Integral Points on Elliptic Curves: v^2-5u^4=\pm{4}

[2004.01.25]v^2-5u^4=\pm{4}の整点

■Fibonacci数列
Fibonacci数列{u_n : n >= 0}を以下のように定義する。
     u₀=0,
     u₁=1,
     u_n+2=u_n+1+u_n (n >= 0)

２次方程式t^2-t-1=0の２根を
     α=(1+sqrt{5})/2, β=(1-sqrt{5})/2
とすると、
     α+β = 1,
     αβ = -1
である。
Fibonacci数列の一般項u_nは、
     u_n=(αⁿ-βⁿ)/sqrt{5}
である。

この数列の最初の21項(u₀,...,u₂₀)までを求めると、以下のようになる。
     0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ...

Fibonacci数列の中で、0, 1, 144は完全平方数であるが、これら以外に完全平方数は存在するだろうか？
Fibonacci数列をもう少し先(例えば、10000項)まで計算しても、他に完全平方数は見つからないので、これら以外に完全平方数はないだろうと予想できる。

以下では、Fibonacci数列に現れる完全平方数は、0, 1, 144の３個に限ることを証明する。

■Lucas数列
Lucas数列{v_n : n >= 0 }を
     v₀=2,
     v₁=1,
     v_n+2=v_n+1+v_n (n >= 0)
で定義する。

この数列の最初の21項(v₀,...,v₂₀)までを求めると、以下のようになる。
     2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, ...

Lucas数列の一般項v_nは、
     v_n=αⁿ+βⁿ
である。

■補題1
任意のn >= 0に対して、
     v_n²-5u_n² = (-1)ⁿ・4
である。

[証明]
     v_n²-5u_n² = (αⁿ+βⁿ)²-5{(αⁿ-βⁿ)/sqrt{5}}² = 4αⁿβⁿ = 4(αβ)ⁿ = 4・(-1)ⁿ.

■Fibonacci数列の項u_nが完全平方数であると仮定する。
     v = v_n,
     u² = u_n

とすると、u,vは整数である。補題1より、
     v²-5u⁴ = ±4 -------- (C)
である。
よって、２つの楕円曲線
     C₁: v²-5u⁴ = 4, ------ (C1)
     C₂: v²-5u⁴ = -4 ----- (C2)
の整点を求めれば良い。

■定理1
楕円曲線C₁の整点(u,v)は、
     (0,±2), (±1,±3), (±12,±322)
の10個に限る。

[証明]
u,v >= 0として良い。
(C1)より、
     (v+2)(v-2) = 5u⁴ ------- (1)
を得る。
ここで、v+2 >= 0, v-2 >= 0である。
さらに、gcd(v+2,v-2)=gcd(v+2,4)=1,2,4である。

-------------------------------------------------
[case I]gcd(v+2,v-2)=1の場合
(1)より、ある整数a,bが存在して、
[case II-1]
     v+2 = 5a⁴, ------- (2)
     v-2 = b⁴ ------- (3)
または、
[case II-2]
     v+2 = a⁴, ------- (4)
     v-2 = 5b⁴ ------- (5)
である。
[II-1]の場合
(2),(3)より、
     b⁴-5a⁴ = -4 ------- (6)
を得る。このThue方程式(6)の解をpari/gpで求めると、
     (a,b) = (±1, ±1)
となる。よって、(1),(2)より、
     (u,v) = (1, 3)
を得る。

[II-2]の場合
(4),(5)より、
     a⁴-5b⁴ = 4 ------- (7)
を得る。
(7)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。
よって、この場合、(1)は整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case II]gcd(v+2,v-2)=2の場合
(1)より、ある整数a,bが存在して、
[case II-1]
     v+2 = 5・2a⁴, ------- (8)
     v-2 = 2³b⁴ ------- (9)
または、
[case II-2]
     v+2 = 5・2³a⁴, ------- (10)
     v-2 = 2b⁴ ------- (11)
または、
[case II-3]
     v+2 = 2a⁴, ------- (12)
     v-2 = 5・2³b⁴ ------- (13)
または、
[case II-4]
     v+2 = 2³a⁴, ------- (14)
     v-2 = 5・2b⁴ ------- (15)
である。

[II-1]の場合
(8),(9)より、
     4b⁴-5a⁴ = -2 ------- (16)
を得る。(16)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。

[II-2]の場合
(10),(11)より、
     b⁴-20a⁴ = -2 ------- (17)
を得る。(17)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。

[II-3]の場合
(12),(13)より、
     a⁴-20b⁴ = 2 ------- (18)
を得る。(18)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。

[II-4]の場合
(14),(15)より、
     4a⁴-5b⁴ = 2 ------- (19)
を得る。(19)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case iii]gcd(v+2,v-2)=4の場合
(1)より、ある整数a,bが存在して、
[case III-1]
     v+2 = 5・2²a⁴, ------- (20)
     v-2 = 2²b⁴ ------- (21)
または、
[case III-2]
     v+2 = 2²a⁴, ------- (22)
     v-2 = 5・2²b⁴ ------- (23)
である。

[III-1]の場合
(20),(21)より、
     b⁴-5a⁴ = -1 ------- (24)
を得る。
このThue方程式(24)はZ/5Z上で解を持たないので、整数解を持たない。

[III-2]の場合
(22),(23)より、
     a⁴-5b⁴ = 1 ------- (25)
を得る。このThue方程式(25)の解をpari/gpで求めると、
     (a,b) = (±1,0), (±3, ±2)
となる。よって、(1),(22), u,v >= 0より、
     (u,v) = (0,2), (12, 322)
を得る。
-------------------------------------------------

以上の結果をまとめると、(1)の整数解(u,v)は、
     (u,v) = (0,±2), (±1,±3), (±12,±322)
に限る。
よって、楕円曲線C₁の整点(u,v)は、
     (0,±2), (±1,±3), (±12,±322)
の10個に限る。

■定理3
楕円曲線C₂の整点は、
     (±1,±1)
の４個に限る。

[証明]
u,vは有理整数とする。u,v >= 0として良い。
簡単のために、i=sqrt{-1}と記述する。
Gauss整数環Z[i]の代数的整数は、一意に素因数分解できる。
例えば、有理素数2,5は、
     2 = (1+i)(1-i) = -i(1+i)²,
     5 = (1+2i)(1-2i)
のように素因数分解できる。
ここで、p₁=1+i, p₂=1+2i, conj(p₂)=1-2iはZ[i]の素数であり、 conj(p₁)=1-i=-ip₁はp₁の同伴数である。
また、Z[i]の単数は、±1, ±iの４個である。
さらに、gcd(v+2i,v-2i)=gcd(v+2i,4i)=gcd(v+2i,4)=1,p₁,p₁²,p₁³,p₁⁴である。

(C2)より、
     (v+2i)(v-2i) = 5u⁴ ------- (26)
を得る。

conj(v+2i)=v-2iであるので、(26)より、ある有理整数n(0 <= n <= 3)と、ある有理整数a,bと、Z[i]の単数εが存在して、
[case i]
     v+2i = ε(1+2i)(1+i)ⁿ(a+bi)⁴, ------- (27)
または、
[case ii]
     v+2i = ε(1-2i)(1+i)ⁿ(a+bi)⁴ ------- (28)
である。

-------------------------------------------------
[case i-1]n=0,ε=±1の場合
(27)より、
     v+2i = ±{(a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴)+2(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴, ------ (29)
     ±1 = a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴ -------- (30)
となる。
Thue方程式(30+)[ε=1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(29+)より、v=1を得る。(C2), u >= 0より、u=1を得る。
よって、
     (u,v)=(1,1)
である。
また、Thue方程式(30-)[ε=-1の場合]は、Z/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-2]n=0,ε=±iの場合
(27)より、
     v+2i = ±i{(a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴)+2(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -2(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴), -------- (31)
     ±2 = a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴ ------ (32)
となる。
Thue方程式(32)はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-3]n=1,ε=±1の場合
(27)より、
     v+2i = ±1{-(a⁴ - 12a³b - 6a²b² +12 8ab³ + b⁴)+(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴), ------ (33)
     ±2 = 3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴ -------- (34)
となる。
Thue方程式(34)はZ/3Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-4]n=1,ε=±iの場合
(27)より、
     v+2i = ±i{-(a⁴ - 12a³b - 6a²b² +12 8ab³ + b⁴)+(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴), -------- (35)
     ±2 = -(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴) ------ (36)
となる。
Thue方程式(36)はZ/3Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-5]n=2,ε=±1の場合
(27)より、
     v+2i = ±1{-4(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴)+2(a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -4(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴), -------- (37)
     ±1 = (a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴) ------ (38)
となる。
Thue方程式(38+)[ε= 1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(37+)より、v=-4を得るが、v >= 0を満たさない。
また、Thue方程式(38-)[ε= -1の場合]はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-6]n=2,ε=±iの場合
(27)より、
     v+2i = ±i{-4(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴)+2(a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -2(a⁴ - 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴), ------ (39)
     ±1 = -2(a⁴ + 2a³b - 6a²b² - 2ab³ + b⁴) -------- (40)
となる。
Thue方程式(40)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(40)は有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case i-7]n=3,ε=±1の場合
(27)より、
     v+2i = ±{-4(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴)-2(a⁴ + 12a³b - 6a²b² - 12ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -4(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴), ------ (41)
     ±1 = -(a⁴ + 12a³b - 6a²b² - 12ab³ + b⁴) -------- (42)
となる。
Thue方程式(42+)[ε= 1の場合]はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。
Thue方程式(42-)[ε= -1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(41-)より、v=12を得る。このとき、(C2)を満たす有理整数u >= 0は存在しない。

-------------------------------------------------
[case i-8]n=3,ε=±iの場合
(27)より、
     v+2i = ±i{-4(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴)-2(a⁴ + 12a³b - 6a²b² - 12ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = 2(a⁴ + 12a³b - 6a²b² - 12ab³ + b⁴), -------- (43)
     ±1 = -2(3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴) ------ (44)
となる。
Thue方程式(44)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(44)は有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-1]n=0,ε=±1の場合
(28)より、
     v+2i = ±{(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴)-2(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v =a⁴ + 8a³b - 6a²b² + 8ab³ + b⁴), -------- (45)
     ±1 = -(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴) ------ (46)
となる。
Thue方程式(46+)[ε=1の場合]はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。
また、Thue方程式(46-)[ε=-1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(45-)より、v=1を得る。(C2), u >= 0より、u=1を得る。
よって、
     (u,v)=(1,1)
である。

-------------------------------------------------
[case ii-2]n=0,ε=±iの場合
(28)より、
     v+2i = ±i{(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴)+2(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -2(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴), ------ (47)
     ±2 = a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴ -------- (48)
となる。
Thue方程式(48)はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-3]n=1,ε=±1の場合
(28)より、
     v+2i = ±1{(3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴)-(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = 3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴, -------- (49)
     ±2 = -(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴) ------ (50)
となる。
Thue方程式(50)はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-4]n=1,ε=±iの場合
(28)より、
     v+2i = ±i{(3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴)-(a⁴ - 12a³b - 6a²b² +12 8ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = (a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴), ------ (51)
     ±2 = 3a⁴ - 4a³b - 18a²b² + 4ab³ + 3b⁴ -------- (52)
となる。
Thue方程式(52)はZ/3Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-5]n=2,ε=±1の場合
(28)より、
     v+2i = ±1{4(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴)+2(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = 4(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴), ------ (53)
     ±1 = (a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴) -------- (54)
となる。
Thue方程式(54+)[ε= 1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(53+)より、v=4を得る。このとき、(C2)を満たす有理整数u >= 0は存在しない。
Thue方程式(54-)[ε= -1の場合]はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-6]n=2,ε=±iの場合
(28)より、
     v+2i = ±i{4(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴)+2(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = -2(a⁴ + 8a³b - 6a²b² - 8ab³ + b⁴) -------- (55)
     ±1 = 2(a⁴ - 2a³b - 6a²b² + 2ab³ + b⁴), ------ (56)
となる。
Thue方程式(56)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(56)は有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-7]n=3,ε=±1の場合
(28)より、
     v+2i = ±{2(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴)+2(3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = 2(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴), ------ (57)
     ±1 = (3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴) -------- (58)
となる。
Thue方程式(58)はZ/3Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
[case ii-8]n=3,ε=±iの場合
(28)より、
     v+2i = ±i{2(a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴)+2(3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴)i}
を得る。a,b,vは有理整数なので、
     ±v = 2(3a⁴ + 4a³b - 18a²b² - 4ab³ + 3b⁴), -------- (59)
     ±1 = a⁴ - 12a³b - 6a²b² + 12ab³ + b⁴ ------ (60)
となる。
Thue方程式(60+)[ε= 1の場合]をpari/gpで解くと、
     (a,b) = (0,±1), (±1,0)
となる。(59+)より、v=6を得る。このとき、(C2)を満たす有理整数u >= 0は存在しない。
Thue方程式(60-)[ε= -1の場合]はZ/5Z上で解を持たないので、有理整数解を持たない。

-------------------------------------------------
以上をまとめると、(C2)の有理整数解(u,v)は、
     (u,v) = (±1,±1)
に限る。
よって、楕円曲線C₂の整点は、
     (±1,±1)
の４個に限る。

■定理4
Diophantus方程式
    v²-5u⁴=±4
の整数解(u,v)は、
    (0, ±2), (±1, ±1), (±1, ±3), (±12, ±322)
の14個に限る。

[証明]
定理2,定理3より、容易に得られる。

■系5
Fibonacci数列に現れる完全平方数u²は、
    0, 1, 144
の３個に限る。

[証明]
補題1,定理4より、容易に得られる。

[2004.01.26追記]
系5を証明した後で、Finonacci数列に関する文献を探してみたところ、既知であることが分かった。
参考文献[7]によると、Fibonacci数列中の完全平方数が0, 1, 144に限ることは、Cohn(1964)とWylie(1964)により、独立に証明されたとある。

[参考文献]

[1]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
[2]加川貴章, "Elliptic curves with everywhere good reduction over real quardratic fields", March, 1998.
[3]Michael A. Bennett, Gary Walsh, "The Diophantine Equation b^2X^4-dY^2=1", 1991, p1-10.
[4]Michael A. Bennett, Gary Walsh, "Simultaneous quadratic quations with few or no solutions", 1999, p1-10.
[5]J.H.E.Cohn, "The Diophantine Equation x^4+1=Dy^2",Math. of Comp, Vol.66(1997), No.219, p1347-1351.
[6]Gary Walsh, "A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equations x^2-kxy^2+y^4=1,4", Arch. Math. 73(1999), p119-125.
[7]J. Mc Laughlin, "Small Prime Powers in the Fibonacci Sequence", Dec 13, 2000, p1-22.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao