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Rational Points on Elliptic Curve: y^2+x^4=17


[2001.04.01]y^2+x^4=17の有理点


Serreの方程式
     x4+y4=17 ----------------------------- (1)
で定義される種数2の代数曲線上の有理点(x,y)は、
     (x,y)=(±1,±2),(±2,±1)
のみであること(参考文献[1])が既に知られている。

(1)のy4をy2に修正したDiophantus方程式で定義される楕円曲線
     y2+x4=17 ----------------------------- (2)
つまり、
     y2 = -x4+17 -------------------------- (3)
上の有理点について考察する。楕円曲線(2)は、8個の整点
     (x,y)=(±1,±4),(±2,±1)
を持つことは、すぐに分かる。

まず、楕円曲線(3)をある双有理変換\phiによって、Weierstrass標準形に変形する。
ここでは、x,yをQ(i)上で(ただし、i=sqrt{-1})考える。
有理変換\phi:(x,y)→(X,Y)を
     X=-2iy-2x2 --------------------------- (4)
     Y=-4xy+4ix3 --------------------------- (5)
で定義すると、
     x={iY}/{2X} --------------------------- (6)
     y={i(2X3-Y2)}/{4X2} ----------------- (7)
となり、\phi-1も有理変換であり、方程式(3)は、
     Y2=X3+68X ----------------------------- (8)
と同値になる。よって、楕円曲線(3)は、双有理変換\phiに
よって、楕円曲線(8)と有理同値になる。

\phiの代わりに、有理変換\psi: (x,y)→(X,Y)を
     \psi(x,y)=\phi(x,y)-\phi(2,1)
で定義すると、その逆変換\psi-1: (X,Y)→(x,y)は
     \psi-1(X,Y)=\phi-1((X,Y)+\phi(2,1))
となり、\psiは楕円曲線(3)上の有理点を楕円曲線(8)上の 有理点に写し、\psi-1は楕円曲線(8)上の有理点を楕円曲線(3) 上の有理点に写す双有理変換となる。

[2002.10.23 追記]
asirで\psi(x,y), \psi-1(X,Y)を計算してみると、以下のようになる。
     X = -34(x+2)2/(4x2+y-17)
     Y = -68(x+2)(2x3-8xy-17y+17)/(4x2+y-17)2

     x = 2*(X2-Y-68)/(X2+16X+68)
     y = (X4-16X3+32X2Y+(544Y+1088)X+2176Y-4624)/(X2+16X+68)2
[2002.10.23 ここまで]

楕円曲線(8)の判別式Dは、
     D=-4*683=-28*173 ≠ 0
となるので、(8)は非特異楕円曲線である。
よって、(8)の有理点で有限位数のもの(ねじれ点)は、整点(x座標,y座標がともに 有理整数である点)であり、Y=0 または Y|Dとなることが分かっている。
有限の組合せを調べて、
     (0,0),(2,±12),(34,±204),
     (16,±72),(272,±4488),O(ただし、Oは無限遠点)
が候補にあがるが、

     2(2,±12)=2(34,±204)=(64/9,\mp{784/27})
     2(16,±72)=(2209/1296,±{512911/46656})
     2(272,±4488)=(1181569/17424,±{1293826751/2299968})

であり、(8)の有理点
     (2,±12),(34,±204),(16,±72),(272,±4488)
は、いずれも2倍点が整点でないので、位数有限の点(ねじれ点)ではない。
また、
     (2,12)+(0,0)=(34,-204),
     (16,72)+(272,4488)=(153/16,2499/64)=2(2,12)+(0,0),
     2(0,0)=O
なので、(8)の有限位数の有理点は、(0,0),Oのみである。

楕円曲線(8)の有理点は、有限生成Abel群を成すので、結局、無限位数 の有理点(2,12),(16,72)と位数2の有理点(0,0)から生成される。
つまり、このAbel群のrankは2である。
よって、(8)の有理点は、
     m(2,12)+n(16,72),
     m(2,12)+n(16,72)+(0,0),
     O (だだし、m,nは任意の有理整数)
である。具体的に求めると、以下のようになる。

m n m(2,12)+n(16,72) m(2,12)+n(16,72)+(0,0)
0 0 O (0,0)
1 0 (2,12) (34,-204)
0 1 (16,72) (17/4,-153/8)
1 1 (18/49,-1716/343) (1666/9,68068/27)
-1 0 (2,-12) (34,204)
0 -1 (16,-72) (17/4,153/8)
1 -1 (18,84) (34/9,-476/27)
2 0 (64/9,-784/27) (153/16,2499/64)
0 2 (2209/1296,512911/46656) (88128/2209,-26715024/103823)
2 1 (10609/100,-1096023/1000) (6800/10609,7235880/1092727)
1 2 (1158242/146689,-1802373708/56181887) (4987426/579121,15420834708/440711081)
2 -1 (1/4,-33/8) (272,4488)
1 -2 (6050,-470580) (34/3025,145452/166375)
3 0 (29282/529,5066028/12167) (17986/14641,-16370388/1771561)
3 1 (11548818/2211169,73348239636/3288008303) (75179746/5774409,-771606387748/13875904827)
3 2 (10115824322/268366477681,
222580902430155348/139024838464342921)
(9124460241154/5057912161,
-27562290888355317324/359713654978159)
3 3 (7081720468431347538/2074750434401158801,
-49275336663876085780641021684
  /2988469282935918930666278201)
(70541514769639399234/3540860234215673769,
641220002416615682279389726556
  /6662898182679880017870951147)
3 -1 (4050/49,-259020/343) (1666/2025,684964/91125)
3 -2 (32258/5041,-9450324/357911) (171394/16129,89815284/2048383)
... ... ... ...

また、楕円曲線(8)の整点は、以下の14個のみである。
     (0,0),
     (2,12),
     (2,-12)=-(2,12)
     (16,72),
     (16,-72)=-(16,72)
     (18,84)=(2,12)-(16,72),
     (18,-84)=-(2,12)+(16,72)
     (34,204)=-(2,12)+(0,0),
     (34,-204)=(2,12)+(0,0)
     (272,4488)=2(2,12)-(16,72)+(0,0),
     (272,-4488)=-2(2,12)+(16,72)+(0,0)
     (6050,470580)=-(2,12)+2(16,72),
     (6050,-470580)=(2,12)-2(16,72)
     O

楕円曲線(3)の有理点は、(8)の有理点を\psi-1で写したもの であるから、具体的に求めると、以下のようになる。
m n \psi-1(m(2,12)+n(16,72)) \psi-1(m(2,12)+n(16,72)+(0,0))
0 0 (2,1) (-2,-1)
1 0 (-19/13,596/169) (19/13,-596/169)
0 1 (2/5,103/25) (-2/5,-103/25)
1 1 (-389/229,-154444/52441) (389/229,154444/52441)
-1 0 (-1,-4) (1,4)
0 -1 (26/29,-3401/841) (-26/29,3401/841)
1 -1 (43/85,29732/7225) (-43/85,-29732/7225)
2 0 (94/941,-3650921/885481) (-94/941,3650921/885481)
0 2 (-3238/2089,14622481/4363921) (3238/2089,-14622481/4363921)
2 1 (117598/62329,-8082259919/3884904241) (-117598/62329,8082259919/3884904241)
1 2 (105629/512989,-1084969683004/263157714121) (-105629/512989,1084969683004/263157714121)
2 -1 (-2042/1153,-3557759/1329409) (2042/1153,3557759/1329409)
1 -2 (95549/47293,1301063396/2236627849) (-95549/47293,-1301063396/2236627849)
3 0 (788087/613705,1423291929692/376633827025) (-788087/613705,-1423291929692/376633827025)
3 1 (-150180551/213071737,
185823456165728156/45399565108197169)
(150180551/213071737,
-185823456165728156/45399565108197169)
3 2 (-13351053474601/6580086426121,
-9809073870288849048917524
  /43297537375221834391106641)
(13351053474601/6580086426121,
9809073870288849048917524
  /43297537375221834391106641)
3 3 (-17721141357070605479/29844927717933118201,
-3659080054489806010332889730974085011444
  /890719710488652522610394863811037476401)
(17721141357070605479/29844927717933118201,
3659080054489806010332889730974085011444
  /890719710488652522610394863811037476401)
3 -1 (347161/189817,-86856699604/36030493489) (-347161/189817,86856699604/36030493489)
3 -2 (-48361/7897609,
-257167283795764/62372227916881)
(48361/7897609,
257167283795764/62372227916881)
... ... ... ...


[参考文献]


Last Update: 2005.08.21
H.Nakao

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