j(Z+Zi),j(Z+Z\rho)
[2002.03.03]j(Z+Zi),j(Z+Zρ)
j(Z+Zi),j(Z+Zρ) [ただし、i=sqrt(-1),ρ=(-1+sqrt(-3))/2]を計算する。
結果は、以下の通りである。
j(Z+Zi) = 1728 = 123
j(Z+Zρ) = 0
■格子Λ⊂Cに対して、
g2(Λ) = 60Σω∈Λ-{0}{1/ω4}
g3(Λ) = 140Σω∈Λ-{0}{1/ω6}
Δ(Λ) = g2(Λ)3-27g3(Λ)2
j(Λ) = 1728g2(Λ)3/Δ(Λ)
とする。
このとき、α∈C*に対して、
g2(αΛ) =α-4g2(Λ)
g3(αΛ) =α-6g3(Λ)
Δ(αΛ) = α-12Δ(Λ)
j(αΛ) = j(Λ)
であることが直ちにわかる。
■i=sqrt(-1)とする。j(Z+Zi)を求める。
Λi=Z+Ziとすると、iΛi = Λiかつi∈C*であるので、
g3(Λi) = g3(iΛi) = i-6g3(Λi) = -g3(Λi)
となる。よって、
g3(Λi) = 0
Δ(Λi) = g2(Λi)3
j(Λi) = 1728g2(Λi)3/Δ(Λi) = 1728
つまり、
j(Z+Zi) = 1728
である。
[2002.12.15追記]
j(Z+iZ) = 1728 = 123であることに注意する。
■ρ = (-1+sqrt(-3))/2とする。j(Z+Zρ)を求める。
Λρ=Z+Zρとすると、ρΛρ = Λρかつρ∈C*であるので、
g2(Λρ) = g2(ρΛi) = ρ-4g2(Λρ) = ρ2g2(Λρ)
よって、
(1-ρ2)g2(Λρ) = 0
となる。1-ρ2=ρ+2≠ 0なので、
g2(Λρ) = 0
j(Λρ) = 1728g2(Λρ)3/Δ(Λρ) = 0
つまり、
j(Z+Zρ) = 0
である。
[参考文献]
- [1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, p146-p170, ISBN0-387-96203-4.
- [2]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, p23-67, ISBN0-387-94328-5.
| Last Update: 2005.06.12 |
| H.Nakao |