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Integer Points on A^4+20004*B^4=C^4+20004*D^4

[2026.06.19]A^4+20004*B^4=C^4+20004*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20004とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、1個の整数解
    94227^4+20004*4178^4=95811^4+20004*2396^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uを求めると、
    u = 13336/519
となる。
{gp2cによる計算]
gp > sss(20004,100000)
1:94227^4+20004*4178^4=95811^4+20004*2396^4
1 solutions,
time = 16h, 41min, 17,660 ms.
%8 = 1
{Pari/GPによる計算]
gp > uu(20004,94227,4178,95811,2396)
[u, -1; 519*u - 13336, 1; 3762*u + 5799125, 1]
[u, -1; 519*u - 13336, 1; 3762*u - 5799125, 1]
[u, -1; 519*u + 13336, 1; 3762*u + 5799125, 1]
time = 1 ms.
%1 = [13336/519, -5799125/3762]

■２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つような有理数について、その高さが小さいものから、順に調べる。
また、小さい整点から求めたuについても調べる。

[MAGMAによる計算]
> PP1(20004, 13336, 519);
**u= 13336/519 ; 5210448548*x^2 - 13842768*y^2 + 5566146340*z^2
; C3a (-228229/11030 : -8866823/22060 : 1)  C4a (-6869/3338 : 304409/6676 : 1)

1

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.06.19
H.Nakao

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