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q-expansion of modular j-function

[2001.12.20]modular j-関数のFourier展開

■modular j-関数
上半平面をH={τ ∈ C: Im(τ)>0}とし、τ∈H、q = e2πiτとする。
modular j-関数
     j(τ) = 1728g2(τ)3/Δ(τ)
は以下のようなFourier expansion(q-expansion)を持つ。
     j(τ) = 1/q+Σn≧1c(n)qn,
ただし、任意のnに対して、c(n) ∈ Zである。
このq-expansionの係数c(n)をpari/GPで具体的に計算してみる。

■Eisenstein 級数(series)
Λを格子とする。任意の整数k≧2に対して、Eisenstein級数
     G2k(Λ) = Σω∈Λ-{0}{1/ω2k}
は絶対収束する。τ∈Hに対して、
     G2k(τ) = G2k(Λτ) = Σm,n∈Z,(m,n)≠(0,0){1/(mτ+n)2k}
とする。
このとき、任意のc ∈ C*に対して、
     G2k(cΛ) = c-2kG2k(Λ)
である。また、
     G2k(τ+1) = G2k(τ)
が成立する。G2k(τ)は、重さ2kのmodular関数である。

■k巾-因子関数(kth-power divisor function)
k巾-因子関数
     σ(n) = Σd|n dk
に対して、
     G2k(τ) = 2ζ(2k)+2[(2πi)2k/(2k-1)!]Σn≧1 σ2k-1(n)qn
が成立する。

■正規化Eisenstein級数(normalized Eisenstein Series)
正規化Eisenstein級数
     E2k(τ) = 1-[4k/B2k]Σn≧1 σ2k-1(n)qn
に対して、
     G2k(τ) = 2ζ(2k)E2k(τ)
が成立する。ただし、q = e2πiτである。

■modular 判別式(discriminant)
     g2(τ) = 60G4(τ) = 120ζ(4)E4(τ) = [(2π)4/(22・3)]E4
     g3(τ) = 140G6(τ) = 280ζ(6)E6(τ) = [(2π)6/(23・33)]E6
とする。modular判別式
     Δ(τ) = g2(τ)3-27g3(τ)2
は、重さ12のmodular形式である。

■Δ(τ)のJacobi積形式
[Jacobi]     Δ(τ) = (2π)12qΠn≧1 (1-qn)24
ただし、q = e2πiτである。

■pari/GPを使って、(2π)-12Δ(τ)をq-展開すると、以下のようになる。
     (2π)-12Δ(τ) = q-24q2+252q3-1472q4+4830q5-6048q6-16744q7+84480q8-113643q9-115920q10
            +534612q11-370944q12-577738q13+401856q14+1217160q15+987136q16
            -6905934q17+2727432q18+10661420q19-7109760q20+・・・

■pari/GPを使って、j(τ)をq-展開してみると、以下のようになる。
     j(τ) = 1/q+744+196884q + 21493760q2+864299970q3+20245856256q4+333202640600q5
            +4252023300096q6+44656994071935q7+401490886656000q8+3176440229784420q9
            +22567393309593600q10+146211911499519294q11+874313719685775360q12
            +4872010111798142520q13+25497827389410525184q14+126142916465781843075q15
            +593121772421445058560q16+2662842413150775245160q17+11459912788444786513920q18
            +47438786801234168813250q19+189449976248893390028800q20+・・・

[参考文献]

Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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