Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+C^4=126002*D^4

[2026.01.12]A^4+B^4+C^4=126002*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

126002=2*251^2であるので、以下では、n=251とする。

■n=251のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=251;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように175個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(251,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (-5774054/672779 : -383453/672779 : 1)
** u= 1/81 ; tau(u)= 161/80 ; -12799*x^2 + 13121*y^2 + 25922*x*z - 12799*z^2
  (-1237/653 : 1872/653 : 1)  C1b (125222/33225 : 7063/33225 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (338/375 : -1/15 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (71538/8003 : -4631/8003 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (33629/2046 : -13603/14322 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (-222630/24707 : -14305/24707 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-629/2238 : -119/2238 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
  (1/5 : 6/115 : 1)  C1b (-6/41 : -53/943 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (1375581/75190 : -17279/15038 : 1)
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b (91630/118243 : 7071/118243 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (-160617/137617 : -18631/137617 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
  (2402/7199 : 243/313 : 1)  C2b (3192841/1161079 : -182083/1161079 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (-626555/439914 : 949301/7478538 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (-2661763/958755 : -210353/958755 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (2238/629 : -7/37 : 1)
** u= 11/157 ; tau(u)= 303/146 ; -42511*x^2 + 49177*y^2 + 91930*x*z - 42511*z^2
  (-7101/5167 : 11630/5167 : 1)  C1b (1218098/48345 : 14603/9669 : 1)
** u= -11/185 ; tau(u)= 381/196 ; -76711*x^2 + 68329*y^2 + 145282*x*z - 76711*z^2
  (9693/18391 : -10304/18391 : 1)  C2b (-1209703/2586137 : 220269/2586137 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (6844286/315637 : -382857/315637 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (1691345/2527729 : -140709/2527729 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (10888646/864145 : 11675817/14690465 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (954/2737 : -481/2737 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-2648354/197859 : 146731/197859 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-3027375/72127 : 177875/72127 : 1)
** u= 16/125 ; tau(u)= 234/109 ; -23506*x^2 + 30994*y^2 + 55012*x*z - 23506*z^2
  (143/10508 : 9005/10508 : 1)  C1b (116531710/2729171 : 6861413/2729171 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-76749/14650 : 899/2930 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (-738463/327001 : 67847/327001 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (33640410/5759087 : -2058817/5759087 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (-5559974/1290675 : 551989/1290675 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (685070546/473005 : -9691011/94601 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (-19089230/696791 : -1150395/696791 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-11882/9879 : -773/9879 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (7837515/651022 : 416569/651022 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (5032442/743361 : 274621/743361 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
  (-1/5 : -6/115 : 1)  C1a (3467/1242 : -4859/28566 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (1931/6266 : -873/6266 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (69735/34201 : 4237/34201 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (-1440415/260998 : 85819/260998 : 1)
** u= 32/117 ; tau(u)= 202/85 ; -13426*x^2 + 26354*y^2 + 41828*x*z - 13426*z^2
  (18127/1005415 : 697296/1005415 : 1)  C1b (-12033339/2553539 : -735389/2553539 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (-72521/42230 : 99/1030 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-462550/25569 : -27811/25569 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (-2729/766 : 1017/5362 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (1899690/1395373 : -115667/1395373 : 1)
** u= -41/89 ; tau(u)= 219/130 ; -32119*x^2 + 14161*y^2 + 49642*x*z - 32119*z^2
  (79/87 : 10118/10353 : 1)  C2b (2233/1570 : -16977/186830 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (910/14793 : -887/14793 : 1)
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a (-3945959/345345 : -214057/345345 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (-10/481 : 105/481 : 1)
** u= 43/117 ; tau(u)= 191/74 ; -9103*x^2 + 25529*y^2 + 38330*x*z - 9103*z^2
  (-4883/43237 : 220482/302659 : 1)  C1b (-34215/43562 : -23525/304934 : 1)
** u= 44/49 ; tau(u)= 54/5 ; 1886*x^2 + 2866*y^2 + 4852*x*z + 1886*z^2
  (-1580/2879 : 777/2879 : 1)  C1b (-66054/159719 : 8549/159719 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-368723/63310 : -3915/12662 : 1)
** u= 44/73 ; tau(u)= 102/29 ; 254*x^2 + 8722*y^2 + 12340*x*z + 254*z^2
  (-1817/6018 : -26489/42126 : 1)  C1b (-4193866/663057 : -1572853/4641399 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (-120822/298067 : 18901/298067 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-77343042/4983761 : -6010547/4983761 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-266250/228149 : 19009/228149 : 1)
** u= 49/113 ; tau(u)= 177/64 ; -5791*x^2 + 23137*y^2 + 33730*x*z - 5791*z^2
  (7619/50109 : 9296/50109 : 1)  C1b (-110998/294531 : -17897/294531 : 1)
** u= -49/193 ; tau(u)= 435/242 ; -114727*x^2 + 72097*y^2 + 191626*x*z - 114727*z^2
  (2557/76225 : -93478/76225 : 1)  C2b (41812166/2895195 : 2921173/2895195 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-4910129/60538 : 1847031/423766 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (4114994/30983 : -225717/30983 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (135414/117857 : 58883/824999 : 1)
** u= 54/5 ; tau(u)= 44/49 ; -1886*x^2 - 2866*y^2 + 4852*x*z - 1886*z^2
  (1580/2879 : -777/2879 : 1)  C1a (68570/102153 : 5717/102153 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (-990/1957 : 739/13699 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (371522/13065 : 26081/13065 : 1)
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b (-9002710/250579 : -1580401/250579 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (2522365/608122 : -2529/11474 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-1579570/1684899 : 357233/1684899 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (301278/7125079 : 29117/548083 : 1)
** u= 56/169 ; tau(u)= 282/113 ; -22402*x^2 + 53986*y^2 + 82660*x*z - 22402*z^2
  (-908/249 : -845/249 : 1)  C1b (-1693562/1234319 : -129811/1234319 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (-3483814/1235653 : 354363/1235653 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (-12334/2907985 : 219537/2907985 : 1)
** u= 57/193 ; tau(u)= 329/136 ; -33743*x^2 + 71249*y^2 + 111490*x*z - 33743*z^2
  (139247/443397 : -75356/443397 : 1)  C1b (4995338/502879 : -271719/502879 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (24965/15083 : 1407/15083 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
  (-11329/30921 : 67384/30921 : 1)  C2b (-214702/126847 : -28813/126847 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (11679482/4338819 : 776941/4338819 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-286046/3343415 : 489771/3343415 : 1)
** u= 61/65 ; tau(u)= 69/4 ; 3689*x^2 + 4729*y^2 + 8482*x*z + 3689*z^2
  (-9063/8731 : 4288/8731 : 1)  C1b (-221530/56701 : 12157/56701 : 1)
** u= 61/197 ; tau(u)= 333/136 ; -33271*x^2 + 73897*y^2 + 114610*x*z - 33271*z^2
  (788999/9229 : 518676/9229 : 1)  C1b (200786/297055 : 3407/59411 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (1785038/241175 : -20473/48235 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (33489/438178 : -1801/33706 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-150424222/2052235 : -57388959/14365645 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (45049/25985 : -3081/25985 : 1)
** u= -67/49 ; tau(u)= 165/116 ; -22423*x^2 + 313*y^2 + 31714*x*z - 22423*z^2
  (1315/5949 : 43204/5949 : 1)  C2b (111370/26343 : 42499/26343 : 1)
** u= -67/193 ; tau(u)= 453/260 ; -130711*x^2 + 70009*y^2 + 209698*x*z - 130711*z^2
  (13263/12473 : 11108/12473 : 1)  C2b (20749265/11336577 : 1259357/11336577 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
  (-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1)  C2b (-35266994/16907277 : -4492679/16907277 : 1)
** u= 69/4 ; tau(u)= 61/65 ; -3689*x^2 - 4729*y^2 + 8482*x*z - 3689*z^2
  (565/333 : -44/333 : 1)  C1a (-129998/53445 : 9601/53445 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (-140826/439825 : -4723/87965 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (-901201/94649 : -47857/94649 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (-1628411/4711515 : -488711/4711515 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (-531430/269623 : 29147/269623 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (41669/97229 : -5493/97229 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-257194/391003 : 27099/391003 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (33695/17327 : 8141/17327 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-31863/30967 : 2227/30967 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-27571090/745239 : -2482949/745239 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (1785038/241175 : -20473/48235 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (270507/173819 : 20687/173819 : 1)
** u= 84/109 ; tau(u)= 134/25 ; 5806*x^2 + 16706*y^2 + 25012*x*z + 5806*z^2
  (-736/2161 : 755/2161 : 1)  C1b (6739351/409289 : 373869/409289 : 1)
** u= -84/137 ; tau(u)= 358/221 ; -90626*x^2 + 30482*y^2 + 135220*x*z - 90626*z^2
  (-7319/14552 : 35515/14552 : 1)  C2b (4393010/2165671 : 315105/2165671 : 1)
** u= 85/101 ; tau(u)= 117/16 ; 6713*x^2 + 13177*y^2 + 20914*x*z + 6713*z^2
  (-1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1b (87473395/1336467 : 4943153/1336467 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (281342/6830579 : 393657/6830579 : 1)
** u= -88/109 ; tau(u)= 306/197 ; -69874*x^2 + 16018*y^2 + 101380*x*z - 69874*z^2
  (-244819/72500449 : -21685032/10357207 : 1)  C2b (-4674542/2603109 : 756577/2603109 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-857534/655241 : 129487/655241 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (638330/267833 : -36819/267833 : 1)
** u= -88/193 ; tau(u)= 474/281 ; -150178*x^2 + 66754*y^2 + 232420*x*z - 150178*z^2
  (6401/1788 : -7715/1788 : 1)  C2b (37213939/603493 : -3066981/603493 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-3027375/72127 : 177875/72127 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (36695797/1345566 : 1998419/1345566 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (53759/68759 : 7663/68759 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
  (-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1)  C2b (301414970/29979897 : -26985293/29979897 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-76749/14650 : 899/2930 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (-8633135/594991 : -459621/594991 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-17838149/595170 : -200647/119034 : 1)
** u= 102/29 ; tau(u)= 44/73 ; -254*x^2 - 8722*y^2 + 12340*x*z - 254*z^2
  (28/69 : -355/483 : 1)  C1a (-397538/10111 : 147857/70777 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-363602/31979 : 21309/31979 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-85/603 : -47/603 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (-371094/238205 : 20549/238205 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (9594566/15904357 : -1111297/15904357 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (4210/4821 : -521/4821 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (32174/64155 : -5297/64155 : 1)
** u= -105/97 ; tau(u)= 299/202 ; -70583*x^2 + 7793*y^2 + 100426*x*z - 70583*z^2
  (43361/255877 : 683414/255877 : 1)  C2b (879010/542321 : -100911/542321 : 1)
** u= 109/117 ; tau(u)= 125/8 ; 11753*x^2 + 15497*y^2 + 27506*x*z + 11753*z^2
  (-35593/33533 : 17460/33533 : 1)  C1b (-5363482/136025 : 315551/136025 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (-751437/59621 : 40117/59621 : 1)
** u= 117/16 ; tau(u)= 85/101 ; -6713*x^2 - 13177*y^2 + 20914*x*z - 6713*z^2
  (1269/2717 : -944/2717 : 1)  C1a (-12033339/2553539 : -735389/2553539 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (-18870234/429535 : -1045499/429535 : 1)
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b (-23410/22633 : 607435/927953 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-110753/213919 : 11643/213919 : 1)
** u= -120/113 ; tau(u)= 346/233 ; -94178*x^2 + 11138*y^2 + 134116*x*z - 94178*z^2
  (28439/15195 : 59896/15195 : 1)  C2b (6587455/201182 : 998607/201182 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-3863078/1266151 : -286373/1266151 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (-1152701/424509 : 80879/424509 : 1)
** u= -123/109 ; tau(u)= 341/232 ; -92519*x^2 + 8633*y^2 + 131410*x*z - 92519*z^2
  (2779/4601 : -10724/4601 : 1)  C2b (-783473/71066 : -145407/71066 : 1)
** u= -124/121 ; tau(u)= 366/245 ; -104674*x^2 + 13906*y^2 + 149332*x*z - 104674*z^2
  (4798/7669 : 14861/7669 : 1)  C2b (-5554293/335290 : 847463/335290 : 1)
** u= 125/8 ; tau(u)= 109/117 ; -11753*x^2 - 15497*y^2 + 27506*x*z - 11753*z^2
  (14093/25033 : -540/25033 : 1)  C1a (116531710/2729171 : 6861413/2729171 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (13164215/798767 : 2851353/798767 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-218131/157354 : 14001/157354 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b (176506/120707 : -52509/120707 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-1372042/826417 : 428019/826417 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (31035197/430414 : 3574287/430414 : 1)
** u= 132/197 ; tau(u)= 262/65 ; 8974*x^2 + 60194*y^2 + 86068*x*z + 8974*z^2
  (-213/100 : 149/100 : 1)  C1b (-448915/584491 : -37299/584491 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (-326331/553163 : -41711/553163 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (-104871670/1099739 : -6045207/1099739 : 1)
** u= 134/25 ; tau(u)= 84/109 ; -5806*x^2 - 16706*y^2 + 25012*x*z - 5806*z^2
  (1487/1472 : -1325/1472 : 1)  C1a (12524419/405739 : 679179/405739 : 1)
** u= 136/137 ; tau(u)= 138 ; 18494*x^2 + 19042*y^2 + 37540*x*z + 18494*z^2
  (-12093/11303 : -1832/11303 : 1)  C1b (2778034/591973 : -195057/591973 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (890838/286877 : -58843/286877 : 1)
** u= 138 ; tau(u)= 136/137 ; -18494*x^2 - 19042*y^2 + 37540*x*z - 18494*z^2
  (664/771 : -61/771 : 1)  C1a (10206/5857 : -559/5857 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (-4150210/5957147 : -361449/5957147 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
  (4045/39874 : 141159/39874 : 1)  C2b (329226/34931 : -61759/34931 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (-38601055/6148113 : 5676413/6148113 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-8834222/410297 : -484071/410297 : 1)
** u= -149/125 ; tau(u)= 399/274 ; -127951*x^2 + 9049*y^2 + 181402*x*z - 127951*z^2
  (-32881/119579 : 544330/119579 : 1)  C2b (-54607/29730 : -15679/29730 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (-323154/234097 : 18829/234097 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (33489/438178 : -1801/33706 : 1)
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a (10/33 : 7/33 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (-10236982/2964975 : -588167/2964975 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
  (-29727/12721 : 6178/12721 : 1)  C1b (-578647/121450 : 31133/121450 : 1)
** u= 161/80 ; tau(u)= 1/81 ; 12799*x^2 - 13121*y^2 + 25922*x*z + 12799*z^2
  (-200033/84023 : 112752/84023 : 1)  C1a (72977905/36808143 : 6060587/36808143 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (-39134422/19413515 : -449479/3882703 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (-140826/439825 : -4723/87965 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (-1505994018/153437807 : 90923749/153437807 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (-71221/143934 : -7817/143934 : 1)
** u= 165/116 ; tau(u)= -67/49 ; 22423*x^2 - 313*y^2 + 31714*x*z + 22423*z^2
  (-579/6025 : -47656/6025 : 1)  C1a (-836478/174425 : -325151/174425 : 1)
** u= -168/157 ; tau(u)= 482/325 ; -183026*x^2 + 21074*y^2 + 260548*x*z - 183026*z^2
  (-123016/5320071 : 15938425/5320071 : 1)  C2b (-1051/1891 : 429/1891 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
  (439/2441 : -3132/2441 : 1)  C1a (-303502/767223 : -43439/767223 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (-19897/215801 : -11939/215801 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-4817514/291973 : 293723/291973 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (1961458/1661313 : -793489/1661313 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (-1197793/148655 : 16039/29731 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (-85529/43223 : -33837/302561 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (-101870/1652609 : 96729/1652609 : 1)
** u= 177/64 ; tau(u)= 49/113 ; 5791*x^2 - 23137*y^2 + 33730*x*z + 5791*z^2
  (1843/243 : -1232/243 : 1)  C1a (3268239/105422 : -177187/105422 : 1)
** u= 181/185 ; tau(u)= 189/4 ; 32729*x^2 + 35689*y^2 + 68482*x*z + 32729*z^2
  (-1613/2085 : -284/2085 : 1)  C1b (187972382/14814777 : -12086081/14814777 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (348073/31330 : 51147/31330 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (769497/595570 : -800201/4168990 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (-19442/15285 : 1681/15285 : 1)
** u= 189/4 ; tau(u)= 181/185 ; -32729*x^2 - 35689*y^2 + 68482*x*z - 32729*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1a (-3606146/792571 : -250103/792571 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (-238900025/445638 : 50707/1734 : 1)
** u= 191/74 ; tau(u)= 43/117 ; 9103*x^2 - 25529*y^2 + 38330*x*z + 9103*z^2
  (-4249/17029 : -7674/119203 : 1)  C1a (-148009/23817 : 55211/166719 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (-30494346/436573 : -1651313/436573 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (399418/125605 : -37201/125605 : 1)
175
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.13追記] u=7/17,-57/185,84/109,112/153のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.13
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]