cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13)=?

[2013.07.15]cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13)=?

■問題

       cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13)を求めよ。

直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

■予想を立てる。
       B=cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13)
とする。
Bは正の実数であるので、Bを300桁程度の精度で計算して、連分数で表示してみると、
       B≒[0, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 2]
となり、
       B=[0, 2, 2^・, 2, 1, 2, 2, 28^・]
と予想できる。

循環節以降の部分をcとおくと、
       c = [2, 2, 1, 2, 2, 28, c]
       = (1279*c + 45)/(540*c + 19)
より、cは2次方程式
       12*x^2 - 28*x - 1=0
の正根であるので、
       c = (7+2*sqrt(13))/6
である。よって、
       B = [0, 2, c]
       = c/(2*c+1)
       = (-3+sqrt(13))/16 ------------ (***)
と予想できる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> \p 300
   realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)
gp>  f(x)=cos(2*x)*cos(5*x)*cos(6*x)
time = 1 ms.
%1 = (x)->cos(2*x)*cos(5*x)*cos(6*x)
gp> f(Pi/13)
time = 56 ms.
%2 = 0.0378469547164993308199513292169059966407060358653278882944033160141979342683131528252886926261556698545946363765039712735019173915436129815726885729307943598589181602671345395771143996851466840497670768747680002043035267008170070458230670128310938615974274028009158668075672122120301602068902926772899
gp> contfrac(%2)
time = 29 ms.
%3 = [0, 26, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2, 1, 2, 2, 28, 2, 2]
gp> contfracpnqn([0, 26, c])
time = 20 ms.
%4 =
[c 1]

[26*c + 1 26]

gp> contfracpnqn([0, 26, 2, 2, 1, 2, 2, 28, c])
time = 1 ms.
%5 =
[1279*c + 45 1279]

[33794*c + 1189 33794]

gp> factor(c*(33794*c + 1189)-(26*c + 1)*(1279*c + 45))
time = 39 ms.
%6 =
[12*c^2 - 28*c - 1 1]

gp> u=Mod(x,x^2-13)
time = 28 ms.
%7 = Mod(x, x^2 - 13)
gp> contfracpnqn([0, 26, (7+2*u)/6])
time = 25 ms.
%8 =
[Mod(1/3*x + 7/6, x^2 - 13) 1]

[Mod(26/3*x + 94/3, x^2 - 13) 26]

gp> Mod(1/3*x + 7/6, x^2 - 13)/Mod(26/3*x + 94/3, x^2 - 13)
time = 13 ms.
%9 = Mod(1/16*x - 3/16, x^2 - 13)
gp> (-3+sqrt(13))/16
time = 14 ms.
%10 = 0.0378469547164993308199513292169059966407060358653278882944033160141979342683131528252886926261556698545946363765039712735019173915436129815726885729307943598589181602671345395771143996851466840497670768747680002043035267008170070458230670128310938615974274028009158668075672122120301602068902926772899
gp> %2-%10
time = 0 ms.
%11 = -3.476677904 E-310

■予想(***)を証明する。
1の原始26乗根
    ζ = ζ₂₆ = e^2πi/26 = e^πi/13
を使って、a=8BをQ(ζ)上で計算する。

ζの最小多項式は、(ζ¹³+1)/(ζ+1)、つまり、
    ζ¹² - ζ¹¹ + ζ¹⁰ - ζ⁹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ⁴ - ζ³ + ζ² - ζ + 1
である。

    a = {2cos(2π/13)*2cos(5π/13)*2cos(6π/13)}
    = {ζ²+ζ^-2}{ζ⁵+ζ^-5}{ζ⁶+ζ^-6}
    = -ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ² - 1

ここで、σ:ζ→ζ⁵∈Gal(Q(ζ)/Q)をa∈Q(ζ)に作用させると、
    a^σ = {ζ¹⁰+ζ^-10}{ζ²⁵+ζ^-25}{ζ³⁰+ζ^-30}
    = -{ζ³+ζ^-3}{ζ+ζ^-1}{ζ⁴+ζ^-4}
    = ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 2
となる。
よって、
    a+a^σ = (-ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ² - 1)+(ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 2)
    = -3

    a・a^σ = (-ζ¹¹ + ζ⁸ - ζ⁷ + ζ⁶ - ζ⁵ + ζ² - 1)*(ζ¹¹ - ζ⁸ + ζ⁷ - ζ⁶ + ζ⁵ - ζ² - 2)
    = -1
となるので、aとa^σは、２次方程式
    x²- 3x - 1 = 0
の2実根であり、a > 0 > a^σなので、
    a = (-3+sqrt(13))/2
    a^σ = (-3-sqrt(13))/2
である。
よって、a=8Bより、
    B = a/8 = (-3+sqrt(13))/16
となる。

[pari/gp-2.6.0による計算]

gp> z=Mod(x,(x^13+1)/(x+1))
time = 18 ms.
%12 = Mod(x, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(x)=(x^2+1/x^2)*(x^5+1/x^5)*(x^6+1/x^6)
time = 4 ms.
%13 = (x)->(x^2+1/x^2)*(x^5+1/x^5)*(x^6+1/x^6)
gp> g(z)
time = 31 ms.
%14 = Mod(-x^11 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^2 - 1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z^5)
time = 8 ms.
%15 = Mod(x^11 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^2 - 2, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)+g(z^5)
time = 15 ms.
%16 = Mod(-3, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> g(z)*g(z^5)
time = 19 ms.
%17 = Mod(-1, x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
gp> f(5*Pi/13)
time = 40 ms.
%18 = -0.412846954716499330819951329216905996640706035865327888294403316014197934268313152825288692626155669854594636376503971273501917391543612981572688572930794359858918160267134539577114399685146684049767076874768000204303526700817007045823067012831093861597427402800915866807567212212030160206890292677290
gp> (-3-sqrt(13))/16
time = 18 ms.
%19 = -0.412846954716499330819951329216905996640706035865327888294403316014197934268313152825288692626155669854594636376503971273501917391543612981572688572930794359858918160267134539577114399685146684049767076874768000204303526700817007045823067012831093861597427402800915866807567212212030160206890292677290
gp> %18-%19
time = 5 ms.
%20 = -1.668805394 E-308

■同様に、cos(π/13)cos(3π/13)cos(4π/13)を求める。
    B^σ=cos(10π/13)cos(15π/13)cos(30π/13)
    =-cos(3π/13)cos(2π/13)cos(4π/13)
から、-B^σを求めれば良い。直ぐに答えを知りたい方は、こちらを参照。

a^σ=8B^σから、
    B^σ = a^σ/8 = (-3-sqrt(13))/16
となる。よって、
    cos(π/13)cos(3π/13)cos(4π/13) = -B^σ = (3+sqrt(13))/16
となる。

■最後に、tan(2π/13)tan(5π/13)tan(6π/13)とtan(π/13)tan(3π/13)tan(4π/13)を求める。
直ぐに答えを知りたい方は、こちらとこちらを参照。

    (tan(2π/13)tan(5π/13)tan(6π/13))²=(sin(2π/13)sin(5π/13)sin(6π/13))²/(cos(2π/13)cos(5π/13)cos(6π/13))²
    = ((13+3*sqrt(13))/128)/((-3+sqrt(13))/16)²
    = (65+18*sqrt(13))

tan(2π/13)tan(5π/13)tan(6π/13) > 0より、
    tan(2π/13)tan(5π/13)tan(6π/13) = sqrt(65+18*sqrt(13)) --------(1)
を得る。
同様にして、
    tan(π/13)tan(3π/13)tan(4π/13) = sqrt(65-18*sqrt(13)) ---------(2)
を得る。
上記(1),(2)の積を求めると、
    tan(π/13)tan(2π/13)tan(3π/13)tan(4π/13)tan(5π/13)tan(6π/13) = sqrt(65+18*sqrt(13))*sqrt(65-18*sqrt(13)) = sqrt(65²-18²・13) = sqrt(13)
というよく知られている等式が得られる。

[参考文献]

[1]B. Mazur, "Modular Curves and Arithmetic", Proc. of the Inetnational Congress of Math., Aug 16-24, 1983, Warszawa.

Last Update: 2020.06.12

H.Nakao