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cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)=?


[2013.07.21]cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)=?


■問題

       cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)を求めよ。

直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

■予想を立てる。
       A=cos(2π/13)-cos(5π/13)+cos(6π/13)
とする。
Aは正の実数であるので、Aを300桁程度の精度で計算して、連分数で表示してみると、
       A≒[0, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 7]
となり、
       A=[0, 1, 1, 1, 6, 1]
と予想できる。

循環節以降の部分をcとおくと、
       c = [1, 1, 1, 6, 1, c]
       = (23*c + 20)/(15*c + 13)
より、cは2次方程式
       3*x^2 - 2*x - 4=0
の正根であるので、
       c=(1+sqrt(13))/3
である。よって、
       A=[0, c]
       =1/c
       =3/(1+sqrt(13))
       =(-1+sqrt(13))/4 ---------(*****)
と予想できる。

[pari/gp-2.6.0による計算]
gp> \p 300
   realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
gp> f(x)=cos(2*x)-cos(5*x)+cos(6*x)
time = 14 ms.
%1 = (x)->cos(2*x)-cos(5*x)+cos(6*x)
gp> f(Pi/13)
time = 29 ms.
%2 = 0.651387818865997323279805316867623986562824143461311553177613264056791737073252611301154770504622679418378545506015885094007669566174451926290754291723177439435672641068538158308457598740586736199068307499072000817214106803268028183292268051324375446389709611203663467230268848848120640827561170709160
gp> contfrac(%2)
time = 4 ms.
%3 = [0, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 7]
gp> contfracpnqn([1, 1, 1, 6, 1, c])
time = 5 ms.
%4 =
[23*c + 20 23]

[15*c + 13 15]

gp> factor(c*(15*c + 13)-(23*c + 20))
time = 18 ms.
%5 =
[3*c^2 - 2*c - 4 1]

gp> contfracpnqn([0, c])
time = 13 ms.
%6 =
[1 0]

[c 1]

gp> u=Mod(x,x^2-13)
time = -2 ms.
%7 = Mod(x, x^2 - 13)
gp> 1/((1+u)/3)
time = 7 ms.
%8 = Mod(1/4*x - 1/4, x^2 - 13)
gp> (-1+sqrt(13))/4
time = 5 ms.
%9 = 0.651387818865997323279805316867623986562824143461311553177613264056791737073252611301154770504622679418378545506015885094007669566174451926290754291723177439435672641068538158308457598740586736199068307499072000817214106803268028183292268051324375446389709611203663467230268848848120640827561170709160
gp> %2-%9
time = 0 ms.
%10 = 0.E-308

■予想(*****)を証明する。
1の原始26乗根
    ζ = ζ26 = e2πi/26 = eπi/13
を使って、a=2*AをQ(ζ)上で計算する。

ζの最小多項式は、(ζ13+1)/(ζ+1)、つまり、
    ζ12 - ζ11 + ζ10 - ζ9 + ζ8 - ζ7 + ζ6 - ζ5 + ζ4 - ζ3 + ζ2 - ζ + 1
である。

    a = 2*A = 2cos(2π/13)-2cos(5π/13)+2cos(6π/13)
    = {ζ2-2}-{ζ5-5}+{ζ6-6}
    = -ζ11 + ζ8 - ζ7 + ζ6 - ζ5 + ζ2

ここで、σ:ζ→ζ5∈Gal(Q(ζ)/Q)をa∈Q(ζ)に作用させると、
    aσ = {ζ10-10}-{ζ25-25}+{ζ30-30}
    = -{ζ3-3}-{ζ+ζ-1}+{ζ4-4}
    = ζ11 - ζ8 + ζ7 - ζ6 + ζ5 - ζ2 - 1
となる。
よって、
    a+aσ = (-ζ11 + ζ8 - ζ7 + ζ6 - ζ5 + ζ2)+(ζ11 - ζ8 + ζ7 - ζ6 + ζ5 - ζ2 - 1)
    = -1

    a・aσ = (-ζ11 + ζ8 - ζ7 + ζ6 - ζ5 + ζ2)*(ζ11 - ζ8 + ζ7 - ζ6 + ζ5 - ζ2 - 1)
    = -3
となるので、aとaσは、2次方程式
    x2- x - 3 = 0
の2実根であり、a > 0 > aσなので、
    a = (-1+sqrt(13))/2
    aσ = (-1-sqrt(13))/2
である。
よって、a=2*Aより、
    A = a/2 = (-1+sqrt(13))/4
となる。

[pari/gp-2.6.0による計算]
gp> z=Mod(x,(x^13+1)/(x+1))
time = 1 ms.
%11 = Mod(x, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(x)=(x^2+1/x^2)-(x^5+1/x^5)+(x^6+1/x^6)
time = 2 ms.
%12 = (x)->(x^2+1/x^2)-(x^5+1/x^5)+(x^6+1/x^6)
gp> g(z)
time = 19 ms.
%13 = Mod(-x^11 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^2, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z^5)
time = 6 ms.
%14 = Mod(x^11 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^2 - 1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)+g(z^5)
time = 2 ms.
%15 = Mod(-1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)*g(z^5)
time = 7 ms.
%16 = Mod(-3, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> f(5*Pi/13)
time = 18 ms.
%17 = -1.15138781886599732327980531686762398656282414346131155317761326405679173707325261130115477050462267941837854550601588509400766956617445192629075429172317743943567264106853815830845759874058673619906830749907200081721410680326802818329226805132437544638970961120366346723026884884812064082756117070916
■同様に、cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)を求める。
Aσから求めることができる。直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

aσ=2*Aσが求まったので、
    Aσ = cos(10π/13)-cos(25π/13)+cos(30π/13)
    = -cos(3π/13)-cos(π/13)+cos(4π/13)
    = -{cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)}
から、
    cos(π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)
    = -Aσ
    = -aσ/2
    = (1+sqrt(13))/4
となる。


[参考文献]


Last Update: 2016.05.14
H.Nakao

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