Birational map between (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=n and Y^2=X^3+(n^2-6n-3)X^2+16nX

[2002.07.25](x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=nとY^2=X^3+(n^2-6n-3)X^2+16nXの間の双有理変換

(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=nとY^2=X^3+(n^2-6n-3)X^2+16nXの有理点を互いに変換するプログラム(pari/GP)

■nを有理整数とするとき、Diophantus方程式
     C_n: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = n ------ (1)
の表す曲線の有理点と、楕円曲線
     E_n: Y²=X³+(n²-6n-3)X²+16nX ------- (2)
を相互に写し合う双有理変換を別の方法で、具体的に求めることができた。

(1)の有理点[x:y:z]を求めるには、z=1である有理点[x:y:1]を求めれば良い。よって、
     G_n: (x+y+1)(1/x+1/y+1) = n ------ (3)
を考察する。左辺はx,yの対称式なので、
     s = x+y ------ (4)
     t = xy --------(5)
とする。(3)より、
     (s+1)(s/t+1) = n
両辺にtを掛けて、整理すると、
     s²+(t+1)s+t(1-n) = 0
となる。ここで、
     s = ut -------- (6)
つまり、
     u = s/t = (x+y)/{xy} -------- (6')
とすると、
     t²u²+(t+1)ut+t(1-n) = 0
     t{u(u+1)t+u+(1-n)} = 0
t!=0と仮定すると、
     t = -{u-(n-1)}/{u(u+1)} -------- (7)
(6),(7)より、
     s = -{u-(n-1)}/(u+1) -------- (8)
さらに、
     v = x-y -------- (9)
とすると、(6)より、
     v² = s²-4t = t(u²t-4)
(7)より、
     v² = {-(u-(n-1))/u(u+1)}{-u(u-(n-1))/(u+1)-4} = {u-(n-1)}{u²-(n-5)u+4}/{u(u+1)²}
両辺に(u+1)²/u²を掛けて、
     v²(u+1)²/u² = {u-(n-1)}{u²-(n-5)u+4}/u³
右辺を展開して、
     v²(u+1)²/u² = 1-2(n-3)(1/u)+(n-3)²(1/u)²-4(n-1)(1/u)³ -------- (10)
ここで、変換(u,v)---->(U,V)を
     U = 1/u -------- (11)
     V = v(u+1)/u -------- (12)
とすると、(10)より、
     V² = 1-2(n-3)U+(n-3)²U²-4(n-1)U³ = -4(n-1)U³+(n-3)²U²-2(n-3)U+1
両辺に、4²(n-1)²を掛けて、
     4²(n-1)²V² = -4³(n-1)³U³+4²(n-1)²(n-3)²U²-2*4²(n-1)²(n-3)U+4²(n-1)² ------- (13)
ここで、変換(U,V)--->(S,T)を
     S = -4(n-1)U ------ (14)
     T = 4(n-1)V ------ (15)
とすると、(13)より、
     T² = S³+(n-3)²S²-8(n-1)(n-3)S+16(n-1)² ------ (16)
ここで、変換(S,T)--->(X,Y)を
     X = S+4 ------ (17)
     Y = T ------ (18)
とすると、(16)より、
     Y² = X³+(n²-6n-3)X²+16nX ------ (19)
を得る。

また、各変換の逆変換を求めることができる。
(x,y)-->(u,v)の逆変換は、(4),(5),(7),(8),(9)より、
     x = (1/2){v-(u-(n-1))/(u+1)} ----- (20)
     y = (1/2){v+(u-(n-1))/(u+1)} ----- (21)
(u,v)-->(U,V)の逆変換は、(11),(12)より、
     u = 1/U ----- (21)
     v = V/(U+1) ----- (22)
(U,V)-->(S,T)の逆変換は、(14),(15)より、
     U = -S/{4(n-1)} ----- (23)
     V = T/{4(n-1)} ----- (24)
(S,T)-->(X,Y)の逆変換は、(17),(18)より、
     S = X-4 ----- (25)
     T = Y ----- (26)
となる。

■各変換を合成すると、(3)から(2)への変換(x,y)-->(X,Y)は、
     X = 4(x+y-(n-1)xy)/(x+y) ----- (27)
     Y = 4(n-1)(x-y)(x+y+xy)/(x+y) ----- (28)
その逆変換(X,Y)--->(x,y)は、
     x = {(n-1)X-Y}/{X-4n} ----- (29)
     y = {(n-1)X+Y}/{X-4n} ----- (20)
となり、いずれも、有理変換である。
これらの変換により、(3)と(2)の有理点は、互いに写し合うことがわかる。

■n!=0,1,9のとき、E_nは非特異楕円曲線である。E_nは自明なねじれ点(0,0)[位数2]を持つ。
非特異楕円曲線E_nが(0,0)以外に位数2のねじれ点である有理点を持つのは、n=10のときに限る。
[証明]
楕円曲線(2)が非特異なので、n!=0,1,9である。
(2)が(0,0)以外に、位数2のねじれ点である有理点を持つと仮定すると、
     X²+(n²-6n-3)X+16n = 0 ----- (21)
が有理数解を持つ。(21)の左辺は有理整数係数でmonicな多項式なので、有理数解を持てば、有理整数解を持つ。よって、左辺の２次式の判別式は有理整数の平方数m²である。
     (n²-6n-3)²-4*16n = m²
     (n-9)(n-1)³ = m²
n!=1,9なので、(n-1)|m。よって、m = k(n-1)とすると、
     (n-9)(n-1) = k² ------- (22)
ここで、r = n-1とすると、
     (r-8)r = k²
gcd(r,r-8)=gcd(r,8)=1,2,4,8である。

(i)gcd(r,8)=1のとき、r-8,rは互いに素であり、(22)より積が平方数なので、それぞれが平方数と共通の単数の積である。
よって、a,bを有理整数として、
     r = ±a², r-8=±b² (複号同順)
     8 = ±(a²-b²) = ±(a+b)(a-b)
a+b,a-bは偶奇が一致するので、
     (a+b,a-b) = (±2、±4),(±4,±2)
     (a,b) = (±3,\mp 1),(±3,±1)
r>r-8より、±a² > ±b²となるので、
     (a,b) = (3,±1)
     r = 9
     n = 10
を得る。
n=10のとき、(21)の左辺は分解できて、x²+37x+160=(x+5)(x+32)となる。

(ii)gcd(r,8)=2のとき、r=2sとすると、gcd(s,2)=1
(22)より、
     2s(2s-8) = k²
     4s(s-4) = k²
sは奇数なので、s!=0,4。よって、2|k。k=2jとすると、
     s(s-4) = j²
sは奇数なので、gcd(s,s-4)=gcd(s,4)=1。よって、s,s-4はどちらも平方数と共通の単数の積である。a,bを有理整数として、
     s = ±a², s-4=±b² (複号同順)
     4 = ±(a²-b²) = ±(a+b)(a-b)
a+b,a-bの偶奇は一致するので、
     (a+b,a-b) = (±2,±2)
     (a,b) = (±2,0)
     s = 4
これは、sが奇数であることに反する。

(iii)gcd(r,8)=4のとき、(ii)と同様にして、解なし。
(iv)gcd(r,8)=8のとき、r=8sとすると、(22)より、
     8s(8s-8) = k²
     64s(s-1) = k²
(iv-1)s!=0,1のとき、8|k。k=8jとすると、
     s(s-1) = j²
gcd(s,s-1)=gcd(s,1)=1なので、s,s-1は平方数と共通の単数の積である。a,bを有理整数として、
     s = ±a², s-1=±b² (複号同順)
     1 = ±(a²-b²) = ±(a+b)(a-b)
a+b,a-bの偶奇は一致するので、
     (a+b,a-b) = (±1,±1)
     (a,b) = (±1,0),(0,±1)
     s = 1,0
これは、s!=0,1に反する。
(iv-2)s=0,1のとき、r=0,8。よって、n=1,9。これは、n!=0,1,9に反する。

E₁₀は、位数2のねじれ点(0,0),(-5,0),(-32,0)を持つ。

■E₁₀(Q)=Z/6Z×Z/2Zの有理点に対応する(3)の有理点をpari/gpで計算すると、

gp> read("reciprocal2.gp")
time = 48 ms.
gp> ff1(-20,60,1,10)
[2, 1, 1]
[1, 2, 1]
[2, 2, 1]
[1, 2, 1]
[2, 1, 1]
[1, 2, 2]
[2, 1, 2]
[1, 1, 2]
[2, 1, 2]
[1, 2, 2]
[-1, 0, 1]
[0, -1, 1]
  ***   division by zero in dvmdii

のようになる。

■E₁₀₀(Q)の有理点に対応する(3)の有理点をいくつか計算すると、

gp> ff1(4624,-547536,1,100)
[952, -85, 8]
[-85, 952, 8]
[-56, 595, 5]
[595, -56, 5]
[-8, -952, 85]
[-952, -8, 85]
[5, -56, 595]
[-56, 5, 595]
[-85, 8, 952]
[8, -85, 952]
[-595, -5, 56]
[-5, -595, 56]
[-106216184880, -50523893, 53020773]
[-50523893, -106216184880, 53020773]
[10880784720, -10368381520, 5175667]
[-10368381520, 10880784720, 5175667]
[-53020773, 106216184880, 50523893]
[106216184880, -53020773, 50523893]
[-5175667, -10880784720, 10368381520]
[-10880784720, -5175667, 10368381520]
[50523893, -53020773, 106216184880]
[-53020773, 50523893, 106216184880]
[-10368381520, 5175667, 10880784720]
[5175667, -10368381520, 10880784720]
[-1048859994783032338424552, -8808967468156208231768, 104029975791316525460195]
[-8808967468156208231768, -1048859994783032338424552, 104029975791316525460195]
[687380963607926652812965, -58205497988374215466216, 5773045570209450646435]
[-58205497988374215466216, 687380963607926652812965, 5773045570209450646435]
[-104029975791316525460195, 1048859994783032338424552, 8808967468156208231768]
[1048859994783032338424552, -104029975791316525460195, 8808967468156208231768]
[-5773045570209450646435, -687380963607926652812965, 58205497988374215466216]
[-687380963607926652812965, -5773045570209450646435, 58205497988374215466216]
[8808967468156208231768, -104029975791316525460195, 1048859994783032338424552]
[-104029975791316525460195, 8808967468156208231768, 1048859994783032338424552]
[-58205497988374215466216, 5773045570209450646435, 687380963607926652812965]
[5773045570209450646435, -58205497988374215466216, 687380963607926652812965]

のようになる。

[2002.09.15追記]
■CremonaのmwrankでMordell-Weil群のrankが確定できなかったn=87,-60,-73(いずれもrankは0..2)について、L-関数を使うと、rank(E_n) = 0であることを示すことができる。
このことは、立命館大学理工学部の加川貴章助教授より、丁寧な解説付きのメールで指摘されました(2002.09.13)。

■楕円曲線E/QのHasse-Weil L-関数 L(E,s)は、
     L(E,s) = Π_￢(p|Δ(E)){1/(1-a_pp^-s+p^1-2s)}Π_p|Δ(E){1/(1-a_pp^-s)}
     ただし、a_p = p+1-#E(F_p)
で定義される。

楕円曲線EのL-関数のs=1におけるTaylor展開
     L(E,s) = Σ_i=r^∞b_i(s-1)ⁱ = b_r(s-1)^r+b_r+1(s-1)^r+1+...
の主要項のorder
     r = ord_s=1L(E,s)
をEのanalytic rankと呼ぶ。

■BSD予想I
     任意の楕円曲線E/Qに対して、rank = analytic rankである。

■pari/gpでこれらの楕円曲線E₈₇,E_-60,E_-73のs=1におけるL-関数の値を計算すると、

gp> read("reciprocal2.gp")
time = 58 ms.
gp> e87=ec(87)
%1 = [0, 7044, 0, 1392, 0, 28176, 2784, 0, -1937664, 793820160, -22365735524352, 1538113590853632, 282697961992685568000/869250031, [0.E-28, -0.1976205357575458687486246680, -7043.802379464242454131251375]~, 0.1579220061174284138998048111, 0.03743254345325088310161754277*I, 101.4658579562660793917338920, 4.157321069562217958906911585*I, 0.005911422356215190886629717785]
gp> ellglobalred(e87)
time = 38 ms.
%2 = [583596, [2, -2348, 0, 0], 36]
gp> e87m=ellchangecurve(e87,[2, -2348, 0, 0])
time = 6 ms.
%3 = [0, 0, 0, -1033620, 404472937, 0, -2067240, 1617891748, -1068370304400, 49613760, -349464617568, 375516013392, 282697961992685568000/869250031, [587.0000000000000000000000000, 586.9505948660606135328128438, -1173.950594866060613532812843]~, 0.3158440122348568277996096222, 0.07486508690650176620323508554*I, 50.73292897813303969586694603, 2.078660534781108979453455792*I, 0.02364568942486076354651887114]
gp> ellglobalred(e87m)
time = 8 ms.
%4 = [583596, [1, 0, 0, 0], 36]
gp> elllseries(e87m,1)
time = 1,386 ms.
%5 = 2.526752097878854622396876979
gp> e60=ec(-60)
time = 22 ms.
%6 = [0, 3957, 0, -960, 0, 15828, -1920, 0, -921600, 250571664, -3966412974912, 230941001318400, 142256513008321688907/2088225200, [0.2425931636484586889415539984, 0.E-28, -3957.242593163648458688941554]~, 0.1982637253241678309476177803, 0.04993980928293878765131851380*I, 67.85936899391501106399315343, 1.247284603487413674594150079*I, 0.009901252630413902639922383744]
gp> ellglobalred(e60)
time = 6 ms.
%7 = [126270, [2, -1320, 1, 0], 24]
gp> e60m=ellchangecurve(e60,[2, -1320, 1, 0])
time = 3 ms.
%8 = [1, -1, 0, -326265, 71812125, -3, -652530, 287248500, -106664286600, 15660729, -61975202733, 56382080400, 142256513008321688907/2088225200, [330.0606482909121146722353885, 330.0000000000000000000000000, -659.3106482909121146722353885]~, 0.3965274506483356618952355606, 0.09987961856587757530263702760*I, 33.92968449695750553199657671, 0.6236423017437068372970750395*I, 0.03960501052165561055968953497]
gp> elllseries(e60m,1)
time = 611 ms.
%9 = 2.114813070124456863441256321
gp> e73=ec(-73)
time = 13 ms.
%10 = [0, 5764, 0, -1168, 0, 23056, -2336, 0, -1364224, 531635200, -12258027476992, 725294993702912, 2292774030761728000000/11067123317, [0.2026299342660894032421053265, 0.E-28, -5764.202629934266089403242105]~, 0.1716001749084163499881622984, 0.04137866133359280907867807561*I, 88.93624755196788393616521720, 3.137935112426557342923956151*I, 0.007100585522320650579108621230]
gp> ellglobalred(e73)
time = 3 ms.
%11 = [442964, [2, -1920, 0, 0], 18]
gp> e73m=ellchangecurve(e73,[2, -1920, 0, 0])
time = 4 ms.
%12 = [0, 1, 0, -692233, 221449440, 4, -1384466, 885797760, -478300728529, 33227200, -191531679328, 177073973072, 2292774030761728000000/11067123317, [480.0506574835665223508105263, 480.0000000000000000000000000, -961.0506574835665223508105263]~, 0.3432003498168326999763245968, 0.08275732266718561815735615123*I, 44.46812377598394196808260860, 1.568967556213278671461978075*I, 0.02840234208928260231643448492]
gp> elllseries(e73m,1)
time = 1,112 ms.
%13 = 1.372801399267330799905298388

となり、いずれもs=1で消えない(0にならない)ことがわかる。よって、そのanalytic rank = 0である。

[注意]pari/gpのelllseries()関数は、楕円曲線EがZ上のMinimal Modelであることとmodularであることを仮定しているので、あらかじめ、ellglobalred()関数とellchangecurve()関数を使用して、楕円曲線をZ上のMinimal Modelに変形しておく必要がある。

ここで、Breuil-Courad-Diamond-Taylor-Wilesの定理(Shimura-Taniyama予想)
     Q上の任意の楕円曲線はmodularである。
と、Kolyvagin他の定理
     Q上の(modularである)楕円曲線Eのanalytic rank=0ならば、rank(E)=0である。
を使うと、(どちらの定理も、証明は難しいと思われる)
     rank(E₈₇) = 0
     rank(E_-60) = 0
     rank(E_-73) = 0
であることが分かる。
よって、楕円曲線E₈₇,E_-60,E_-73は位数無限の有理点を持たない。したがって、
     (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 87
     (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = -60
     (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = -73
は有理点を持たない。

[2021.04.19追記]
参考文献[6]Bremner他を追加した。

[参考文献]

[1]Allan J. MacLeod, "A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves", Dept. of Mathmatics and Statics Univercity of Paisley, June 15, 2002.
[2]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[3]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[4]三島久典,数学者の密室３章 n=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
[5]Brain Conrad, Karl Rubin(Ed), "Arithmetic Algebraic Geometry", American Mathematical Society, Ω IAS/PARK CITY Mathematics Series Volume 9, 2001, p107-121, ISBN0-8218-2173-3.
[6]Andrew Bremner, Richard K. Guy, Richard J. Nowakowski,"Which integers are representable as the product of the sum of three integers with teh sum of their reciprocals?", Math Comp, Volume 61, Number 203, July 1993, pages 117-130.

Last Update: 2021.04.19

H.Nakao