Homeに戻る  一覧に戻る 

$\theta$-congruent number


[2002.03.16]θ-合同数


合同数の概念を拡張したθ-合同数について、紹介する。

自然数nについて、nが合同数であるとは、面積nで各辺の長さが有理数である直角三角形が存在することをいう。
直角三角形という部分を、ある条件を満たす角θを持つ三角形に拡張したものがθ-合同数である。θ-合同数の定義を述べる。

■θ-合同数
ある実数θ(0<θ<π)に対して、cos θ=s/r (s,r∈Z,r>0,gcd(s,r)=1)とする。 このθ(つまり、互いに素な整数s,r)について、一意に決まる値αθをsqrt(r2-s2)で定義する。
このとき、αθは高々2次の代数的整数である。

3辺の長さが有理数で、1つの角がθ、面積がnαθとなる三角形が存在するとき、nはθ-合同数であると言う。

■合同数は、π/2-合同数である。
特に、θ=π/2の場合を考える。
nをπ/2-合同数とする。cos(π/2)=0なので、s=0,r=1とすると、
    απ/2 = sqrt(12-02) = 1
である。よって、3辺の長さが有理数の直角三角形で面積nαπ/2=nとなるものが存在する。これは、nが合同数であることと同値である。よって、π/2-合同数は、合同数に一致する。

また、合同数の場合と同様に、自然数dに対して各辺をd倍した三角形を考えると、nd2のθ-合同性は、nのθ-合同性に帰着できるので、自然数nはsquare-free(2乗因子を含まない)として良い。

■θ-有理三角形
3辺の長さが有理数で、1つの角がθであるような三角形をθ-有理三角形と呼ぶ。

θ-有理三角形の3辺の長さをa,b,c∈Qとし、辺a,bの成す角がθであるとする。
cos θ=s/r、余弦定理より、
    c2 = a2+b2-2abs/r ---- (1)
θ-有理三角形の面積がnαθであることから、
    (1/2)ab(sin θ) = (1/2)abαθ/r = nαθ
なので、
    n =ab/(2r) ------ (2)
を得る。

(1),(2)から、
    c2/4 + (r+s)n = {(a+b)/2}2 ---- (3)
    c2/4 - (r-s)n = {(a-b)/2}2 ---- (4)
ここで、x = c2/4とすると、xは有理数の平方数であり、同時に、x+(r+s)n, x-(r-s)nも有理数の平方数である。
よって、これらの積x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n)が有理数の平方数y2になることが必要である。
これより、x,yの方程式
    y2=x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n) ------ (5)
を得る。楕円曲線(5)は自明な位数2の有理点(0,0),(-(r+s)n,0),((r-s)n,0)を持つ。楕円曲線(5)の有理点(x,y)で自明でないもの(位数が3以上のもの)が存在すれば、xからθ-合同三角形の3辺の長さa,b,cを求めることができるだろうと予想できる。
素朴なアイデアとしては、(5)のMordell-Weil群のrankが正ならば、(5)の有理点の自由部分群の基底の1つを(x,y)として、(x,y),(x,y)の2倍点,(x,y)の3倍点,...のx座標を順に求めて、x,x+(r+s)n,x-(r-s)nが全て正かつ有理数の平方数になるものを探す。
(5)のMordell-Weil群のrankが0ならば、ねじれ点で位数が3以上になる点(x,y)で、x,x+(r+s)n,x-(r-s)nが全て正かつ有理数の平方数になるものを探す。
xをうまく選択すると、
    a = sqrt(x+(r+s)n)+sqrt(x-(r-s)n)
    b = |sqrt(x+(r+s)n)-sqrt(x-(r-s)n)|
    c = 2*sqrt(x)
として、(a,b,c)がある三角形の3辺の長さになることを示せば良い。

■θ-合同数と楕円曲線との関係
自然数nと実数θ(ただし、cos θ∈Q, s,r∈Zは先に定義したものと同様)について、楕円曲線En,θ
     En,θ: y2=x(x+(r+s)n)(x-(r-s)n)
で与える。

以下の定理(Fujiwara)が証明されている。
  1. nがθ-合同数である必要十分条件は、En,θが位数3以上の有理点を持つことである。
  2. さらに、n≠1,2,3,6の時、nがθ-合同数である必要十分条件は、En,θ(Q)のMordell-Weil rankが正となることである。

■π/3-合同数、2π/3-合同数
参考文献[1]では、以下の3つの定理を証明している。
  1. 素数pについて、p≡7,11,13 (mod 24)なら、pは2π/3-合同数ではない。[!]
  2. piを24を法として、i(i=1,5,7,11,13,17,19,23)に合同な素数とする。
    以下の条件を満たす自然数nはπ/3-合同数ではない。[!!]
    また、以下の条件を満たす自然数nは2π/3-合同数ではない。[!!]
    ただし、(・/・)は、Legendre Symbolを意味する。
  3. 素数pについて、p≡23 (mod 24)ならば、pはπ/3-合同数かつ2π/3-合同数である。[@]
■100以下のsquare-freeな自然数nについて、π/3-合同数あるいは2π/3-合同数かどうかを調べてみる。
En,π/3(Q),En,2π/3(Q)を調べるために、Cremonaのmwrankを使った。
これらのMordell-Weil群の位数3以上の有理点から、π/3-有理三角形あるいは2π/3-有理三角形を探すプログラムをpari/GPで作成した。

  En,π/3: y2=x(x+3n)(x-n)
             =x3+2nx2-3n2x
Δ(En,π/3)=2304n6=28・32n6
j(En,π/3)=35152/9=24・132/32
En,2π/3: y2=x(x+n)(x-3n)
             =x3-2nx2-3n2x
Δ(En,2π/3)=2304n6=28・32n6
j(En,2π/3)=35152/9=24・132/32
 
n En,π/3(Q)tors
En,π/3(Q)torsの生成元
rank(En,π/3)
En,π/3(Q)/En,π/3(Q)torsの生成元
conductor of En,π/3
nはπ/3-合同数か?
π/3-有理三角形(a,b,c): c2=a2+b2-ab, ab=4n
En,2π/3(Q)tors
En,2π/3(Q)torsの生成元
rank(En,2π/3)
En,2π/3(Q)/En,2π/3(Q)torsの生成元
conductor of En,2π/3
nは2π/3-合同数か?
2π/3-有理三角形(a,b,c): c2=a2+b2+ab, ab=4n
n
1 Z/4Z×Z/2Z
[3,6],[0,0]
0
-
24
π/3-合同数
(2,2,2)
Z/2Z×Z/2Z
[3,0],[0,0]
0
-
48
2π/3-非合同数 1
2 Z/2Z×Z/2Z
[3,0],[0,0]
0
-
192
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[6,0],[0,0]
0
-
192
2π/3-非合同数 2
3 Z/2Z×Z/2Z
[3,0],[0,0]
0
-
144
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[9,0],[0,0]
0
-
72
2π/3-非合同数 3
5 Z/2Z×Z/2Z
[5,0],[0,0]
0
-
600
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[15,0],[0,0]
1
[-1,-8]
1200
2π/3-合同数
(5/2, 8, 19/2),
(231/76, 1520/231, 149521/17556),
(138088/316303, 1581515/34522,
502638430579/10919412166),
...
5
6 Z/2Z×Z/2Z
[6,0],[0,0]
1
[-2,-16]
576
π/3-合同数
(3, 8, 7),
(55/14, 336/55, 4129/770),
(10088/9519, 28557/1261, 265702087/12003459),
...
Z/2Z×Z/2Z
[18,0],[0,0]
0
-
576
2π/3-非合同数 6
7 Z/2Z×Z/2Z
[7,0],[0,0]
0
-
2352
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[21,0],[0,0]
0
-
1176
2π/3-非合同数!! 7
10 Z/2Z×Z/2Z
[10,0],[0,0]
1
[-6,-48]
4800
π/3-合同数
(5, 8, 7),
(39/14, 560/39, 7201/546),
(27032/11023, 55115/3379, 567403207/37246717),
...
Z/2Z×Z/2Z
[30,0],[0,0]
1
[80,600]
4800
2π/3-合同数
(16/3, 15/2, 67/6),
(1001/804, 32160/1001, 26371921/804804),
(260774145/70717798, 565742384/52154829,
48267550970400547/3688274661946542),
...
10
11 Z/2Z×Z/2Z
[11,0],[0,0]
1
[75,-720]
5808
π/3-合同数
(55/12, 48/5, 499/60),
(256151/59880, 2634720/256151,
137273178001/15338321880),
(466054449552/1324184441515,
14566028856665/116513612388,
19261015351832597364924499/
154285512748898965487820),
...
Z/2Z×Z/2Z
[33,0],[0,0]
0
-
2904
2π/3-非合同数!! 11
13 Z/2Z×Z/2Z
[13,0],[0,0]
1
[-12,-90]
4056
π/3-合同数
(104/15, 15/2, 217/30),
(7361/13020, 677040/7361, 8788093921/95840220),
(121422744945/18962676358,
986059170616/121422744945,
17068073105316034630297/
2302500214892015510310),
...
Z/2Z×Z/2Z
[39,0],[0,0]
0*
-
8112
2π/3-非合同数! 13
14 Z/2Z×Z/2Z
[14,0],[0,0]
0
-
9408
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[42,0],[0,0]
2
[-7,-49],
[50,160]
9408
2π/3-合同数
(7, 8, 13),
(3, 56/3, 61/3),
(16/5, 35/2, 193/10),
(15/26, 1456/15, 37969/390),
(1176/323, 323/21, 118621/6783),
(20496/3055, 3055/366, 14607889/1118130),
(216160/29601, 29601/3860,
1481568001/114259860),
...
14
15 Z/2Z×Z/2Z
[15,0],[0,0]
0
-
3600
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[45,0],[0,0]
1
[-5,-50]
1800
2π/3-合同数
(6, 10, 14),
(16/7, 105/4, 769/28),
...
15
17 Z/2Z×Z/2Z
[17,0],[0,0]
1
[-1,-30]
6936
π/3-合同数
(34/15, 30, 434/15),
(55335/12584, 50336/3255, 565316449/40960920),
...
Z/2Z×Z/2Z
[51,0],[0,0]
1
[-169/25,-7904/125]
13872
2π/3-合同数
(1105/152, 608/65, 142609/9880),
(3381886431/2817953840,
191620861120/3381886431,
545787202788503108161/
9529999854680345040),
...
17
19 Z/2Z×Z/2Z
[19,0],[0,0]
0
-
17328
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[57,0],[0,0]
1
[-1216/289,-303240/4913]
8664
2π/3-合同数
(544/105, 1995/136, 254659/14280),
(38406143369/7273061040,
552752639040/38406143369,
4926224221841941530961/
279330225033728243760),
...
19
21 Z/2Z×Z/2Z
[21,0],[0,0]
1
[-27, -216]
3528
π/3-合同数
(8, 21/2, 19/2),
(185/76, 6384/185, 469009/14060),
...
Z/2Z×Z/2Z
[63,0],[0,0]
1
[-189/25, -10584/125]
7056
2π/3-合同数
(15/2, 56/5, 163/10),
(6919/3260, 273840/6919,
917591761/22555940),
...
21
22 Z/2Z×Z/2Z
[22,0],[0,0]
1
[-50, -240]
23232
π/3-合同数
(24/5, 55/3, 247/15),
(652080/70441, 70441/7410,
4898218081/521967810),
...
Z/2Z×Z/2Z
[66,0],[0,0]
1
[-704/81, -67760/729]
23232
2π/3-合同数
(288/35, 385/36, 20707/1260),
(74080201/52181640,
4591984320/74080201,
242407805300782801/3865626379709640),
...
22
23 Z/2Z×Z/2Z
[23,0],[0,0]
1
[15987/169, 2312640/2197]
25392
π/3-合同数@
(21827/2640, 10560/949,
25075873/2505360),
(348142723284671/125648178358560,
11559632408987520/348142723284671,
1395797409328911093169010432641/
43743498989507141340389633760),
...
Z/2Z×Z/2Z
[69,0],[0,0]
1
[1127, 37030]
12696
2π/3-合同数@
(14/5, 230/7, 1202/35),
(483805/82056, 328224/21035,
33211913569/1726047960),
...
23
26 Z/2Z×Z/2Z
[26,0],[0,0]
0
-
32448
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[78,0],[0,0]
0
-
32448
2π/3-非合同数!! 26
29 Z/2Z×Z/2Z
[29,0],[0,0]
0
-
20184
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[87,0],[0,0]
1
[-529/25, -16744/125]
40368
2π/3-合同数
(728/115, 3335/182, 464179/20930),
(129536235609/19430532940,
2253941821040/129536235609,
54170589294458251489681/
2516958092924275460460),
...
29
30 Z/2Z×Z/2Z
[30,0],[0,0]
1
[54, 432]
14400
π/3-合同数
(8, 15, 13),
(161/26, 3120/161, 71761/4186),
...
Z/2Z×Z/2Z
[90,0],[0,0]
0
-
14400
2π/3-非合同数 30
31 Z/2Z×Z/2Z
[31,0],[0,0]
0
-
46128
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[93,0],[0,0]
0
-
23064
2π/3-非合同数! 31
33 Z/2Z×Z/2Z
[33,0],[0,0]
0
-
8712
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[99,0],[0,0]
1
[7425/64, -277695/512]
17424
2π/3-合同数
(187/40, 480/17, 20971/680),
(3764713920/358533959, 358533959/28520560,
204585420100751281/10225589289697040),
...
33
34 Z/2Z×Z/2Z
[34,0],[0,0]
1
[98, -1120]
55488
π/3-合同数
(80/7, 119/10, 817/70),
(53889/114380, 15555680/53889,
1777808445121/6163823820),
...
Z/2Z×Z/2Z
[102,0],[0,0]
1
[-50/9, -3520/27]
55488
2π/3-合同数
(255/44, 352/15, 17713/660),
(225247519/23381160,
3179837760/225247519,
108967995559316161/5266548281342040),
...
34
35 Z/2Z×Z/2Z
[35,0],[0,0]
1
[135, -1800]
58800
π/3-合同数
(21/2, 40/3, 73/6),
(2431/876, 122640/2431, 104603041/2129556),
...
Z/2Z×Z/2Z
[105,0],[0,0]
0
-
29400
2π/3-非合同数!! (7/5)=-1
35
37 Z/2Z×Z/2Z
[37,0],[0,0]
1
[-972/169, -353430/2197]
32856
π/3-合同数
(34632/6545, 6545/234, 39414937/1531530),
(17868086905228560/1769337710134081,
1769337710134081/120730316927220,
2775009993398190480886006452961/
213612702495769313090118584820),
...
Z/2Z×Z/2Z
[111,0],[0,0]
0*
-
65712
2π/3-非合同数 37
38 Z/2Z×Z/2Z
[38,0],[0,0]
0*
-
69312
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[114,0],[0,0]
0
-
69312
2π/3-非合同数!! 38
39 Z/2Z×Z/2Z
[39,0],[0,0]
2
[-9, -216],
[75, -720]
24336
π/3-合同数
(13/2, 24, 43/2),
(48/5, 65/4, 283/20),
(2135/172, 26832/2135, 4586929/367220),
(68761/11320, 1765920/68761,
18095527921/778374520),
...
Z/2Z×Z/2Z
[117,0],[0,0]
1
[-27, -216]
12168
2π/3-合同数
(8, 39/2, 49/2),
(1265/196, 30576/1265, 6932929/247940),
...
39
41 Z/2Z×Z/2Z
[41,0],[0,0]
1
[-121, -198]
40344
π/3-合同数
(18/11, 902/9, 9842/99),
(19974339/6151240, 24604960/487179,
146727689184481/2996754951960),
...
Z/2Z×Z/2Z
[123,0],[0,0]
1
[-529/169, -268640/2197]
80688
2π/3-合同数
(12259/2920, 11680/299, 36078241/873080),
(10331734533947840/1149756493635519,
1149756493635519/62998381304560,
1741149368238334544606180434561/
72432797993444338796372666640),
...
41
42 Z/2Z×Z/2Z
[42,0],[0,0]
1
[-108, -540]
28224
π/3-合同数
(5, 168/5, 157/5),
(263760/27599, 27599/1570,
660493201/43330430),
...
Z/2Z×Z/2Z
[126,0],[0,0]
0
-
28224
2π/3-非合同数 42
43 Z/2Z×Z/2Z
[43,0],[0,0]
0
-
88752
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[129,0],[0,0]
1
[-346820800/29604481,
-36580320973560/161077981121]
44376
2π/3-合同数
(61809760/6966141, 299544063/15452440,
2694329789198083/107643875834040),
(3441937557409803944571408039689/
580056202568787228148788290640,
99769666841831403241591585990080/
3441937557409803944571408039689,
6461521339645032938669590116503\
6207836516662175882692223882321/
199651722903001795639304271660\
7125023019929401735279587210960),
...
43
46 Z/2Z×Z/2Z
[46,0],[0,0]
1
[54, 288]
101568
π/3-合同数
(16/3, 69/2, 193/6),
(426144/41825, 41825/2316,
1519120129/96866700),
...
Z/2Z×Z/2Z
[138,0],[0,0]
1
[6962/49, 113280/343]
101568
2π/3-合同数
(960/413, 9499/120, 3981937/49560),
(72622885560960/15377340569569,
15377340569569/394689595440,
252019848187153344748416961/
6069276328346287785165360),
...
46
47 Z/2Z×Z/2Z
[47,0],[0,0]
1
[98739507/2076481,
210381756480/2992209121]
106032
π/3-合同数@
(12223680/8267017, 388549799/3055920,
3193634349088033/25263342590640),
(30336386380012705707097320981120/
10316498083182097149582423693889,
10316498083182097149582423693889/
161363757340493115463283622240,
10406891943544810822581231570465\
1939833410268570044768548129921/
166470889329825828420927683991\
4306166733196426578296872491360),
...
Z/2Z×Z/2Z
[141,0],[0,0]
1
[45167/289, 3423950/4913]
53016
2π/3-合同数@
(2350/527, 1054/25, 587042/13175),
(181755541225/19067626704,
76270506816/3867139175,
1905571067653994945089/73737166201314529200),
...
47
51 Z/2Z×Z/2Z
[51,0],[0,0]
0
-
41616
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[153,0],[0,0]
0
-
20808
2π/3-非合同数!! 51
53 Z/2Z×Z/2Z
[53,0],[0,0]
0
-
67416
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[159,0],[0,0]
1
[-167281/4225, -89165272/274625]
134832
2π/3-合同数
(218008/26585, 1409005/54502,
44602537459/1448935670),
(1261952692503040401369/
129252414993712525060,
27401511978667055312720/
1261952692503040401369,
4551935684502213259050\
159134475130798895761/
16311043311383587078\
9934163737584870807140),
...
53
55 Z/2Z×Z/2Z
[55,0],[0,0]
2
[75, 600],
[1280, -47600]
145200
π/3-合同数
(8, 55/2, 49/2),
(704/119, 595/16, 65899/1904),
(2769/196, 43120/2769, 8088001/542724),
(55207546240/4886470329,
4886470329/250943392,
20767100097415047601/1226227439266615968),
...
Z/2Z×Z/2Z
[165,0],[0,0]
0
-
72600
2π/3-非合同数!! (11/5)=1 55
57 Z/2Z×Z/2Z
[57,0],[0,0]
0
-
25992
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[171,0],[0,0]
1
[-9408/169, -284760/2197]
51984
2π/3-合同数
(1695/728, 55328/565, 40766059/411320),
(7646160296873280/1621463299113031,
1621463299113031/33535790775760,
2766280960013502001815376893361/
54377053949628162799414928560),
...
57
58 Z/2Z×Z/2Z
[58,0],[0,0]
1
[-3174/25, -131376/125]
161472
π/3-合同数
(952/115, 3335/119, 341287/13685),
(134257254681/9341025190,
2167117844080/134257254681,
19230238254061482464161/
1254100397915466414390),
...
Z/2Z×Z/2Z
[174,0],[0,0]
1
[2358774/13225, 651819168/1520875]
161472
2π/3-合同数
(173264/72105, 2091045/21658,
152685664387/1561650090),
(110636893830694112001120/
22718958587762625944681,
22718958587762625944681/
476883163063336689660,
5444522267786407019399\
29669598692887134241361/
1083428883283719778315\
6851619207924824698460),
...
58
59 Z/2Z×Z/2Z
[59,0],[0,0]
1
[18228675/267289,
-54196712640/138188413]
167088
π/3-合同数
(7328832/1274405, 75189895/1832208,
89864009823619/2334975036240),
(99039863648640103531553608320/
9001618455175100086560820489,
9001618455175100086560820489/
419660439189152981065905120,
7018112255824485568794190049\
8670951849711908510322659921/
377762315431196728940928972\
9442801496517028970626003680),
...
Z/2Z×Z/2Z
[177,0],[0,0]
0
-
83544
2π/3-非合同数! 59
61 Z/2Z×Z/2Z
[61,0],[0,0]
1
[-108, -1170]
89304
π/3-合同数
(65/6, 1464/65, 7609/390),
(59308031/5935020, 1448144880/59308031,
7484039530808161/351994350145620),
...
Z/2Z×Z/2Z
[183,0],[0,0]
0*
-
178608
2π/3-非合同数! 61
62 Z/2Z×Z/2Z
[62,0],[0,0]
0
-
184512
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[186,0],[0,0]
0*
-
184512
2π/3-非合同数 62
65 Z/2Z×Z/2Z
[65,0],[0,0]
1
[75, 450]
101400
π/3-合同数
(6, 130/3, 122/3),
(11895/1036, 4144/183, 3718129/189588),
...
Z/2Z×Z/2Z
[195,0],[0,0]
1
[-1, -112]
202800
2π/3-合同数
(65/28, 112, 3169/28),
(46140640/9830271, 9830271/177464,
100977683675521/1744519212744),
...
65
66 Z/2Z×Z/2Z
[66,0],[0,0]
1
[-6, -288]
69696
π/3-合同数
(11/2, 48, 91/2),
(96096/9095, 9095/364, 71920369/3310580),
...
Z/2Z×Z/2Z
[198,0],[0,0]
2
[-2, -160],
[3718/9, -176176/27]
69696
2π/3-合同数
(33/10, 80, 817/10),
(616/39, 117/7, 7687/273),
(4313760/638911, 638911/16340,
447632445121/10439805740),
(2227625/4197102, 1108034928/2227625,
4653018753511969/9349569342750),
...
66
67 Z/2Z×Z/2Z
[67,0],[0,0]
0
-
215472
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[201,0],[0,0]
1
[-224766668800/3406006321,
-26500146916837440/
198777934899881]
107736
2π/3-合同数
(6828808371/3380269120,
13521076480/101922513,
46056826394932825123/344525523326698560),
(8505115188033888352905321542070934663680/
2088451379545949870481153917764259279671,
2088451379545949870481153917764259279671/
31735504432962269973527319186831845760,
450265787110556743661226301681955321298\
8136613503370605687384523764112621106641/
66278058013606660316013260547009084138\
992382636474469808531645829140975544960),
...
67
69 Z/2Z×Z/2Z
[69,0],[0,0]
1
[1521, 61776]
38088
π/3-合同数
(299/44, 528/13, 21553/572),
(6805230432/524617055, 524617055/24656632,
240253579967264449/12935289666058760),
...
Z/2Z×Z/2Z
[207,0],[0,0]
1
[9936/25, -742716/125]
76176
2π/3-合同数
(299/20, 240/13, 7537/260),
(7931231/3919240, 1081710240/7931231,
4271281672244161/31084397784440),
...
69
70 Z/2Z×Z/2Z
[70,0],[0,0]
1
[-10, -400]
235200
π/3-合同数
(7, 40, 37),
(20720/1551, 1551/74, 2109361/114774),
...
Z/2Z×Z/2Z
[210,0],[0,0]
1
[-560/9, -9800/27]
235200
2π/3-合同数
(35/6, 48, 307/6),
(1031520/81719, 81719/3684,
9187693201/301052796),
...
70
71 Z/2Z×Z/2Z
[71,0],[0,0]
1
[279309603/3374569,
3327413650560/6199083253]
241968
π/3-合同数@
(114948480/17725213, 1258490123/28737120,
20852523535377601/509371573006560),
(6033115781763070120445759635534080/
486690780514856080829055270537601,
486690780514856080829055270537601/
21243365428743204649456900125120,
205364248883980664146695762544295\
800496757057112367342930529350401/
10338950101277340558805975043389\
721910149313978947074346564637120),
...
Z/2Z×Z/2Z
[213,0],[0,0]
1
[20519/49, 2228122/343]
120984
2π/3-合同数@
(1846/119, 238/13, 45362/1547),
(56557920/35087507, 2491212997/14139480,
87813034329690721/496119103476360),
...
71
73 Z/2Z×Z/2Z
[73,0],[0,0]
2
[-27, -720],
[75, 210]
127896
π/3-合同数
(14/5, 730/7, 3602/35),
(219/20, 80/3, 1393/60),
(4601555/832056, 3328224/63035,
2636234484769/52448649960),
(2128351/167160, 48810720/2128351,
7080406641601/355775153160),
...
Z/2Z×Z/2Z
[219,0],[0,0]
0*
-
255792
2π/3-非合同数 73
74 Z/2Z×Z/2Z
[74,0],[0,0]
0
-
262848
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[222,0],[0,0]
0
-
262848
2π/3-非合同数!! 74
77 Z/2Z×Z/2Z
[77,0],[0,0]
0
-
142296
π/3-非合同数!! (11/7)=1 Z/2Z×Z/2Z
[231,0],[0,0]
1
[-7/16, -5635/64]
284592
2π/3-合同数
(176/115, 805/4, 92929/460),
(26332361440/8569635009,
8569635009/85494680,
74589767558116039681/
732658202811252120),
...
77
78 Z/2Z×Z/2Z
[78,0],[0,0]
1
[441, 10395]
97344
π/3-合同数
(728/55, 165/7, 7879/385),
(56386409/6066830,
1892850960/56386409,
10269890711726881/342086757713470),
...
Z/2Z×Z/2Z
[234,0],[0,0]
0
-
97344
2π/3-非合同数 78
79 Z/2Z×Z/2Z
[79,0],[0,0]
0
-
299568
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[237,0],[0,0]
0
-
149784
2π/3-非合同数! 79
82 Z/2Z×Z/2Z
[82,0],[0,0]
1
[5618/49, 398560/343]
322752
π/3-合同数
(3760/371, 15211/470, 4999681/174370),
(28723624604961/1743588751940,
571897110636320/28723624604961,
923211104766517231062021121/
50082188776157025522374340),
...
Z/2Z×Z/2Z
[246,0],[0,0]
1
[-3847538/88209,
-18242267840/26198073]
322752
2π/3-合同数
(6576160/411939, 16889499/822020,
10734900290161/338622096780),
(19184046312857461132090721/
7270148889957096447563160,
2384608835905927634800716480/
19184046312857461132090721,
17523373844866256130336662\
444527840447493732154978241/
1394708730063062000407530\
51513872403561916497438360),
...
82
83 Z/2Z×Z/2Z
[83,0],[0,0]
1
[256403813403/1846506841,
137624578389642960/
79346245464611]
330672
π/3-合同数
(156918133680/12562528879, 1042689896957/39229533420,
11350738389711742848403/492822146498445636180),
(133684952761489870398741883636931736282407209/
11187790515120102899445475127453597264041080,
3714346451019874162615897742314594291661638560/
133684952761489870398741883636931736282407209,
3610510926357272325678306496423386045030103600\
1564709324992955438694961472968658948587281/
14956392465192753797545100240505745986014788\
08099850521946033671807265140062757464145720),
...
Z/2Z×Z/2Z
[249,0],[0,0]
0
-
165336
2π/3-非合同数! 83
85 Z/2Z×Z/2Z
[85,0],[0,0]
1
[-15, -600]
173400
π/3-合同数
(17/2, 40, 73/2),
(99280/6111, 6111/292, 33947041/1784412),
...
Z/2Z×Z/2Z
[255,0],[0,0]
0*
-
346800
2π/3-非合同数!! (17/5)=-1 85
86 Z/2Z×Z/2Z
[86,0],[0,0]
0*
-
355008
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[258,0],[0,0]
0
-
355008
2π/3-非合同数!! 86
87 Z/2Z×Z/2Z
[87,0],[0,0]
0
-
121104
π/3-非合同数!! Z/2Z×Z/2Z
[261,0],[0,0]
1
[-10469/121, -159790/1331]
60552
2π/3-合同数
(290/209, 1254/5, 262814/1045),
(11946867405/4292935556, 17171742224/137320315,
74550995809467228769/589507262824620140),
...
87
89 Z/2Z×Z/2Z
[89,0],[0,0]
1
[-32761/289, -9223398/4913]
190104
π/3-合同数
(50958/3077, 547706/25479, 1528996322/78398883),
(288617797090881280/59935801877954163,
5334286367137920507/72154449272720320,
309827555748638671119028635222075841/
4324634776222658946133447278692160),
...
Z/2Z×Z/2Z
[267,0],[0,0]
1
[-121/289, -489280/4913]
380208
2π/3-合同数
(16643/11120, 44480/187, 496181041/2079440),
(734626437174692480/244636884185717919,
244636884185717919/2063557407794080,
60619394962016903646129048203309761/
504822254581100632359270918119520),
...
89
91 Z/2Z×Z/2Z
[91,0],[0,0]
0
-
397488
π/3-非合同数!! (13/7)=-1 Z/2Z×Z/2Z
[273,0],[0,0]
1
[-1456/25, -99372/125]
198744
2π/3-合同数
(273/20, 80/3, 2131/60),
(1889239/255720, 93082080/1889239,
25773587707921/483116197080),
...
91
93 Z/2Z×Z/2Z
[93,0],[0,0]
0
-
69192
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[279,0],[0,0]
1
[-188325/1026169,
-71685333720/1039509197]
138384
2π/3-合同数
(45585/46046, 5709704/15195,
263256045859/699668970),
(137038912320614835651120/
69120678473934239581831,
69120678473934239581831/
368384172904878590460,
48031086550385244876774\
46199465209770243710161/
2546296397024431053993\
4917742471175105932260),
...
93
94 Z/2Z×Z/2Z
[94,0],[0,0]
1
[486, 12096]
424128
π/3-合同数
(423/28, 224/9, 5473/252),
(24844735/2758392, 1037155392/24844735,
2607631472815489/68531518266120),
...
Z/2Z×Z/2Z
[282,0],[0,0]
1
[2658818/49, 4327900800/343]
424128
2π/3-合同数
(379337/234600, 1876800/8071,
441836050177/1893456600),
(629121233764830007286400/
193852321203711756828671,
193852321203711756828671/
1673194770651143636400,
38115946674247117436092\
684910228333136980106241/
3243526901166363214664\
09801769523366719224400),
...
94
95 Z/2Z×Z/2Z
[95,0],[0,0]
1
[320, -6600]
433200
π/3-合同数
(608/33, 165/8, 5179/264),
(5989529/2734512, 1039114560/5989529,
2823704926016881/16378438924848),
...
Z/2Z×Z/2Z
[285,0],[0,0]
1
[-76, -722]
216600
2π/3-合同数
(19/2, 40, 91/2),
(6039/364, 138320/6039, 75506161/2198196),
...
95
97 Z/2Z×Z/2Z
[97,0],[0,0]
0*
-
225816
π/3-非合同数 Z/2Z×Z/2Z
[291,0],[0,0]
2
[-121/25, -45408/125],
[101910625/278784,
522630196975/147197952]
451632
2π/3-合同数
(5335/1032, 4128/55, 4414129/56760),
(5256527/541200, 2164800/54191,
1336974446593/29328169200),
(194423666543040/18062319698591,
18062319698591/501091924080,
384334737505569735514226881/
9050882531115049854971280),
...
97
--- --- --- --- --- ---
191 Z/2Z×Z/2Z
[191,0],[0,0]
1
[12804274318478396698659/
3395785273999850017, -822231053452532502239040/
3395785273999850017]
1751088
π/3-合同数@
(15298197437849183/1285836673102320,
5143346692409280/80095274543713,
6093948713754558407726167288321/
102989441350504865478161714160),
...
Z/2Z×Z/2Z
[573,0],[0,0]
1
[101039/49, 28528142/343]
875544
2π/3-合同数@
(322/17, 6494/161, 143522/2737),
(2375031360/196409857,
37514282687/593757840,
8165120898295583041/116619892447028880),
...
191
--- --- --- --- --- ---
1583 Z/2Z×Z/2Z
[1583,0],[0,0]
1
[5369195434234340213489688746959694\
6752443656152752085161295750474227/
3216352535486901089527253385322088\
40552414621383539446663082369, 3970873675330389040434244798556546\
5321459735896107862773722646555133\
0137138700292931160788400635516160/ 5768268488456127104940405861819031\
8489092126242403126855519957752236\
66274354737310586554860097]
120282672
π/3-合同数@ (12010379100197414025392009405041271\
3039328899350998896543095003350887/
78218745510631137055500958555409195\
71877476967523820643103961498560, 31287498204252454822200383422163678\
287509907870095282572415845994240/
75870998737823209257056281775371265\
343859064656348007923622870089, 24030030483419888769732334381259514\
91787356032589880457125357907875885\
28115472445391667616516629235747966\
333606797279574720380678872993/
59345343419112098149904681592609160\
55964513560995237083510541923072517\
49134073451250795297433820945113965\
837083136034825740640571840),
(18059755690099856921651759012043568\
42456386631343415119969910670487213\
23023951365127857885049906670274859\
78126526332797880225873406812417077\
84244735611245294019411956535941096\
33389022480008251685968664044792707\
43958376420810563577384892145344299\
10904922384052683344007680/
59808212981808114113230022519713106\
52245541304964857119062036633198843\
50122039841925817148357901793601567\
95025468760686616558413184816637533\
64415278401523303085714865741459371\
64843122464385013562798300387836033\
10045465613120603793491297575697316\
600977718482228877122751, 59808212981808114113230022519713106\
52245541304964857119062036633198843\
50122039841925817148357901793601567\
95025468760686616558413184816637533\
64415278401523303085714865741459371\
64843122464385013562798300387836033\
10045465613120603793491297575697316\
00977718482228877122751/28521408228\
20571213147782535066893307732764736\
80261389761514635263299625748501840\
06294675465872815899377729195398504\
10277988925048454266752659893770706\
32548013173082207192213571366112571\
08062489887660146050648679656311466\
85180602871903371027210851081684118\
84504634240, 33493161909154228287936066724188782\
12218473423490554354686937092126591\
46453011750697158779792070365789821\
72976713574370354186660260437654482\
94571598500622401248487733537445242\
04621776851638489837069020695214659\
56660130423905615594013555723225870\
08165989754323282368068565335111067\
69413192103489065375084057055319320\
83948372485878181402421296276819554\
10185439658193322614499427936762556\
91064711757537549511389775846505665\
96606540235208712804550481935517570\
10006508188985784959657343437395459\
36035740404345390033772295836301491\
0111778166401/
17058144578536216351586091796786091\
09513090782676905701555139015639708\
42876081163384363058710864021726510\
96258745152817488378507390843453741\
94096166500664583966926072722918470\
05644877819516047118978762416083353\
35776752302606849063088716245041936\
01864133256991675052919337183732140\
94690016520824558141689702762061858\
46202977296984834921729512031967315\
34714500676030357531327295327895494\
77810789581225524673595702073206626\
31207968011247427075748628367036804\
25727592964922761188084393651439857\
10269003881211929671940307685180857\
76837594240),
...
Z/2Z×Z/2Z
[4749,0],[0,0]
1
[1009679827220274675/
80109105236161,
849735725491620571624778730/
717006052123473093409]
60141336
2π/3-合同数@
(16439290249661837710/244118905969480367,
488237811938960734/5192447962622185,
177949624413143565751332508060744322/
1267574715938785087338783196141895),
(17298604404077280984977937551507028\
05832801093906583487312369952756096/
1127822223084519756539628568018113\
29580463932107663031888646213785095,
178534257914279477460223202317267334\
725874404526430579479726956421805385/
4324651101019320246244484387876757\
01458200273476645871828092488189024,
20519772877201716596266432469630477\
04819835667843955855796247807525650\
16381974404720355715646514177557817\
21376574965936201527289247340854529/
4877437618816525784245351363143414\
8924848111633256237504899794373640\
4937754781787482187047856878383383\
21820156395092157543677780873797280),
...
1583
--- --- --- --- --- ---
2039 Z/2Z×Z/2Z
[2039,0],[0,0]
1
[500506537134642336659558261980034776285439189\ 66342677609412809406242201491098247824336403/ 13533563765013555843226042402492478519755957\ 196518902156846636563649647704881838441, 112035006981902929878685248180486137963796631\ 777932317075359973375723239953828348360202437\ 40024114606048932639134821368768500199273600/ 157441152518890776729952322581840182882998836\ 343993631619109475842404279045931560077000346\ 2303142075227994238030431676999989]
199561008
π/3-合同数@
(306385044432829766463950455375042496144572182\ 18356839449036037671734773136140871626662419/ 722816819511123903957390107890609263451664747\ 3230585296704952764527261974415756508047200, 289126727804449561582956043156243705380665898\ 92922341186819811058109047897663026032188800/ 150262405312814990909244951140285677363694056\ 98066130185893103321105823019196111636421, 208755851798889599360020830981005335171709448\ 227446926917694493534174825817371064427335120\ 204311204434825608253838301809140270967999711\ 200354164831304704783385245711583823317601/ 108612193900300338886048027779812917011080486\ 203306216563188133768274237868871143854104278\ 139794655834959648273744354926827780169924545\ 572599842885870893942696617047107071200),
(369849007343115583368662130728321151582500162\ 276110860262083707496159360487326692660458722\ 222713713561500232694430561961117115821251219\ 985735100006547139906311032769332800894062119\ 105780045859209363826171632913118674927278600\ 193694249513326551571530489770972977122243306\ 467080674714290936131729970397553447564271607\ 864414181836000560332428732885358854400/ 436747948982224649163718446159250175040477496\ 524019093802767487473179195664952385797042257\ 664394929337666465323237655516852942646729967\ 198006953721475434221887490949897416145163762\ 762687996959377486052625624968809065862747125\ 990609190843675334331307496567012751378446782\ 369322860016918084529582270946529481583753662\ 42501003267716033860419395973930964799, 436747948982224649163718446159250175040477496\ 524019093802767487473179195664952385797042257\ 664394929337666465323237655516852942646729967\ 198006953721475434221887490949897416145163762\ 762687996959377486052625624968809065862747125\ 990609190843675334331307496567012751378446782\ 369322860016918084529582270946529481583753662\ 42501003267716033860419395973930964799/ 453468621068067169407383681618834173102624034\ 178654806598925585453849142333652148921602160\ 645799060276483855682234627220594796249694973\ 008503065236080357903765366318456107030483225\ 975698928223650519649548348348600631347815841\ 336064553106089445281425318502909486417659767\ 615351489350528367008006339379050328058204521\ 65818315575772506171214901040382400, 189915750524378998630938398342255581324177702\ 657262320641522273197863307464616108358875604\ 426011118426398041709979979012604174371125579\ 669999249059514198614369641602204506258627306\ 294981589265330833125732617595077279633503119\ 569425469760470207198399215871853134934003475\ 837260590190193034982640658932010953466724343\ 719200718341613808247850460556949513235400144\ 468736554626215470520045396034002849028409937\ 723016166906409204466883181792137604559457275\ 580439029609069707068338673836913493961009079\ 565006244210131471011320940968340590248872764\ 932250580771710304621846419502381934045964888\ 253229711661892908689740339452913663112780316\ 473447226980031540512498997798240768204407492\ 0809351588890665793227615830401/ 198051490179275961800180657598543892420684243\ 261248698332008870217878883294251197517529729\ 213169069900394308509884085636377277658748327\ 370777523495180609853783862936808425376374387\ 282229505975407036147336328337776295987489963\ 460229523636531050386733597418497709042982910\ 564949269427806767330199313333581582238240144\ 381612883408186163895542987044553277579087081\ 426864878593659396798640390260893725410771197\ 997279650512560326609492046767693047137746043\ 124595124221497681307631497567221961978269191\ 630682353869437216933930826310589856891862451\ 920152157079184288636711361442115334175747820\ 472213800719285032880088299750976009751725249\ 203626983673702990382106664166966523609360662\ 4239405228872939691899137600),
...
Z/2Z×Z/2Z
[6117,0],[0,0]
1
[1301146576116859521747036311/
3112555705896294528049,
46703019356647046694277885494323935722826/
173650364485145856786552841575593]
99780504
2π/3-合同数@
(89133931107869573473198/7031144327156015001179,
28673006566142229174807962/44566965553934786736599,
203619325887790636644152984834372643535677913202/
313356767033106103474434490264672606547450221),
...
2039

100以下のsquare-freeな自然数nについて、π/3-合同数と2π/3-合同数を整理すると、以下のようになる。

[2004.05.25追記]
38, 86, 97は全てπ/3-非合同数であることが確認できた[3個]。
また、13, 37, 61, 62, 73, 85は全て2π/3-非合同数であることが確認できた[6個]。

n=38, 86, 97に対して、L-関数 L(En,π/3,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(E38,π/3,1) ≒ 5.597328528449898916869873787 != 0
     L(E86,π/3,1) ≒ 3.720689003623922774491474942 != 0
     L(E97,π/3,1) ≒ 3.503375828383049849659567562 != 0
であるので、
     rank(E38,π/3) = 0
     rank(E86,π/3) = 0
     rank(E97,π/3) = 0
であることが分かる。
よって、38,86,97は、いずれもπ/3-非合同数である。

また、n=13, 37, 61, 62, 73, 85に対して、L-関数 L(En,2π/3,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(E13,2π/3,1) ≒ 3.740344210405186562424120546 != 0
     L(E37,2π/3,1) ≒ 2.217085209446700179058713725 != 0
     L(E61,2π/3,1) ≒ 1.726705726207817166732810994 != 0
     L(E62,2π/3,1) ≒ 3.425448146429054313954540529 != 0
     L(E73,2π/3,1) ≒ 6.313668973233612117202162744 != 0
     L(E85,2π/3,1) ≒ 5.851049539799336661680858620 != 0
であるので、
     rank(E13,2π/3) = 0
     rank(E37,2π/3) = 0
     rank(E61,2π/3) = 0
     rank(E62,2π/3) = 0
     rank(E73,2π/3) = 0
     rank(E85,2π/3) = 0
であることが分かる。
よって、13, 37, 61, 62, 73, 85は、いずれも2π/3-非合同数である。

以上より、100以下の平方因子を含まない自然数nについて、π/3-合同数(35個)と、2π/3-合同数(35個)を、完全に決定できた。

[pari/gpによる計算]
gp>  read("theta-congr.gp")
time = 32 ms.
gp>  elllseries(ec1(38),1)
time = 640 ms.
%1 = 5.597328528449898916869873787
gp>  elllseries(ec1(86),1)
time = 1,175 ms.
%2 = 3.720689003623922774491474942
gp>  elllseries(ec1(97),1)
time = 762 ms.
%3 = 3.503375828383049849659567562
gp>  elllseries(ec2(13),1)
time = 155 ms.
%4 = 3.740344210405186562424120546
gp>  elllseries(ec2(37),1)
time = 415 ms.
%5 = 2.217085209446700179058713725
gp>  elllseries(ec2(61),1)
time = 676 ms.
%6 = 1.726705726207817166732810994
gp>  elllseries(ec2(62),1)
time = 684 ms.
%7 = 3.425448146429054313954540529
gp>  elllseries(ec2(73),1)
time = 805 ms.
%8 = 6.313668973233612117202162744
gp>  elllseries(ec2(85),1)
time = 939 ms.
%9 = 5.851049539799336661680858620

[2003.09.23追記]
mwrank3により、このように、2039が2π/3-合同数であることが確認できた。
これより、
     rank(E2039,2π/3) = 1
であり、E2039,2π/3(Q)/E2039,2π/3(Q)torsの生成元は、
     [1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]
     = [2039*(7*79*1444539319/55790283257)2, (2*71*109*20392*6673*25889*26209*200657*1444539319)/557902832573]
であり、最小の2π/3-有理三角形は、
     (89133931107869573473198/7031144327156015001179,
         28673006566142229174807962/44566965553934786736599,
         203619325887790636644152984834372643535677913202/313356767033106103474434490264672606547450221)
であり、2番目の2π/3-有理三角形は、
     (65049700792138862306225729536840930704375072877507017319914642431843127162479876047149165136019/
         2539275735087582366863073759093986651398949214529688721783686771249732727296433077533231489800,
         10157102940350329467452295036375946605595796858118754887134747084998930909185732310132925959200/
         31902746832829260571959651562943075382233973946791082550227877602669508171888119689626858821,
         2688944583193117328094504658308718489770434722432220260393205337009993146858808138299804221930\
         8250532970140744647936091629274261770329740241394476958306881485383504099414259465444416946401/
         810098709152455608454219813621926429170784939180222682613652484389453341360772699133708854329\
         54523335561247966119089501433875465289128445034158219328220575681886150174065752216101525800)
であることが分かった。
gp>  read("theta-congr.gp")
time = 4 ms.
gp>  p1=[1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 4670301936647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593];
time = 0 ms.
gp>  e2=ec2(2039)
time = 8 ms.
%15 = [0, -4078, 0, -12472563, 0, -16312, -24945126, 0, -155564827788969, 864764368, 18988895114560, 165571593828869679577344, 35152/9, [6117.000000000000000000000000, 0.E-28, -2039.000000000000000000000000]~, 0.03733229138118746639737558942, 0.04775776572771170133270784806*I, -43.72005711966352862084493415, -140.0815408225423516369724906*I, 0.001782906825861421716803576917]
gp>  factor(2039)
time = 0 ms.
%16 = 
[2039 1]

gp>  factor(p1)
time = 18 ms.
%17 = [[7, 2; 79, 2; 2039, 1; 1444539319, 2; 55790283257, -2], [2, 1; 7, 1; 71, 1; 79, 1; 109, 1; 2039, 2; 6673, 1; 25889, 1; 26209, 1; 200657, 1; 1444539319, 1; 55790283257, -3]]
gp>  ellisoncurve(e2,p1)
time = 0 ms.
%18 = 1
gp> search2(e2,p1,2039,6)
2Pi/3-congruent number
2([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[89133931107869573473198/7031144327156015001179, 28673006566142229174807962/44566965553934786736599, 203619325887790636644152984834372643535677913202/313356767033106103474434490264672606547450221]
4([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[65049700792138862306225729536840930704375072877507017319914642431843127162479876047149165136019/2539275735087582366863073759093986651398949214529688721783686771249732727296433077533231489800, 10157102940350329467452295036375946605595796858118754887134747084998930909185732310132925959200/31902746832829260571959651562943075382233973946791082550227877602669508171888119689626858821, 26889445831931173280945046583087184897704347224322202603932053370099931468588081382998042219308250532970140744647936091629274261770329740241394476958306881485383504099414259465444416946401/81009870915245560845421981362192642917078493918022268261365248438945334136077269913370885432954523335561247966119089501433875465289128445034158219328220575681886150174065752216101525800]
6([1301146576116859521747036311/3112555705896294528049, 46703019356647046694277885494323935722826/173650364485145856786552841575593]):[7088793504913084888607278846158349331065422062478187264458999582862097988275953944621610090664731953245656678463890589983653833503261464291458399131444515571228297362338807015456597130556885827364478259607381198/181057547726648684602354918151099580703994218949921276152160237572998651972330415816086784487912201511000290195199426347585615074693565604931357227959954784461086125172857046007494771930833843267945321841021621, 738352679629273335808403356220184090110888424877778964148509448822688502743163435698001907141705957761859183416023260645454138274600360536910074775620695611032309218454911033618563679933940412846681022467686170438/3544396752456542444303639423079174665532711031239093632229499791431048994137976972310805045332365976622828339231945294991826916751630732145729199565722257785614148681169403507728298565278442913682239129803690599, 147856939481994118813759813407752885844720721042475065715979395601963675053058137157957429344395202184658684407480877390500318238682327137154000209909218485691622135712732403093443541589408883444800570964375270644390430371610352640058224082300750051607284575571149509375781881080125626723256982805235660713578841093083293789544483306348211048370682941254174993357644077479592645586872493816696468749259566609140806445538802/641739784170079036948406227179577220663720252862633229164743204086635360955493652526585884935606340044509107861119744994067339929547084430636491634168602715434998856413092063048288628765441678157091311358904817504183497620335518711260726503849833070886776126894948009646163375006529215973980590380797619209029484893336608748595515319363537378523713411861133826723280508344776815295947863716216105152333390866558353440979]
time = 57 ms.

[2007.12.11追記]
東京理科大)後藤丈志氏より、MAGMAで求めたE2039,π/3(Q)/E2039,π/3(Q)torsの生成元
     (50050653713464233665955826198003477628543918966342677609412809406242201491098247824336403/
     13533563765013555843226042402492478519755957196518902156846636563649647704881838441,
     11203500698190292987868524818048613796379663177793231707535997337572323995382834836\
     020243740024114606048932639134821368768500199273600/
     15744115251889077672995232258184018288299883634399363161910947584240427904593156007\
     70003462303142075227994238030431676999989)
を教えて貰った(感謝)。
これにより、素数2039がπ/3-合同数であることが分かった。
最小のπ/3-有理三角形は、
     (30638504443282976646395045537504249614457218218356839449036037671734773136140871626662419/
     7228168195111239039573901078906092634516647473230585296704952764527261974415756508047200,
     28912672780444956158295604315624370538066589892922341186819811058109047897663026032188800/
     15026240531281499090924495114028567736369405698066130185893103321105823019196111636421,
     20875585179888959936002083098100533517170944822744692691769449353417482581737106442733512\
     0204311204434825608253838301809140270967999711200354164831304704783385245711583823317601/
     10861219390030033888604802777981291701108048620330621656318813376827423786887114385410427\
     8139794655834959648273744354926827780169924545572599842885870893942696617047107071200)
である。

[2007.12.12追記]
東京理科大)後藤丈志氏より、MAGMAで求めたE1583,π/3(Q)/E1583,π/3(Q)torsの生成元
     (53691954342343402134896887469596946752443656152752085161295750474227/
     321635253548690108952725338532208840552414621383539446663082369,
     397087367533038904043424479855654653214597358961078\
     627737226465551330137138700292931160788400635516160/
     576826848845612710494040586181903184890921262424031\
     2685551995775223666274354737310586554860097)
を教えて貰った(感謝)。
これにより、素数1583がπ/3-合同数であることが分かった。
最小のπ/3-有理三角形は、
     (120103791001974140253920094050412713039328899350998896543095003350887/
     7821874551063113705550095855540919571877476967523820643103961498560,
     31287498204252454822200383422163678287509907870095282572415845994240/
     75870998737823209257056281775371265343859064656348007923622870089,
     2403003048341988876973233438125951491787356032589880457125357907875\
     88528115472445391667616516629235747966333606797279574720380678872993/
     59345343419112098149904681592609160559645135609952370835105419230\
     7251749134073451250795297433820945113965837083136034825740640571840)
である。


[参考文献]


Last Update: 2008.09.27
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]