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Integer Points on A^4+B^4+18818*C^4=4*D^4

[2026.05.02]A^4+B^4+18818*C^4=4*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+2*n^2*C^4=4*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=tとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+2*n^2*t^4=4
       x^4+6*x^2*y^2+y^4+n^2*t^4=2 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       (u^2+1)*y^2=--(u^2+4*u+5)*x^2-(u^2+2*u-1) ----------(5a)
       ±n*(u^2+1)*t^2=2*(u^2+2*u-1)*x^2+(u^2-2*u^1) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-u^2 - 4*u - 5)/(u^2 + 1))*x^2 + ((-u^2 - 2*u + 1)/(u^2 + 1))
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((2*u^2 + 4*u - 2)/(n*u^2 + n))*x^2 + ((u^2 - 2*u - 1)/(n*u^2 + n))
gp > x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2+n^2*TT2(n,u,x)^2
%5 = 2

■２次曲線(5a),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a)の右辺の判別式は
    -4*(u^2+4*u+5)*(u^2*2+u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    -4*2*(u^2+2*u-1)*(u^2-2*u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=97とする。Pari/GPで簡単なプログラムを作成して、小さい整数解を調べると、
    61^4+75^4+18818*7^4=4*59^4
    605^4+2477^4+18818*107^4=4*1781^4
    773^4+4861^4+18818*599^4=4*5225^4
が見つかった。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように(重複を含む)294個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(97,1,100);
** u= -100/99 ; C1  -19405*x^2 - 19801*y^2 + 19601*z^2
  (5276/5747 : 2327/5747 : 1)  C2a (-85564/94269 : -7543/94269 : 1)
** u= -98/87 ; C1  -13345*x^2 + 17173*y^2 + 15017*z^2
  (46039/43963 : -6556/43963 : 1)  C2b (9141/12817 : 613/12817 : 1)
** u= -98/89 ; C1  -14321*x^2 + 17525*y^2 + 15761*z^2
  (2425/2417 : -3348/12085 : 1)  C2b (-14463/33425 : 14741/167125 : 1)
** u= -97/41 ; C1  {+/-} -1906*x^2 + 11090*y^2 + 226*z^2
  (284/3769 : -525/3769 : 1)  C2a (-109221/2699 : 2215/2699 : 1) C2b (-165686/104639 : -12169/104639 : 1)
** u= -97/49 ; C1  -2402*x^2 + 11810*y^2 + 2498*z^2
  (789/797 : 88/797 : 1)  C2b (96/793 : -95/793 : 1)
** u= -97/73 ; C1  -7730*x^2 - 14738*y^2 + 10082*z^2
  (7100/6473 : -1491/6473 : 1)  C2a (79501/67237 : 79/947 : 1)
** u= -96/47 ; C1  -2213*x^2 - 11425*y^2 + 2017*z^2
  (-480/2543 : 5237/12715 : 1)  C2a (-4320/37 : -1303/185 : 1)
** u= -96/77 ; C1  -9293*x^2 - 15145*y^2 + 11497*z^2
  (4859/4623 : 1318/4623 : 1)  C2a (-67614/56297 : 5707/56297 : 1)
** u= -96/89 ; C1  -14645*x^2 - 17137*y^2 + 15793*z^2
  (1956/2657 : -1799/2657 : 1)  C2a (1438696/519245 : 190653/519245 : 1)
** u= -95/71 ; C1  {+/-} -7250*x^2 + 14066*y^2 + 9506*z^2
  (-511/1115 : 168/223 : 1)  C2a (-319549/122899 : -5009/17557 : 1) C2b (-3464/14259 : 223/2037 : 1)
** u= -95/87 ; C1  {+/-} -13810*x^2 + 16594*y^2 + 15074*z^2
  (296/1267 : -1177/1267 : 1)  C2a (-33833/33987 : 2921/33987 : 1) C2b (70242/227617 : 22057/227617 : 1)
** u= -94/39 ; C1  -1777*x^2 + 10357*y^2 + 17*z^2
  (130/3269 : 121/3269 : 1)  C2b (436597/21109 : -213/21109 : 1)
** u= -94/67 ; C1  -6089*x^2 + 13325*y^2 + 8249*z^2
  (446/401 : 93/401 : 1)  C2b (-22937/79647 : -8743/79647 : 1)
** u= -94/95 ; C1  -18241*x^2 + 17861*y^2 + 18049*z^2
  (-97/375 : -364/375 : 1)  C2b (-158627/833473 : 81001/833473 : 1)
** u= -93/77 ; C1  {+/-} -9650*x^2 + 14578*y^2 + 11602*z^2
  (-3999/10265 : 1712/2053 : 1)  C2a (252391/225613 : -20781/225613 : 1) C2b (-704/895 : 39/895 : 1)
** u= -92/41 ; C1  -1781*x^2 - 10145*y^2 + 761*z^2
  (5088/7973 : 473/7973 : 1)  C2a (25664/4549 : 847/4549 : 1)
** u= -92/93 ; C1  -17485*x^2 - 17113*y^2 + 17297*z^2
  (18809/21143 : 9506/21143 : 1)  C2a (86276/6237 : -1777/891 : 1)
** u= -91/43 ; C1  {+/-} -1874*x^2 + 10130*y^2 + 1394*z^2
  (707/907 : 144/907 : 1)  C2a (213517/39773 : -10315/39773 : 1) C2b (3786/3119 : 317/3119 : 1)
** u= -90/41 ; C1  -1745*x^2 + 9781*y^2 + 961*z^2
  (2511/4633 : -992/4633 : 1)  C2b (279883/104935 : 39/3385 : 1)
** u= -90/43 ; C1  -1865*x^2 + 9949*y^2 + 1489*z^2
  (-3522/4081 : -409/4081 : 1)  C2b (-108997/139497 : -15667/139497 : 1)
** u= -90/59 ; C1  -4265*x^2 + 11581*y^2 + 6001*z^2
  (1431/1211 : 76/1211 : 1)  C2b (-323813/294597 : 7553/294597 : 1)
** u= -90/91 ; C1  -16745*x^2 + 16381*y^2 + 16561*z^2
  (14751/14923 : 1648/14923 : 1)  C2b (-21631/699285 : -70537/699285 : 1)
** u= -89/97 ; C1  -20434*x^2 - 17330*y^2 + 18754*z^2
  (148/173 : -81/173 : 1)  C2a (-19243/14403 : 2513/14403 : 1)
** u= -88/37 ; C1  -1565*x^2 - 9113*y^2 + 137*z^2
  (-425/1571 : -78/1571 : 1)  C2a (3908156/388015 : 50393/388015 : 1)
** u= -88/51 ; C1  -2797*x^2 - 10345*y^2 + 3833*z^2
  (8657/8309 : 2306/8309 : 1)  C2a (-440794684/92681387 : 36925587/92681387 : 1)
** u= -88/61 ; C1  -4877*x^2 - 11465*y^2 + 6713*z^2
  (5208/4649 : -1057/4649 : 1)  C2a (-1262/521 : -125/521 : 1)
** u= -88/67 ; C1  -6605*x^2 - 12233*y^2 + 8537*z^2
  (4365/30497 : -25274/30497 : 1)  C2a (34678/25855 : 2971/25855 : 1)
** u= -88/81 ; C1  -12037*x^2 - 14305*y^2 + 13073*z^2
  (-4277/84151 : -80350/84151 : 1)  C2a (-49654/48407 : 4515/48407 : 1)
** u= -87/47 ; C1  -2258*x^2 - 9778*y^2 + 2818*z^2
  (-1263/1595 : -604/1595 : 1)  C2a (642751/84283 : -48513/84283 : 1)
** u= -87/71 ; C1  -8066*x^2 + 12610*y^2 + 9826*z^2
  (2992/3147 : 1411/3147 : 1)  C2b (38/357 : -223/2037 : 1)
** u= -87/95 ; C1  {+/-} -19634*x^2 + 16594*y^2 + 17986*z^2
  (-20792/29079 : 20125/29079 : 1)  C2a (-50787/73715 : -113/3205 : 1) C2b (10112/20677 : 57/899 : 1)
** u= -86/49 ; C1  -2545*x^2 + 9797*y^2 + 3433*z^2
  (382/1511 : 873/1511 : 1)  C2b (-3763/2759 : 7003/267623 : 1)
** u= -86/65 ; C1  -6161*x^2 + 11621*y^2 + 8009*z^2
  (4475/12857 : 10164/12857 : 1)  C2b (-459021/604915 : 40799/604915 : 1)
** u= -85/77 ; C1  {+/-} -10690*x^2 + 13154*y^2 + 11794*z^2
  (-2348/2721 : 1469/2721 : 1)  C2a (-48153/43867 : 4601/43867 : 1) C2b (3308/4525 : -169/4525 : 1)
** u= -84/41 ; C1  -1685*x^2 - 8737*y^2 + 1513*z^2
  (1/4263 : -1774/4263 : 1)  C2a (4085898/196081 : -243007/196081 : 1)
** u= -84/43 ; C1  -1853*x^2 - 8905*y^2 + 2017*z^2
  (-423/569 : -190/569 : 1)  C2a (90926/51517 : -645/51517 : 1)
** u= -84/65 ; C1  -6341*x^2 - 11281*y^2 + 8089*z^2
  (208/3129 : -2645/3129 : 1)  C2a (449284/487115 : 1593/487115 : 1)
** u= -83/43 ; C1  {+/-} -1858*x^2 + 8738*y^2 + 2098*z^2
  (2104/2615 : -837/2615 : 1)  C2a (100869/16003 : 6833/16003 : 1) C2b (111818/82631 : -6017/82631 : 1)
** u= -82/63 ; C1  -5905*x^2 + 10693*y^2 + 7577*z^2
  (-131/1247 : -17768/21199 : 1)  C2b (-20871/27173 : -29209/461941 : 1)
** u= -81/97 ; C1  -22178*x^2 + 15970*y^2 + 18562*z^2
  (2656/2937 : -479/2937 : 1)  C2b (-81502/490321 : 42867/490321 : 1)
** u= -80/61 ; C1  -5485*x^2 - 10121*y^2 + 7081*z^2
  (3379/4039 : -2286/4039 : 1)  C2a (-69712/27063 : -7799/27063 : 1)
** u= -80/73 ; C1  -9685*x^2 - 11729*y^2 + 10609*z^2
  (-721/947 : -618/947 : 1)  C2a (-1123252/270993 : 1463/2631 : 1)
** u= -80/77 ; C1  -11405*x^2 - 12329*y^2 + 11849*z^2
  (2040/2161 : 799/2161 : 1)  C2a (-1778402/1026307 : 13337/60371 : 1)
** u= -80/89 ; C1  -17525*x^2 - 14321*y^2 + 15761*z^2
  (60952/73165 : 7335/14633 : 1)  C2a (-113026/89471 : 14717/89471 : 1)
** u= -78/43 ; C1  -1913*x^2 + 7933*y^2 + 2473*z^2
  (1986/1801 : 245/1801 : 1)  C2b (-25351/18477 : 851/18477 : 1)
** u= -77/45 ; C1  {+/-} -2194*x^2 + 7954*y^2 + 3026*z^2
  (-3644/3197 : 475/3197 : 1)  C2a (709/465 : 2921/45105 : 1) C2b (-14/11 : -39/1067 : 1)
** u= -77/85 ; C1  {+/-} -15874*x^2 + 13154*y^2 + 14386*z^2
  (-2677/9305 : 9276/9305 : 1)  C2a (6401/3189 : 911/3189 : 1) C2b (120916/196685 : -5281/196685 : 1)
** u= -77/93 ; C1  {+/-} -20530*x^2 + 14578*y^2 + 17042*z^2
  (-1991/3073 : -2336/3073 : 1)  C2a (319/337 : 39/337 : 1) C2b (14822/48545 : -3747/48545 : 1)
** u= -76/35 ; C1  -1261*x^2 - 7001*y^2 + 769*z^2
  (-64/275 : 87/275 : 1)  C2a (-406154/115929 : -13351/115929 : 1)
** u= -76/43 ; C1  -1949*x^2 - 7625*y^2 + 2609*z^2
  (16/131 : 381/655 : 1)  C2a (-8098/1217 : 3323/6085 : 1)
** u= -76/71 ; C1  -9397*x^2 - 10817*y^2 + 10057*z^2
  (3005/5189 : 4146/5189 : 1)  C2a (-30246/31597 : 2563/31597 : 1)
** u= -76/83 ; C1  -14989*x^2 - 12665*y^2 + 13729*z^2
  (6251/7149 : 3026/7149 : 1)  C2a (15106/20331 : -1109/20331 : 1)
** u= -74/67 ; C1  -8089*x^2 + 9965*y^2 + 8929*z^2
  (-2578/2973 : 1589/2973 : 1)  C2b (202603/535183 : 49723/535183 : 1)
** u= -74/83 ; C1  -15353*x^2 + 12365*y^2 + 13697*z^2
  (15266/17417 : 6831/17417 : 1)  C2b (11133/37021 : 3097/37021 : 1)
** u= -74/87 ; C1  -17569*x^2 + 13045*y^2 + 14969*z^2
  (-11479/12811 : -3296/12811 : 1)  C2b (-332897/650413 : -31353/650413 : 1)
** u= -74/91 ; C1  -19945*x^2 + 13757*y^2 + 16273*z^2
  (10634/11813 : -1059/11813 : 1)  C2b (-4773859/8575415 : 178291/8575415 : 1)
** u= -74/97 ; C1  -23809*x^2 + 14885*y^2 + 18289*z^2
  (9713/11673 : 4064/11673 : 1)  C2b (-541/1049 : -23/1049 : 1)
** u= -72/41 ; C1  -1781*x^2 - 6865*y^2 + 2401*z^2
  (-1176/2761 : 1519/2761 : 1)  C2a (9732/6923 : 11/989 : 1)
** u= -72/79 ; C1  -13637*x^2 - 11425*y^2 + 12433*z^2
  (7220/9663 : 31381/48315 : 1)  C2a (514252/578759 : -53055/578759 : 1)
** u= -72/91 ; C1  -20381*x^2 - 13465*y^2 + 16201*z^2
  (-26428/29787 : -3221/29787 : 1)  C2a (-510836/111179 : 79869/111179 : 1)
** u= -71/39 ; C1  -1570*x^2 - 6562*y^2 + 2018*z^2
  (23/103 : -56/103 : 1)  C2a (250493/65291 : -18363/65291 : 1)
** u= -71/47 ; C1  {+/-} -2738*x^2 + 7250*y^2 + 3842*z^2
  (19/23 : 12/23 : 1)  C2a (-4753/1541 : -2317/7705 : 1) C2b (388/1629 : -185/1629 : 1)
** u= -71/55 ; C1  {+/-} -4546*x^2 + 8066*y^2 + 5794*z^2
  (6473/9519 : 6440/9519 : 1)  C2a (-32861/32511 : -1649/32511 : 1) C2b (24412/154145 : -17017/154145 : 1)
** u= -71/95 ; C1  {+/-} -23186*x^2 + 14066*y^2 + 17474*z^2
  (30531/35623 : 6320/35623 : 1)  C2a (-27257/7837 : 4313/7837 : 1) C2b (-14938/35055 : -1687/35055 : 1)
** u= -70/31 ; C1  -1025*x^2 + 5861*y^2 + 401*z^2
  (-426/725 : 13/145 : 1)  C2b (-5737/52593 : -6343/52593 : 1)
** u= -70/79 ; C1  -13985*x^2 + 11141*y^2 + 12401*z^2
  (99/683 : -712/683 : 1)  C2b (-217179/1015499 : -90509/1015499 : 1)
** u= -70/89 ; C1  -19585*x^2 + 12821*y^2 + 15481*z^2
  (-1553/4077 : -4048/4077 : 1)  C2b (1981/4475 : 233/4475 : 1)
** u= -68/33 ; C1  -1093*x^2 - 5713*y^2 + 953*z^2
  (-2065/2311 : -274/2311 : 1)  C2a (-138712/5401 : -8109/5401 : 1)
** u= -68/41 ; C1  -1877*x^2 - 6305*y^2 + 2633*z^2
  (852/1069 : 511/1069 : 1)  C2a (176/127 : -629/12319 : 1)
** u= -68/49 ; C1  -3301*x^2 - 7025*y^2 + 4441*z^2
  (-260/249 : -431/1245 : 1)  C2a (-1171730/57999 : 668053/289995 : 1)
** u= -67/51 ; C1  {+/-} -3826*x^2 + 7090*y^2 + 4946*z^2
  (3536/10471 : 8351/10471 : 1)  C2a (-29897/19653 : -2821/19653 : 1) C2b (-5208/10267 : 973/10267 : 1)
** u= -66/31 ; C1  -977*x^2 + 5317*y^2 + 697*z^2
  (-10/213 : 77/213 : 1)  C2b (20329/8835 : 127/8835 : 1)
** u= -66/53 ; C1  -4409*x^2 + 7165*y^2 + 5449*z^2
  (-3543/3457 : 1168/3457 : 1)  C2b (-64553/128007 : 11665/128007 : 1)
** u= -66/71 ; C1  -10817*x^2 + 9397*y^2 + 10057*z^2
  (29887/51075 : 41996/51075 : 1)  C2b (-68351/148715 : -10377/148715 : 1)
** u= -65/57 ; C1  -5650*x^2 - 7474*y^2 + 6434*z^2
  (8243/7825 : 232/1565 : 1)  C2a (329081/118569 : -41947/118569 : 1)
** u= -64/27 ; C1  -829*x^2 - 4825*y^2 + 89*z^2
  (109/1193 : -778/5965 : 1)  C2a (-14702/561 : 1393/2805 : 1)
** u= -64/29 ; C1  -877*x^2 - 4937*y^2 + 457*z^2
  (3928/6325 : -981/6325 : 1)  C2a (-7008/2159 : -161/2159 : 1)
** u= -64/97 ; C1  -26309*x^2 - 13505*y^2 + 17729*z^2
  (-1991/7291 : 7878/7291 : 1)  C2a (211648/472783 : 703/472783 : 1)
** u= -63/55 ; C1  -5234*x^2 + 6994*y^2 + 5986*z^2
  (485/2247 : -2036/2247 : 1)  C2b (25016/74865 : -7349/74865 : 1)
** u= -62/29 ; C1  -857*x^2 + 4685*y^2 + 593*z^2
  (627/2329 : -784/2329 : 1)  C2b (1203/2209 : -259/2209 : 1)
** u= -62/35 ; C1  -1289*x^2 + 5069*y^2 + 1721*z^2
  (-681/815 : -328/815 : 1)  C2b (14489/42699 : 4933/42699 : 1)
** u= -62/45 ; C1  -2809*x^2 + 5869*y^2 + 3761*z^2
  (13835/62593 : 928/1181 : 1)  C2b (14567/30805 : 3087/30805 : 1)
** u= -62/57 ; C1  -5953*x^2 + 7093*y^2 + 6473*z^2
  (7718/14635 : -12061/14635 : 1)  C2b (-679/1373 : 111/1373 : 1)
** u= -62/69 ; C1  -10537*x^2 + 8605*y^2 + 9473*z^2
  (703/1069 : 808/1069 : 1)  C2b (42957/589049 : 55979/589049 : 1)
** u= -62/71 ; C1  -11441*x^2 + 8885*y^2 + 10001*z^2
  (-9993/19807 : 17692/19807 : 1)  C2b (-37203/335467 : -31003/335467 : 1)
** u= -60/37 ; C1  -1565*x^2 - 4969*y^2 + 2209*z^2
  (-188/1629 : -1081/1629 : 1)  C2a (-96666/19129 : 191/407 : 1)
** u= -59/35 ; C1  -1346*x^2 - 4706*y^2 + 1874*z^2
  (-627/775 : 356/775 : 1)  C2a (-3241/1289 : -251/1289 : 1)
** u= -58/33 ; C1  -1153*x^2 + 4453*y^2 + 1553*z^2
  (2419/3565 : 1708/3565 : 1)  C2b (74943/201499 : 23093/201499 : 1)
** u= -58/59 ; C1  -7081*x^2 + 6845*y^2 + 6961*z^2
  (2/33 : 1229/1221 : 1)  C2b (-2201/8279 : -28489/306323 : 1)
** u= -58/73 ; C1  -13073*x^2 + 8693*y^2 + 10433*z^2
  (-7430/14983 : 13653/14983 : 1)  C2b (-66321/198205 : -13933/198205 : 1)
** u= -58/75 ; C1  -14089*x^2 + 8989*y^2 + 10961*z^2
  (-3826/5485 : -3707/5485 : 1)  C2b (-39637/73235 : 327/73235 : 1)
** u= -58/93 ; C1  -25033*x^2 + 12013*y^2 + 16073*z^2
  (-5770/10051 : 8111/10051 : 1)  C2b (-246301/727187 : -28701/727187 : 1)
** u= -58/97 ; C1  -27905*x^2 + 12773*y^2 + 17297*z^2
  (11466/21331 : 18137/21331 : 1)  C2b (-3369/18473 : -151/2639 : 1)
** u= -57/97 ; C1  -28178*x^2 + 12658*y^2 + 17218*z^2
  (-7233/11437 : -7840/11437 : 1)  C2b (46472/144765 : -4799/144765 : 1)
** u= -56/25 ; C1  -661*x^2 - 3761*y^2 + 289*z^2
  (-544/825 : -17/825 : 1)  C2a (-15182/4233 : 19/249 : 1)
** u= -56/27 ; C1  -733*x^2 - 3865*y^2 + 617*z^2
  (763/841 : -50/841 : 1)  C2a (45386/21137 : 555/21137 : 1)
** u= -56/41 ; C1  -2357*x^2 - 4817*y^2 + 3137*z^2
  (1280/1529 : 849/1529 : 1)  C2a (42872/9575 : 4847/9575 : 1)
** u= -56/47 ; C1  -3653*x^2 - 5345*y^2 + 4337*z^2
  (-8859/11977 : 7922/11977 : 1)  C2a (-231856/11077 : -29965/11077 : 1)
** u= -56/61 ; C1  -8077*x^2 - 6857*y^2 + 7417*z^2
  (11984/18181 : -13725/18181 : 1)  C2a (-324816/486077 : -11573/486077 : 1)
** u= -56/97 ; C1  -28453*x^2 - 12545*y^2 + 17137*z^2
  (-476/1397 : 1467/1397 : 1)  C2a (-20106/40423 : -2285/40423 : 1)
** u= -55/71 ; C1  {+/-} -12610*x^2 + 8066*y^2 + 9826*z^2
  (-425/607 : -408/607 : 1)  C2a (131717/140505 : -1001/8265 : 1) C2b (-9442/69955 : -343/4115 : 1)
** u= -54/23 ; C1  -593*x^2 + 3445*y^2 + 97*z^2
  (153/1711 : 280/1711 : 1)  C2b (-98777/52671 : -5897/52671 : 1)
** u= -54/43 ; C1  -2873*x^2 + 4765*y^2 + 3577*z^2
  (-882/949 : 35/73 : 1)  C2b (-2702923/4181709 : 45845/597387 : 1)
** u= -54/53 ; C1  -5513*x^2 + 5725*y^2 + 5617*z^2
  (-122/123 : -113/615 : 1)  C2b (-6181/24261 : -11627/121305 : 1)
** u= -54/91 ; C1  -24665*x^2 + 11197*y^2 + 15193*z^2
  (10707/14443 : 5524/14443 : 1)  C2b (-43163/119029 : 2469/119029 : 1)
** u= -52/27 ; C1  -733*x^2 - 3433*y^2 + 833*z^2
  (1624/1675 : -343/1675 : 1)  C2a (-82078/33985 : -591/4855 : 1)
** u= -52/53 ; C1  -5725*x^2 - 5513*y^2 + 5617*z^2
  (68/69 : -7/69 : 1)  C2a (-384008/113325 : -54479/113325 : 1)
** u= -52/61 ; C1  -8621*x^2 - 6425*y^2 + 7361*z^2
  (831/3847 : -20018/19235 : 1)  C2a (-9244/10673 : 5111/53365 : 1)
** u= -52/67 ; C1  -11213*x^2 - 7193*y^2 + 8753*z^2
  (-5496/7895 : -5363/7895 : 1)  C2a (-56302/15845 : 8813/15845 : 1)
** u= -51/59 ; C1  -7970*x^2 + 6082*y^2 + 6898*z^2
  (463/939 : -848/939 : 1)  C2b (-676/2537 : -213/2537 : 1)
** u= -51/67 ; C1  {+/-} -11378*x^2 + 7090*y^2 + 8722*z^2
  (-756/3047 : 3241/3047 : 1)  C2a (-35999/8197 : 813/1171 : 1) C2b (122702/694799 : -7941/99257 : 1)
** u= -50/29 ; C1  -905*x^2 + 3341*y^2 + 1241*z^2
  (870/2711 : -1589/2711 : 1)  C2b (101559/78619 : -2821/78619 : 1)
** u= -50/57 ; C1  -7345*x^2 + 5749*y^2 + 6449*z^2
  (10199/44017 : 45172/44017 : 1)  C2b (7316137/12731327 : 448383/12731327 : 1)
** u= -50/61 ; C1  -8905*x^2 + 6221*y^2 + 7321*z^2
  (-2782/7759 : -7731/7759 : 1)  C2b (21391/43631 : 2071/43631 : 1)
** u= -50/97 ; C1  -30145*x^2 + 11909*y^2 + 16609*z^2
  (-21254/31047 : -14173/31047 : 1)  C2b (5599/213859 : -10469/213859 : 1)
** u= -48/29 ; C1  -941*x^2 - 3145*y^2 + 1321*z^2
  (72/97 : -49/97 : 1)  C2a (91446/56891 : 5231/56891 : 1)
** u= -48/49 ; C1  -4901*x^2 - 4705*y^2 + 4801*z^2
  (29/39 : 2/3 : 1)  C2a (10604/8291 : -1293/8291 : 1)
** u= -48/55 ; C1  -6869*x^2 - 5329*y^2 + 6001*z^2
  (75/97 : 4222/7081 : 1)  C2a (388/593 : -1449/43289 : 1)
** u= -48/91 ; C1  -26237*x^2 - 10585*y^2 + 14713*z^2
  (1599/5293 : -5710/5293 : 1)  C2a (-487228/203359 : 81807/203359 : 1)
** u= -48/97 ; C1  -30725*x^2 - 11713*y^2 + 16417*z^2
  (-39072/57665 : -5123/11533 : 1)  C2a (-2102294/566507 : 356511/566507 : 1)
** u= -47/71 ; C1  {+/-} -14066*x^2 + 7250*y^2 + 9506*z^2
  (-1911/2339 : 1484/11695 : 1)  C2a (-497/1067 : 107/5335 : 1) C2b (-1726/6111 : -251/4365 : 1)
** u= -46/49 ; C1  -5105*x^2 + 4517*y^2 + 4793*z^2
  (685/1433 : 1284/1433 : 1)  C2b (591/13607 : 1333/13607 : 1)
** u= -46/59 ; C1  -8665*x^2 + 5597*y^2 + 6793*z^2
  (3698/4213 : 609/4213 : 1)  C2b (-156491/373147 : 20717/373147 : 1)
** u= -46/63 ; C1  -10369*x^2 + 6085*y^2 + 7649*z^2
  (466/589 : -257/589 : 1)  C2b (36359/83299 : 3477/83299 : 1)
** u= -46/67 ; C1  -12233*x^2 + 6605*y^2 + 8537*z^2
  (2079/2503 : -304/2503 : 1)  C2b (34231/138327 : 9055/138327 : 1)
** u= -46/77 ; C1  -17593*x^2 + 8045*y^2 + 10897*z^2
  (11218/23171 : 21261/23171 : 1)  C2b (78683/517681 : -30829/517681 : 1)
** u= -46/81 ; C1  -20017*x^2 + 8677*y^2 + 11897*z^2
  (-6473/18437 : -19220/18437 : 1)  C2b (37927/524371 : 30687/524371 : 1)
** u= -46/87 ; C1  -23953*x^2 + 9685*y^2 + 13457*z^2
  (2566/4177 : -2821/4177 : 1)  C2b (83673/300031 : 6623/300031 : 1)
** u= -45/77 ; C1  {+/-} -17810*x^2 + 7954*y^2 + 10834*z^2
  (428/549 : 19/549 : 1)  C2a (-60669/31721 : 967201/3076937 : 1) C2b (-38/235 : -1287/22795 : 1)
** u= -44/19 ; C1  -397*x^2 - 2297*y^2 + 97*z^2
  (320/667 : 33/667 : 1)  C2a (6704/1455 : 91/1455 : 1)
** u= -44/23 ; C1  -533*x^2 - 2465*y^2 + 617*z^2
  (-216/263 : 85/263 : 1)  C2a (182/59 : 11/59 : 1)
** u= -44/45 ; C1  -4141*x^2 - 3961*y^2 + 4049*z^2
  (172/941 : -935/941 : 1)  C2a (-159488/168503 : 15813/168503 : 1)
** u= -44/53 ; C1  -6653*x^2 - 4745*y^2 + 5537*z^2
  (-1848/4321 : -4123/4321 : 1)  C2a (-27514/36463 : 385/5209 : 1)
** u= -43/19 ; C1  -386*x^2 + 2210*y^2 + 146*z^2
  (-28/47 : 3/47 : 1)  C2b (-1942/813 : -67/813 : 1)
** u= -43/83 ; C1  {+/-} -22018*x^2 + 8738*y^2 + 12178*z^2
  (97/427 : 480/427 : 1)  C2a (9493/531 : -1609/531 : 1) C2b (-16114/74143 : 2479/74143 : 1)
** u= -43/91 ; C1  {+/-} -27602*x^2 + 10130*y^2 + 14258*z^2
  (-208/1991 : -2337/1991 : 1)  C2a (-164773/253279 : -26399/253279 : 1) C2b (-4334/124347 : 4625/124347 : 1)
** u= -42/55 ; C1  -7649*x^2 + 4789*y^2 + 5881*z^2
  (-206/6405 : 7093/6405 : 1)  C2b (88013/166055 : -1803/166055 : 1)
** u= -42/59 ; C1  -9257*x^2 + 5245*y^2 + 6673*z^2
  (6042/7949 : 3995/7949 : 1)  C2b (6913/14721 : -355/14721 : 1)
** u= -42/61 ; C1  -10121*x^2 + 5485*y^2 + 7081*z^2
  (2106/2671 : -1013/2671 : 1)  C2b (-39793/84293 : -381/84293 : 1)
** u= -42/65 ; C1  -11969*x^2 + 5989*y^2 + 7921*z^2
  (12282/28019 : -27145/28019 : 1)  C2b (57377/132343 : 9/1487 : 1)
** u= -42/97 ; C1  -32513*x^2 + 11173*y^2 + 15793*z^2
  (13978/29235 : 25289/29235 : 1)  C2b (791/15653 : -309/15653 : 1)
** u= -41/17 ; C1  -338*x^2 - 1970*y^2 + 2*z^2
  (1/13 : 0 : 1)  C2a (-34789/1237 : -55/1237 : 1)
** u= -41/97 ; C1  {+/-} -32818*x^2 + 11090*y^2 + 15682*z^2
  (4652/13149 : 13433/13149 : 1)  C2a (269893/1551531 : -40225/1551531 : 1) C2b (-58/30571 : -443/30571 : 1)
** u= -40/37 ; C1  -2525*x^2 - 2969*y^2 + 2729*z^2
  (-8895/8587 : 698/8587 : 1)  C2a (94124/60191 : -11303/60191 : 1)
** u= -40/79 ; C1  -20165*x^2 - 7841*y^2 + 10961*z^2
  (-461/2353 : -2682/2353 : 1)  C2a (330808/151223 : 55711/151223 : 1)
** u= -40/97 ; C1  -33125*x^2 - 11009*y^2 + 15569*z^2
  (583/4595 : 1074/919 : 1)  C2a (6944/194195 : -1771/194195 : 1)
** u= -39/31 ; C1  {+/-} -1490*x^2 + 2482*y^2 + 1858*z^2
  (-48/43 : 1/43 : 1)  C2a (-183577/26419 : 22617/26419 : 1) C2b (23524/45837 : -4177/45837 : 1)
** u= -38/29 ; C1  -1241*x^2 + 2285*y^2 + 1601*z^2
  (-159/581 : -472/581 : 1)  C2b (2657/4323 : -367/4323 : 1)
** u= -38/31 ; C1  -1537*x^2 + 2405*y^2 + 1873*z^2
  (-353/359 : -144/359 : 1)  C2b (241/1237 : -133/1237 : 1)
** u= -38/35 ; C1  -2249*x^2 + 2669*y^2 + 2441*z^2
  (-46/457 : -435/457 : 1)  C2b (92073/174865 : 13423/174865 : 1)
** u= -38/39 ; C1  -3121*x^2 + 2965*y^2 + 3041*z^2
  (-1807/2023 : 872/2023 : 1)  C2b (-6951/20249 : -1759/20249 : 1)
** u= -38/59 ; C1  -9881*x^2 + 4925*y^2 + 6521*z^2
  (1173/1459 : 1204/7295 : 1)  C2b (2781/8573 : 2033/42865 : 1)
** u= -38/81 ; C1  -21937*x^2 + 8005*y^2 + 11273*z^2
  (-1879/2837 : -1288/2837 : 1)  C2b (46997/267629 : -5631/267629 : 1)
** u= -37/61 ; C1  -10946*x^2 - 5090*y^2 + 6866*z^2
  (-564/721 : 131/721 : 1)  C2a (1079/2569 : -59/2569 : 1)
** u= -37/85 ; C1  -24914*x^2 - 8594*y^2 + 12146*z^2
  (-7740/11701 : -4453/11701 : 1)  C2a (-1417/8737 : -137/8737 : 1)
** u= -37/93 ; C1  -30850*x^2 - 10018*y^2 + 14162*z^2
  (-383/685 : -92/137 : 1)  C2a (-5701/26675 : -1113/26675 : 1)
** u= -36/43 ; C1  -4349*x^2 - 3145*y^2 + 3649*z^2
  (308/1383 : -1445/1383 : 1)  C2a (-4706/7879 : 111/7879 : 1)
** u= -36/53 ; C1  -7709*x^2 - 4105*y^2 + 5329*z^2
  (292/357 : 73/357 : 1)  C2a (-9072/18323 : -7/251 : 1)
** u= -34/15 ; C1  -241*x^2 + 1381*y^2 + 89*z^2
  (43/791 : -200/791 : 1)  C2b (58593/17873 : -301/17873 : 1)
** u= -34/31 ; C1  -1745*x^2 + 2117*y^2 + 1913*z^2
  (-1766/2629 : 1917/2629 : 1)  C2b (-4977/8441 : -581/8441 : 1)
** u= -34/69 ; C1  -15577*x^2 + 5917*y^2 + 8297*z^2
  (646/37459 : -44345/37459 : 1)  C2b (-41/545 : -2199/52865 : 1)
** u= -33/89 ; C1  -28946*x^2 - 9010*y^2 + 12706*z^2
  (827/1257 : -176/1257 : 1)  C2a (-37481/22639 : -6435/22639 : 1)
** u= -33/97 ; C1  -35330*x^2 - 10498*y^2 + 14722*z^2
  (1548/4877 : -5029/4877 : 1)  C2a (1615843/432331 : -275403/432331 : 1)
** u= -32/21 ; C1  -541*x^2 - 1465*y^2 + 761*z^2
  (-236/281 : 143/281 : 1)  C2a (-137788/15237 : 14149/15237 : 1)
** u= -32/31 ; C1  -1861*x^2 - 1985*y^2 + 1921*z^2
  (-628/6447 : -6313/6447 : 1)  C2a (2886/3871 : 83/3871 : 1)
** u= -32/35 ; C1  -2669*x^2 - 2249*y^2 + 2441*z^2
  (3376/3695 : -1137/3695 : 1)  C2a (73714/32471 : -10571/32471 : 1)
** u= -32/39 ; C1  -3637*x^2 - 2545*y^2 + 2993*z^2
  (484/883 : -763/883 : 1)  C2a (-2786/4603 : -129/4603 : 1)
** u= -32/63 ; C1  -12805*x^2 - 4993*y^2 + 6977*z^2
  (-18220/33911 : -27487/33911 : 1)  C2a (110726/35067 : 18721/35067 : 1)
** u= -32/65 ; C1  -13829*x^2 - 5249*y^2 + 7361*z^2
  (5997/10199 : -7150/10199 : 1)  C2a (-27178/80743 : 3013/80743 : 1)
** u= -31/15 ; C1  {+/-} -226*x^2 + 1186*y^2 + 194*z^2
  (-164/847 : -335/847 : 1)  C2a (1813/873 : 7/873 : 1) C2b (-128/97 : 9/97 : 1)
** u= -31/39 ; C1  {+/-} -3730*x^2 + 2482*y^2 + 2978*z^2
  (-124/791 : 853/791 : 1)  C2a (-133318217/7966229 : -20957433/7966229 : 1) C2b (2138/7919 : -609/7919 : 1)
** u= -31/95 ; C1  -34306*x^2 - 9986*y^2 + 13954*z^2
  (-92/535 : 609/535 : 1)  C2a (-66921/88549 : 12109/88549 : 1)
** u= -30/23 ; C1  -785*x^2 + 1429*y^2 + 1009*z^2
  (83/99 : -56/99 : 1)  C2b (-781/859 : 21/859 : 1)
** u= -30/47 ; C1  -6305*x^2 + 3109*y^2 + 4129*z^2
  (618/901 : 551/901 : 1)  C2b (-1303/18993 : 1327/18993 : 1)
** u= -29/13 ; C1  -178*x^2 - 1010*y^2 + 82*z^2
  (-4/137 : 39/137 : 1)  C2a (16603/3891 : -491/3891 : 1)
** u= -28/25 ; C1  -1109*x^2 - 1409*y^2 + 1241*z^2
  (436/785 : -627/785 : 1)  C2a (393296/472319 : -16259/472319 : 1)
** u= -28/45 ; C1  -5869*x^2 - 2809*y^2 + 3761*z^2
  (4/5 : -11/265 : 1)  C2a (-2678/2115 : 22297/112095 : 1)
** u= -28/51 ; C1  -8077*x^2 - 3385*y^2 + 4673*z^2
  (-2116/7183 : -7781/7183 : 1)  C2a (-24566/23873 : -3921/23873 : 1)
** u= -28/61 ; C1  -12557*x^2 - 4505*y^2 + 6353*z^2
  (-128/1009 : 1179/1009 : 1)  C2a (-24364/67747 : -3497/67747 : 1)
** u= -28/65 ; C1  -14629*x^2 - 5009*y^2 + 7081*z^2
  (8996/14137 : 6795/14137 : 1)  C2a (-316328/956517 : -50417/956517 : 1)
** u= -28/69 ; C1  -16861*x^2 - 5545*y^2 + 7841*z^2
  (-7304/13421 : -9617/13421 : 1)  C2a (4814/39169 : -999/39169 : 1)
** u= -28/73 ; C1  -19253*x^2 - 6113*y^2 + 8633*z^2
  (9015/15271 : -8566/15271 : 1)  C2a (675716/991243 : 118543/991243 : 1)
** u= -28/75 ; C1  -20509*x^2 - 6409*y^2 + 9041*z^2
  (-11468/17395 : -2449/17395 : 1)  C2a (10156/131669 : 4569/131669 : 1)
** u= -26/11 ; C1  -137*x^2 + 797*y^2 + 17*z^2
  (-25/179 : -24/179 : 1)  C2b (12859/22317 : 2681/22317 : 1)
** u= -26/53 ; C1  -9209*x^2 + 3485*y^2 + 4889*z^2
  (13629/18709 : 452/18709 : 1)  C2b (-67673/322527 : -7697/322527 : 1)
** u= -26/57 ; C1  -10993*x^2 + 3925*y^2 + 5537*z^2
  (-70/151 : 679/755 : 1)  C2b (154171/926695 : -9861/661925 : 1)
** u= -25/41 ; C1  -4930*x^2 + 2306*y^2 + 3106*z^2
  (460/861 : -739/861 : 1)  C2b (8/25 : 1/25 : 1)
** u= -24/17 ; C1  -389*x^2 - 865*y^2 + 529*z^2
  (736/969 : 575/969 : 1)  C2a (-8374/2461 : -39/107 : 1)
** u= -24/35 ; C1  -3341*x^2 - 1801*y^2 + 2329*z^2
  (549/1577 : 1630/1577 : 1)  C2a (9986242/4260335 : 1597461/4260335 : 1)
** u= -24/61 ; C1  -13325*x^2 - 4297*y^2 + 6073*z^2
  (-1464/3409 : 3127/3409 : 1)  C2a (234/1903 : -59/1903 : 1)
** u= -24/67 ; C1  -16589*x^2 - 5065*y^2 + 7129*z^2
  (-3411/5969 : 3470/5969 : 1)  C2a (6202752/4495747 : 1070149/4495747 : 1)
** u= -23/79 ; C1  -24466*x^2 - 6770*y^2 + 9346*z^2
  (-127/5883 : -6908/5883 : 1)  C2a (-9122429/23788161 : 2039453/23788161 : 1)
** u= -22/15 ; C1  -289*x^2 + 709*y^2 + 401*z^2
  (550/493 : 7/29 : 1)  C2b (-154331/200681 : -16137/200681 : 1)
** u= -22/21 ; C1  -841*x^2 + 925*y^2 + 881*z^2
  (17/29 : 4/5 : 1)  C2b (-123/1063 : -109/1063 : 1)
** u= -22/27 ; C1  -1753*x^2 + 1213*y^2 + 1433*z^2
  (1639/1831 : -280/1831 : 1)  C2b (-87/5375 : 481/5375 : 1)
** u= -22/47 ; C1  -7393*x^2 + 2693*y^2 + 3793*z^2
  (3719/7135 : -5808/7135 : 1)  C2b (917/21115 : -749/21115 : 1)
** u= -21/13 ; C1  {+/-} -194*x^2 + 610*y^2 + 274*z^2
  (-332/453 : 239/453 : 1)  C2a (13287/4807 : -1147/4807 : 1) C2b (1022/1797 : 187/1797 : 1)
** u= -20/13 ; C1  -205*x^2 - 569*y^2 + 289*z^2
  (119/111 : 34/111 : 1)  C2a (176/51 : -1/3 : 1)
** u= -20/17 ; C1  -485*x^2 - 689*y^2 + 569*z^2
  (32/197 : -177/197 : 1)  C2a (45932/54107 : -1129/54107 : 1)
** u= -20/63 ; C1  -15205*x^2 - 4369*y^2 + 6089*z^2
  (-2504/4463 : -2437/4463 : 1)  C2a (-201044/84905 : -34341/84905 : 1)
** u= -17/33 ; C1  -3490*x^2 - 1378*y^2 + 1922*z^2
  (620/973 : 589/973 : 1)  C2a (-141511/275993 : 639/8903 : 1)
** u= -17/73 ; C1  -21970*x^2 - 5618*y^2 + 7522*z^2
  (7/13 : 24/53 : 1)  C2a (31/1017 : -3703/53901 : 1)
** u= -17/89 ; C1  -33842*x^2 - 8210*y^2 + 10658*z^2
  (-2847/5381 : -2044/5381 : 1)  C2a (-67/949 : 1/13 : 1)
** u= -16/9 ; C1  -85*x^2 - 337*y^2 + 113*z^2
  (-20/53 : 29/53 : 1)  C2a (1582/829 : 87/829 : 1)
** u= -16/29 ; C1  -2605*x^2 - 1097*y^2 + 1513*z^2
  (-376/509 : 147/509 : 1)  C2a (-2534/4803 : -329/4803 : 1)
** u= -16/61 ; C1  -14957*x^2 - 3977*y^2 + 5417*z^2
  (5308/8885 : -1251/8885 : 1)  C2a (44/65 : -817/6305 : 1)
** u= -16/93 ; C1  -37549*x^2 - 8905*y^2 + 11369*z^2
  (124067/282967 : -193186/282967 : 1)  C2a (6244/1129 : 1017/1129 : 1)
** u= -16/99 ; C1  -42925*x^2 - 10057*y^2 + 12713*z^2
  (-131581/307465 : -42710/61493 : 1)  C2a (-24016/11703 : 3991/11703 : 1)
** u= -15/31 ; C1  {+/-} -3170*x^2 + 1186*y^2 + 1666*z^2
  (-84/139 : -91/139 : 1)  C2a (97/337 : 9/337 : 1) C2b (3104/16121 : -57/2303 : 1)
** u= -14/9 ; C1  -97*x^2 + 277*y^2 + 137*z^2
  (-179/161 : 40/161 : 1)  C2b (-1341/1853 : -169/1853 : 1)
** u= -14/17 ; C1  -689*x^2 + 485*y^2 + 569*z^2
  (122/187 : -141/187 : 1)  C2b (11/21 : 79/2037 : 1)
** u= -14/23 ; C1  -1553*x^2 + 725*y^2 + 977*z^2
  (-6/49 : -281/245 : 1)  C2b (2121/8909 : -2377/44545 : 1)
** u= -13/21 ; C1  {+/-} -1282*x^2 + 610*y^2 + 818*z^2
  (2596/3397 : -1145/3397 : 1)  C2a (51239/3343 : -8517/3343 : 1) C2b (1154/3173 : -99/3173 : 1)
** u= -13/45 ; C1  -7954*x^2 - 2194*y^2 + 3026*z^2
  (-2704/4385 : -113/4385 : 1)  C2a (2947/8507 : 693/8507 : 1)
** u= -12/23 ; C1  -1685*x^2 - 673*y^2 + 937*z^2
  (-216/1303 : 1499/1303 : 1)  C2a (-12/35 : -1/35 : 1)
** u= -12/49 ; C1  -9797*x^2 - 2545*y^2 + 3433*z^2
  (4752/12449 : 11051/12449 : 1)  C2a (-1038/4649 : -353/4649 : 1)
** u= -12/59 ; C1  -14717*x^2 - 3625*y^2 + 4753*z^2
  (588/4699 : 26243/23495 : 1)  C2a (-502/679 : 69/485 : 1)
** u= -12/83 ; C1  -30605*x^2 - 7033*y^2 + 8737*z^2
  (-5748/10759 : -163/10759 : 1)  C2a (-677642/126935 : 108969/126935 : 1)
** u= -11/35 ; C1  -4706*x^2 - 1346*y^2 + 1874*z^2
  (-45/127 : -124/127 : 1)  C2a (1813/7775 : 499/7775 : 1)
** u= -11/59 ; C1  -14930*x^2 - 3602*y^2 + 4658*z^2
  (3292/12599 : -12663/12599 : 1)  C2a (-3893/1259 : 643/1259 : 1)
** u= -10/7 ; C1  -65*x^2 + 149*y^2 + 89*z^2
  (375/331 : -64/331 : 1)  C2b (-603/593 : -13/593 : 1)
** u= -10/17 ; C1  -865*x^2 + 389*y^2 + 529*z^2
  (575/969 : 736/969 : 1)  C2b (-403/1127 : 1/49 : 1)
** u= -9/97 ; C1  -43634*x^2 - 9490*y^2 + 11074*z^2
  (504/3089 : 3157/3089 : 1)  C2a (2563791/11744159 : -162517/1677737 : 1)
** u= -8/7 ; C1  -85*x^2 - 113*y^2 + 97*z^2
  (548/519 : -73/519 : 1)  C2a (-23392/21825 : 2041/21825 : 1)
** u= -8/23 ; C1  -1973*x^2 - 593*y^2 + 833*z^2
  (-588/983 : -455/983 : 1)  C2a (3104/3983 : 79/569 : 1)
** u= -8/25 ; C1  -2389*x^2 - 689*y^2 + 961*z^2
  (-31/475 : -558/475 : 1)  C2a (2742/5053 : 17/163 : 1)
** u= -8/59 ; C1  -15581*x^2 - 3545*y^2 + 4361*z^2
  (-5033/9517 : -294/9517 : 1)  C2a (24662/17773 : -601/2539 : 1)
** u= -8/63 ; C1  -17893*x^2 - 4033*y^2 + 4913*z^2
  (-3553/8293 : -5270/8293 : 1)  C2a (8314/5865 : -83/345 : 1)
** u= -8/85 ; C1  -33469*x^2 - 7289*y^2 + 8521*z^2
  (5407/15131 : -11550/15131 : 1)  C2a (3702/4195 : 689/4195 : 1)
** u= -8/97 ; C1  -44005*x^2 - 9473*y^2 + 10897*z^2
  (752/56441 : 60513/56441 : 1)  C2a (-152056/63243 : 24131/63243 : 1)
** u= -7/71 ; C1  -23266*x^2 - 5090*y^2 + 5986*z^2
  (-377/4743 : 5080/4743 : 1)  C2a (-108187/60807 : -17713/60807 : 1)
** u= -7/79 ; C1  -29042*x^2 - 6290*y^2 + 7298*z^2
  (-416/2527 : -2571/2527 : 1)  C2a (-12697/31001 : 3445/31001 : 1)
** u= -6/7 ; C1  -113*x^2 + 85*y^2 + 97*z^2
  (-18/29 : 23/29 : 1)  C2b (1361/16587 : -1525/16587 : 1)
** u= -5/13 ; C1  -610*x^2 - 194*y^2 + 274*z^2
  (-55/93 : -52/93 : 1)  C2a (3/7 : -53/679 : 1)
** u= -4/5 ; C1  -61*x^2 - 41*y^2 + 49*z^2
  (-175/199 : 42/199 : 1)  C2a (-198/343 : 1/49 : 1)
** u= -4/9 ; C1  -277*x^2 - 97*y^2 + 137*z^2
  (23/95 : 106/95 : 1)  C2a (2 : -33/97 : 1)
** u= -4/17 ; C1  -1189*x^2 - 305*y^2 + 409*z^2
  (-23/47 : -30/47 : 1)  C2a (-6 : 1 : 1)
** u= -4/35 ; C1  -5581*x^2 - 1241*y^2 + 1489*z^2
  (-1487/7201 : -7230/7201 : 1)  C2a (93408/294827 : -29777/294827 : 1)
** u= -4/81 ; C1  -31525*x^2 - 6577*y^2 + 7193*z^2
  (11116/38905 : 6521/7781 : 1)  C2a (27146/40827 : 5659/40827 : 1)
** u= -4/91 ; C1  -39965*x^2 - 8297*y^2 + 8993*z^2
  (2967/6281 : -598/6281 : 1)  C2a (-146548/153571 : 1151/6677 : 1)
** u= -4/93 ; C1  -41773*x^2 - 8665*y^2 + 9377*z^2
  (2404/9773 : -8689/9773 : 1)  C2a (634/2377 : 249/2377 : 1)
** u= -3/67 ; C1  -21650*x^2 - 4498*y^2 + 4882*z^2
  (-1377/24095 : 4984/4819 : 1)  C2a (2627/6571 : 747/6571 : 1)
** u= -2/3 ; C1  -25*x^2 + 13*y^2 + 17*z^2
  (-2/5 : -1 : 1)  C2b (27/61 : 1/61 : 1)
** u= -1 ; C1  {+/-} -2*x^2 + 2*y^2 + 2*z^2
  (1 : 0 : 1)  C2a (-19/25 : 1/25 : 1) C2b (-6/13 : -1/13 : 1)
** u= -1/9 ; C1  -370*x^2 - 82*y^2 + 98*z^2
  (-7/53 : 56/53 : 1)  C2a (-20807/9261 : 481/1323 : 1)
** u= -1/89 ; C1  -39250*x^2 - 7922*y^2 + 8098*z^2
  (-7/69 : -68/69 : 1)  C2a (12957/16811 : -2527/16811 : 1)
** u= -1/97 ; C1  -46658*x^2 - 9410*y^2 + 9602*z^2
  (-523/1381 : -768/1381 : 1)  C2a (-16549/7987 : 2531/7987 : 1)
** u= 0 ; C1  -5*x^2 - y^2 + z^2
  (0 : 1 : 1)  C2a (-6/5 : 1/5 : 1)
** u= 1/15 ; C1  -1186*x^2 - 226*y^2 + 194*z^2
  (109/283 : -80/283 : 1)  C2a (-1129/1455 : 217/1455 : 1)
** u= 1/63 ; C1  -20098*x^2 - 3970*y^2 + 3842*z^2
  (-2129/4967 : -964/4967 : 1)  C2a (54287/56799 : -9649/56799 : 1)
** u= 3/37 ; C1  -7298*x^2 - 1378*y^2 + 1138*z^2
  (-1728/12005 : 10159/12005 : 1)  C2a (-7253/6181 : 1161/6181 : 1)
** u= 3/53 ; C1  -14690*x^2 - 2818*y^2 + 2482*z^2
  (-3605/9897 : -4304/9897 : 1)  C2a (11837/25855 : 3189/25855 : 1)
** u= 3/77 ; C1  -30578*x^2 - 5938*y^2 + 5458*z^2
  (-708/8557 : 8045/8557 : 1)  C2a (16591/43033 : -5073/43033 : 1)
** u= 4/17 ; C1  -1733*x^2 - 305*y^2 + 137*z^2
  (329/2423 : 1422/2423 : 1)  C2a (17854/7153 : -1913/7153 : 1)
** u= 4/35 ; C1  -6701*x^2 - 1241*y^2 + 929*z^2
  (240/911 : -557/911 : 1)  C2a (-177668/437 : 22073/437 : 1)
** u= 4/61 ; C1  -19597*x^2 - 3737*y^2 + 3217*z^2
  (3092/8257 : -2925/8257 : 1)  C2a (-6928/42669 : -4681/42669 : 1)
** u= 4/81 ; C1  -34117*x^2 - 6577*y^2 + 5897*z^2
  (1636/5185 : 3197/5185 : 1)  C2a (-25666/41955 : -5659/41955 : 1)
** u= 4/91 ; C1  -42877*x^2 - 8297*y^2 + 7537*z^2
  (1796/10719 : -9365/10719 : 1)  C2a (-37122/56525 : 7843/56525 : 1)
** u= 7/25 ; C1  -3874*x^2 - 674*y^2 + 226*z^2
  (-136/565 : 27/565 : 1)  C2a (527/2655 : -319/2655 : 1)
** u= 7/33 ; C1  -6418*x^2 - 1138*y^2 + 578*z^2
  (425/1429 : 136/1429 : 1)  C2a (-203537/14025 : 1229/825 : 1)
** u= 7/41 ; C1  -9602*x^2 - 1730*y^2 + 1058*z^2
  (-92/521 : 345/521 : 1)  C2a (51869/22517 : 277/979 : 1)
** u= 8/21 ; C1  -2941*x^2 - 505*y^2 + 41*z^2
  (-6028/67517 : 12589/67517 : 1)  C2a (7838/1883 : 393/1883 : 1)
** u= 8/23 ; C1  -3445*x^2 - 593*y^2 + 97*z^2
  (109/1761 : -662/1761 : 1)  C2a (31738/3201 : -1883/3201 : 1)
** u= 8/59 ; C1  -19357*x^2 - 3545*y^2 + 2473*z^2
  (6836/19167 : 1055/19167 : 1)  C2a (-2612/699 : -323/699 : 1)
** u= 8/63 ; C1  -21925*x^2 - 4033*y^2 + 2897*z^2
  (-1159/5725 : 806/1145 : 1)  C2a (-134/87 : 19/87 : 1)
** u= 8/85 ; C1  -38909*x^2 - 7289*y^2 + 5801*z^2
  (695/7699 : 6678/7699 : 1)  C2a (150046/9491 : 19249/9491 : 1)
** u= 8/97 ; C1  -50213*x^2 - 9473*y^2 + 7793*z^2
  (2120/33253 : 29763/33253 : 1)  C2a (-593236/124955 : 78451/124955 : 1)
** u= 11/53 ; C1  -16498*x^2 - 2930*y^2 + 1522*z^2
  (368/5001 : 3497/5001 : 1)  C2a (-8353/1269 : 877/1269 : 1)
** u= 12/29 ; C1  -5741*x^2 - 985*y^2 + z^2
  (13/987 : -2/987 : 1)  C2a (2136/71 : -13/71 : 1)
** u= 12/47 ; C1  -13445*x^2 - 2353*y^2 + 937*z^2
  (-180/2371 : -1433/2371 : 1)  C2a (-22756/1805 : 2073/1805 : 1)
** u= 12/59 ; C1  -20381*x^2 - 3625*y^2 + 1921*z^2
  (-93/397 : 934/1985 : 1)  C2a (-5432/5567 : -861/5567 : 1)
** u= 12/83 ; C1  -38573*x^2 - 7033*y^2 + 4753*z^2
  (-9576/28279 : 6125/28279 : 1)  C2a (-23178/98455 : -1639/14065 : 1)
** u= 12/85 ; C1  -40349*x^2 - 7369*y^2 + 5041*z^2
  (5112/20485 : 11999/20485 : 1)  C2a (45086/51191 : 111/721 : 1)
** u= 12/89 ; C1  -44021*x^2 - 8065*y^2 + 5641*z^2
  (-3264/19381 : 14303/19381 : 1)  C2a (34946/48151 : 6855/48151 : 1)
** u= 15/97 ; C1  -53090*x^2 - 9634*y^2 + 6274*z^2
  (-1344/4457 : 1727/4457 : 1)  C2a (-1439/1765 : -261/1765 : 1)
** u= 16/55 ; C1  -18901*x^2 - 3281*y^2 + 1009*z^2
  (-331/1473 : -190/1473 : 1)  C2a (204222/89765 : 19471/89765 : 1)
** u= 16/61 ; C1  -22765*x^2 - 3977*y^2 + 1513*z^2
  (-308/1389 : 437/1389 : 1)  C2a (-722/201 : -6619/19497 : 1)
** u= 16/93 ; C1  -49453*x^2 - 8905*y^2 + 5417*z^2
  (331/2303 : -1618/2303 : 1)  C2a (-3483182/137401 : 390411/137401 : 1)
** u= 19/77 ; C1  -35858*x^2 - 6290*y^2 + 2642*z^2
  (16/31037 : 20115/31037 : 1)  C2a (-4007/8491 : 1069/8491 : 1)
** u= 20/63 ; C1  -25285*x^2 - 4369*y^2 + 1049*z^2
  (52/3607 : -1763/3607 : 1)  C2a (-39116/19009 : 3573/19009 : 1)
** u= 20/67 ; C1  -28205*x^2 - 4889*y^2 + 1409*z^2
  (-6952/36871 : -10629/36871 : 1)  C2a (2070592/100355 : -160063/100355 : 1)
** u= 21/67 ; C1  -28514*x^2 - 4930*y^2 + 1234*z^2
  (264/2339 : 983/2339 : 1)  C2a (-57/103 : -13/103 : 1)
** u= 23/97 ; C1  -56498*x^2 - 9938*y^2 + 4418*z^2
  (5076/43769 : -26555/43769 : 1)  C2a (-285553/60395 : 601/1285 : 1)
** u= 24/67 ; C1  -29453*x^2 - 5065*y^2 + 697*z^2
  (-4587/34201 : 6214/34201 : 1)  C2a (-197014/74587 : 13815/74587 : 1)
** u= 25/63 ; C1  -26770*x^2 - 4594*y^2 + 194*z^2
  (-227/2687 : -68/2687 : 1)  C2a (-8533/1455 : 307/1455 : 1)
** u= 25/79 ; C1  -39730*x^2 - 6866*y^2 + 1666*z^2
  (-2548/12507 : -623/12507 : 1)  C2a (-43781/32361 : -709/4623 : 1)
** u= 28/69 ; C1  -32317*x^2 - 5545*y^2 + 113*z^2
  (-512/36481 : 5059/36481 : 1)  C2a (2349118/18911 : -48207/18911 : 1)
** u= 28/73 ; C1  -35605*x^2 - 6113*y^2 + 457*z^2
  (71/2079 : 542/2079 : 1)  C2a (760286/39573 : 30229/39573 : 1)
** u= 28/75 ; C1  -37309*x^2 - 6409*y^2 + 641*z^2
  (688/6959 : 1445/6959 : 1)  C2a (-688934/139525 : -35523/139525 : 1)
** u= 29/83 ; C1  -44914*x^2 - 7730*y^2 + 1234*z^2
  (-2984/18111 : -791/18111 : 1)  C2a (-269/261 : -35/261 : 1)
** u= 31/81 ; C1  -43810*x^2 - 7522*y^2 + 578*z^2
  (-85/1229 : -272/1229 : 1)  C2a (-24907/9691 : -1533/9691 : 1)
** u= 35/93 ; C1  -57490*x^2 - 9874*y^2 + 914*z^2
  (-8365/87917 : 17552/87917 : 1)  C2a (16489/3849 : 857/3849 : 1)
** u= 37/91 ; C1  -56242*x^2 - 9650*y^2 + 178*z^2
  (-164/3991 : -1851/19955 : 1)  C2a (-1043/27 : 103/135 : 1)
** u= 40/97 ; C1  -64165*x^2 - 11009*y^2 + 49*z^2
  (-371/27983 : 1638/27983 : 1)  C2a (-146704/8925 : 253/1275 : 1)
294
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+578*C^4=4*D^4(n=17のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.05.12追記]u=-52/53のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.15
H.Nakao

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