modular j-invariant j(\tau)

modular j-invariant j(τ)

[2001.10.14]modular j-不変量 j(τ)

虚数乗法を持つ楕円曲線E/Cのj-不変量は、代数的数であることを証明する。ただし、全部を理解できたわけではない(イデアル論と類体論の知識が必要)ので、完全な証明ではなく、要点のみを述べる。

■同種写像
楕円曲線E₁,E₂の間の(Abel多様体としての)準同型写像φ:E₁ ---> E₂で、φ(O)=Oとなるものを同種写像(isogeny)と呼ぶ。
また、E₁,E₂は、準同型写像φ:E1₁ ----> E₂で、φ(E₁)≠{O}であるとき、同種である(isogenous)という。

楕円曲線E₁,E₂が同種であるとき、対応する準同型写像φ:E₁ -----> E₂は全射、つまりφ(E₁)=E₂である。

■虚数乗法を持つ楕円曲線
楕円曲線E上のn倍写像(n \in Z)は、[n]:E ----> Eは、準同型写像で[n]O=Oを満たす。
よって、楕円曲線Eの自己準同型環(自己準同型写像から成る環) End(E)={isogeny:E ----> E}は、Zを部分環として含む。
End(E)がZより真に大きいとき、Eは虚数乗法を持つという。

■微分形式
Eを曲線とする。E上の有理形微分形式(mermorphic differential forms)の空間Ω_Eとは、x in \bar{K}(E)に対する形式dxから生成されたbar{K}(E)-ベクトル空間であり、その元は、次を関係を満たすものである。
     (1)d(x+y)=dx+dy for all x,y \in \bar{K}(E)
     (2)d(xy)=xdy+ydx for all x,y \in \bar{K}(E)
     (3)da=0 for all a \in \bar{K}
ここで、\bar{K}はKの代数閉包(algebraic closure)である。

■不変微分
楕円曲線E:y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆に対して、
     ω=dx/(sy+a₁x+a₃)=dy/(3x²+a₂x+a₄-a₁y)
をWeierstrass方程式に対応した不変微分(invariant diffrential)と呼ぶ。

楕円曲線Eの不変微分ωは、零点も極も持たない。
さらに、ωは、任意の点Q \in Eに対して、Q-移動写像τ_Q(PをP+Qに写す写像)に対して、不変である。つまり、
     τ_Q^*ω=ω
である。

■Λ₁,Λ₂をCの格子とする。α \in CがαΛ₁⊂Λ₂を満たすとすると、αによるスカラー積
   φ_α:C/Λ₁---->C/Λ₂
   φ_α(z)=αz (mod Λ₂)
は、明らかに正則準同型関数(holomorphic homomorphism)である。
これらの関数は、本質的に正則写像に限ることが分かる。

■(1)上記において、対応
   {α \in C; αΛ₁⊂Λ₂} ----> {正則写像 φ:C/Λ₁--->C/Λ₂ ただし φ(0)=0}
   α -----> φ_α
は、全単射(bijection)である。
(2)E₁,E₂をそれぞれΛ₁,Λ₂に対応する楕円曲線とする。つまり、Λ=Λ₁,Λ₂に対して
     g₂=g₂(Λ)=60G₄(Λ),
     g₃=g₃(Λ)=140G₆(Λ)
     E_Λ:y²=4x³-g₂x-g₃
とすると、自然な包含写像(natural inclusion)
   {isogeny φ:E₁ ---> E₂} ----> {正則写像 φ:C/Λ₁ ---> C/Λ₂ ただし φ(0)=0}
は、全単射である。

■char(K)≠2,3とする。２つの楕円曲線が\bar{K}-同型であるのは、同じj-不変量を持つときに限る。

■整数環
Kを数体(Cの部分体)とする。Kの整数環(order)Rとは、Kの部分環でZ-加群(Z-module)として有限生成であり、かつR \otimes Q=Kを満たすものである。

■楕円曲線E/Cが環R⊂Cによる虚数乗法を持つならば、同型写像
     [・] -----> End(E)
で、任意のE上の不変微分 ω \in Ω_Eに対して、
     [α]^*ω=αω for all α \in R
となるものが一意に存在する。
この場合、(E,[・])は正規化されていると呼ぶ。

■(E₁,[・]_E₁),(E₂,[・]_E₂)をRによる虚数乗法を持つ正規化された楕円曲線とし、φ:E₁ ----> E₂をisogenyとする。このとき、
     φ \circ [α]_E₁ = [α]_E₂ \circ φ for all α \in R
となる。

■楕円曲線を楕円曲線の同型類とみて、
     ELL(R)={楕円曲線E/C: End(E) \cong R}/C上の同型写像
       ={格子Λ: End(E_Λ) \cong R}/相似変換
とする。

虚２次体Kについて、aをR_Kの非0-イデアル(ideal)または一般に非0-分数イデアル(fractional ideal)とする。
埋め込み写像a⊂K⊂Cにより、aをCの格子と見なせる。虚２次体に対する分数イデアルの定義より、明らかに、aはrank 2のZ-moduleであり、実数体Rには含まれない。
よって、楕円曲線E_aの自己準同型環End(E_a)は、
     End(E_a) \cong {α \in C: αa⊂a}
       = {α \in K: αa⊂a} (a ⊂ Kより)
       = R_K (aは分数イデアルなので)

よって、Kの分数イデアルaはR_Kによる虚数乗法を持つ楕円曲線を与える。
また、相似な格子は同型な楕円曲線を与えるので、aとc_aはELL(R_K)上で同じ楕円曲線を与える。

R_Kのイデアル類群をCL(R_K)とする。つまり、
     CL(R_K) = R_Kのイデアル類群
         = {Kの非0-分数イデアル}/{Kの非0-主イデアル}
とする。

aをKの分数イデアルであるとき、\bar{a}をaの属するCL(R_K)のイデアル類とする。
これによって写像
     CL(R_K) ----> ELL(R_K)
     \bar{a} ----> E_a
が決まる。

さらに、一般的に、E_Λ \in ELL(R_K)を持つ格子Λと、Kの分数イデアルaに対して、積
     aΛ = {α₁λ₁+...+α_rλ_r: α_i \in a, λ_i \in Λ}
を定義できる。

■(a)ΛをE_Λ \in ELL(R_K)を持つ格子とし、a,bをKの非0-分数イデアルとする。
     (i)aΛはCの格子である。
     (ii)楕円曲線E_aΛは、End(E_aΛ) \cong R_Kを満たす。
     (iii)E_aΛ \cong E_bΛ iff \bar{a}=\bar{b} in CL(R_K)

よって、以下で決まるような、ELL(R_K)上のCL(R_K)のwell-definedな作用が存在する。
     a*E_Λ = E_a^-1Λ
(b)(a)で定義されるELL(R_K)上のCL(R_K)の作用は、単純推移的(simply transitive)である。つまり、作用が推移的かつ各点の固定部分群が単位元のみから成る。特に、
     #CL(R_K)=#ELL(R_K)
である。

■E/Cを楕円曲線とする。格子Λ⊂Cと、複素Lie群の複素解析同型写像
     φ:C/Λ ----> E(C)
     φ(z)=[\wp(z;Λ),\wp'(z;Λ),1]
が存在する。Λは相似(homothety)なものを同一と見なすと、一意に決まる。

■E/Cを楕円曲線、ω₁,ω₂をEに対応する格子Λの生成元とする。
このとき、以下の(1)または(2)のいずれかが成立する。
   (1)End(E) \cong Z
   (2)Q(ω₁/ω₂)はQの虚２次拡大であり、End(E)はQ(ω₁/ω₂)の整数環に同型である。

τ=ω₁/ω₂とする。 Λは(1/ω₂倍写像によって)Z+Zτに相似であるので、ΛをZ+Zτで置き換えてよい。

R={α \in C: αΛ⊂Λ}とすると、R \cong End(E)である。よって、任意のα \in Rに対して、整数a,b,c,d \in Zが存在して、
      α=a+bτ かつ ατ=c+dτ. ----- (★)
τを消去すると、
      α²-(a+d)α+ad-bc=0
となる。RはZの整拡大(integral extension)である。

ここで、R≠Zとする。α \in R-Zを選ぶ。
(★)より、b≠0。αを消去すると、
      bτ²+(a-d)τ-c=0.
よって、τ \not\in Rなので、Q(τ)はQの虚２次拡大である。
最後に、R⊂Q(τ)かつRはZ上整拡大であるので、RはQ(τ)の整数環である。

■楕円曲線E/Cが虚２次体Kの整数環R_Kによる虚数乗法を持つならば、j(E)は代数的数である。

σ \in Aut(C)、つまりσを任意の(C上の体としての)自己同型写像とする。
Eの自己準同型写像φ:E ---> Eに対して、 φ^σ:E^σ ----> E^σは、E^σの自己準同型写像である。よって、End(E^σ) \cong End(E)である。

E^σは、EからEに対するWeierstrass方程式の係数をσで作用させて得られる。j(E)はその係数の有理式で表されるので、
     j(E^σ)=j(E)
である。
また、End(E^σ) \cong R_K。よって、E^σは楕円曲線上の有限個のC-同型類の１つに入る。楕円曲線の同型類はj-不変量で決まるので、j(E)^σはσがAut(C)上で動く有限個の値しか取らない。 [Q(j(E)):Q]は有限であり、j(E)は代数的数である。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[2]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, p95-128, ISBN0-387-94328-5.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao

modular j-invariant j(τ)

[2001.10.14]modular j-不変量 j(τ)

[参考文献]

[Homeに戻る] [一覧に戻る]