Integer Points on A^4+B^4+C^4=124002*D^4

[2026.01.11]A^4+B^4+C^4=124002*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

124002=2*249^2であるので、以下では、n=249とする。

■n=249のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=249;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように173個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(249,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (87340/57649 : 4883/57649 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (-405697/1419401 : -104727/1419401 : 1)
** u= 3/37 ; tau(u)= 71/34 ; -2303*x^2 + 2729*y^2 + 5050*x*z - 2303*z^2
  (5053/7821 : -190/7821 : 1)  C1b (6628/7379 : -447/7379 : 1)
** u= -3/61 ; tau(u)= 125/64 ; -8183*x^2 + 7433*y^2 + 15634*x*z - 8183*z^2
  (253/227 : 80/227 : 1)  C2b (-30435445/2290573 : 2059787/2290573 : 1)
** u= 3/173 ; tau(u)= 343/170 ; -57791*x^2 + 59849*y^2 + 117658*x*z - 57791*z^2
  (3337/2609 : 458/2609 : 1)  C1b (8203901/3858964 : -449117/3858964 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (15172/2873 : -809/2873 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (30580/25061 : 1799/25061 : 1)
** u= 5/169 ; tau(u)= 333/164 ; -53767*x^2 + 57097*y^2 + 110914*x*z - 53767*z^2
  (182033/581575 : 379548/581575 : 1)  C1b (8221552/1615495 : 472879/1615495 : 1)
** u= 7/185 ; tau(u)= 363/178 ; -63319*x^2 + 68401*y^2 + 131818*x*z - 63319*z^2
  (443265/818897 : 321134/818897 : 1)  C1b (-852805/798308 : 88383/798308 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (-74315/49141 : -6465/49141 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (5416/149 : 1153/149 : 1)
** u= 11/117 ; tau(u)= 223/106 ; -22351*x^2 + 27257*y^2 + 49850*x*z - 22351*z^2
  (-31309/1105559 : 147522/157937 : 1)  C1b (28399/19433 : -1591/19433 : 1)
** u= 12/41 ; tau(u)= 70/29 ; -1538*x^2 + 3218*y^2 + 5044*x*z - 1538*z^2
  (483/1420 : 13/1420 : 1)  C1b (3428/66505 : -3677/66505 : 1)
** u= -12/61 ; tau(u)= 134/73 ; -10514*x^2 + 7298*y^2 + 18100*x*z - 10514*z^2
  (1061/5602 : 5665/5602 : 1)  C2b (51452/27871 : -2959/27871 : 1)
** u= 12/65 ; tau(u)= 118/53 ; -5474*x^2 + 8306*y^2 + 14068*x*z - 5474*z^2
  (214/557 : 181/557 : 1)  C1b (2645/505684 : 29431/505684 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (3442276/1654625 : -206609/1654625 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (150256/344155 : 18513/344155 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (174620/1007927 : 62295/1007927 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-5455/8612 : 509/8612 : 1)
** u= -15/101 ; tau(u)= 217/116 ; -26687*x^2 + 20177*y^2 + 47314*x*z - 26687*z^2
  (111/77 : 64/77 : 1)  C2b (-6672448/4431565 : -677629/4431565 : 1)
** u= 15/193 ; tau(u)= 371/178 ; -63143*x^2 + 74273*y^2 + 137866*x*z - 63143*z^2
  (-69/47 : -1858/799 : 1)  C1b (2018948/2710825 : -2627993/46084025 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (292513/19657 : -23047/19657 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-16160/22351 : -1653/22351 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (676528/111385 : 46971/111385 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-59069/31792 : -4081/31792 : 1)
** u= -19/193 ; tau(u)= 405/212 ; -89527*x^2 + 74137*y^2 + 164386*x*z - 89527*z^2
  (269/163 : -1044/1141 : 1)  C2b (211955/16832 : -94949/117824 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (44783800/6148637 : 2657313/6148637 : 1)
** u= -21/85 ; tau(u)= 191/106 ; -22031*x^2 + 14009*y^2 + 36922*x*z - 22031*z^2
  (12281/14013 : -9614/14013 : 1)  C2b (3067564/946319 : 190279/946319 : 1)
** u= -21/109 ; tau(u)= 239/130 ; -33359*x^2 + 23321*y^2 + 57562*x*z - 33359*z^2
  (-34941/10387 : 52882/10387 : 1)  C2b (36469709/79660 : -2564263/79660 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-117860120/5274329 : 7188795/5274329 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (-8504/1045 : -25539/7315 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (-41815/507668 : 29945/507668 : 1)
** u= 24/49 ; tau(u)= 74/25 ; -674*x^2 + 4226*y^2 + 6052*x*z - 674*z^2
  (712/13445 : -3899/13445 : 1)  C1b (848/21355 : 1141/21355 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
  (8441/47349 : 51952/47349 : 1)  C2b (34378009/12440168 : 2113453/12440168 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (11009/31969 : -12027/223783 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
  (-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1)  C1b (634225/455993 : -36103/455993 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (4468352/1333177 : 267927/1333177 : 1)
** u= 24/169 ; tau(u)= 314/145 ; -41474*x^2 + 56546*y^2 + 99172*x*z - 41474*z^2
  (1711/4935 : 15964/34545 : 1)  C1b (37912/71423 : 27157/499961 : 1)
** u= -24/173 ; tau(u)= 370/197 ; -77042*x^2 + 59282*y^2 + 137476*x*z - 77042*z^2
  (-23232/72785 : 107273/72785 : 1)  C2b (45898435/10157936 : -2803061/10157936 : 1)
** u= 28/149 ; tau(u)= 270/121 ; -28498*x^2 + 43618*y^2 + 73684*x*z - 28498*z^2
  (-829/104548 : 85371/104548 : 1)  C1b (47308/239875 : -13153/239875 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (9424/5215 : -519/5215 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (3328/1333 : -949/1333 : 1)
** u= 29/49 ; tau(u)= 69/20 ; 41*x^2 + 3961*y^2 + 5602*x*z + 41*z^2
  (-95/12687 : 196/12687 : 1)  C1b (3835/2224 : 237/2224 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-400879/1552 : -22087/1552 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (772525/127363 : -41921/127363 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-980761/271409 : -56401/271409 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (2088227/2523253 : -158341/2523253 : 1)
** u= -31/117 ; tau(u)= 265/148 ; -42847*x^2 + 26417*y^2 + 71186*x*z - 42847*z^2
  (-4307/4831 : -11136/4831 : 1)  C2b (28806424/1703261 : 2046031/1703261 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (-424085996/45940373 : -31891491/45940373 : 1)
** u= 39/89 ; tau(u)= 139/50 ; -3479*x^2 + 14321*y^2 + 20842*x*z - 3479*z^2
  (127177/768221 : 71486/768221 : 1)  C1b (2346220/1032773 : 129769/1032773 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (-6921100/5144243 : -478373/5144243 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (1458827/812908 : -82097/812908 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (2271489796/17690737 : -169514017/17690737 : 1)
** u= -44/153 ; tau(u)= 350/197 ; -75682*x^2 + 44882*y^2 + 124436*x*z - 75682*z^2
  (11666/9599 : 8625/9599 : 1)  C2b (-157156/71881 : -15581/71881 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (-110430799/73515560 : -14837281/73515560 : 1)
** u= 47/121 ; tau(u)= 195/74 ; -8743*x^2 + 27073*y^2 + 40234*x*z - 8743*z^2
  (5741/945 : 242/135 : 1)  C1b (-86728756/2779571 : 4773099/2779571 : 1)
** u= -47/149 ; tau(u)= 345/196 ; -74623*x^2 + 42193*y^2 + 121234*x*z - 74623*z^2
  (-9211/28139 : 47908/28139 : 1)  C2b (326735/166961 : -19731/166961 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
  (69341/105087 : 6424/4569 : 1)  C2b (958025/290431 : 86729/290431 : 1)
** u= 51/157 ; tau(u)= 263/106 ; -19871*x^2 + 46697*y^2 + 71770*x*z - 19871*z^2
  (-19377/197047 : 1051174/1379329 : 1)  C1b (-14930015/247676 : 5833315/1733732 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (10021/1492 : -9457/1492 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (-50221/13796 : -9429/13796 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (-378188/188095 : 4505/37619 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (44765/1181 : -6775/1181 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-3031261/1400435 : 166271/1400435 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-31954816/103288199 : -5636079/103288199 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (-93328/9097 : -239997/63679 : 1)
** u= 57/125 ; tau(u)= 193/68 ; -5999*x^2 + 28001*y^2 + 40498*x*z - 5999*z^2
  (5327/49201 : 12068/49201 : 1)  C1b (1622848/942083 : -94397/942083 : 1)
** u= 57/157 ; tau(u)= 257/100 ; -16751*x^2 + 46049*y^2 + 69298*x*z - 16751*z^2
  (-41767/237387 : -189880/237387 : 1)  C1b (3051907/468965 : 163461/468965 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (6123317/1818580 : 393813/1818580 : 1)
** u= -57/193 ; tau(u)= 443/250 ; -121751*x^2 + 71249*y^2 + 199498*x*z - 121751*z^2
  (12109/21597 : -17758/21597 : 1)  C2b (37410850460/15107041093 : -2296459561/15107041093 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-46316/2435 : 6657/2435 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-21095/57703 : 46453/403921 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b (-499664/322117 : -223897/322117 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (7120699/1874888 : 431453/1874888 : 1)
** u= -64/81 ; tau(u)= 226/145 ; -37954*x^2 + 9026*y^2 + 55172*x*z - 37954*z^2
  (779/545 : 1098/545 : 1)  C2b (57155/77803 : 6269/77803 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-144344/447941 : 24027/447941 : 1)
** u= 69/20 ; tau(u)= 29/49 ; -41*x^2 - 3961*y^2 + 5602*x*z - 41*z^2
  (107/2203 : 532/2203 : 1)  C1a (62995/46976 : -4173/46976 : 1)
** u= 69/85 ; tau(u)= 101/16 ; 4249*x^2 + 9689*y^2 + 14962*x*z + 4249*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1b (139943/168760 : -13807/168760 : 1)
** u= -69/125 ; tau(u)= 319/194 ; -70511*x^2 + 26489*y^2 + 106522*x*z - 70511*z^2
  (5657/7837 : -8390/7837 : 1)  C2b (452612/1296325 : 94613/1296325 : 1)
** u= 70/29 ; tau(u)= 12/41 ; 1538*x^2 - 3218*y^2 + 5044*x*z + 1538*z^2
  (-1458/4319 : -247/4319 : 1)  C1a (-368245/245492 : 1619/18884 : 1)
** u= 71/34 ; tau(u)= 3/37 ; 2303*x^2 - 2729*y^2 + 5050*x*z + 2303*z^2
  (599/14357 : 1970/2051 : 1)  C1a (-20572748/92101 : -1251519/92101 : 1)
** u= 74/25 ; tau(u)= 24/49 ; 674*x^2 - 4226*y^2 + 6052*x*z + 674*z^2
  (-178/6653 : -2317/6653 : 1)  C1a (-11357/9493 : -749/9493 : 1)
** u= 75/173 ; tau(u)= 271/98 ; -13583*x^2 + 54233*y^2 + 79066*x*z - 13583*z^2
  (5387/619 : -1582/619 : 1)  C1b (593836/877925 : 52577/877925 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (219303008/27835183 : -16093869/27835183 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (-73251115/18120376 : -3952477/18120376 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (792928/140215 : 62909/140215 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (7120699/1874888 : 431453/1874888 : 1)
** u= -84/73 ; tau(u)= 230/157 ; -42242*x^2 + 3602*y^2 + 59956*x*z - 42242*z^2
  (1809/14998 : -47167/14998 : 1)  C2b (-219764/65159 : 49301/65159 : 1)
** u= -84/85 ; tau(u)= 254/169 ; -50066*x^2 + 7394*y^2 + 71572*x*z - 50066*z^2
  (-28148/174983 : -510263/174983 : 1)  C2b (-749516/79529 : 112531/79529 : 1)
** u= 84/101 ; tau(u)= 118/17 ; 6478*x^2 + 13346*y^2 + 20980*x*z + 6478*z^2
  (-1641/4744 : 83/4744 : 1)  C1b (3065755/1962404 : -231415/1962404 : 1)
** u= -84/109 ; tau(u)= 302/193 ; -67442*x^2 + 16706*y^2 + 98260*x*z - 67442*z^2
  (18028/7763 : -27059/7763 : 1)  C2b (4506030452/1453831009 : 398196901/1453831009 : 1)
** u= 84/113 ; tau(u)= 142/29 ; 5374*x^2 + 18482*y^2 + 27220*x*z + 5374*z^2
  (-252/1223 : -23/1223 : 1)  C1b (11683/10811 : -947/10811 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
  (5188/15605 : -22891/15605 : 1)  C2b (58811/146020 : 11587/146020 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (2963120/433921 : 433369/433921 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (99883/12611 : 5629/12611 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-73825/2809 : -77/53 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-64648/27445 : -4237/27445 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (50544680/1555729 : 2912967/1555729 : 1)
** u= 93/97 ; tau(u)= 101/4 ; 8617*x^2 + 10169*y^2 + 18850*x*z + 8617*z^2
  (-3733/4237 : -1516/4237 : 1)  C1b (-350656/321433 : -21417/321433 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (1646237/68915 : -111817/68915 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (777103/415520 : 56403/415520 : 1)
** u= -96/149 ; tau(u)= 394/245 ; -110834*x^2 + 35186*y^2 + 164452*x*z - 110834*z^2
  (4727/11065 : 14546/11065 : 1)  C2b (686237/475168 : 49129/475168 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-59069/31792 : -4081/31792 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (574996/431279 : 40871/431279 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (-253363/85597 : 14231/85597 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (93460/3979 : 13443/3979 : 1)
** u= 101/4 ; tau(u)= 93/97 ; -8617*x^2 - 10169*y^2 + 18850*x*z - 8617*z^2
  (28253/39477 : 8396/39477 : 1)  C1a (651400/980197 : -54615/980197 : 1)
** u= 101/16 ; tau(u)= 69/85 ; -4249*x^2 - 9689*y^2 + 14962*x*z - 4249*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1a (-187685560/102156827 : -13242317/102156827 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (986574185/650465527 : -85177213/650465527 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-86413252/45424787 : 5148407/45424787 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (-41124715/31845227 : 6283745/31845227 : 1)
** u= 105/121 ; tau(u)= 137/16 ; 10513*x^2 + 18257*y^2 + 29794*x*z + 10513*z^2
  (-13017/5881 : -2728/5881 : 1)  C1b (53157176/50113591 : -4863103/50113591 : 1)
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
  (-1187/1987 : 7374/1987 : 1)  C2b (220784/100177 : -22349/100177 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (2718520/2280269 : -209005/2280269 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (764117/107635 : -40773/107635 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-67360/143659 : -8793/143659 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (552947/163235 : 6581/32647 : 1)
** u= 118/17 ; tau(u)= 84/101 ; -6478*x^2 - 13346*y^2 + 20980*x*z - 6478*z^2
  (503/558 : -409/558 : 1)  C1a (1340731/303133 : 71917/303133 : 1)
** u= 118/53 ; tau(u)= 12/65 ; 5474*x^2 - 8306*y^2 + 14068*x*z + 5474*z^2
  (-12336/57065 : -32467/57065 : 1)  C1a (-2881108/1137533 : -154783/1137533 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (24452/8225 : 261439/1373575 : 1)
** u= -124/181 ; tau(u)= 486/305 ; -170674*x^2 + 50146*y^2 + 251572*x*z - 170674*z^2
  (6905/394 : -12213/394 : 1)  C2b (89980/471049 : -41683/471049 : 1)
** u= 125/64 ; tau(u)= -3/61 ; 8183*x^2 - 7433*y^2 + 15634*x*z + 8183*z^2
  (-253/227 : -80/227 : 1)  C1a (15421336/1625725 : 1061339/1625725 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (905939/567037 : -57001/567037 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (-37252/136267 : 7397/136267 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (7255/27929 : 35045/27929 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (117145/181591 : -12251/181591 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (13776080/3307013 : 1148521/3307013 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (3765431/6383321 : -354099/6383321 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-1805185/895967 : -99979/895967 : 1)
** u= -132/101 ; tau(u)= 334/233 ; -91154*x^2 + 2978*y^2 + 128980*x*z - 91154*z^2
  (1917/464 : -8975/464 : 1)  C2b (20441/35617 : 7561/35617 : 1)
** u= -132/173 ; tau(u)= 478/305 ; -168626*x^2 + 42434*y^2 + 245908*x*z - 168626*z^2
  (-32/839 : -12037/5873 : 1)  C2b (61481/108124 : 60191/756868 : 1)
** u= -132/181 ; tau(u)= 494/313 ; -178514*x^2 + 48098*y^2 + 261460*x*z - 178514*z^2
  (-1261/12634 : -26171/12634 : 1)  C2b (-2929637/5652260 : 166041/1130452 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-22744831/9938177 : 1236547/9938177 : 1)
** u= 134/73 ; tau(u)= -12/61 ; 10514*x^2 - 7298*y^2 + 18100*x*z + 10514*z^2
  (107/224 : 55/32 : 1)  C1a (-151492/938489 : 60647/938489 : 1)
** u= 137/16 ; tau(u)= 105/121 ; -10513*x^2 - 18257*y^2 + 29794*x*z - 10513*z^2
  (3907/7555 : 2552/7555 : 1)  C1a (-73840/4063367 : 234131/4063367 : 1)
** u= 139/50 ; tau(u)= 39/89 ; 3479*x^2 - 14321*y^2 + 20842*x*z + 3479*z^2
  (-1268581/7616849 : -649970/7616849 : 1)  C1a (-4651996/9022775 : 510103/9022775 : 1)
** u= -141/197 ; tau(u)= 535/338 ; -208607*x^2 + 57737*y^2 + 306106*x*z - 208607*z^2
  (89541/315253 : 488254/315253 : 1)  C2b (7296052/4239125 : -556093/4239125 : 1)
** u= 142/29 ; tau(u)= 84/113 ; -5374*x^2 - 18482*y^2 + 27220*x*z - 5374*z^2
  (1897/7962 : -1663/7962 : 1)  C1a (-182419/339548 : -22621/339548 : 1)
** u= -143/149 ; tau(u)= 441/292 ; -150079*x^2 + 23953*y^2 + 214930*x*z - 150079*z^2
  (-351/1499 : 4424/1499 : 1)  C2b (7210144/2217583 : 789281/2217583 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (-142952/188449 : -14131/188449 : 1)
** u= -147/113 ; tau(u)= 373/260 ; -113591*x^2 + 3929*y^2 + 160738*x*z - 113591*z^2
  (-39513/46909 : 429632/46909 : 1)  C2b (12405701/1449544 : 3275313/1449544 : 1)
** u= -147/145 ; tau(u)= 437/292 ; -148919*x^2 + 20441*y^2 + 212578*x*z - 148919*z^2
  (275/2137 : 5264/2137 : 1)  C2b (3541825429/2068076075 : -370091681/2068076075 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (10684/269 : -1689/269 : 1)
** u= -151/109 ; tau(u)= 369/260 ; -112399*x^2 + 961*y^2 + 158962*x*z - 112399*z^2
  (7/29 : 8232/899 : 1)  C2b (-23045/7333 : -512801/227323 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-713399/2129089 : -992233/2129089 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (3274784/4180177 : -845951/4180177 : 1)
** u= -156/121 ; tau(u)= 398/277 ; -129122*x^2 + 4946*y^2 + 182740*x*z - 129122*z^2
  (1806/1927 : 7315/1927 : 1)  C2b (1470044/828703 : 289057/828703 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (-77080/127253 : -8269/127253 : 1)
** u= -157/117 ; tau(u)= 391/274 ; -125503*x^2 + 2729*y^2 + 177530*x*z - 125503*z^2
  (35143/986239 : 6521790/986239 : 1)  C2b (79757333/43868179 : -20883907/43868179 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (-69193/105376 : -11593/105376 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a (46363/128645 : 9677/25729 : 1)
** u= -168/169 ; tau(u)= 506/337 ; -198914*x^2 + 28898*y^2 + 284260*x*z - 198914*z^2
  (-20967/7568 : -70577/7568 : 1)  C2b (416921/522088 : 52917/522088 : 1)
** u= -168/185 ; tau(u)= 538/353 ; -220994*x^2 + 40226*y^2 + 317668*x*z - 220994*z^2
  (-106/295 : 887/295 : 1)  C2b (93265040/23651269 : 9906421/23651269 : 1)
** u= 168/197 ; tau(u)= 226/29 ; 26542*x^2 + 49394*y^2 + 79300*x*z + 26542*z^2
  (-6866/17721 : 1123/17721 : 1)  C1b (25016875/3124523 : -1489215/3124523 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (-1805/186764 : 1748593/31189588 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (201515/520723 : 35485/520723 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (3831244/989185 : 259031/989185 : 1)
** u= 177/193 ; tau(u)= 209/16 ; 30817*x^2 + 43169*y^2 + 75010*x*z + 30817*z^2
  (-1251/2347 : 1600/16429 : 1)  C1b (497819/286192 : -479/3472 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
  (-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1)  C1a (2293831/478144 : -291481/478144 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (6436/10645 : 2193/10645 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (82424/390683 : -54937/390683 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-103919168/283859 : -6322797/283859 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (-3133907/2364940 : 736583/2364940 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-1111192/2303725 : 124861/2303725 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (-384708836/190680439 : 21271039/190680439 : 1)
** u= 191/106 ; tau(u)= -21/85 ; 22031*x^2 - 14009*y^2 + 36922*x*z + 22031*z^2
  (-37887/29195 : 26126/29195 : 1)  C1a (-11245540/4591361 : -674351/4591361 : 1)
** u= 193/68 ; tau(u)= 57/125 ; 5999*x^2 - 28001*y^2 + 40498*x*z + 5999*z^2
  (-3219/29321 : 7064/29321 : 1)  C1a (103972885/132952 : 5604257/132952 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (-24541943/8030551 : -1473899/8030551 : 1)
** u= 195/74 ; tau(u)= 47/121 ; 8743*x^2 - 27073*y^2 + 40234*x*z + 8743*z^2
  (-5741/945 : 242/135 : 1)  C1a (273315535/5699111 : -15001359/5699111 : 1)
** u= 196/197 ; tau(u)= 198 ; 38414*x^2 + 39202*y^2 + 77620*x*z + 38414*z^2
  (-349/344 : 49/344 : 1)  C1b (750364/37477 : -48527/37477 : 1)
** u= 198 ; tau(u)= 196/197 ; -38414*x^2 - 39202*y^2 + 77620*x*z - 38414*z^2
  (9131/10434 : -511/10434 : 1)  C1a (-31229084/3816923 : 2098699/3816923 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (1957295/2325289 : -138121/2325289 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (505396/3492203 : -186379/3492203 : 1)
173
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-24/145のとき

7790928430539881312^4+59531023402497214735^4+61689237905359407721^4=124002*3842966957265123567^4
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[参考文献]

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Last Update: 2026.01.11

H.Nakao