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Integer Points on A^4+B^4+C^4=2012018*D^4

[2026.01.14]A^4+B^4+C^4=2012018*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

2012018=2*1003^2であるので、以下では、n=1003とする。

■n=1003のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
Magma V2.25-3     Wed Jan 14 2026 06:18:11 on GOLDENWOLF [Seed = 437634439]
Type ? for help.  Type -D to quit.
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=1003;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように113個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(1003,1,200);
** u= -3/5 ; tau(u)= 13/8 ; -119*x^2 + 41*y^2 + 178*x*z - 119*z^2
  (-75/103 : -284/103 : 1)  C2b (1354/823 : -47/823 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (125169279/63111226 : -3431933/63111226 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-497/298 : -549/5066 : 1)
** u= -8/109 ; tau(u)= 226/117 ; -27314*x^2 + 23698*y^2 + 51140*x*z - 27314*z^2
  (37/26 : -285/442 : 1)  C2b (-12510/19733 : -15865/335461 : 1)
** u= 9/61 ; tau(u)= 113/52 ; -5327*x^2 + 7361*y^2 + 12850*x*z - 5327*z^2
  (-2143/11483 : 11904/11483 : 1)  C1b (1433982/809797 : -663281/13766549 : 1)
** u= 11/101 ; tau(u)= 191/90 ; -16079*x^2 + 20281*y^2 + 36602*x*z - 16079*z^2
  (41177/191341 : -127086/191341 : 1)  C1b (2679/21839 : 10607/371263 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-998/527 : -27/527 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (-6503431/63439 : -3345129/1078463 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (29212286/3415117 : -849849/3415117 : 1)
** u= 13/8 ; tau(u)= -3/5 ; 119*x^2 - 41*y^2 + 178*x*z + 119*z^2
  (-3 : -4 : 1)  C1a (-1979/1507 : 69/1507 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (-2789/2635 : 27/527 : 1)
** u= -15/113 ; tau(u)= 241/128 ; -32543*x^2 + 25313*y^2 + 58306*x*z - 32543*z^2
  (5490053/9654187 : -6040624/9654187 : 1)  C2b (9810179/691667 : -319937/691667 : 1)
** u= 15/193 ; tau(u)= 371/178 ; -63143*x^2 + 74273*y^2 + 137866*x*z - 63143*z^2
  (-69/47 : -1858/799 : 1)  C1b (153186/149449 : 81487/2540633 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (44386/31981 : -1341/31981 : 1)
** u= -16/65 ; tau(u)= 146/81 ; -12866*x^2 + 8194*y^2 + 21572*x*z - 12866*z^2
  (-48448/308665 : -62703/44095 : 1)  C2b (-38397/42997 : -44803/730949 : 1)
** u= 20/29 ; tau(u)= 38/9 ; 238*x^2 + 1282*y^2 + 1844*x*z + 238*z^2
  (-4768/25381 : 417/1493 : 1)  C1b (-2951/6 : 79/6 : 1)
** u= 20/101 ; tau(u)= 182/81 ; -12722*x^2 + 20002*y^2 + 33524*x*z - 12722*z^2
  (87385/1106348 : -788247/1106348 : 1)  C1b (-19003/12478 : 763/12478 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-186518/91007 : -5559/91007 : 1)
** u= 21/101 ; tau(u)= 181/80 ; -12359*x^2 + 19961*y^2 + 33202*x*z - 12359*z^2
  (-15289/19225 : 29368/19225 : 1)  C1b (62358/36661 : 1711/36661 : 1)
** u= -23/121 ; tau(u)= 265/144 ; -40943*x^2 + 28753*y^2 + 70754*x*z - 40943*z^2
  (15773/15619 : -9768/15619 : 1)  C2b (-13604358/5082167 : 597391/5082167 : 1)
** u= 24/49 ; tau(u)= 74/25 ; -674*x^2 + 4226*y^2 + 6052*x*z - 674*z^2
  (712/13445 : -3899/13445 : 1)  C1b (2351082/1070269 : -66059/1070269 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
  (-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1)  C1b (1518346/1210417 : -44323/1210417 : 1)
** u= -27/37 ; tau(u)= 101/64 ; -7463*x^2 + 2009*y^2 + 10930*x*z - 7463*z^2
  (1279/2641 : -25824/18487 : 1)  C2b (2961/13486 : 4253/94402 : 1)
** u= 27/157 ; tau(u)= 287/130 ; -33071*x^2 + 48569*y^2 + 83098*x*z - 33071*z^2
  (25509/57425 : -13498/57425 : 1)  C1b (46518/39391 : -23587/669647 : 1)
** u= -27/185 ; tau(u)= 397/212 ; -89159*x^2 + 67721*y^2 + 158338*x*z - 89159*z^2
  (-8725/936857 : 1083864/936857 : 1)  C2b (71470811/151127858 : 4289111/151127858 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-406/373 : -243/6341 : 1)
** u= -33/89 ; tau(u)= 211/122 ; -28679*x^2 + 14753*y^2 + 45610*x*z - 28679*z^2
  (59971/478031 : -602146/478031 : 1)  C2b (22304946/1687801 : -835567/1687801 : 1)
** u= 36/49 ; tau(u)= 62/13 ; 958*x^2 + 3506*y^2 + 5140*x*z + 958*z^2
  (-572/1759 : -735/1759 : 1)  C1b (-15184698/11089517 : -460993/11089517 : 1)
** u= 37/109 ; tau(u)= 181/72 ; -8999*x^2 + 22393*y^2 + 34130*x*z - 8999*z^2
  (-7991/203 : -37140/1421 : 1)  C1b (-1214163/797918 : 312421/5585426 : 1)
** u= 38/9 ; tau(u)= 20/29 ; -238*x^2 - 1282*y^2 + 1844*x*z - 238*z^2
  (2/5 : -3/5 : 1)  C1a (10607/6294 : -311/6294 : 1)
** u= 44/125 ; tau(u)= 206/81 ; -11186*x^2 + 29314*y^2 + 44372*x*z - 11186*z^2
  (446/11911 : -6795/11911 : 1)  C1b (10526/205933 : 5591/205933 : 1)
** u= -44/181 ; tau(u)= 406/225 ; -99314*x^2 + 63586*y^2 + 166772*x*z - 99314*z^2
  (-1502/2627 : -4965/2627 : 1)  C2b (-24987/25699 : -1637/25699 : 1)
** u= 45/61 ; tau(u)= 77/16 ; 1513*x^2 + 5417*y^2 + 7954*x*z + 1513*z^2
  (-1135/4359 : -1264/4359 : 1)  C1b (-728134/659339 : -23929/659339 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (4116067/2282301 : -133241/2282301 : 1)
** u= 48/193 ; tau(u)= 338/145 ; -39746*x^2 + 72194*y^2 + 116548*x*z - 39746*z^2
  (15393/1559 : -9646/1559 : 1)  C1b (-56559026/8649479 : 1703859/8649479 : 1)
** u= -49/41 ; tau(u)= 131/90 ; -13799*x^2 + 961*y^2 + 19562*x*z - 13799*z^2
  (-5/11 : 1758/341 : 1)  C2b (1614/8567 : -23471/265577 : 1)
** u= 49/197 ; tau(u)= 345/148 ; -41407*x^2 + 75217*y^2 + 121426*x*z - 41407*z^2
  (44301/134587 : -37772/134587 : 1)  C1b (-502991/1748353 : 56091/1748353 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (-3415846/166109 : -90729/166109 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (-235681/103010 : 1263/20602 : 1)
** u= -56/169 ; tau(u)= 394/225 ; -98114*x^2 + 53986*y^2 + 158372*x*z - 98114*z^2
  (955/1124 : 897/1124 : 1)  C2b (1180089/91738 : -43043/91738 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (-5938/7137 : -4651/121329 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (-282666/28753 : 33049/28753 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (5609/3782 : 253/3782 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (589/3238 : 3353/55046 : 1)
** u= 60/109 ; tau(u)= 158/49 ; -1202*x^2 + 20162*y^2 + 28564*x*z - 1202*z^2
  (2657/63094 : 497/63094 : 1)  C1b (-389/1362 : 647/23154 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (63934/113039 : 3089/113039 : 1)
** u= 62/13 ; tau(u)= 36/49 ; -958*x^2 - 3506*y^2 + 5140*x*z - 958*z^2
  (32/129 : -35/129 : 1)  C1a (-973494/87221 : 26857/87221 : 1)
** u= 63/73 ; tau(u)= 83/10 ; 3769*x^2 + 6689*y^2 + 10858*x*z + 3769*z^2
  (-2183/3217 : -1698/3217 : 1)  C1b (67482538/732393 : 1926973/732393 : 1)
** u= 64/109 ; tau(u)= 154/45 ; 46*x^2 + 19666*y^2 + 27812*x*z + 46*z^2
  (-89/17948 : -1227/17948 : 1)  C1b (-434907/63971 : 11669/63971 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (14672039/212209 : -416631/212209 : 1)
** u= -69/125 ; tau(u)= 319/194 ; -70511*x^2 + 26489*y^2 + 106522*x*z - 70511*z^2
  (5657/7837 : -8390/7837 : 1)  C2b (69660709/35101498 : 2389243/35101498 : 1)
** u= 72/169 ; tau(u)= 266/97 ; -13634*x^2 + 51938*y^2 + 75940*x*z - 13634*z^2
  (-69/1972 : -65/116 : 1)  C1b (8342457/23826623 : 642257/23826623 : 1)
** u= 72/173 ; tau(u)= 274/101 ; -15218*x^2 + 54674*y^2 + 80260*x*z - 15218*z^2
  (15689/2549 : -3408/2549 : 1)  C1b (2779515/6284269 : -172355/6284269 : 1)
** u= 74/25 ; tau(u)= 24/49 ; 674*x^2 - 4226*y^2 + 6052*x*z + 674*z^2
  (-178/6653 : -2317/6653 : 1)  C1a (-310166/7667 : 8267/7667 : 1)
** u= -75/121 ; tau(u)= 317/196 ; -71207*x^2 + 23657*y^2 + 106114*x*z - 71207*z^2
  (-4679/21171 : 43120/21171 : 1)  C2b (59732242/64828531 : 141113/3813443 : 1)
** u= 75/149 ; tau(u)= 223/74 ; -5327*x^2 + 38777*y^2 + 55354*x*z - 5327*z^2
  (3217/40401 : -6334/40401 : 1)  C1b (248837/118466 : 120223/2013922 : 1)
** u= 75/197 ; tau(u)= 319/122 ; -24143*x^2 + 71993*y^2 + 107386*x*z - 24143*z^2
  (1697031/18670891 : -8402870/18670891 : 1)  C1b (-6346578/1722391 : 189239/1722391 : 1)
** u= 77/16 ; tau(u)= 45/61 ; -1513*x^2 - 5417*y^2 + 7954*x*z - 1513*z^2
  (11107/34715 : -13968/34715 : 1)  C1a (-4723714/2802027 : -160517/2802027 : 1)
** u= 83/10 ; tau(u)= 63/73 ; -3769*x^2 - 6689*y^2 + 10858*x*z - 3769*z^2
  (623/1321 : 366/1321 : 1)  C1a (-659054/394079 : 24961/394079 : 1)
** u= 84/193 ; tau(u)= 302/109 ; -16706*x^2 + 67442*y^2 + 98260*x*z - 16706*z^2
  (-873/13502 : -7907/13502 : 1)  C1b (-833362523/134236318 : 23347907/134236318 : 1)
** u= -87/157 ; tau(u)= 401/244 ; -111503*x^2 + 41729*y^2 + 168370*x*z - 111503*z^2
  (22233/7567 : 4028/1081 : 1)  C2b (8242526/6422245 : 56067/1284449 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
  (-119159/68487 : 276676/68487 : 1)  C2b (5669839/5105287 : -194441/5105287 : 1)
** u= -88/137 ; tau(u)= 362/225 ; -93506*x^2 + 29794*y^2 + 138788*x*z - 93506*z^2
  (4/11 : -15/11 : 1)  C2b (560542/281027 : 20497/281027 : 1)
** u= 91/109 ; tau(u)= 127/18 ; 7633*x^2 + 15481*y^2 + 24410*x*z + 7633*z^2
  (-36107/90893 : -21414/90893 : 1)  C1b (-5988481/1070326 : 161053/1070326 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-302338/6209 : -136497/105553 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (951217/1010938 : 41261/1010938 : 1)
** u= 101/64 ; tau(u)= -27/37 ; 7463*x^2 - 2009*y^2 + 10930*x*z + 7463*z^2
  (-111/241 : 2384/1687 : 1)  C1a (-23310/50077 : 13915/350539 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-574618/1029737 : 28323/1029737 : 1)
** u= 101/137 ; tau(u)= 173/36 ; 7609*x^2 + 27337*y^2 + 40130*x*z + 7609*z^2
  (-13597/67153 : -5808/67153 : 1)  C1b (-121178/51053 : -3307/51053 : 1)
** u= 104/113 ; tau(u)= 122/9 ; 10654*x^2 + 14722*y^2 + 25700*x*z + 10654*z^2
  (-10483/12169 : -6000/12169 : 1)  C1b (-368478/159037 : -168193/2703629 : 1)
** u= -105/137 ; tau(u)= 379/242 ; -106103*x^2 + 26513*y^2 + 154666*x*z - 106103*z^2
  (15/7 : 22/7 : 1)  C2b (22871418/14655581 : -899123/14655581 : 1)
** u= -108/197 ; tau(u)= 502/305 ; -174386*x^2 + 65954*y^2 + 263668*x*z - 174386*z^2
  (-764/233 : 10841/1631 : 1)  C2b (-339483/1315262 : -487709/9206834 : 1)
** u= 113/52 ; tau(u)= 9/61 ; 5327*x^2 - 7361*y^2 + 12850*x*z + 5327*z^2
  (769/933 : -1520/933 : 1)  C1a (-368478/159037 : -168193/2703629 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-13603/1909 : -477/1909 : 1)
** u= -117/125 ; tau(u)= 367/242 ; -103439*x^2 + 17561*y^2 + 148378*x*z - 103439*z^2
  (-172443/8477 : -61930/1211 : 1)  C2b (-9177/26687 : 37217/453679 : 1)
** u= 122/9 ; tau(u)= 104/113 ; -10654*x^2 - 14722*y^2 + 25700*x*z - 10654*z^2
  (1657/1024 : 465/1024 : 1)  C1a (1433982/809797 : -663281/13766549 : 1)
** u= 127/18 ; tau(u)= 91/109 ; -7633*x^2 - 15481*y^2 + 24410*x*z - 7633*z^2
  (13/7 : 6/7 : 1)  C1a (764073/173878 : 20429/173878 : 1)
** u= -127/197 ; tau(u)= 521/324 ; -193823*x^2 + 61489*y^2 + 287570*x*z - 193823*z^2
  (19667/13021 : 23580/13021 : 1)  C2b (139282/1431827 : 64793/1431827 : 1)
** u= 129/137 ; tau(u)= 145/8 ; 16513*x^2 + 20897*y^2 + 37666*x*z + 16513*z^2
  (-18355/14103 : -6572/14103 : 1)  C1b (-115872619/1212501 : -3457567/1212501 : 1)
** u= 131/90 ; tau(u)= -49/41 ; 13799*x^2 - 961*y^2 + 19562*x*z + 13799*z^2
  (361/283 : 70014/8773 : 1)  C1a (-957/362 : 2333/11222 : 1)
** u= 131/149 ; tau(u)= 167/18 ; 16513*x^2 + 27241*y^2 + 45050*x*z + 16513*z^2
  (-24451/13669 : -8778/13669 : 1)  C1b (-278466/509575 : 2773/101915 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (27167/1866 : 857/1866 : 1)
** u= 132/157 ; tau(u)= 182/25 ; 16174*x^2 + 31874*y^2 + 50548*x*z + 16174*z^2
  (-383804/517709 : -323045/517709 : 1)  C1b (-291419/260683 : 9079/260683 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (-7093298/2485417 : -189861/2485417 : 1)
** u= 137/173 ; tau(u)= 209/36 ; 16177*x^2 + 41089*y^2 + 62450*x*z + 16177*z^2
  (-68369/191141 : -60312/191141 : 1)  C1b (2165667/281458 : -62071/281458 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (-2702101/990973 : 88461/990973 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (41373782/523439 : 1255497/523439 : 1)
** u= 144/149 ; tau(u)= 154/5 ; 20686*x^2 + 23666*y^2 + 44452*x*z + 20686*z^2
  (-3473/4997 : -478/4997 : 1)  C1b (-4262346/15899 : -130201/15899 : 1)
** u= 144/181 ; tau(u)= 218/37 ; 17998*x^2 + 44786*y^2 + 68260*x*z + 17998*z^2
  (-1933/713 : -4398/4991 : 1)  C1b (12570/133933 : -26585/937531 : 1)
** u= 145/8 ; tau(u)= 129/137 ; -16513*x^2 - 20897*y^2 + 37666*x*z - 16513*z^2
  (4645/4753 : 316/679 : 1)  C1a (-2787086/2112101 : -125003/2112101 : 1)
** u= 146/81 ; tau(u)= -16/65 ; 12866*x^2 - 8194*y^2 + 21572*x*z + 12866*z^2
  (-11585/14191 : 9702/14191 : 1)  C1a (-163/23789 : -14591/404413 : 1)
** u= 154/5 ; tau(u)= 144/149 ; -20686*x^2 - 23666*y^2 + 44452*x*z - 20686*z^2
  (53/49 : 18/49 : 1)  C1a (4333578/1894027 : -117433/1894027 : 1)
** u= 154/45 ; tau(u)= 64/109 ; -46*x^2 - 19666*y^2 + 27812*x*z - 46*z^2
  (23/2981 : -276/2981 : 1)  C1a (-26934/117079 : -3191/117079 : 1)
** u= -156/121 ; tau(u)= 398/277 ; -129122*x^2 + 4946*y^2 + 182740*x*z - 129122*z^2
  (1806/1927 : 7315/1927 : 1)  C2b (-1834654/968459 : -354283/968459 : 1)
** u= -156/197 ; tau(u)= 550/353 ; -224882*x^2 + 53282*y^2 + 326836*x*z - 224882*z^2
  (-128/149 : -529/149 : 1)  C2b (-297938/221081 : -26421/221081 : 1)
** u= 158/49 ; tau(u)= 60/109 ; 1202*x^2 - 20162*y^2 + 28564*x*z + 1202*z^2
  (-101/13500 : 2989/13500 : 1)  C1a (-8411/29682 : -13783/504594 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-1917866/11023 : -207897/11023 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (1949357/2498779 : -72771/2498779 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (1826897/1276634 : -86827/1276634 : 1)
** u= 167/18 ; tau(u)= 131/149 ; -16513*x^2 - 27241*y^2 + 45050*x*z - 16513*z^2
  (2309/5063 : -750/5063 : 1)  C1a (68844633/35421982 : 1862233/35421982 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (1190161/889338 : 54989/889338 : 1)
** u= 168/197 ; tau(u)= 226/29 ; 26542*x^2 + 49394*y^2 + 79300*x*z + 26542*z^2
  (-6866/17721 : 1123/17721 : 1)  C1b (-3639818/18160523 : 489021/18160523 : 1)
** u= 173/36 ; tau(u)= 101/137 ; -7609*x^2 - 27337*y^2 + 40130*x*z - 7609*z^2
  (22289/112349 : -4944/112349 : 1)  C1a (2779515/6284269 : -172355/6284269 : 1)
** u= -175/181 ; tau(u)= 537/356 ; -222847*x^2 + 34897*y^2 + 318994*x*z - 222847*z^2
  (549/551 : 1048/551 : 1)  C2b (-37399058/5130253 : 2777607/5130253 : 1)
** u= -176/157 ; tau(u)= 490/333 ; -190802*x^2 + 18322*y^2 + 271076*x*z - 190802*z^2
  (-2888/38375 : -130623/38375 : 1)  C2b (-24182/335249 : 30289/335249 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (-261113522/135343341 : 10632023/135343341 : 1)
** u= -180/181 ; tau(u)= 542/361 ; -228242*x^2 + 33122*y^2 + 326164*x*z - 228242*z^2
  (10/9 : 19/9 : 1)  C2b (-21751386/4278217 : -1746917/4278217 : 1)
** u= 181/72 ; tau(u)= 37/109 ; 8999*x^2 - 22393*y^2 + 34130*x*z + 8999*z^2
  (-18559/3101 : 51708/21707 : 1)  C1a (12570/133933 : -26585/937531 : 1)
** u= 181/80 ; tau(u)= 21/101 ; 12359*x^2 - 19961*y^2 + 33202*x*z + 12359*z^2
  (8909/173 : -7192/173 : 1)  C1a (-54211259/36631203 : 1524347/36631203 : 1)
** u= 182/25 ; tau(u)= 132/157 ; -16174*x^2 - 31874*y^2 + 50548*x*z - 16174*z^2
  (268016/660521 : -151355/660521 : 1)  C1a (537497/374314 : 15407/374314 : 1)
** u= 182/81 ; tau(u)= 20/101 ; 12722*x^2 - 20002*y^2 + 33524*x*z + 12722*z^2
  (-1223368/15579101 : -11107647/15579101 : 1)  C1a (-4029/2707 : 113/2707 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (91921/33706 : -138447/573002 : 1)
** u= 191/90 ; tau(u)= 11/101 ; 16079*x^2 - 20281*y^2 + 36602*x*z + 16079*z^2
  (-3197/937 : -1842/937 : 1)  C1a (4184602/1876423 : 2694829/31899191 : 1)
113
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.01.14
H.Nakao

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