489 : 1)  C1b (-268/183 : -11/183 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
  (2402/7199 : 243/313 : 1)  C2b (330199/781003 : -21899/781003 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-155317/374876 : 15603/374876 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (4/63 : 13/441 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (-547/292 : 143/2044 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (230592/106369 : -6161/106369 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (8341788/289421 : 270233/289421 : 1)
** u= -11/185 ; tau(u)= 381/196 ; -76711*x^2 + 68329*y^2 + 145282*x*z - 76711*z^2
  (9693/18391 : -10304/18391 : 1)  C2b (-64684/2365649 : 77763/2365649 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (-4944304/3505861 : 282327/3505861 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
  (-1103/1008 : 2285/1008 : 1)  C2b (2991152/713299 : -88641/713299 : 1)
** u= 13/29 ; tau(u)= 45/16 ; -343*x^2 + 1513*y^2 + 2194*x*z - 343*z^2
  (47/297 : 16/297 : 1)  C1b (158211/19481 : 4183/19481 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-63292/114411 : -4199/114411 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-5593/9648 : 277/9648 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (1034564/721627 : -205119/5051389 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (-4291/983 : -3537/30473 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (163725528/102180493 : 4687081/102180493 : 1)
** u= 17/145 ; tau(u)= 273/128 ; -32479*x^2 + 41761*y^2 + 74818*x*z - 32479*z^2
  (-1/17 : -16/17 : 1)  C1b (1407727076/43775029 : 41313203/43775029 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-2400076/618241 : -111907/618241 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (24512/41983 : -1553/41983 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (-1535272/109669 : -63041/109669 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (438035/194377 : 12705/194377 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (-4634643176/2259820247 : 209757741/2259820247 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (-23733167/846548 : -711681/846548 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-13144/10399 : -421/10399 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
  (8223/10453 : 6556/10453 : 1)  C2b (-22572476/3581279 : -67103/275483 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (-13589/34004 : 2967/34004 : 1)
** u= -25/81 ; tau(u)= 187/106 ; -21847*x^2 + 12497*y^2 + 35594*x*z - 21847*z^2
  (19367/7091 : 2682/1013 : 1)  C2b (1066519/1557928 : 46301/1557928 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (952744/202933 : -32319/202933 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (121816/167843 : 6509/167843 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (393048/59777 : -10661/59777 : 1)
** u= 28/125 ; tau(u)= 222/97 ; -18034*x^2 + 30466*y^2 + 50068*x*z - 18034*z^2
  (-6393/130342 : 107005/130342 : 1)  C1b (-2021961/1280987 : -78491/1280987 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (-292427772/6339911 : -8172097/6339911 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-1240397/2439276 : 86339/2439276 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (2469/1408 : 67/1408 : 1)
** u= 32/45 ; tau(u)= 58/13 ; 686*x^2 + 3026*y^2 + 4388*x*z + 686*z^2
  (-167/1030 : -51/1030 : 1)  C1b (34565299047/1344870443 : -931042979/1344870443 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (-1482747/348508 : 39629/348508 : 1)
** u= -32/137 ; tau(u)= 306/169 ; -56098*x^2 + 36514*y^2 + 94660*x*z - 56098*z^2
  (4799/10879 : -9048/10879 : 1)  C2b (-17280676972/3051421183 : -688474903/3051421183 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (71/211 : -177/6541 : 1)
** u= 33/41 ; tau(u)= 49/8 ; 961*x^2 + 2273*y^2 + 3490*x*z + 961*z^2
  (-8707/29007 : 28/29007 : 1)  C1b (587092/245285 : -3831/49057 : 1)
** u= 37/41 ; tau(u)= 45/4 ; 1337*x^2 + 1993*y^2 + 3394*x*z + 1337*z^2
  (-1579/835 : -324/835 : 1)  C1b (-116316/193723 : -5291/193723 : 1)
** u= -37/61 ; tau(u)= 159/98 ; -17839*x^2 + 6073*y^2 + 26650*x*z - 17839*z^2
  (10401/44129 : 63434/44129 : 1)  C2b (39061600/2903403 : -1730395/2903403 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (145831/2237 : -4017/2237 : 1)
** u= 39/145 ; tau(u)= 251/106 ; -20951*x^2 + 40529*y^2 + 64522*x*z - 20951*z^2
  (9939/87403 : -51158/87403 : 1)  C1b (4999936/4552613 : 155931/4552613 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-350948/224903 : 9647/224903 : 1)
** u= 40/89 ; tau(u)= 138/49 ; -3202*x^2 + 14242*y^2 + 20644*x*z - 3202*z^2
  (2407/379 : 112/379 : 1)  C1b (-2811/18692 : 517/18692 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (2786108/101409 : -104381/101409 : 1)
** u= 40/149 ; tau(u)= 258/109 ; -22162*x^2 + 42802*y^2 + 68164*x*z - 22162*z^2
  (-23794/43623 : -54143/43623 : 1)  C1b (12176513/8514036 : -347183/8514036 : 1)
** u= -41/81 ; tau(u)= 203/122 ; -28087*x^2 + 11441*y^2 + 42890*x*z - 28087*z^2
  (-8597/367 : -13914/367 : 1)  C2b (13455889/2513616 : 514537/2513616 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-2677/51817 : 1483/51817 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (-69077/309252 : 9601/309252 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (223268/169841 : -6341/169841 : 1)
** u= 44/181 ; tau(u)= 318/137 ; -35602*x^2 + 63586*y^2 + 103060*x*z - 35602*z^2
  (324/101 : -107/101 : 1)  C1b (-7851072/1377277 : 238339/1377277 : 1)
** u= 45/4 ; tau(u)= 37/41 ; -1337*x^2 - 1993*y^2 + 3394*x*z - 1337*z^2
  (749/433 : -224/433 : 1)  C1a (-268/183 : -11/183 : 1)
** u= 45/16 ; tau(u)= 13/29 ; 343*x^2 - 1513*y^2 + 2194*x*z + 343*z^2
  (-49/2279 : -1008/2279 : 1)  C1a (34565299047/1344870443 : -931042979/1344870443 : 1)
** u= -47/113 ; tau(u)= 273/160 ; -48991*x^2 + 23329*y^2 + 76738*x*z - 48991*z^2
  (-30319/38615 : -94408/38615 : 1)  C2b (37097/116347 : -3907/116347 : 1)
** u= -47/149 ; tau(u)= 345/196 ; -74623*x^2 + 42193*y^2 + 121234*x*z - 74623*z^2
  (-9211/28139 : 47908/28139 : 1)  C2b (1218484/2717503 : -82449/2717503 : 1)
** u= -48/41 ; tau(u)= 130/89 ; -13538*x^2 + 1058*y^2 + 19204*x*z - 13538*z^2
  (7/5 : 406/115 : 1)  C2b (1033/2636 : 4449/60628 : 1)
** u= -48/185 ; tau(u)= 418/233 ; -106274*x^2 + 66146*y^2 + 177028*x*z - 106274*z^2
  (-24740/465767 : 616741/465767 : 1)  C2b (-679208228/1966241 : -24729063/1966241 : 1)
** u= 49/8 ; tau(u)= 33/41 ; -961*x^2 - 2273*y^2 + 3490*x*z - 961*z^2
  (3021/9041 : -1876/9041 : 1)  C1a (821387/862340 : 5583/172468 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (3362579/294508 : 88933/294508 : 1)
** u= -49/121 ; tau(u)= 291/170 ; -55399*x^2 + 26881*y^2 + 87082*x*z - 55399*z^2
  (-3889/33291 : 52294/33291 : 1)  C2b (-140545423/207462819 : 12638299/207462819 : 1)
** u= 49/149 ; tau(u)= 249/100 ; -17599*x^2 + 42001*y^2 + 64402*x*z - 17599*z^2
  (-91869/133069 : -172340/133069 : 1)  C1b (1123893/1384703 : 41993/1384703 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (1035721/1464068 : 48237/1464068 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (48403/73844 : -15417/516908 : 1)
** u= -52/45 ; tau(u)= 142/97 ; -16114*x^2 + 1346*y^2 + 22868*x*z - 16114*z^2
  (-1711/3560 : 17037/3560 : 1)  C2b (33703/16179 : -2297/16179 : 1)
** u= 52/101 ; tau(u)= 150/49 ; -2098*x^2 + 17698*y^2 + 25204*x*z - 2098*z^2
  (34261/1283440 : -364399/1283440 : 1)  C1b (-1769413/2510352 : -84559/2510352 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (30810344/135064313 : -11101643/135064313 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (35387/3089 : 7591/21623 : 1)
** u= -55/157 ; tau(u)= 369/212 ; -86863*x^2 + 46273*y^2 + 139186*x*z - 86863*z^2
  (5959/6065 : -5196/6065 : 1)  C2b (-2640420236/8827432787 : 411379867/8827432787 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (232604/9601 : -49723/9601 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (9869268/53429 : -582077/53429 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (-33761284/7834187 : -896653/7834187 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (-89251/27756 : -2537/27756 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
  (-141/1795 : -1012/1795 : 1)  C1b (-696356/1013833 : 34917/1013833 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (4173487/267797 : -110271/267797 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (-227923/1338367 : 60213/1338367 : 1)
** u= 58/13 ; tau(u)= 32/45 ; -686*x^2 - 3026*y^2 + 4388*x*z - 686*z^2
  (13/53 : 18/53 : 1)  C1a (158211/19481 : 4183/19481 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-24381584/1897309 : -684411/1897309 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
  (-11329/30921 : 67384/30921 : 1)  C2b (7765457/6748627 : 274187/6748627 : 1)
** u= -59/185 ; tau(u)= 429/244 ; -115591*x^2 + 64969*y^2 + 187522*x*z - 115591*z^2
  (6609/16291 : 15464/16291 : 1)  C2b (1867764/8103907 : -268229/8103907 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (-139867/66889 : 20901/66889 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (-2942383/811731 : -153571/811731 : 1)
** u= -65/113 ; tau(u)= 291/178 ; -59143*x^2 + 21313*y^2 + 88906*x*z - 59143*z^2
  (337/2061 : -3034/2061 : 1)  C2b (-2003144/100423 : -93987/100423 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (8253497/1631187 : 219503/1631187 : 1)
** u= -67/49 ; tau(u)= 165/116 ; -22423*x^2 + 313*y^2 + 31714*x*z - 22423*z^2
  (1315/5949 : 43204/5949 : 1)  C2b (-617483/104559 : -155503/104559 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (-1863119/1521412 : 128037/1521412 : 1)
** u= -67/193 ; tau(u)= 453/260 ; -130711*x^2 + 70009*y^2 + 209698*x*z - 130711*z^2
  (13263/12473 : 11108/12473 : 1)  C2b (-2342718743/158126732 : -93988583/158126732 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
  (-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1)  C2b (584144/477651 : 20533/477651 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (-11780603/6049 : -521769/6049 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (-852/11279 : 323/11279 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (114052/120031 : 14361/120031 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (37245/5089 : 2195/5089 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (-898259/514017 : 71269/514017 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (216375461/11482336 : 5717443/11482336 : 1)
** u= -76/181 ; tau(u)= 438/257 ; -126322*x^2 + 59746*y^2 + 197620*x*z - 126322*z^2
  (20292/3083 : -26149/3083 : 1)  C2b (-3442811/161841 : -143377/161841 : 1)
** u= 76/197 ; tau(u)= 318/121 ; -23506*x^2 + 71842*y^2 + 106900*x*z - 23506*z^2
  (-81883/626328 : 454817/626328 : 1)  C1b (-28404371/3144400 : 158577/628880 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (-282972/497761 : 13819/497761 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (910212/310115 : 5371/62023 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (52008/216653 : 9017/216653 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
  (-31203/472877 : -858490/472877 : 1)  C2b (-150721/340328 : -21357/340328 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (-59048/28547 : -1647/28547 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (1278064/159193 : 69503/159193 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (-12727331/2439887 : 930941/2439887 : 1)
** u= 82/37 ; tau(u)= 8/45 ; 2674*x^2 - 3986*y^2 + 6788*x*z + 2674*z^2
  (-593/3074 : 1863/3074 : 1)  C1a (-116316/193723 : -5291/193723 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (6263872/894011 : -206923/894011 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (-2594979/3330599 : 120449/3330599 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
  (-3779/9222 : -163/9222 : 1)  C1b (220027/41879 : -6747/41879 : 1)
** u= 84/169 ; tau(u)= 254/85 ; -7394*x^2 + 50066*y^2 + 71572*x*z - 7394*z^2
  (-50334/1786943 : -774943/1786943 : 1)  C1b (35321392/256829 : -937569/256829 : 1)
** u= 86/41 ; tau(u)= 4/45 ; 3346*x^2 - 4034*y^2 + 7412*x*z + 3346*z^2
  (-3944/6971 : -1641/6971 : 1)  C1a (2177944/454503 : 72799/454503 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-312809/215763 : 14033/215763 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (1811844/976009 : 106193/976009 : 1)
** u= 88/101 ; tau(u)= 114/13 ; 7406*x^2 + 12658*y^2 + 20740*x*z + 7406*z^2
  (-1377/2188 : 1013/2188 : 1)  C1b (36460/18777 : 1325/18777 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (4764676/768277 : -127629/768277 : 1)
** u= -89/153 ; tau(u)= 395/242 ; -109207*x^2 + 38897*y^2 + 163946*x*z - 109207*z^2
  (34745/21773 : 39138/21773 : 1)  C2b (-10872/803 : -521/803 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (53749/95348 : 3519/95348 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-1169551/1476035 : -8913/295207 : 1)
** u= -95/113 ; tau(u)= 321/208 ; -77503*x^2 + 16513*y^2 + 112066*x*z - 77503*z^2
  (-1465/25793 : -407504/180551 : 1)  C2b (-5249276/3053097 : 3113071/21371679 : 1)
** u= -95/137 ; tau(u)= 369/232 ; -98623*x^2 + 28513*y^2 + 145186*x*z - 98623*z^2
  (-135587/1142951 : 2317572/1142951 : 1)  C2b (-4111161/1357036 : 257209/1357036 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (-93002277/7290601 : 2500363/7290601 : 1)
** u= -96/85 ; tau(u)= 266/181 ; -56306*x^2 + 5234*y^2 + 79972*x*z - 56306*z^2
  (2859/2033 : 6602/2033 : 1)  C2b (-32885329/123124 : 2863383/123124 : 1)
** u= -96/97 ; tau(u)= 290/193 ; -65282*x^2 + 9602*y^2 + 93316*x*z - 65282*z^2
  (107/355 : -752/355 : 1)  C2b (196237/159884 : -9837/159884 : 1)
** u= 96/149 ; tau(u)= 202/53 ; 3598*x^2 + 35186*y^2 + 50020*x*z + 3598*z^2
  (-27331/370237 : -2440/52891 : 1)  C1b (-3343769/1119251 : -91359/1119251 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-3359292/746123 : 89969/746123 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (989288/1374013 : 61467/1374013 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (-207768/652999 : -28313/652999 : 1)
** u= 103/153 ; tau(u)= 203/50 ; 5609*x^2 + 36209*y^2 + 51818*x*z + 5609*z^2
  (-193/1739 : -78/1739 : 1)  C1b (163469371/79741401 : -5035901/79741401 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (4633788/109171 : -334261/109171 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (150191028/15572117 : 4930819/15572117 : 1)
** u= -105/97 ; tau(u)= 299/202 ; -70583*x^2 + 7793*y^2 + 100426*x*z - 70583*z^2
  (43361/255877 : 683414/255877 : 1)  C2b (275641/196019 : 15639/196019 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (-20907923/3958268 : 580597/3958268 : 1)
** u= 109/173 ; tau(u)= 237/64 ; 3689*x^2 + 47977*y^2 + 68050*x*z + 3689*z^2
  (-241109/1363189 : 564656/1363189 : 1)  C1b (2192707/508993 : -60267/508993 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
  (405/914 : 179/914 : 1)  C1a (-4856944/379367 : -141837/379367 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (-377631/18248 : -10741/18248 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-18515543/915956 : 489347/915956 : 1)
** u= 114/13 ; tau(u)= 88/101 ; -7406*x^2 - 12658*y^2 + 20740*x*z - 7406*z^2
  (1479/656 : -241/656 : 1)  C1a (227380/292249 : 8515/292249 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b (38990296/7403067 : -1297013/7403067 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (2142023/37211 : 58453/37211 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-581644/479559 : -18341/479559 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (182702029/10751800 : 969891/2150360 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (1186552/73213 : -87307/73213 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a (-27304/870383 : 26713/870383 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (32761/59811 : 3311/59811 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (7546633/5545139 : -263857/5545139 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-649351/467893 : 20739/467893 : 1)
** u= 130/89 ; tau(u)= -48/41 ; 13538*x^2 - 1058*y^2 + 19204*x*z + 13538*z^2
  (-209/159 : -12154/3657 : 1)  C1a (-7652/4087 : -12153/94001 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
  (-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1)  C2b (1325324/5354213 : 223119/5354213 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (5730784/815327 : 186789/815327 : 1)
** u= 132/173 ; tau(u)= 214/41 ; 14062*x^2 + 42434*y^2 + 63220*x*z + 14062*z^2
  (-1691/6068 : -10235/42476 : 1)  C1b (-182312/962357 : -178203/6736499 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (38956/461331 : -12719/461331 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (76073/115403 : 4629/115403 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (26803/390836 : 11419/390836 : 1)
** u= 138/49 ; tau(u)= 40/89 ; 3202*x^2 - 14242*y^2 + 20644*x*z + 3202*z^2
  (-411/33518 : -15253/33518 : 1)  C1a (245161396/95321 : 6557979/95321 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (67695/32644 : 20615/32644 : 1)
** u= -140/137 ; tau(u)= 414/277 ; -133858*x^2 + 17938*y^2 + 190996*x*z - 133858*z^2
  (3164/14377 : 33657/14377 : 1)  C2b (-144939407/37291461 : 12551023/37291461 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (92348444312/228779559 : -5980176433/228779559 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (295345/48724 : 7805/48724 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (7120432/642811 : 207951/642811 : 1)
** u= 142/97 ; tau(u)= -52/45 ; 16114*x^2 - 1346*y^2 + 22868*x*z + 16114*z^2
  (1711/3560 : -17037/3560 : 1)  C1a (-96784/195841 : -13273/195841 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-158157/203111 : 13927/203111 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (-99682576/1436027343 : -43100257/1436027343 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (154469/158952 : -4927/158952 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-1157209/2290117 : 62211/2290117 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (-18528235/6615263 : -491625/6615263 : 1)
** u= 150/49 ; tau(u)= 52/101 ; 2098*x^2 - 17698*y^2 + 25204*x*z + 2098*z^2
  (244/111 : -217/111 : 1)  C1a (581344/1176201 : -35917/1176201 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (7511896/183193 : 827679/183193 : 1)
** u= 159/98 ; tau(u)= -37/61 ; 17839*x^2 - 6073*y^2 + 26650*x*z + 17839*z^2
  (7921/128279 : -230174/128279 : 1)  C1a (-5808248/297767 : -261243/297767 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (272932516/2015057 : 16381413/2015057 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-1949363/755020 : -10797/151004 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b (-81300/113653 : -3185/113653 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (-412593/33932 : -10901/33932 : 1)
** u= -164/149 ; tau(u)= 462/313 ; -169042*x^2 + 17506*y^2 + 240340*x*z - 169042*z^2
  (5351/4928 : -12205/4928 : 1)  C2b (-96284632/5042255 : 1644657/1008451 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (1321601/355868 : -35441/355868 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (524054237/4201124 : -14582851/4201124 : 1)
** u= 165/116 ; tau(u)= -67/49 ; 22423*x^2 - 313*y^2 + 31714*x*z + 22423*z^2
  (-579/6025 : -47656/6025 : 1)  C1a (-166201/90707 : -26959/90707 : 1)
** u= -165/149 ; tau(u)= 463/314 ; -169967*x^2 + 17177*y^2 + 241594*x*z - 169967*z^2
  (44621/15157 : -111634/15157 : 1)  C2b (-143622568/170162983 : 24144147/170162983 : 1)
** u= -168/169 ; tau(u)= 506/337 ; -198914*x^2 + 28898*y^2 + 284260*x*z - 198914*z^2
  (-20967/7568 : -70577/7568 : 1)  C2b (-4892/18647 : -1557/18647 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (2105826211/7572983 : -64491759/7572983 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (-268444/88933 : 7179/88933 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
  (439/2441 : -3132/2441 : 1)  C1a (-3676996/4009177 : -121721/4009177 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a (-13088500/595079 : -402275/595079 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (4142676/413489 : -114209/413489 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (-271342732/1956929 : 8324211/1956929 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-1608136/772461 : 46367/772461 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (-622541/260847 : 118813/1825929 : 1)
** u= 184/197 ; tau(u)= 210/13 ; 33518*x^2 + 43762*y^2 + 77956*x*z + 33518*z^2
  (-68857/119615 : -9052/119615 : 1)  C1b (164627/252364 : 10547/252364 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (205845564/99819757 : 39140749/698738299 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
  (-939/48635 : 20372/48635 : 1)  C1a (-152954737/177610012 : -5803773/177610012 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (-595188/526121 : -26281/526121 : 1)
** u= 187/106 ; tau(u)= -25/81 ; 21847*x^2 - 12497*y^2 + 35594*x*z + 21847*z^2
  (-2281/1021 : -2070/1021 : 1)  C1a (-1222517/15944 : 45473/15944 : 1)
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b (-28205616/1586453 : 826277/1586453 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (82604/419787 : -12727/419787 : 1)
** u= -196/193 ; tau(u)= 582/389 ; -264226*x^2 + 36082*y^2 + 377140*x*z - 264226*z^2
  (61667/654798 : 1656977/654798 : 1)  C2b (63552/75463 : 3943/75463 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (-23809/37701 : 1159/37701 : 1)
210
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2025.12.07追記] u=8/9のときの整点を追加した。
[2025.12.08追記] u=40/149,-55/157のときの整点を追加した。
[2025.12.09追記] u=-68/113,76/137のときの整点を追加した。
[2025.12.10追記] u=76/197のときの整点を追加した。
[2025.12.11追記] u=161/169,184/197のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2025.12.11
H.Nakao

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