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Integer Points on A^4+B^4+C^4=2004002*D^4

[2026.01.15]A^4+B^4+C^4=2004002*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

2004002=2*1001^2であるので、以下では、n=1001とする。

■n=1001のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=1001;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように98個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(1001,1,200);
** u= 3/61 ; tau(u)= 119/58 ; -6719*x^2 + 7433*y^2 + 14170*x*z - 6719*z^2
  (-49/279 : 314/279 : 1)  C1b (-19951/27508 : 1263/27508 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (19452/52505 : 1427/52505 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-22049/101481 : -2959/101481 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (10315/237 : 299/237 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (21487/42033 : 1139/42033 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-537359/266240 : 4613/53248 : 1)
** u= -8/17 ; tau(u)= 42/25 ; -1186*x^2 + 514*y^2 + 1828*x*z - 1186*z^2
  (4 : -5 : 1)  C2b (-120369/75599 : -7541/75599 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (-4927/2697 : 241/2697 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (-230815/23896 : 7531/23896 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-29572/12445 : -159/2489 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-923/1949 : 69/1949 : 1)
** u= 13/17 ; tau(u)= 21/4 ; 137*x^2 + 409*y^2 + 610*x*z + 137*z^2
  (-397/1673 : 16/1673 : 1)  C1b (14656/17167 : 681/17167 : 1)
** u= -13/85 ; tau(u)= 183/98 ; -19039*x^2 + 14281*y^2 + 33658*x*z - 19039*z^2
  (53453/96389 : -63658/96389 : 1)  C2b (-3011980/502597 : 113989/502597 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (103/4 : 3/4 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (36/5 : -1/5 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-951304/118169 : -39249/118169 : 1)
** u= -17/65 ; tau(u)= 147/82 ; -13159*x^2 + 8161*y^2 + 21898*x*z - 13159*z^2
  (-103/1389 : 1874/1389 : 1)  C2b (-159517/658565 : 28011/658565 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-511053/539800 : -7549/107960 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (33251/90661 : 2717/90661 : 1)
** u= 21/4 ; tau(u)= 13/17 ; -137*x^2 - 409*y^2 + 610*x*z - 137*z^2
  (27/19 : 20/19 : 1)  C1a (752/3271 : 87/3271 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (15377/45585 : -1397/45585 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (454757/6331 : 12087/6331 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (5950240/2030657 : 160755/2030657 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (-73324/68589 : -2867/68589 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-31069/65035 : 7693/65035 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-16901/2980 : 477/2980 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (27677229/11504980 : -148213/2300996 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (299235/113747 : -529/6691 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (1413392675/340785444 : 38368469/340785444 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (20165/262307 : 7085/262307 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (818796724/419954715 : 22354681/419954715 : 1)
** u= -37/181 ; tau(u)= 399/218 ; -93679*x^2 + 64153*y^2 + 160570*x*z - 93679*z^2
  (-13631/8029 : 25286/8029 : 1)  C2b (-8624463/2179924 : 355471/2179924 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (-123973/565 : -3417/565 : 1)
** u= 41/49 ; tau(u)= 57/8 ; 1553*x^2 + 3121*y^2 + 4930*x*z + 1553*z^2
  (-1919/5403 : -140/5403 : 1)  C1b (-2295352/456559 : -61649/456559 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-1787047/2302840 : 18943/460568 : 1)
** u= 42/25 ; tau(u)= -8/17 ; 1186*x^2 - 514*y^2 + 1828*x*z + 1186*z^2
  (1107/1997 : 4460/1997 : 1)  C1a (848/45 : -37/45 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (397520/87281 : -10731/87281 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (30071/4492 : 14149/4492 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (-338509/400548 : -13951/400548 : 1)
** u= -52/193 ; tau(u)= 438/245 ; -117346*x^2 + 71794*y^2 + 194548*x*z - 117346*z^2
  (3519/5042 : -3703/5042 : 1)  C2b (2014777020/182484871 : 70279691/182484871 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (31687/660400 : 3519/132080 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (32712/25511 : -5149/25511 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (-338755/142088 : 9377/142088 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (283755/150152 : 8881/150152 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
  (-6771/3641 : -16048/3641 : 1)  C2b (-88944/12592763 : 568123/12592763 : 1)
** u= 57/8 ; tau(u)= 41/49 ; -1553*x^2 - 3121*y^2 + 4930*x*z - 1553*z^2
  (2193/5437 : -1316/5437 : 1)  C1a (-241/23 : -7/23 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-13410920/24951497 : 777915/24951497 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (8466356/925931 : 228219/925931 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (1428032/693001 : -45793/693001 : 1)
** u= -64/157 ; tau(u)= 378/221 ; -93586*x^2 + 45202*y^2 + 146980*x*z - 93586*z^2
  (-122/49 : -235/49 : 1)  C2b (15677/71205 : -503/14241 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (461137643/38471813 : -18314079/38471813 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
  (67687/836328 : 396403/836328 : 1)  C1b (-209228/53509 : -6219/53509 : 1)
** u= 69/185 ; tau(u)= 301/116 ; -22151*x^2 + 63689*y^2 + 95362*x*z - 22151*z^2
  (-13883/125951 : -90568/125951 : 1)  C1b (-175802119/121288000 : -6444063/121288000 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (-81421/279284 : 7517/279284 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-38503/29177 : -1109/29177 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (-236479/111385 : -13279/111385 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-1060/1493 : 91/1493 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (65398721/6553223 : 3199863/6553223 : 1)
** u= 84/169 ; tau(u)= 254/85 ; -7394*x^2 + 50066*y^2 + 71572*x*z - 7394*z^2
  (-50334/1786943 : -774943/1786943 : 1)  C1b (803903/1268812 : 38217/1268812 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-23479/140348 : -3813/140348 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (6240/631 : -233/631 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (-60163333/32218132 : 1905487/32218132 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (-12635928/5071975 : 342811/5071975 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-2735169/738368 : 73291/738368 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-6112493/918620 : 162549/918620 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (692528/1331405 : 36131/1331405 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (594235/27408 : -15853/27408 : 1)
** u= -112/85 ; tau(u)= 282/197 ; -65074*x^2 + 1906*y^2 + 92068*x*z - 65074*z^2
  (397/3840 : -20861/3840 : 1)  C2b (-260912280/114070141 : -54512323/114070141 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-86568/68413 : -83/1849 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-49696/21779 : 1529/21779 : 1)
** u= 115/117 ; tau(u)= 119/2 ; 13217*x^2 + 14153*y^2 + 27386*x*z + 13217*z^2
  (-27653/21163 : -174/21163 : 1)  C1b (-2735916/233665 : -81799/233665 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-20743/38825 : -241/7765 : 1)
** u= 119/2 ; tau(u)= 115/117 ; -13217*x^2 - 14153*y^2 + 27386*x*z - 13217*z^2
  (5407/4181 : -342/4181 : 1)  C1a (272113/163617 : 7477/163617 : 1)
** u= 119/58 ; tau(u)= 3/61 ; 6719*x^2 - 7433*y^2 + 14170*x*z + 6719*z^2
  (3389/10719 : -13546/10719 : 1)  C1a (1972321/3025417 : 133449/3025417 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (238562168/11730811 : -13840219/11730811 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (683881300/237341417 : -19476095/237341417 : 1)
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
  (821/4465 : 14624/4465 : 1)  C2b (1511303/376528 : -126297/376528 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (689732/368105 : -4159/73621 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (5540/3957 : 4595/3957 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (-43985741/9978643 : 2979121/9978643 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-34112440/31322953 : 1205943/31322953 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (7913067/1996571 : 212401/1996571 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (614928/760715 : -5983/152143 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (-13096/7947 : 2071/7947 : 1)
** u= -140/101 ; tau(u)= 342/241 ; -96562*x^2 + 802*y^2 + 136564*x*z - 96562*z^2
  (-2709/3610 : -64171/3610 : 1)  C2b (1962140/540037 : 474143/540037 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
  (-7713/35228 : 8081/35228 : 1)  C1b (6343780/24251793 : 705133/24251793 : 1)
** u= 147/82 ; tau(u)= -17/65 ; 13159*x^2 - 8161*y^2 + 21898*x*z + 13159*z^2
  (-10103/8111 : -7126/8111 : 1)  C1a (-140017121/14731055 : 4821243/14731055 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-15492436/3362125 : 413583/3362125 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (-16815203/3391565 : 209429/678313 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (-3382047/1433585 : -91499/1433585 : 1)
** u= -159/169 ; tau(u)= 497/328 ; -189887*x^2 + 31841*y^2 + 272290*x*z - 189887*z^2
  (7737/1211 : 16900/1211 : 1)  C2b (-30742312/21788209 : 3171009/21788209 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-205393/250736 : -8319/250736 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (101201748/49415665 : 1149467/9883133 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (104851/473915 : -4911/94783 : 1)
** u= 183/98 ; tau(u)= -13/85 ; 19039*x^2 - 14281*y^2 + 33658*x*z + 19039*z^2
  (-4107/31075 : -31766/31075 : 1)  C1a (-1681285/749387 : 48071/749387 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (-163949/53019 : 4987/53019 : 1)
** u= -196/153 ; tau(u)= 502/349 ; -205186*x^2 + 8402*y^2 + 290420*x*z - 205186*z^2
  (-1384/1073 : 11235/1073 : 1)  C2b (-822559/23868 : -110321/23868 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-1252065/5250463 : -140173/5250463 : 1)
98
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.16追記] u=-56/41,68/181,84/169,-140/101,-128/153のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.16
H.Nakao

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