Rational Points on Elliptic Curve: x^3+y^3=657

[2001.05.01]x^3+y^3=657の有理点

y^3+x^3=657z^3の有理点を探すプログラム(Common LISP)
y^3+x^3=657,y^2=x^3-432*657^2の有理点を求めるプログラム(Common LISP)

Diophantus方程式
     x³+y³=657 ----------------------------- (1)
で定義される楕円曲線、つまり、同次化した
     x³+y³=657z³ ----------------------------- (2)
で定義される楕円曲線の有理点について考察する。657=3²*73である。

■楕円曲線(1)は、２つの整点(-7,10),(10,-7)を持つ。
(1)でx,yを有理整数とすると、
     max{|y|,|x|} <= 2*\sqrt(657/3)=29.5972971...
を得るので、有限の組合せを調べて、(1)の整点は(-7,10),(10,-7)の２個であることがすぐに分かる。

■楕円曲線(1)の有理点のrankは、３であることが既に分かっているので、有理点を求めてみよう。これは、射影平面P²上の楕円曲線(2)の有理点[x:y:z]を求めることと同値である。
また、楕円曲線(1)を以下の双有理変換\phiによって、Weierstrass標準形に変形する。
有理変換\phi:(x,y)--->(X,Y)を
     X={12*657}/{x+y}
     Y={36*657*(x-y)}/{x+y}
で定義すると、
     x={36*657+Y}/{6X}
     y={36*657-Y}/{6X}
となり、\phi^-1も有理変換であり、楕円曲線(1)は、
     Y²=X³-432*657² ------------------------- (3)
と有理同値になる。これを同次化すると、
     Y²Z=X³-432*657²Z³ ------------------------- (4)
となる。

Common Lispプログラムにより、楕円曲線(4)の有理点について、x,yを有理整数として、0<|x|<=y<=100000までを調べると、このようになる。
ここで、楕円曲線(2)上の有理点P[x:y:z]に対して、-P[y:x:z]も楕円曲線(2)上の有理点である。また、楕円曲線(4)上の有理点Q[X:Y:Z]に対して、-Q[X:-Y:Z]も楕円曲線(4)上の有理点である。
よって、以下の表には、(1)または(4)の有理点の半分を記述している。

F:x³+y³=657z³ in P² [x:y:z]=phi^-1([XZ:Y:Z³])				C:Y²Z=X³-432*657²Z³ in P² [XZ:Y:Z³]=phi([x:y:z])
F':x³+y³=657 in A²∪{O} (x/z,y/z) if z≠0, O if z=0				C':Y²=X³-432*657² in A²∪{O} (X/Z²,Y/Z³) if Z≠0, O if Z=0
x	y	z	備考	X	Y	Z	備考
-1	1	0	O_F(無限遠点)	0	1	0	O_C(無限遠点)
-7	10	1	整点 -P₁-P₂	2628	-134028	1	整点 Q₁+Q₂
7	17	2	P₁	657	-9855	1	整点 -Q₁
56	163	19	P₂	684	-11556	1	整点 -Q₂
-116	197	21	2P₁+P₂	2044	-91396	1	整点 -2Q₁-Q₂
-2890	2971	147	P₃	14308	-1711412	1	整点 -Q₃
-3220	3439	223	-P₁-P₂-P₃	8028	-719172	1	整点 Q₁+Q₂+Q₃
-119	4112	473	P₁-P₃	113004	-33357204	11	-Q₁+Q₃
3574	3017	481	-P₂+P₃	97236	4391388	13	Q₂-Q₃
11599	3140	1343	-2P₁-2P₂	207612	-66690756	17	2Q₁+2Q₂
-71183	95183	9140	-2P₁	300249	-163953693	10	2Q₁
-106777	165826	17199	P₁+2P₂	186004	79600076	9	-Q₁-2Q₂
...	...	...	...	...	...	...	...

■楕円曲線(1)および楕円曲線(3)の有理点の成す群は、rank 3のAbel群Z³に同型である。
(1)の有理点は
     P₁(7/2,17/2),P₂(56/19,163/19),P₃(-2890/147,2971/147)
で生成され、(3)の有理点は
     Q₁(657,9855),Q₂(684,11556),Q₃(14308,1711412)
で生成される。つまり、(1)の有理点は、
     k(7/2,17/2)+m(56/19,163/19)+n(-2890/147,2971/147) ただし、k,m,nは有理整数
である。同様に、(3)の有理点は、
     k(657,9855)+m(684,11556)+n(14308,1711412) ただし、k,m,nは有理整数
である。
GNU Common LISPで|k|,|m|,|n|<=5を満たす(1)および(3)の有理点を計算すると、このようになる。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao