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Integer Points on A^4+B^4+2*C^4=4*D^4

[2026.05.01]A^4+B^4+2*C^4=4*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+2*n^2*C^4=4*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=tとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+2*n^2*t^4=4
       x^4+6*x^2*y^2+y^4+n^2*t^4=2 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       (u^2+1)*y^2=--(u^2+4*u+5)*x^2-(u^2+2*u-1) ----------(5a)
       ±n*(u^2+1)*t^2=2*(u^2+2*u-1)*x^2+(u^2-2*u^1) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-u^2 - 4*u - 5)/(u^2 + 1))*x^2 + ((-u^2 - 2*u + 1)/(u^2 + 1))
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((2*u^2 + 4*u - 2)/(n*u^2 + n))*x^2 + ((u^2 - 2*u - 1)/(n*u^2 + n))
gp > x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2+n^2*TT2(n,u,x)^2
%5 = 2

■２次曲線(5a),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a)の右辺の判別式は
    -4*(u^2+4*u+5)*(u^2*2+u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    -4*2*(u^2+2*u-1)*(u^2-2*u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=1とする。Pari/GPで簡単なプログラムを作成して、小さい整数解を調べると、
    1^4+1^4+2*1^4=4*1^4
    11^4+43^4+2*19^4=4*31^4
    21^4+37^4+2*13^4=4*27^4
    121^4+223^4+2*19^4=4*161^4
    209^4+471^4+2*717^4=4*617^4
が見つかった。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように(重複を含む)422個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(1,1,100);
** u= -100/47 ; C1  -2245*x^2 - 12209*y^2 + 1609*z^2
  (16/27 : 7/27 : 1)  C2a (-19110/11 : -9811/11 : 1)
** u= -100/63 ; C1  -4645*x^2 - 13969*y^2 + 6569*z^2
  (2960/3007 : 1157/3007 : 1)  C2a (-44320/3679 : -42771/3679 : 1)
** u= -100/77 ; C1  -8845*x^2 - 15929*y^2 + 11329*z^2
  (13633/23591 : 17106/23591 : 1)  C2a (4679940/3251351 : -4269901/3251351 : 1)
** u= -100/79 ; C1  -9605*x^2 - 16241*y^2 + 12041*z^2
  (-9375/12721 : 8246/12721 : 1)  C2a (-168920/13277 : -205177/13277 : 1)
** u= -100/87 ; C1  -13045*x^2 - 17569*y^2 + 14969*z^2
  (10972/10679 : 2789/10679 : 1)  C2a (-15440/9779 : -17271/9779 : 1)
** u= -99/43 ; C1  {+/-} -2018*x^2 + 11650*y^2 + 562*z^2
  (-376/1167 : 203/1167 : 1)  C2a (3985/917 : 2931/4585 : 1) C2b (398/159 : 143/159 : 1)
** u= -99/91 ; C1  {+/-} -15170*x^2 + 18082*y^2 + 16498*z^2
  (-20299/20967 : -7444/20967 : 1)  C2a (-2795/3629 : 159/3629 : 1) C2b (-8780/18403 : 15009/18403 : 1)
** u= -98/41 ; C1  -1937*x^2 + 11285*y^2 + 113*z^2
  (-903/5329 : -380/5329 : 1)  C2b (-7257/1061 : 733/1061 : 1)
** u= -98/55 ; C1  -3169*x^2 + 12629*y^2 + 4201*z^2
  (-7087/6195 : -404/6195 : 1)  C2b (-55/43 : 23/43 : 1)
** u= -98/87 ; C1  -13345*x^2 + 17173*y^2 + 15017*z^2
  (46039/43963 : -6556/43963 : 1)  C2b (-191/401 : -339/401 : 1)
** u= -98/89 ; C1  -14321*x^2 + 17525*y^2 + 15761*z^2
  (2425/2417 : -3348/12085 : 1)  C2b (-37/51 : -97/255 : 1)
** u= -98/95 ; C1  -17489*x^2 + 18629*y^2 + 18041*z^2
  (11690/12377 : -4479/12377 : 1)  C2b (5535/7669 : -1129/7669 : 1)
** u= -97/41 ; C1  {+/-} -1906*x^2 + 11090*y^2 + 226*z^2
  (284/3769 : -525/3769 : 1)  C2a (-647/63 : 107/63 : 1) C2b (8578/1573 : 707/1573 : 1)
** u= -97/49 ; C1  -2402*x^2 - 11810*y^2 + 2498*z^2
  (789/797 : 88/797 : 1)  C2a (-2413/649 : 1369/649 : 1)
** u= -97/73 ; C1  -7730*x^2 + 14738*y^2 + 10082*z^2
  (7100/6473 : -1491/6473 : 1)  C2b (12/97 : -107/97 : 1)
** u= -96/49 ; C1  -2405*x^2 - 11617*y^2 + 2593*z^2
  (108/1289 : 607/1289 : 1)  C2a (28536/6271 : -17567/6271 : 1)
** u= -96/65 ; C1  -5381*x^2 - 13441*y^2 + 7489*z^2
  (-1213/11415 : -8486/11415 : 1)  C2a (43078/13721 : 42699/13721 : 1)
** u= -94/59 ; C1  -4057*x^2 + 12317*y^2 + 5737*z^2
  (10910/10021 : 2751/10021 : 1)  C2b (-15137/16907 : 12971/16907 : 1)
** u= -94/67 ; C1  -6089*x^2 + 13325*y^2 + 8249*z^2
  (446/401 : 93/401 : 1)  C2b (6885/6899 : 6761/34495 : 1)
** u= -94/75 ; C1  -8761*x^2 + 14461*y^2 + 10889*z^2
  (9815/10199 : 4468/10199 : 1)  C2b (4343/6499 : 4707/6499 : 1)
** u= -94/85 ; C1  -13001*x^2 + 16061*y^2 + 14369*z^2
  (-19839/23597 : -13400/23597 : 1)  C2b (273/349 : -7/349 : 1)
** u= -92/47 ; C1  -2213*x^2 - 10673*y^2 + 2393*z^2
  (2169/2465 : 622/2465 : 1)  C2a (1490/163 : -979/163 : 1)
** u= -92/61 ; C1  -4621*x^2 - 12185*y^2 + 6481*z^2
  (847/1647 : -1082/1647 : 1)  C2a (6948/6257 : -227/6257 : 1)
** u= -92/77 ; C1  -9773*x^2 - 14393*y^2 + 11633*z^2
  (-24740/37157 : 26463/37157 : 1)  C2a (-8518/9697 : -2857/9697 : 1)
** u= -92/85 ; C1  -13309*x^2 - 15689*y^2 + 14401*z^2
  (-12076/19153 : 14595/19153 : 1)  C2a (-2944310/709101 : 3920917/709101 : 1)
** u= -92/93 ; C1  -17485*x^2 - 17113*y^2 + 17297*z^2
  (18809/21143 : 9506/21143 : 1)  C2a (-37832/36603 : 5657/5229 : 1)
** u= -91/51 ; C1  {+/-} -2722*x^2 + 10882*y^2 + 3602*z^2
  (3056/4111 : 1805/4111 : 1)  C2a (6775/2261 : -4833/2261 : 1) C2b (526/761 : 783/761 : 1)
** u= -91/67 ; C1  {+/-} -6338*x^2 + 12770*y^2 + 8402*z^2
  (1911/3067 : 2092/3067 : 1)  C2a (481/77 : -545/77 : 1) C2b (654/787 : -461/787 : 1)
** u= -91/83 ; C1  {+/-} -12514*x^2 + 15170*y^2 + 13714*z^2
  (1292/5047 : 4653/5047 : 1)  C2a (-14019/5641 : -17909/5641 : 1) C2b (-218/757 : -733/757 : 1)
** u= -91/99 ; C1  {+/-} -21250*x^2 + 18082*y^2 + 19538*z^2
  (-18704/35575 : -1237/1423 : 1)  C2a (103/83 : -129/83 : 1) C2b (958/8233 : 7737/8233 : 1)
** u= -90/41 ; C1  -1745*x^2 + 9781*y^2 + 961*z^2
  (2511/4633 : -992/4633 : 1)  C2b (-117011/67797 : 1987/2187 : 1)
** u= -90/49 ; C1  -2465*x^2 + 10501*y^2 + 3121*z^2
  (-106/303 : -157/303 : 1)  C2b (919/4803 : 5603/4803 : 1)
** u= -90/71 ; C1  -7745*x^2 + 13141*y^2 + 9721*z^2
  (6369/5699 : 344/5699 : 1)  C2b (-1055/1763 : 1449/1763 : 1)
** u= -90/73 ; C1  -8465*x^2 + 13429*y^2 + 10369*z^2
  (-1878/3539 : 2729/3539 : 1)  C2b (-88015/149821 : 120963/149821 : 1)
** u= -89/41 ; C1  -1730*x^2 + 9602*y^2 + 1058*z^2
  (345/521 : -92/521 : 1)  C2b (1452/1817 : 89/79 : 1)
** u= -89/49 ; C1  {+/-} -2482*x^2 + 10322*y^2 + 3202*z^2
  (1756/2349 : -985/2349 : 1)  C2a (12625/4659 : 8303/4659 : 1) C2b (2030/1487 : -703/1487 : 1)
** u= -89/81 ; C1  -11890*x^2 - 14482*y^2 + 13058*z^2
  (-191/1181 : -1108/1181 : 1)  C2a (58373/54293 : 54159/54293 : 1)
** u= -89/97 ; C1  -20434*x^2 + 17330*y^2 + 18754*z^2
  (148/173 : -81/173 : 1)  C2b (182/283 : 35/283 : 1)
** u= -88/41 ; C1  -1717*x^2 - 9425*y^2 + 1153*z^2
  (-5/7 : -6/35 : 1)  C2a (64/9 : -149/45 : 1)
** u= -88/57 ; C1  -3925*x^2 - 10993*y^2 + 5537*z^2
  (-6944/6445 : 385/1289 : 1)  C2a (-6406/4809 : -469/687 : 1)
** u= -88/73 ; C1  -8693*x^2 - 13073*y^2 + 10433*z^2
  (4516/5405 : -3123/5405 : 1)  C2a (-5000/2017 : -5929/2017 : 1)
** u= -86/37 ; C1  -1513*x^2 + 8765*y^2 + 337*z^2
  (-5941/21033 : -3304/21033 : 1)  C2b (1367/389 : 265/389 : 1)
** u= -86/83 ; C1  -13289*x^2 + 14285*y^2 + 13769*z^2
  (-1799/4471 : -4032/4471 : 1)  C2b (-5973/8183 : -103/1169 : 1)
** u= -86/85 ; C1  -14281*x^2 + 14621*y^2 + 14449*z^2
  (16379/24577 : -18300/24577 : 1)  C2b (9997/38069 : 35617/38069 : 1)
** u= -86/99 ; C1  -22345*x^2 + 17197*y^2 + 19433*z^2
  (107879/139247 : 82396/139247 : 1)  C2b (-3755/52829 : -48387/52829 : 1)
** u= -84/37 ; C1  -1469*x^2 - 8425*y^2 + 529*z^2
  (-92/381 : 437/1905 : 1)  C2a (140/23 : -9/5 : 1)
** u= -84/47 ; C1  -2309*x^2 - 9265*y^2 + 3049*z^2
  (-2877/3533 : 1430/3533 : 1)  C2a (-229326/53179 : 175283/53179 : 1)
** u= -84/53 ; C1  -3293*x^2 - 9865*y^2 + 4657*z^2
  (-264/7477 : 5135/7477 : 1)  C2a (3714/3103 : -433/3103 : 1)
** u= -84/55 ; C1  -3701*x^2 - 10081*y^2 + 5209*z^2
  (-5807/7569 : 4150/7569 : 1)  C2a (11930/3541 : -11427/3541 : 1)
** u= -84/79 ; C1  -11717*x^2 - 13297*y^2 + 12457*z^2
  (-14205/14701 : 4966/14701 : 1)  C2a (12444/16549 : -31/16549 : 1)
** u= -83/35 ; C1  {+/-} -1394*x^2 + 8114*y^2 + 146*z^2
  (24/83 : 5/83 : 1)  C2a (-6215/989 : 83/989 : 1) C2b (1248/259 : -197/259 : 1)
** u= -83/43 ; C1  {+/-} -1858*x^2 + 8738*y^2 + 2098*z^2
  (2104/2615 : -837/2615 : 1)  C2a (2315/291 : 1567/291 : 1) C2b (-17114/55241 : 64127/55241 : 1)
** u= -83/51 ; C1  -2962*x^2 - 9490*y^2 + 4178*z^2
  (-532/799 : 439/799 : 1)  C2a (-2363/1799 : -753/1799 : 1)
** u= -83/67 ; C1  {+/-} -7090*x^2 + 11378*y^2 + 8722*z^2
  (2128/5011 : -4053/5011 : 1)  C2a (13005/6587 : -2059/941 : 1) C2b (2260/13531 : -2069/1933 : 1)
** u= -83/91 ; C1  {+/-} -18082*x^2 + 15170*y^2 + 16498*z^2
  (-8447/15611 : -13416/15611 : 1)  C2a (32047/40809 : -26987/40809 : 1) C2b (34/53 : 5/53 : 1)
** u= -82/65 ; C1  -6529*x^2 + 10949*y^2 + 8161*z^2
  (2098/7455 : 6229/7455 : 1)  C2b (-92179/153097 : 124511/153097 : 1)
** u= -82/79 ; C1  -12017*x^2 + 12965*y^2 + 12473*z^2
  (-979/2663 : 2436/2663 : 1)  C2b (-33459/45647 : 2405/45647 : 1)
** u= -82/95 ; C1  -20689*x^2 + 15749*y^2 + 17881*z^2
  (-13862/15325 : 3771/15325 : 1)  C2b (3311/11483 : 9289/11483 : 1)
** u= -82/97 ; C1  -21953*x^2 + 16133*y^2 + 18593*z^2
  (-4666/19951 : 20715/19951 : 1)  C2b (-35155/65181 : 25171/65181 : 1)
** u= -81/41 ; C1  -1682*x^2 - 8242*y^2 + 1762*z^2
  (-620/609 : -1/21 : 1)  C2a (-6635/3493 : -1329/3493 : 1)
** u= -81/49 ; C1  -2690*x^2 + 8962*y^2 + 3778*z^2
  (-1436/3909 : -2413/3909 : 1)  C2b (280/823 : 921/823 : 1)
** u= -81/73 ; C1  {+/-} -9554*x^2 + 11890*y^2 + 10594*z^2
  (-1304/4221 : 3809/4221 : 1)  C2a (5739/851 : 7609/851 : 1) C2b (-13712/22903 : 15525/22903 : 1)
** u= -81/97 ; C1  -22178*x^2 - 15970*y^2 + 18562*z^2
  (2656/2937 : -479/2937 : 1)  C2a (7473/2801 : 11113/2801 : 1)
** u= -80/51 ; C1  -3085*x^2 - 9001*y^2 + 4361*z^2
  (532/479 : 119/479 : 1)  C2a (-2482/1589 : -231/227 : 1)
** u= -80/81 ; C1  -13285*x^2 - 12961*y^2 + 13121*z^2
  (872/1057 : -593/1057 : 1)  C2a (171856/71087 : -234111/71087 : 1)
** u= -80/83 ; C1  -14285*x^2 - 13289*y^2 + 13769*z^2
  (-1316/1367 : 273/1367 : 1)  C2a (-10490/3101 : -2113/443 : 1)
** u= -78/43 ; C1  -1913*x^2 + 7933*y^2 + 2473*z^2
  (1986/1801 : 245/1801 : 1)  C2b (15077/11903 : 7329/11903 : 1)
** u= -78/85 ; C1  -15689*x^2 + 13309*y^2 + 14401*z^2
  (5745/12053 : -10876/12053 : 1)  C2b (-18821/42573 : -29729/42573 : 1)
** u= -76/37 ; C1  -1373*x^2 - 7145*y^2 + 1217*z^2
  (-192/241 : 53/241 : 1)  C2a (4196/2027 : 479/2027 : 1)
** u= -76/47 ; C1  -2533*x^2 - 7985*y^2 + 3577*z^2
  (49/1193 : 798/1193 : 1)  C2a (4516/1257 : 4019/1257 : 1)
** u= -76/69 ; C1  -8605*x^2 - 10537*y^2 + 9473*z^2
  (-1096/3349 : 3017/3349 : 1)  C2a (18890/10673 : 22743/10673 : 1)
** u= -76/71 ; C1  -9397*x^2 - 10817*y^2 + 10057*z^2
  (3005/5189 : 4146/5189 : 1)  C2a (-5630/3039 : 7007/3039 : 1)
** u= -76/85 ; C1  -16061*x^2 - 13001*y^2 + 14369*z^2
  (4471/4727 : 30/4727 : 1)  C2a (5786/3823 : -7817/3823 : 1)
** u= -76/93 ; C1  -20749*x^2 - 14425*y^2 + 17009*z^2
  (13217/19999 : 74218/99995 : 1)  C2a (2336/3585 : 8417/17925 : 1)
** u= -74/31 ; C1  -1105*x^2 + 6437*y^2 + 73*z^2
  (-293/1551 : -112/1551 : 1)  C2b (16831/2341 : 1151/2341 : 1)
** u= -74/63 ; C1  -6673*x^2 + 9445*y^2 + 7817*z^2
  (503/2131 : -1892/2131 : 1)  C2b (-1213/5489 : -5667/5489 : 1)
** u= -74/65 ; C1  -7361*x^2 + 9701*y^2 + 8369*z^2
  (-783/2521 : 2240/2521 : 1)  C2b (15915/20197 : -4483/20197 : 1)
** u= -74/73 ; C1  -10513*x^2 + 10805*y^2 + 10657*z^2
  (-761/2417 : -2280/2417 : 1)  C2b (6263/13111 : 9841/13111 : 1)
** u= -74/79 ; C1  -13297*x^2 + 11717*y^2 + 12457*z^2
  (11090/11529 : -1319/11529 : 1)  C2b (-7105/11119 : -2821/11119 : 1)
** u= -73/33 ; C1  -1138*x^2 + 6418*y^2 + 578*z^2
  (136/1429 : 425/1429 : 1)  C2b (-800/289 : -3/17 : 1)
** u= -73/49 ; C1  {+/-} -3026*x^2 + 7730*y^2 + 4226*z^2
  (14823/13453 : -3596/13453 : 1)  C2a (1600127/429827 : -1599559/429827 : 1) C2b (-1278/4207 : -4615/4207 : 1)
** u= -73/57 ; C1  -4930*x^2 - 8578*y^2 + 6242*z^2
  (1435/1381 : -452/1381 : 1)  C2a (-16123/3977 : -18951/3977 : 1)
** u= -73/81 ; C1  {+/-} -14482*x^2 + 11890*y^2 + 13058*z^2
  (859/5273 : 5444/5273 : 1)  C2a (-3479/417 : 5141/417 : 1) C2b (5682/11549 : -6923/11549 : 1)
** u= -73/89 ; C1  -18946*x^2 + 13250*y^2 + 15586*z^2
  (21611/23909 : -2148/23909 : 1)  C2b (2/737 : -653/737 : 1)
** u= -72/49 ; C1  -3077*x^2 - 7585*y^2 + 4273*z^2
  (-9419/18087 : -12178/18087 : 1)  C2a (-4222/131 : -4479/131 : 1)
** u= -72/59 ; C1  -5597*x^2 - 8665*y^2 + 6793*z^2
  (-5136/43223 : 38047/43223 : 1)  C2a (1044/1033 : 673/1033 : 1)
** u= -72/73 ; C1  -10805*x^2 - 10513*y^2 + 10657*z^2
  (-232/1869 : -1867/1869 : 1)  C2a (2250/1903 : -2587/1903 : 1)
** u= -70/29 ; C1  -985*x^2 + 5741*y^2 + z^2
  (-2/987 : 13/987 : 1)  C2b (6241/113 : -67/113 : 1)
** u= -70/53 ; C1  -4105*x^2 + 7709*y^2 + 5329*z^2
  (73/357 : 292/357 : 1)  C2b (-2323/2701 : 17/37 : 1)
** u= -70/59 ; C1  -5785*x^2 + 8381*y^2 + 6841*z^2
  (-47/63 : -704/1071 : 1)  C2b (-485/697 : 7153/11849 : 1)
** u= -70/67 ; C1  -8585*x^2 + 9389*y^2 + 8969*z^2
  (-207/271 : -176/271 : 1)  C2b (11925/16229 : 1723/16229 : 1)
** u= -70/99 ; C1  -26185*x^2 + 14701*y^2 + 18761*z^2
  (4295/5119 : 764/5119 : 1)  C2b (-1173/13649 : -10489/13649 : 1)
** u= -68/37 ; C1  -1405*x^2 - 5993*y^2 + 1777*z^2
  (656/12573 : 6839/12573 : 1)  C2a (-550644/23659 : -423127/23659 : 1)
** u= -68/53 ; C1  -4253*x^2 - 7433*y^2 + 5393*z^2
  (-2669/2891 : -1410/2891 : 1)  C2a (-1430/577 : 1601/577 : 1)
** u= -68/61 ; C1  -6637*x^2 - 8345*y^2 + 7393*z^2
  (13/491 : 462/491 : 1)  C2a (-1746/173 : 2317/173 : 1)
** u= -68/77 ; C1  -13325*x^2 - 10553*y^2 + 11777*z^2
  (2361/8207 : 8254/8207 : 1)  C2a (3902/5527 : -2729/5527 : 1)
** u= -68/93 ; C1  -22573*x^2 - 13273*y^2 + 16673*z^2
  (-2843/3443 : 1070/3443 : 1)  C2a (17816/11931 : 26551/11931 : 1)
** u= -68/95 ; C1  -23909*x^2 - 13649*y^2 + 17321*z^2
  (15705/19961 : 8578/19961 : 1)  C2a (234070/148267 : 354029/148267 : 1)
** u= -67/51 ; C1  {+/-} -3826*x^2 + 7090*y^2 + 4946*z^2
  (3536/10471 : 8351/10471 : 1)  C2a (4109/4369 : 273/4369 : 1) C2b (1722/1837 : 119/1837 : 1)
** u= -67/59 ; C1  {+/-} -6082*x^2 + 7970*y^2 + 6898*z^2
  (4036/3843 : 593/3843 : 1)  C2a (1523/1401 : -1349/1401 : 1) C2b (-260032/371471 : -193109/371471 : 1)
** u= -67/83 ; C1  {+/-} -16690*x^2 + 11378*y^2 + 13522*z^2
  (-272/7967 : -8679/7967 : 1)  C2a (-3255/949 : 4949/949 : 1) C2b (4424/8461 : 2891/8461 : 1)
** u= -67/91 ; C1  {+/-} -21506*x^2 + 12770*y^2 + 15986*z^2
  (527/6667 : -7428/6667 : 1)  C2a (589/841 : -635/841 : 1) C2b (16312/50637 : 31951/50637 : 1)
** u= -66/47 ; C1  -2993*x^2 + 6565*y^2 + 4057*z^2
  (-2286/2293 : -931/2293 : 1)  C2b (-7951/13383 : -12235/13383 : 1)
** u= -66/49 ; C1  -3425*x^2 + 6757*y^2 + 4513*z^2
  (6033/5905 : -440/1181 : 1)  C2b (35389/40409 : 19041/40409 : 1)
** u= -66/73 ; C1  -11729*x^2 + 9685*y^2 + 10609*z^2
  (-618/947 : -721/947 : 1)  C2b (-337/927 : -7/9 : 1)
** u= -66/89 ; C1  -20465*x^2 + 12277*y^2 + 15313*z^2
  (-46959/55457 : 12656/55457 : 1)  C2b (617/1263 : 337/1263 : 1)
** u= -65/33 ; C1  -1090*x^2 + 5314*y^2 + 1154*z^2
  (-19/421 : 196/421 : 1)  C2b (-10956/7967 : -6047/7967 : 1)
** u= -65/57 ; C1  -5650*x^2 + 7474*y^2 + 6434*z^2
  (8243/7825 : 232/1565 : 1)  C2b (-1766/3067 : -2277/3067 : 1)
** u= -65/73 ; C1  -11890*x^2 - 9554*y^2 + 10594*z^2
  (199/213 : -32/213 : 1)  C2a (-3491/3897 : -3701/3897 : 1)
** u= -64/27 ; C1  -829*x^2 - 4825*y^2 + 89*z^2
  (109/1193 : -778/5965 : 1)  C2a (-2902/405 : -1403/2025 : 1)
** u= -64/33 ; C1  -1093*x^2 - 5185*y^2 + 1217*z^2
  (856/817 : 47/817 : 1)  C2a (1514/173 : -1017/173 : 1)
** u= -64/35 ; C1  -1261*x^2 - 5321*y^2 + 1609*z^2
  (-100/843 : -461/843 : 1)  C2a (8532/5549 : 1219/5549 : 1)
** u= -64/43 ; C1  -2333*x^2 - 5945*y^2 + 3257*z^2
  (-112/151 : 87/151 : 1)  C2a (-2432/731 : 2405/731 : 1)
** u= -64/67 ; C1  -9389*x^2 - 8585*y^2 + 8969*z^2
  (-668/3487 : -3495/3487 : 1)  C2a (-13384/1579 : 19285/1579 : 1)
** u= -64/89 ; C1  -20917*x^2 - 12017*y^2 + 15217*z^2
  (18316/38941 : -36555/38941 : 1)  C2a (2948/2667 : 4187/2667 : 1)
** u= -64/97 ; C1  -26309*x^2 - 13505*y^2 + 17729*z^2
  (-1991/7291 : 7878/7291 : 1)  C2a (34444/13631 : -54929/13631 : 1)
** u= -62/27 ; C1  -793*x^2 + 4573*y^2 + 233*z^2
  (383/895 : 124/895 : 1)  C2b (-6963/1973 : 749/1973 : 1)
** u= -62/29 ; C1  -857*x^2 + 4685*y^2 + 593*z^2
  (627/2329 : -784/2329 : 1)  C2b (-261/1577 : 1867/1577 : 1)
** u= -62/35 ; C1  -1289*x^2 + 5069*y^2 + 1721*z^2
  (-681/815 : -328/815 : 1)  C2b (841089/646217 : -304849/646217 : 1)
** u= -62/45 ; C1  -2809*x^2 + 5869*y^2 + 3761*z^2
  (13835/62593 : 928/1181 : 1)  C2b (-169/197 : 111/197 : 1)
** u= -62/53 ; C1  -4745*x^2 + 6653*y^2 + 5537*z^2
  (1253/1217 : -336/1217 : 1)  C2b (-685/3129 : -461/447 : 1)
** u= -62/69 ; C1  -10537*x^2 + 8605*y^2 + 9473*z^2
  (703/1069 : 808/1069 : 1)  C2b (-22143/38459 : -15281/38459 : 1)
** u= -62/83 ; C1  -17705*x^2 + 10733*y^2 + 13337*z^2
  (1878/5777 : 5971/5777 : 1)  C2b (-2595/96587 : 79261/96587 : 1)
** u= -62/85 ; C1  -18889*x^2 + 11069*y^2 + 13921*z^2
  (6731/8857 : 4620/8857 : 1)  C2b (4645/9161 : -91/9161 : 1)
** u= -62/99 ; C1  -28297*x^2 + 13645*y^2 + 18233*z^2
  (-29306/38693 : 14815/38693 : 1)  C2b (-2409/6377 : 1823/6377 : 1)
** u= -60/53 ; C1  -4925*x^2 - 6409*y^2 + 5569*z^2
  (1416/1385 : -71/277 : 1)  C2a (-7838/539 : 10317/539 : 1)
** u= -59/35 ; C1  -1346*x^2 - 4706*y^2 + 1874*z^2
  (-627/775 : 356/775 : 1)  C2a (-2269/673 : 1867/673 : 1)
** u= -59/43 ; C1  -2578*x^2 - 5330*y^2 + 3442*z^2
  (-2209/1967 : -372/1967 : 1)  C2a (28299/9953 : 30161/9953 : 1)
** u= -59/67 ; C1  {+/-} -10114*x^2 + 7970*y^2 + 8914*z^2
  (2872/3067 : 231/3067 : 1)  C2a (-25647/32993 : 23005/32993 : 1) C2b (-5132/10343 : -5803/10343 : 1)
** u= -59/99 ; C1  -29122*x^2 - 13282*y^2 + 18002*z^2
  (-29939/38191 : 3400/38191 : 1)  C2a (-8083/1723 : -13263/1723 : 1)
** u= -58/47 ; C1  -3505*x^2 + 5573*y^2 + 4297*z^2
  (-1487/5091 : -4312/5091 : 1)  C2b (3445/4411 : 2183/4411 : 1)
** u= -58/49 ; C1  -4001*x^2 + 5765*y^2 + 4721*z^2
  (-2234/2531 : 1335/2531 : 1)  C2b (357/4217 : -4505/4217 : 1)
** u= -58/57 ; C1  -6385*x^2 + 6613*y^2 + 6497*z^2
  (45485/46933 : 12904/46933 : 1)  C2b (341/1289 : -1209/1289 : 1)
** u= -58/79 ; C1  -16241*x^2 + 9605*y^2 + 12041*z^2
  (-3843/11623 : 12016/11623 : 1)  C2b (3987/8987 : -3607/8987 : 1)
** u= -58/81 ; C1  -17377*x^2 + 9925*y^2 + 12593*z^2
  (-1610/2959 : -12817/14795 : 1)  C2b (-1403/2849 : -39/407 : 1)
** u= -57/41 ; C1  {+/-} -2306*x^2 + 4930*y^2 + 3106*z^2
  (-284/501 : -347/501 : 1)  C2a (-987/743 : -727/743 : 1) C2b (4682/7277 : -6279/7277 : 1)
** u= -57/97 ; C1  -28178*x^2 + 12658*y^2 + 17218*z^2
  (-7233/11437 : -7840/11437 : 1)  C2b (-20/57 : -13/57 : 1)
** u= -56/25 ; C1  -661*x^2 - 3761*y^2 + 289*z^2
  (-544/825 : -17/825 : 1)  C2a (26328/6919 : -367/407 : 1)
** u= -56/27 ; C1  -733*x^2 - 3865*y^2 + 617*z^2
  (763/841 : -50/841 : 1)  C2a (2158/631 : 963/631 : 1)
** u= -56/41 ; C1  -2357*x^2 - 4817*y^2 + 3137*z^2
  (1280/1529 : 849/1529 : 1)  C2a (186550/138881 : -145307/138881 : 1)
** u= -56/57 ; C1  -6613*x^2 - 6385*y^2 + 6497*z^2
  (-688/841 : -479/841 : 1)  C2a (12454/9303 : 15187/9303 : 1)
** u= -56/75 ; C1  -14461*x^2 - 8761*y^2 + 10889*z^2
  (-8533/10105 : 2594/10105 : 1)  C2a (-12004/9933 : -17077/9933 : 1)
** u= -56/81 ; C1  -17797*x^2 - 9697*y^2 + 12497*z^2
  (13867/18167 : -230/491 : 1)  C2a (-19312/37257 : -12367/37257 : 1)
** u= -56/89 ; C1  -22805*x^2 - 11057*y^2 + 14753*z^2
  (1440/2149 : -1373/2149 : 1)  C2a (-18110/26953 : -23123/26953 : 1)
** u= -56/97 ; C1  -28453*x^2 - 12545*y^2 + 17137*z^2
  (-476/1397 : 1467/1397 : 1)  C2a (20362/3819 : -33577/3819 : 1)
** u= -54/35 ; C1  -1481*x^2 + 4141*y^2 + 2089*z^2
  (2851/2475 : -428/2475 : 1)  C2b (-93377/108901 : 82893/108901 : 1)
** u= -54/43 ; C1  -2873*x^2 + 4765*y^2 + 3577*z^2
  (-882/949 : 35/73 : 1)  C2b (107/249 : -239/249 : 1)
** u= -54/61 ; C1  -8345*x^2 + 6637*y^2 + 7393*z^2
  (198/4003 : 4219/4003 : 1)  C2b (-5935/11779 : -6513/11779 : 1)
** u= -54/77 ; C1  -15929*x^2 + 8845*y^2 + 11329*z^2
  (-93/137 : 92/137 : 1)  C2b (5731/12291 : -2537/12291 : 1)
** u= -54/91 ; C1  -24665*x^2 + 11197*y^2 + 15193*z^2
  (10707/14443 : 5524/14443 : 1)  C2b (1637/4603 : -1083/4603 : 1)
** u= -52/31 ; C1  -1061*x^2 - 3665*y^2 + 1481*z^2
  (39/121 : -74/121 : 1)  C2a (-29146/709 : -26189/709 : 1)
** u= -52/45 ; C1  -3469*x^2 - 4729*y^2 + 4001*z^2
  (-15323/14851 : -3790/14851 : 1)  C2a (5420/6623 : 21/6623 : 1)
** u= -52/71 ; C1  -13141*x^2 - 7745*y^2 + 9721*z^2
  (18023/21273 : -4106/21273 : 1)  C2a (-25242/8173 : 39445/8173 : 1)
** u= -52/87 ; C1  -22453*x^2 - 10273*y^2 + 13913*z^2
  (-17972/29075 : 20951/29075 : 1)  C2a (3016/2211 : 4759/2211 : 1)
** u= -51/35 ; C1  {+/-} -1586*x^2 + 3826*y^2 + 2194*z^2
  (1212/1031 : 25/1031 : 1)  C2a (-2255/211 : -2403/211 : 1) C2b (-326/313 : -69/313 : 1)
** u= -51/59 ; C1  -7970*x^2 - 6082*y^2 + 6898*z^2
  (463/939 : -848/939 : 1)  C2a (4033/2557 : 5601/2557 : 1)
** u= -51/67 ; C1  {+/-} -11378*x^2 + 7090*y^2 + 8722*z^2
  (-756/3047 : 3241/3047 : 1)  C2a (-16119/5537 : -3551/791 : 1) C2b (-27458/56819 : -2847/8117 : 1)
** u= -51/91 ; C1  {+/-} -25442*x^2 + 10882*y^2 + 14962*z^2
  (4413/11327 : 11440/11327 : 1)  C2a (-39411/18611 : 64471/18611 : 1) C2b (1000/2891 : 129/2891 : 1)
** u= -50/49 ; C1  -4705*x^2 + 4901*y^2 + 4801*z^2
  (-2/3 : 29/39 : 1)  C2b (-5/7 : 1/7 : 1)
** u= -50/57 ; C1  -7345*x^2 + 5749*y^2 + 6449*z^2
  (10199/44017 : 45172/44017 : 1)  C2b (2121/9943 : 8663/9943 : 1)
** u= -50/81 ; C1  -19105*x^2 + 9061*y^2 + 12161*z^2
  (-1535/2321 : 1504/2321 : 1)  C2b (-165/11347 : -7571/11347 : 1)
** u= -50/87 ; C1  -22945*x^2 + 10069*y^2 + 13769*z^2
  (-10514/14309 : 5299/14309 : 1)  C2b (295/3829 : 321/547 : 1)
** u= -50/89 ; C1  -24305*x^2 + 10421*y^2 + 14321*z^2
  (6993/9113 : 268/9113 : 1)  C2b (-511/5307 : 2947/5307 : 1)
** u= -49/25 ; C1  {+/-} -626*x^2 + 3026*y^2 + 674*z^2
  (-57/101 : 40/101 : 1)  C2a (-1195/631 : 283/631 : 1) C2b (-3042/7381 : -8483/7381 : 1)
** u= -49/33 ; C1  {+/-} -1378*x^2 + 3490*y^2 + 1922*z^2
  (589/973 : 620/973 : 1)  C2a (9079/3503 : -279/113 : 1) C2b (1166/1147 : -15/37 : 1)
** u= -49/57 ; C1  -7474*x^2 - 5650*y^2 + 6434*z^2
  (356/385 : -169/1925 : 1)  C2a (389/9 : 587/9 : 1)
** u= -49/73 ; C1  {+/-} -14738*x^2 + 7730*y^2 + 10082*z^2
  (-1491/6473 : 7100/6473 : 1)  C2a (941/1633 : -13/23 : 1) C2b (-2816/6603 : -25/93 : 1)
** u= -49/89 ; C1  {+/-} -24562*x^2 + 10322*y^2 + 14242*z^2
  (-5149/9081 : 7120/9081 : 1)  C2a (-2929/1419 : -4801/1419 : 1) C2b (-656/4189 : 2063/4189 : 1)
** u= -48/43 ; C1  -3293*x^2 - 4153*y^2 + 3673*z^2
  (108/1243 : -1165/1243 : 1)  C2a (-6786/8419 : -1799/8419 : 1)
** u= -48/65 ; C1  -10949*x^2 - 6529*y^2 + 8161*z^2
  (-1571/5415 : -5702/5415 : 1)  C2a (41494/14167 : 64587/14167 : 1)
** u= -48/89 ; C1  -24821*x^2 - 10225*y^2 + 14161*z^2
  (2856/8765 : 46529/43825 : 1)  C2a (-1584/2023 : -101/85 : 1)
** u= -48/91 ; C1  -26237*x^2 - 10585*y^2 + 14713*z^2
  (1599/5293 : -5710/5293 : 1)  C2a (1476/1657 : -2311/1657 : 1)
** u= -48/97 ; C1  -30725*x^2 - 11713*y^2 + 16417*z^2
  (-39072/57665 : -5123/11533 : 1)  C2a (-8490/32143 : 2717/32143 : 1)
** u= -46/21 ; C1  -457*x^2 + 2557*y^2 + 257*z^2
  (362/3475 : -1091/3475 : 1)  C2b (29407/11143 : -1149/11143 : 1)
** u= -46/27 ; C1  -793*x^2 + 2845*y^2 + 1097*z^2
  (-1453/1739 : 760/1739 : 1)  C2b (119/127 : 105/127 : 1)
** u= -46/37 ; C1  -2153*x^2 + 3485*y^2 + 2657*z^2
  (1077/1769 : -1292/1769 : 1)  C2b (-3463/4809 : -3043/4809 : 1)
** u= -46/45 ; C1  -3961*x^2 + 4141*y^2 + 4049*z^2
  (7874/8015 : -1873/8015 : 1)  C2b (-3363/9461 : 8327/9461 : 1)
** u= -46/53 ; C1  -6409*x^2 + 4925*y^2 + 5569*z^2
  (49/53 : 36/265 : 1)  C2b (875/1847 : 5399/9235 : 1)
** u= -46/91 ; C1  -26777*x^2 + 10397*y^2 + 14537*z^2
  (5178/7645 : -3559/7645 : 1)  C2b (-4317/45557 : 19709/45557 : 1)
** u= -44/21 ; C1  -445*x^2 - 2377*y^2 + 353*z^2
  (536/1153 : 379/1153 : 1)  C2a (170/73 : -33/73 : 1)
** u= -44/23 ; C1  -533*x^2 - 2465*y^2 + 617*z^2
  (-216/263 : 85/263 : 1)  C2a (-488/229 : -215/229 : 1)
** u= -44/31 ; C1  -1285*x^2 - 2897*y^2 + 1753*z^2
  (-6308/6103 : -2211/6103 : 1)  C2a (-230/3 : 253/3 : 1)
** u= -44/37 ; C1  -2269*x^2 - 3305*y^2 + 2689*z^2
  (196/841 : 741/841 : 1)  C2a (20562/21487 : 12407/21487 : 1)
** u= -44/45 ; C1  -4141*x^2 - 3961*y^2 + 4049*z^2
  (172/941 : -935/941 : 1)  C2a (2548/2641 : 2541/2641 : 1)
** u= -44/47 ; C1  -4709*x^2 - 4145*y^2 + 4409*z^2
  (-796/1519 : 1317/1519 : 1)  C2a (1078/157 : -1565/157 : 1)
** u= -44/63 ; C1  -10693*x^2 - 5905*y^2 + 7577*z^2
  (-12448/22219 : -1105/1307 : 1)  C2a (64586/20357 : -102267/20357 : 1)
** u= -44/79 ; C1  -19237*x^2 - 8177*y^2 + 11257*z^2
  (2500/3403 : -1113/3403 : 1)  C2a (7920/22621 : 2657/22621 : 1)
** u= -44/93 ; C1  -28813*x^2 - 10585*y^2 + 14897*z^2
  (-41/823 : -974/823 : 1)  C2a (-296/107 : -495/107 : 1)
** u= -43/19 ; C1  -386*x^2 - 2210*y^2 + 146*z^2
  (-28/47 : 3/47 : 1)  C2a (-1457/433 : 125/433 : 1)
** u= -43/27 ; C1  {+/-} -850*x^2 + 2578*y^2 + 1202*z^2
  (-1543/1535 : -112/307 : 1)  C2a (-76055/57339 : -31691/57339 : 1) C2b (-570/481 : -77/481 : 1)
** u= -43/35 ; C1  -1954*x^2 - 3074*y^2 + 2386*z^2
  (-1432/1619 : -855/1619 : 1)  C2a (179/3 : 223/3 : 1)
** u= -43/67 ; C1  -12770*x^2 + 6338*y^2 + 8402*z^2
  (1640/5743 : 6189/5743 : 1)  C2b (-200/1773 : -1201/1773 : 1)
** u= -43/75 ; C1  -17074*x^2 - 7474*y^2 + 10226*z^2
  (5573/7211 : 440/7211 : 1)  C2a (-1159/1947 : 1523/1947 : 1)
** u= -43/83 ; C1  {+/-} -22018*x^2 + 8738*y^2 + 12178*z^2
  (97/427 : 480/427 : 1)  C2a (-63/83 : -97/83 : 1) C2b (-118/1057 : -479/1057 : 1)
** u= -43/99 ; C1  {+/-} -33826*x^2 + 11650*y^2 + 16466*z^2
  (-28/1355 : -8051/6775 : 1)  C2a (-641/3867 : -3317/19335 : 1) C2b (88/701 : 213/3505 : 1)
** u= -42/31 ; C1  -1361*x^2 + 2725*y^2 + 1801*z^2
  (26/69 : -53/69 : 1)  C2b (-2623/2719 : 1929/13595 : 1)
** u= -42/41 ; C1  -3281*x^2 + 3445*y^2 + 3361*z^2
  (42/83 : 71/83 : 1)  C2b (-121/171 : -37/171 : 1)
** u= -42/55 ; C1  -7649*x^2 + 4789*y^2 + 5881*z^2
  (-206/6405 : 7093/6405 : 1)  C2b (14365/49719 : 35029/49719 : 1)
** u= -42/65 ; C1  -11969*x^2 + 5989*y^2 + 7921*z^2
  (12282/28019 : -27145/28019 : 1)  C2b (-1843/5429 : 27/61 : 1)
** u= -42/71 ; C1  -15041*x^2 + 6805*y^2 + 9241*z^2
  (2089/3939 : -260/303 : 1)  C2b (-277/1037 : 465/1037 : 1)
** u= -42/89 ; C1  -26417*x^2 + 9685*y^2 + 13633*z^2
  (909/1837 : 1580/1837 : 1)  C2b (3119/15513 : -2321/15513 : 1)
** u= -42/95 ; C1  -30929*x^2 + 10789*y^2 + 15241*z^2
  (9725/14511 : 5132/14511 : 1)  C2b (2431/15893 : -369/15893 : 1)
** u= -41/17 ; C1  -338*x^2 + 1970*y^2 + 2*z^2
  (1/13 : 0 : 1)  C2b (76/3 : -1/3 : 1)
** u= -41/57 ; C1  {+/-} -8578*x^2 + 4930*y^2 + 6242*z^2
  (859/1013 : 124/1013 : 1)  C2a (-113531/13143 : -180361/13143 : 1) C2b (-1104/2723 : -1259/2723 : 1)
** u= -41/73 ; C1  -16354*x^2 + 7010*y^2 + 9634*z^2
  (-15247/20713 : 6876/20713 : 1)  C2b (-3326/14569 : 6355/14569 : 1)
** u= -41/97 ; C1  {+/-} -32818*x^2 + 11090*y^2 + 15682*z^2
  (4652/13149 : 13433/13149 : 1)  C2a (-3519/27127 : 4475/27127 : 1) C2b (-5258/104389 : 11995/104389 : 1)
** u= -40/17 ; C1  -325*x^2 - 1889*y^2 + 49*z^2
  (-329/1555 : 42/311 : 1)  C2a (-950/63 : -29/9 : 1)
** u= -40/19 ; C1  -365*x^2 - 1961*y^2 + 281*z^2
  (-720/899 : 139/899 : 1)  C2a (584/77 : -299/77 : 1)
** u= -40/49 ; C1  -5765*x^2 - 4001*y^2 + 4721*z^2
  (-88/4997 : 5427/4997 : 1)  C2a (-17602/17359 : 22277/17359 : 1)
** u= -40/51 ; C1  -6445*x^2 - 4201*y^2 + 5081*z^2
  (-256/5299 : 5819/5299 : 1)  C2a (1328/2181 : 883/2181 : 1)
** u= -40/67 ; C1  -13325*x^2 - 6089*y^2 + 8249*z^2
  (1937/15685 : 3606/3137 : 1)  C2a (5492/9211 : -6877/9211 : 1)
** u= -40/97 ; C1  -33125*x^2 - 11009*y^2 + 15569*z^2
  (583/4595 : 1074/919 : 1)  C2a (154/23 : 259/23 : 1)
** u= -38/21 ; C1  -457*x^2 + 1885*y^2 + 593*z^2
  (94/83 : 5/83 : 1)  C2b (21/17 : 11/17 : 1)
** u= -38/35 ; C1  -2249*x^2 + 2669*y^2 + 2441*z^2
  (-46/457 : -435/457 : 1)  C2b (615/1607 : 1447/1607 : 1)
** u= -38/53 ; C1  -7433*x^2 + 4253*y^2 + 5393*z^2
  (2139/7025 : -7388/7025 : 1)  C2b (25/18303 : 14483/18303 : 1)
** u= -38/59 ; C1  -9881*x^2 + 4925*y^2 + 6521*z^2
  (1173/1459 : 1204/7295 : 1)  C2b (-491/2679 : -1711/2679 : 1)
** u= -38/77 ; C1  -19385*x^2 + 7373*y^2 + 10337*z^2
  (-393/1333 : 1444/1333 : 1)  C2b (-55965/234401 : 37477/234401 : 1)
** u= -36/47 ; C1  -5573*x^2 - 3505*y^2 + 4297*z^2
  (1716/2087 : -811/2087 : 1)  C2a (-2286/4193 : 647/4193 : 1)
** u= -36/53 ; C1  -7709*x^2 - 4105*y^2 + 5329*z^2
  (292/357 : 73/357 : 1)  C2a (-5754/11899 : -35/163 : 1)
** u= -36/77 ; C1  -19853*x^2 - 7225*y^2 + 10177*z^2
  (3/107 : -10786/9095 : 1)  C2a (-10/31 : 1077/2635 : 1)
** u= -36/85 ; C1  -25181*x^2 - 8521*y^2 + 12049*z^2
  (8231/14703 : -790/1131 : 1)  C2a (14862/67921 : -22831/67921 : 1)
** u= -35/19 ; C1  {+/-} -370*x^2 + 1586*y^2 + 466*z^2
  (212/531 : -269/531 : 1)  C2a (-4569/133 : -3499/133 : 1) C2b (-670/439 : -53/439 : 1)
** u= -35/51 ; C1  {+/-} -7090*x^2 + 3826*y^2 + 4946*z^2
  (-1880/7079 : -7631/7079 : 1)  C2a (1783/2779 : 1947/2779 : 1) C2b (9360/19907 : 859/19907 : 1)
** u= -35/83 ; C1  {+/-} -24050*x^2 + 8114*y^2 + 11474*z^2
  (24/35 : 1/7 : 1)  C2a (-1019/6797 : 1451/6797 : 1) C2b (-310/12057 : -1531/12057 : 1)
** u= -35/99 ; C1  -36370*x^2 - 11026*y^2 + 15506*z^2
  (-2644/16087 : -18463/16087 : 1)  C2a (-427/711 : -767/711 : 1)
** u= -34/15 ; C1  -241*x^2 + 1381*y^2 + 89*z^2
  (43/791 : -200/791 : 1)  C2b (17835/6019 : -3191/6019 : 1)
** u= -34/31 ; C1  -1745*x^2 + 2117*y^2 + 1913*z^2
  (-1766/2629 : 1917/2629 : 1)  C2b (-2415/3149 : -497/3149 : 1)
** u= -34/41 ; C1  -3985*x^2 + 2837*y^2 + 3313*z^2
  (-2737/6729 : -6508/6729 : 1)  C2b (-455/1583 : -1231/1583 : 1)
** u= -34/73 ; C1  -17873*x^2 + 6485*y^2 + 9137*z^2
  (3242/5819 : -4329/5819 : 1)  C2b (611/16197 : -5563/16197 : 1)
** u= -33/25 ; C1  -914*x^2 - 1714*y^2 + 1186*z^2
  (280/261 : -73/261 : 1)  C2a (1265/919 : 1083/919 : 1)
** u= -33/49 ; C1  {+/-} -6626*x^2 + 3490*y^2 + 4546*z^2
  (-1399/1689 : 4/1689 : 1)  C2a (837/617 : -1271/617 : 1) C2b (-62/1053 : 775/1053 : 1)
** u= -33/89 ; C1  -28946*x^2 - 9010*y^2 + 12706*z^2
  (827/1257 : -176/1257 : 1)  C2a (-29139/14651 : -49169/14651 : 1)
** u= -32/17 ; C1  -293*x^2 - 1313*y^2 + 353*z^2
  (-55/203 : 102/203 : 1)  C2a (-43340/6343 : 30889/6343 : 1)
** u= -32/25 ; C1  -949*x^2 - 1649*y^2 + 1201*z^2
  (253540/312993 : -185351/312993 : 1)  C2a (-1670/1263 : 1459/1263 : 1)
** u= -32/27 ; C1  -1213*x^2 - 1753*y^2 + 1433*z^2
  (-535/1589 : -1366/1589 : 1)  C2a (-680/61 : -867/61 : 1)
** u= -32/35 ; C1  -2669*x^2 - 2249*y^2 + 2441*z^2
  (3376/3695 : -1137/3695 : 1)  C2a (-3310/3893 : -3169/3893 : 1)
** u= -32/49 ; C1  -6757*x^2 - 3425*y^2 + 4513*z^2
  (20/513 : 2941/2565 : 1)  C2a (-408/577 : 2587/2885 : 1)
** u= -32/67 ; C1  -14893*x^2 - 5513*y^2 + 7753*z^2
  (-15077/130145 : -152334/130145 : 1)  C2a (-6400/23823 : 5521/23823 : 1)
** u= -32/83 ; C1  -24845*x^2 - 7913*y^2 + 11177*z^2
  (-756/1583 : 1321/1583 : 1)  C2a (436/2269 : 947/2269 : 1)
** u= -32/89 ; C1  -29237*x^2 - 8945*y^2 + 12593*z^2
  (196/377 : 21/29 : 1)  C2a (146/7 : 35 : 1)
** u= -32/97 ; C1  -35653*x^2 - 10433*y^2 + 14593*z^2
  (-6505/18443 : -18198/18443 : 1)  C2a (-3368/9897 : 7223/9897 : 1)
** u= -30/13 ; C1  -185*x^2 + 1069*y^2 + 49*z^2
  (-266/759 : 119/759 : 1)  C2b (479/133 : 9/19 : 1)
** u= -30/19 ; C1  -425*x^2 + 1261*y^2 + 601*z^2
  (2802/2485 : 109/497 : 1)  C2b (-59147/56161 : -29409/56161 : 1)
** u= -30/29 ; C1  -1625*x^2 + 1741*y^2 + 1681*z^2
  (451/945 : 164/189 : 1)  C2b (-2291/3403 : -33/83 : 1)
** u= -30/43 ; C1  -4985*x^2 + 2749*y^2 + 3529*z^2
  (1/639 : 724/639 : 1)  C2b (613/1349 : -339/1349 : 1)
** u= -30/61 ; C1  -12185*x^2 + 4621*y^2 + 6481*z^2
  (12493/17409 : -3676/17409 : 1)  C2b (-145/3411 : -1433/3411 : 1)
** u= -28/15 ; C1  -229*x^2 - 1009*y^2 + 281*z^2
  (97/185 : 86/185 : 1)  C2a (518/291 : -179/291 : 1)
** u= -28/23 ; C1  -853*x^2 - 1313*y^2 + 1033*z^2
  (-136/315 : -257/315 : 1)  C2a (47698/29763 : -50387/29763 : 1)
** u= -28/29 ; C1  -1741*x^2 - 1625*y^2 + 1681*z^2
  (164/189 : 451/945 : 1)  C2a (972/287 : 167/35 : 1)
** u= -28/31 ; C1  -2117*x^2 - 1745*y^2 + 1913*z^2
  (-2541/3173 : -1790/3173 : 1)  C2a (232/259 : 241/259 : 1)
** u= -28/37 ; C1  -3485*x^2 - 2153*y^2 + 2657*z^2
  (-288/361 : 163/361 : 1)  C2a (-268/7 : 421/7 : 1)
** u= -28/45 ; C1  -5869*x^2 - 2809*y^2 + 3761*z^2
  (4/5 : -11/265 : 1)  C2a (-34/73 : -1371/3869 : 1)
** u= -28/61 ; C1  -12557*x^2 - 4505*y^2 + 6353*z^2
  (-128/1009 : 1179/1009 : 1)  C2a (-712/3529 : 325/3529 : 1)
** u= -28/69 ; C1  -16861*x^2 - 5545*y^2 + 7841*z^2
  (-7304/13421 : -9617/13421 : 1)  C2a (-1442/13313 : -3081/13313 : 1)
** u= -28/71 ; C1  -18037*x^2 - 5825*y^2 + 8233*z^2
  (13/21 : -10/21 : 1)  C2a (-2762/9357 : -25391/46785 : 1)
** u= -28/87 ; C1  -28885*x^2 - 8353*y^2 + 11657*z^2
  (3304/21923 : 25159/21923 : 1)  C2a (668/357 : -1129/357 : 1)
** u= -27/43 ; C1  {+/-} -5330*x^2 + 2578*y^2 + 3442*z^2
  (5043/6547 : 2156/6547 : 1)  C2a (-927955/201667 : 1510107/201667 : 1) C2b (214/1689 : -1099/1689 : 1)
** u= -27/59 ; C1  -11762*x^2 + 4210*y^2 + 5938*z^2
  (-3384/5867 : -4069/5867 : 1)  C2b (298/2029 : 417/2029 : 1)
** u= -26/33 ; C1  -2689*x^2 + 1765*y^2 + 2129*z^2
  (-262/383 : -269/383 : 1)  C2b (-4947/8963 : 517/8963 : 1)
** u= -26/41 ; C1  -4817*x^2 + 2357*y^2 + 3137*z^2
  (-1362/4235 : 4481/4235 : 1)  C2b (-665/1623 : -287/1623 : 1)
** u= -26/49 ; C1  -7585*x^2 + 3077*y^2 + 4273*z^2
  (-257/6777 : 7976/6777 : 1)  C2b (1/2009 : -1039/2009 : 1)
** u= -26/55 ; C1  -10081*x^2 + 3701*y^2 + 5209*z^2
  (1366/2577 : -2065/2577 : 1)  C2b (-101/457 : 11/457 : 1)
** u= -25/17 ; C1  {+/-} -370*x^2 + 914*y^2 + 514*z^2
  (116/189 : -121/189 : 1)  C2a (225/79 : 221/79 : 1) C2b (748/809 : -469/809 : 1)
** u= -25/41 ; C1  -4930*x^2 - 2306*y^2 + 3106*z^2
  (460/861 : -739/861 : 1)  C2a (225/559 : -41/559 : 1)
** u= -25/49 ; C1  {+/-} -7730*x^2 + 3026*y^2 + 4226*z^2
  (296/409 : 99/409 : 1)  C2a (-67/209 : -53/209 : 1) C2b (-12510/50789 : -11723/50789 : 1)
** u= -24/11 ; C1  -125*x^2 - 697*y^2 + 73*z^2
  (933/1945 : -98/389 : 1)  C2a (-1200/341 : -371/341 : 1)
** u= -24/17 ; C1  -389*x^2 - 865*y^2 + 529*z^2
  (736/969 : 575/969 : 1)  C2a (-306/299 : -1/13 : 1)
** u= -24/25 ; C1  -1301*x^2 - 1201*y^2 + 1249*z^2
  (-165/487 : 466/487 : 1)  C2a (-16204/1657 : -23313/1657 : 1)
** u= -24/59 ; C1  -12317*x^2 - 4057*y^2 + 5737*z^2
  (-3385/6381 : 4774/6381 : 1)  C2a (180/2651 : -467/2651 : 1)
** u= -22/13 ; C1  -185*x^2 + 653*y^2 + 257*z^2
  (-162/139 : -13/139 : 1)  C2b (645/547 : 281/547 : 1)
** u= -22/21 ; C1  -841*x^2 + 925*y^2 + 881*z^2
  (17/29 : 4/5 : 1)  C2b (105/143 : -97/715 : 1)
** u= -22/51 ; C1  -9001*x^2 + 3085*y^2 + 4361*z^2
  (1582/2557 : 1393/2557 : 1)  C2b (-141/1169 : 1/167 : 1)
** u= -22/53 ; C1  -9865*x^2 + 3293*y^2 + 4657*z^2
  (-478/3759 : -4393/3759 : 1)  C2b (25/1133 : 31/1133 : 1)
** u= -20/13 ; C1  -205*x^2 - 569*y^2 + 289*z^2
  (119/111 : 34/111 : 1)  C2a (-348/119 : -19/7 : 1)
** u= -20/23 ; C1  -1205*x^2 - 929*y^2 + 1049*z^2
  (-4488/6119 : 4019/6119 : 1)  C2a (-35608/52589 : -22553/52589 : 1)
** u= -20/29 ; C1  -2285*x^2 - 1241*y^2 + 1601*z^2
  (456/869 : 769/869 : 1)  C2a (10990/3967 : -17393/3967 : 1)
** u= -20/63 ; C1  -15205*x^2 - 4369*y^2 + 6089*z^2
  (-2504/4463 : -2437/4463 : 1)  C2a (-1310/71021 : -34869/71021 : 1)
** u= -20/69 ; C1  -18685*x^2 - 5161*y^2 + 7121*z^2
  (2000/29609 : 34571/29609 : 1)  C2a (1660/18021 : -10409/18021 : 1)
** u= -20/71 ; C1  -19925*x^2 - 5441*y^2 + 7481*z^2
  (384/659 : 239/659 : 1)  C2a (1244/10013 : 6119/10013 : 1)
** u= -20/79 ; C1  -25285*x^2 - 6641*y^2 + 9001*z^2
  (-424/3427 : -3903/3427 : 1)  C2a (1790/1101 : 3029/1101 : 1)
** u= -20/93 ; C1  -36205*x^2 - 9049*y^2 + 11969*z^2
  (3731/18283 : 19658/18283 : 1)  C2a (-166/33 : -271/33 : 1)
** u= -19/11 ; C1  -130*x^2 - 482*y^2 + 178*z^2
  (40/51 : 23/51 : 1)  C2a (633/307 : 409/307 : 1)
** u= -19/35 ; C1  {+/-} -3826*x^2 + 1586*y^2 + 2194*z^2
  (1180/1559 : 57/1559 : 1)  C2a (-685/933 : 1021/933 : 1) C2b (106/343 : -59/343 : 1)
** u= -19/51 ; C1  -9490*x^2 - 2962*y^2 + 4178*z^2
  (-4423/7799 : -4808/7799 : 1)  C2a (87835/121243 : 152523/121243 : 1)
** u= -18/17 ; C1  -545*x^2 + 613*y^2 + 577*z^2
  (-195/277 : 196/277 : 1)  C2b (569/971 : 621/971 : 1)
** u= -18/23 ; C1  -1313*x^2 + 853*y^2 + 1033*z^2
  (19/375 : -412/375 : 1)  C2b (-185/479 : -291/479 : 1)
** u= -18/25 ; C1  -1649*x^2 + 949*y^2 + 1201*z^2
  (42/1019 : -1145/1019 : 1)  C2b (115/1457 : -1143/1457 : 1)
** u= -18/31 ; C1  -2897*x^2 + 1285*y^2 + 1753*z^2
  (-314/573 : -475/573 : 1)  C2b (757/2589 : 967/2589 : 1)
** u= -17/9 ; C1  {+/-} -82*x^2 + 370*y^2 + 98*z^2
  (56/53 : -7/53 : 1)  C2a (-31/7 : -3 : 1) C2b (-1844/2597 : 393/371 : 1)
** u= -17/25 ; C1  {+/-} -1714*x^2 + 914*y^2 + 1186*z^2
  (-520/989 : -873/989 : 1)  C2a (621/697 : 853/697 : 1) C2b (-4096/15953 : -9979/15953 : 1)
** u= -17/33 ; C1  -3490*x^2 + 1378*y^2 + 1922*z^2
  (620/973 : 589/973 : 1)  C2b (-34/589 : 9/19 : 1)
** u= -17/49 ; C1  -8962*x^2 - 2690*y^2 + 3778*z^2
  (-796/2853 : -3053/2853 : 1)  C2a (41/363 : -163/363 : 1)
** u= -17/73 ; C1  -21970*x^2 - 5618*y^2 + 7522*z^2
  (7/13 : 24/53 : 1)  C2a (-19/9 : 1679/477 : 1)
** u= -17/81 ; C1  -27586*x^2 - 6850*y^2 + 9026*z^2
  (428/1057 : -857/1057 : 1)  C2a (2359/729 : -3865/729 : 1)
** u= -17/89 ; C1  -33842*x^2 - 8210*y^2 + 10658*z^2
  (-2847/5381 : -2044/5381 : 1)  C2a (959/4307 : -49/59 : 1)
** u= -16/9 ; C1  -85*x^2 - 337*y^2 + 113*z^2
  (-20/53 : 29/53 : 1)  C2a (-950/327 : -677/327 : 1)
** u= -16/17 ; C1  -613*x^2 - 545*y^2 + 577*z^2
  (581/607 : -102/607 : 1)  C2a (124/153 : -103/153 : 1)
** u= -16/33 ; C1  -3589*x^2 - 1345*y^2 + 1889*z^2
  (1453/2023 : -338/2023 : 1)  C2a (52/177 : -49/177 : 1)
** u= -16/35 ; C1  -4141*x^2 - 1481*y^2 + 2089*z^2
  (-2528/3615 : 751/3615 : 1)  C2a (60/179 : 83/179 : 1)
** u= -16/59 ; C1  -13885*x^2 - 3737*y^2 + 5113*z^2
  (-3701/8577 : -7054/8577 : 1)  C2a (10282/7557 : -17599/7557 : 1)
** u= -16/89 ; C1  -34165*x^2 - 8177*y^2 + 10513*z^2
  (-13900/27949 : 14037/27949 : 1)  C2a (5656/321 : -9073/321 : 1)
** u= -16/91 ; C1  -35837*x^2 - 8537*y^2 + 10937*z^2
  (14160/26399 : 7151/26399 : 1)  C2a (-18986/19 : 30391/19 : 1)
** u= -14/11 ; C1  -185*x^2 + 317*y^2 + 233*z^2
  (49/71 : -48/71 : 1)  C2b (-73/153 : -143/153 : 1)
** u= -14/27 ; C1  -2329*x^2 + 925*y^2 + 1289*z^2
  (-1118/2149 : -9067/10745 : 1)  C2b (1881/9539 : 3475/9539 : 1)
** u= -12/5 ; C1  -29*x^2 - 169*y^2 + z^2
  (0 : 1/13 : 1)  C2a (12 : -7/13 : 1)
** u= -12/7 ; C1  -53*x^2 - 193*y^2 + 73*z^2
  (53/93 : -50/93 : 1)  C2a (-1420/61 : -1233/61 : 1)
** u= -12/23 ; C1  -1685*x^2 - 673*y^2 + 937*z^2
  (-216/1303 : 1499/1303 : 1)  C2a (-2228/6947 : 1359/6947 : 1)
** u= -12/37 ; C1  -5213*x^2 - 1513*y^2 + 2113*z^2
  (1961/3639 : 2290/3639 : 1)  C2a (-222/473 : 433/473 : 1)
** u= -12/61 ; C1  -15821*x^2 - 3865*y^2 + 5041*z^2
  (-6248/20997 : 20377/20997 : 1)  C2a (26076/11431 : -605/161 : 1)
** u= -12/79 ; C1  -27557*x^2 - 6385*y^2 + 7993*z^2
  (-421/5853 : 6490/5853 : 1)  C2a (182/961 : -831/961 : 1)
** u= -11/27 ; C1  -2578*x^2 - 850*y^2 + 1202*z^2
  (-4/31 : -181/155 : 1)  C2a (-79/285 : 689/1425 : 1)
** u= -11/35 ; C1  -4706*x^2 - 1346*y^2 + 1874*z^2
  (-45/127 : -124/127 : 1)  C2a (239/163 : -407/163 : 1)
** u= -11/83 ; C1  -30914*x^2 - 7010*y^2 + 8594*z^2
  (-3789/13951 : 13240/13951 : 1)  C2a (-991/1919 : -2237/1919 : 1)
** u= -11/91 ; C1  -37522*x^2 - 8402*y^2 + 10162*z^2
  (-3289/17895 : 18412/17895 : 1)  C2a (-11055/56299 : -51173/56299 : 1)
** u= -10/7 ; C1  -65*x^2 + 149*y^2 + 89*z^2
  (375/331 : -64/331 : 1)  C2b (215/603 : 641/603 : 1)
** u= -10/17 ; C1  -865*x^2 + 389*y^2 + 529*z^2
  (575/969 : 736/969 : 1)  C2b (-175/667 : -13/29 : 1)
** u= -9/17 ; C1  {+/-} -914*x^2 + 370*y^2 + 514*z^2
  (-84/781 : -911/781 : 1)  C2a (19/59 : -9/59 : 1) C2b (-112/363 : -7/363 : 1)
** u= -9/49 ; C1  -10322*x^2 - 2482*y^2 + 3202*z^2
  (-12/53 : 55/53 : 1)  C2a (-519/449 : 901/449 : 1)
** u= -9/65 ; C1  -18866*x^2 - 4306*y^2 + 5314*z^2
  (7292/14265 : 4261/14265 : 1)  C2a (59709/12257 : -94357/12257 : 1)
** u= -9/89 ; C1  -36482*x^2 - 8002*y^2 + 9442*z^2
  (1793/6705 : 6196/6705 : 1)  C2a (-165/463 : -481/463 : 1)
** u= -8/19 ; C1  -1261*x^2 - 425*y^2 + 601*z^2
  (49/181 : 198/181 : 1)  C2a (-8/27 : -13/27 : 1)
** u= -8/27 ; C1  -2845*x^2 - 793*y^2 + 1097*z^2
  (5/121 : -142/121 : 1)  C2a (214/1531 : -903/1531 : 1)
** u= -8/33 ; C1  -4453*x^2 - 1153*y^2 + 1553*z^2
  (109/991 : -1130/991 : 1)  C2a (-1930/1927 : 3411/1927 : 1)
** u= -8/35 ; C1  -5069*x^2 - 1289*y^2 + 1721*z^2
  (-1497/2749 : 1130/2749 : 1)  C2a (110/269 : 257/269 : 1)
** u= -8/41 ; C1  -7157*x^2 - 1745*y^2 + 2273*z^2
  (408/4481 : -5047/4481 : 1)  C2a (-40982/35071 : -71083/35071 : 1)
** u= -8/43 ; C1  -7933*x^2 - 1913*y^2 + 2473*z^2
  (-271/1381 : 1470/1381 : 1)  C2a (12834/1949 : -20689/1949 : 1)
** u= -8/49 ; C1  -10501*x^2 - 2465*y^2 + 3121*z^2
  (313/1123 : -1086/1123 : 1)  C2a (-15558/9097 : 25789/9097 : 1)
** u= -8/59 ; C1  -15581*x^2 - 3545*y^2 + 4361*z^2
  (-5033/9517 : -294/9517 : 1)  C2a (22/7 : 5 : 1)
** u= -8/75 ; C1  -25789*x^2 - 5689*y^2 + 6761*z^2
  (1988/4975 : -3391/4975 : 1)  C2a (6202/3189 : 9961/3189 : 1)
** u= -8/89 ; C1  -36821*x^2 - 7985*y^2 + 9281*z^2
  (-8736/18089 : 5329/18089 : 1)  C2a (-23222/12073 : 37027/12073 : 1)
** u= -6/5 ; C1  -41*x^2 + 61*y^2 + 49*z^2
  (42/199 : -175/199 : 1)  C2b (125/147 : 1/21 : 1)
** u= -6/13 ; C1  -569*x^2 + 205*y^2 + 289*z^2
  (34/111 : 119/111 : 1)  C2b (-49/289 : -3/17 : 1)
** u= -4/5 ; C1  -61*x^2 - 41*y^2 + 49*z^2
  (-175/199 : 42/199 : 1)  C2a (6/7 : -1 : 1)
** u= -4/7 ; C1  -149*x^2 - 65*y^2 + 89*z^2
  (-19/29 : 18/29 : 1)  C2a (-326/319 : 505/319 : 1)
** u= -4/13 ; C1  -653*x^2 - 185*y^2 + 257*z^2
  (168/1121 : -1283/1121 : 1)  C2a (4/17 : 11/17 : 1)
** u= -4/21 ; C1  -1885*x^2 - 457*y^2 + 593*z^2
  (5/83 : 94/83 : 1)  C2a (-166/809 : 663/809 : 1)
** u= -4/53 ; C1  -13213*x^2 - 2825*y^2 + 3217*z^2
  (23080/49773 : 90781/248865 : 1)  C2a (-752/207 : -5753/1035 : 1)
** u= -4/55 ; C1  -14261*x^2 - 3041*y^2 + 3449*z^2
  (-39/185 : 178/185 : 1)  C2a (604/2827 : 2753/2827 : 1)
** u= -4/63 ; C1  -18853*x^2 - 3985*y^2 + 4457*z^2
  (-1637/4261 : -2762/4261 : 1)  C2a (-1682/2511 : 3433/2511 : 1)
** u= -4/69 ; C1  -22717*x^2 - 4777*y^2 + 5297*z^2
  (-2521/11375 : 10642/11375 : 1)  C2a (398/183 : -617/183 : 1)
** u= -4/77 ; C1  -28429*x^2 - 5945*y^2 + 6529*z^2
  (-1079/8111 : 8166/8111 : 1)  C2a (-13792/20463 : 28123/20463 : 1)
** u= -4/87 ; C1  -36469*x^2 - 7585*y^2 + 8249*z^2
  (38873/321193 : 323930/321193 : 1)  C2a (13966/14271 : -24665/14271 : 1)
** u= -4/95 ; C1  -43621*x^2 - 9041*y^2 + 9769*z^2
  (3016/6723 : 2225/6723 : 1)  C2a (20250/9629 : 31157/9629 : 1)
** u= -3/11 ; C1  -482*x^2 - 130*y^2 + 178*z^2
  (-276/623 : -499/623 : 1)  C2a (79/113 : -147/113 : 1)
** u= -3/43 ; C1  -8738*x^2 - 1858*y^2 + 2098*z^2
  (175/723 : -668/723 : 1)  C2a (2561/59 : 3849/59 : 1)
** u= -3/59 ; C1  -16706*x^2 - 3490*y^2 + 3826*z^2
  (-2541/5399 : 1024/5399 : 1)  C2a (361/101 : 543/101 : 1)
** u= -3/67 ; C1  -21650*x^2 - 4498*y^2 + 4882*z^2
  (-1377/24095 : 4984/4819 : 1)  C2a (99/61 : 157/61 : 1)
** u= -3/91 ; C1  -40322*x^2 - 8290*y^2 + 8818*z^2
  (-15657/34171 : 7048/34171 : 1)  C2a (-17091/2503 : 25045/2503 : 1)
** u= -2 ; C1  -x^2 + 5*y^2 + z^2
  (1 : 0 : 1)  C2b (-1 : 1 : 1)
** u= -1 ; C1  {+/-} -2*x^2 + 2*y^2 + 2*z^2
  (1 : 0 : 1)  C2a (-1 : 1 : 1) C2b (0 : -1 : 1)
** u= -1/9 ; C1  -370*x^2 - 82*y^2 + 98*z^2
  (-7/53 : 56/53 : 1)  C2a (-5/9 : 11/9 : 1)
** u= -1/33 ; C1  -5314*x^2 - 1090*y^2 + 1154*z^2
  (-212/1213 : 1157/1213 : 1)  C2a (-83/97 : -153/97 : 1)
** u= -1/49 ; C1  -11810*x^2 - 2402*y^2 + 2498*z^2
  (-1312/2857 : -159/2857 : 1)  C2a (24497/3433 : 35489/3433 : 1)
** u= -1/57 ; C1  -16018*x^2 - 3250*y^2 + 3362*z^2
  (-41/3613 : -18368/18065 : 1)  C2a (-43/41 : -9/5 : 1)
** u= -1/89 ; C1  -39250*x^2 - 7922*y^2 + 8098*z^2
  (-7/69 : -68/69 : 1)  C2a (-4025/7857 : -9667/7857 : 1)
** u= 0 ; C1  -5*x^2 - y^2 + z^2
  (0 : 1 : 1)  C2a (2 : 3 : 1)
** u= 4/13 ; C1  -1069*x^2 - 185*y^2 + 49*z^2
  (119/759 : -266/759 : 1)  C2a (-834/119 : -89/17 : 1)
** u= 4/15 ; C1  -1381*x^2 - 241*y^2 + 89*z^2
  (-35/277 : 146/277 : 1)  C2a (-1294/787 : 1443/787 : 1)
** u= 4/21 ; C1  -2557*x^2 - 457*y^2 + 257*z^2
  (-85/667 : 458/667 : 1)  C2a (-172/183 : -277/183 : 1)
** u= 4/29 ; C1  -4685*x^2 - 857*y^2 + 593*z^2
  (648/1949 : 577/1949 : 1)  C2a (-2132/1327 : -2909/1327 : 1)
** u= 4/39 ; C1  -8245*x^2 - 1537*y^2 + 1193*z^2
  (-1291/11389 : -9578/11389 : 1)  C2a (8630/8943 : 14497/8943 : 1)
** u= 4/63 ; C1  -20869*x^2 - 3985*y^2 + 3449*z^2
  (11552/42407 : -29285/42407 : 1)  C2a (-272/27 : -359/27 : 1)
** u= 4/77 ; C1  -30893*x^2 - 5945*y^2 + 5297*z^2
  (5121/14687 : -7478/14687 : 1)  C2a (-18146/10673 : -26681/10673 : 1)
** u= 4/85 ; C1  -37501*x^2 - 7241*y^2 + 6529*z^2
  (-7760/19561 : -5757/19561 : 1)  C2a (-14280/7711 : -20797/7711 : 1)
** u= 4/87 ; C1  -39253*x^2 - 7585*y^2 + 6857*z^2
  (16499/88853 : -75686/88853 : 1)  C2a (5636/7447 : 10851/7447 : 1)
** u= 4/95 ; C1  -46661*x^2 - 9041*y^2 + 8249*z^2
  (-668875/1592573 : -71334/1592573 : 1)  C2a (22690/5381 : -31157/5381 : 1)
** u= 5/19 ; C1  -2210*x^2 - 386*y^2 + 146*z^2
  (-16/71 : 21/71 : 1)  C2a (3409/397 : 3001/397 : 1)
** u= 5/51 ; C1  -14050*x^2 - 2626*y^2 + 2066*z^2
  (116/2791 : -2461/2791 : 1)  C2a (-83/501 : -553/501 : 1)
** u= 5/59 ; C1  -18610*x^2 - 3506*y^2 + 2866*z^2
  (-1684/5303 : -2817/5303 : 1)  C2a (17/3339 : 3587/3339 : 1)
** u= 5/91 ; C1  -43250*x^2 - 8306*y^2 + 7346*z^2
  (1551/4055 : -284/811 : 1)  C2a (-14491/2557 : 19459/2557 : 1)
** u= 7/17 ; C1  -1970*x^2 - 338*y^2 + 2*z^2
  (0 : 1/13 : 1)  C2a (19 : -31/13 : 1)
** u= 7/25 ; C1  -3874*x^2 - 674*y^2 + 226*z^2
  (-136/565 : 27/565 : 1)  C2a (-343/129 : -319/129 : 1)
** u= 7/33 ; C1  -6418*x^2 - 1138*y^2 + 578*z^2
  (425/1429 : 136/1429 : 1)  C2a (-673/833 : 69/49 : 1)
** u= 7/41 ; C1  -9602*x^2 - 1730*y^2 + 1058*z^2
  (-92/521 : 345/521 : 1)  C2a (-313/161 : 17/7 : 1)
** u= 7/57 ; C1  -17890*x^2 - 3298*y^2 + 2402*z^2
  (-508/6113 : -5081/6113 : 1)  C2a (2753/777 : -3431/777 : 1)
** u= 7/81 ; C1  -35122*x^2 - 6610*y^2 + 5378*z^2
  (-4049/12437 : 6224/12437 : 1)  C2a (533/441 : 829/441 : 1)
** u= 7/97 ; C1  -49810*x^2 - 9458*y^2 + 8002*z^2
  (247/1149 : -892/1149 : 1)  C2a (3311/9 : -4307/9 : 1)
** u= 8/27 ; C1  -4573*x^2 - 793*y^2 + 233*z^2
  (511/8005 : -4162/8005 : 1)  C2a (160/413 : -501/413 : 1)
** u= 8/35 ; C1  -7309*x^2 - 1289*y^2 + 601*z^2
  (905/5149 : 2778/5149 : 1)  C2a (-180/37 : 179/37 : 1)
** u= 8/41 ; C1  -9781*x^2 - 1745*y^2 + 961*z^2
  (-992/4633 : 2511/4633 : 1)  C2a (-204/31 : -7 : 1)
** u= 8/43 ; C1  -10685*x^2 - 1913*y^2 + 1097*z^2
  (2652/12559 : -7153/12559 : 1)  C2a (16552/3547 : 18179/3547 : 1)
** u= 8/49 ; C1  -13637*x^2 - 2465*y^2 + 1553*z^2
  (-452/1381 : 267/1381 : 1)  C2a (8/41 : 47/41 : 1)
** u= 8/51 ; C1  -14701*x^2 - 2665*y^2 + 1721*z^2
  (-8/43 : 29/43 : 1)  C2a (-1634/921 : 2125/921 : 1)
** u= 8/59 ; C1  -19357*x^2 - 3545*y^2 + 2473*z^2
  (6836/19167 : 1055/19167 : 1)  C2a (-60396/42223 : -85337/42223 : 1)
** u= 8/65 ; C1  -23269*x^2 - 4289*y^2 + 3121*z^2
  (1435/4327 : 1566/4327 : 1)  C2a (2910/361 : 3533/361 : 1)
** u= 8/75 ; C1  -30589*x^2 - 5689*y^2 + 4361*z^2
  (-4564/12623 : 245/971 : 1)  C2a (2038/1421 : -423/203 : 1)
** u= 12/31 ; C1  -6437*x^2 - 1105*y^2 + 73*z^2
  (-3413/56469 : -11950/56469 : 1)  C2a (-114/83 : -107/83 : 1)
** u= 12/37 ; C1  -8765*x^2 - 1513*y^2 + 337*z^2
  (120/1229 : -503/1229 : 1)  C2a (-45554/21671 : 39753/21671 : 1)
** u= 12/47 ; C1  -13445*x^2 - 2353*y^2 + 937*z^2
  (-180/2371 : -1433/2371 : 1)  C2a (24208/3697 : 22029/3697 : 1)
** u= 12/61 ; C1  -21677*x^2 - 3865*y^2 + 2113*z^2
  (-452/2361 : -1379/2361 : 1)  C2a (-426/193 : -497/193 : 1)
** u= 12/79 ; C1  -35141*x^2 - 6385*y^2 + 4201*z^2
  (-1372/13623 : 10571/13623 : 1)  C2a (2566/2621 : 4155/2621 : 1)
** u= 13/35 ; C1  -8114*x^2 - 1394*y^2 + 146*z^2
  (284/3215 : 783/3215 : 1)  C2a (355/11 : 163/11 : 1)
** u= 13/43 ; C1  -11650*x^2 - 2018*y^2 + 562*z^2
  (133/695 : -36/139 : 1)  C2a (71/69 : 97/69 : 1)
** u= 13/75 ; C1  -32194*x^2 - 5794*y^2 + 3506*z^2
  (847/3371 : 1700/3371 : 1)  C2a (-10649/2027 : -11937/2027 : 1)
** u= 15/49 ; C1  -15170*x^2 - 2626*y^2 + 706*z^2
  (1380/8689 : 3049/8689 : 1)  C2a (-2595/1943 : -2977/1943 : 1)
** u= 15/97 ; C1  -53090*x^2 - 9634*y^2 + 6274*z^2
  (-1344/4457 : 1727/4457 : 1)  C2a (-36495/2009 : -41711/2009 : 1)
** u= 16/67 ; C1  -26989*x^2 - 4745*y^2 + 2089*z^2
  (-1288/4983 : -1223/4983 : 1)  C2a (-1626/1889 : -2669/1889 : 1)
** u= 16/89 ; C1  -45557*x^2 - 8177*y^2 + 4817*z^2
  (-2164/7829 : -3165/7829 : 1)  C2a (-5380/30679 : 35273/30679 : 1)
** u= 16/91 ; C1  -47485*x^2 - 8537*y^2 + 5113*z^2
  (1153/4733 : -2454/4733 : 1)  C2a (-8364/11461 : 15877/11461 : 1)
** u= 20/61 ; C1  -23885*x^2 - 4121*y^2 + 881*z^2
  (-3800/19789 : 159/19789 : 1)  C2a (2596/757 : -1919/757 : 1)
** u= 20/63 ; C1  -25285*x^2 - 4369*y^2 + 1049*z^2
  (52/3607 : -1763/3607 : 1)  C2a (472/141 : -367/141 : 1)
** u= 20/69 ; C1  -29725*x^2 - 5161*y^2 + 1601*z^2
  (-544/2365 : 35/473 : 1)  C2a (-42166/3923 : 33531/3923 : 1)
** u= 20/71 ; C1  -31285*x^2 - 5441*y^2 + 1801*z^2
  (-1255/7281 : -2914/7281 : 1)  C2a (1618/771 : -1597/771 : 1)
** u= 21/59 ; C1  -22802*x^2 - 3922*y^2 + 562*z^2
  (1825/28167 : 9712/28167 : 1)  C2a (825/2149 : 2587/2149 : 1)
** u= 21/67 ; C1  -28514*x^2 - 4930*y^2 + 1234*z^2
  (264/2339 : 983/2339 : 1)  C2a (461/329 : -507/329 : 1)
** u= 21/83 ; C1  -41858*x^2 - 7330*y^2 + 2962*z^2
  (3084/11723 : 1105/11723 : 1)  C2a (2947/149 : 2655/149 : 1)
** u= 23/57 ; C1  -22018*x^2 - 3778*y^2 + 98*z^2
  (364/8669 : 1085/8669 : 1)  C2a (1025/119 : -39/17 : 1)
** u= 23/65 ; C1  -27634*x^2 - 4754*y^2 + 706*z^2
  (496/4365 : -1183/4365 : 1)  C2a (-16275/1919 : 9157/1919 : 1)
** u= 24/59 ; C1  -23645*x^2 - 4057*y^2 + 73*z^2
  (153/3773 : 346/3773 : 1)  C2a (40956/901 : 7843/901 : 1)
** u= 24/73 ; C1  -34229*x^2 - 5905*y^2 + 1249*z^2
  (-1907/10623 : 1670/10623 : 1)  C2a (-558/337 : 539/337 : 1)
** u= 28/69 ; C1  -32317*x^2 - 5545*y^2 + 113*z^2
  (-512/36481 : 5059/36481 : 1)  C2a (-166/153 : 185/153 : 1)
** u= 28/71 ; C1  -33941*x^2 - 5825*y^2 + 281*z^2
  (36/1187 : -1229/5935 : 1)  C2a (310/293 : -1807/1465 : 1)
** u= 28/87 ; C1  -48373*x^2 - 8353*y^2 + 1913*z^2
  (24916/133651 : -365/2191 : 1)  C2a (724/861 : -1129/861 : 1)
** u= 29/83 ; C1  -44914*x^2 - 7730*y^2 + 1234*z^2
  (-2984/18111 : -791/18111 : 1)  C2a (-1537/543 : -1081/543 : 1)
** u= 29/99 ; C1  -61330*x^2 - 10642*y^2 + 3218*z^2
  (845/3691 : 68/3691 : 1)  C2a (6251/5731 : 8307/5731 : 1)
** u= 31/81 ; C1  -43810*x^2 - 7522*y^2 + 578*z^2
  (-85/1229 : -272/1229 : 1)  C2a (56075/13889 : -1617/817 : 1)
** u= 31/97 ; C1  -60034*x^2 - 10370*y^2 + 2434*z^2
  (-14969/74721 : 3644/74721 : 1)  C2a (-175517/6483 : 120499/6483 : 1)
** u= 32/81 ; C1  -44197*x^2 - 7585*y^2 + 353*z^2
  (-593/6739 : -254/6739 : 1)  C2a (-20632/12251 : -15867/12251 : 1)
** u= 32/89 ; C1  -52021*x^2 - 8945*y^2 + 1201*z^2
  (-347/2463 : 338/2463 : 1)  C2a (-42/37 : -49/37 : 1)
** u= 32/91 ; C1  -54077*x^2 - 9305*y^2 + 1433*z^2
  (383/2509 : 342/2509 : 1)  C2a (2222/1189 : 1873/1189 : 1)
** u= 37/91 ; C1  -56242*x^2 - 9650*y^2 + 178*z^2
  (-164/3991 : -1851/19955 : 1)  C2a (491/75 : -649/375 : 1)
** u= 40/97 ; C1  -64165*x^2 - 11009*y^2 + 49*z^2
  (-371/27983 : 1638/27983 : 1)  C2a (-29640/1799 : -503/257 : 1)
422
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+578*C^4=4*D^4(n=17のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.15
H.Nakao

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