Long Weierstrass Forms, j-invariants of Elliptic Curve
[2001.06.09]Weierstrassの長形式, j-不変量
■Weierstrassの長形式, j-不変量
楕円曲線を任意の体K上で考える場合、以下の方程式で扱うと良い。
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (Weierstrassの長形式) ---- (1)
楕円曲線(1)を(a1,a2,a3,a4,a6)で表現する。
ここで、
b2=a12+4a2,
b4=2a4+a1a3,
b6=a32+4a6,
b8=a12a6+4a2a6-a1a3a4+a2a32-a42
c4=b22-24b4,
c6=-b23+36b2b4-216b6
とする。
Kの標数 char(K) != 2であるならば、(x,y+(a1x+a3)/2) --> (x,y/2)に置き換える双有理変換により、
y2=4x3+b2x2+b4x+b6 ---- (2)
に写される。さらに、char(K) != 3であるならば、(x,y)-->((x-3b2)/36,y/108)に置き換える双有理変換により、
y2=x3-27c4x-54c6 ---- (3)
に写される。楕円曲線(3)の判別式は、
1728Δ=c43-c62 ---- (4)
である。また、Δをb*で表すと、
Δ=-b22b8-8b43-27b62+9b2b4b6 ---- (5)
となる。楕円曲線E(3)が特異でない(つまりΔ!=0)時、楕円曲線Eのj-不変量(j-invariant)は、
j(E)=c43/Δ ---- (6)
と定義する。
■Weierstrassの標準形との間の双有理変換
Weierstrassの標準形(x2の係数を消去したもの)
y2=x3+ax+b ----- (7)
から、Weierstrassの長形式への変換τは、
x=u2x'+r,
y=u3y'+su2x'+t
によって得られる。ここで、u,r,s,t \in Kである。
τ=[r,s,t,u]と置くと、
[r,s,t,u][r',s',t',u']=[r+u2r',s+us',t+u2sr'+u3t',uu']
[0,0,0,1]=1
[r,s,t,u]-1=[-u-2r,-u-1s,u-3(rs-t),u-1]
となり、j-不変量は、この変換τに関して、保存される。楕円曲線(7)の判別式Δとj-不変量は、
Δ=-16(4a3+27b2)
j=-1728*64a3/Δ=1728*4a3/(4a3+27b2)
となる。
[参考文献]
- [1]Alf van der Poorten(著), 山口 周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, p260-261, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.
- [2]Nifel P.Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, p177-179, 1998, ISBN0-521-64633-2.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |