Gentleman's Diary Problem

[2002.09.14]紳士の日記問題

Gentleman's Diary Problemの解を計算するプログラム(pari/gp)
Gentleman's Diary Problemの最小解を探すプログラム(C)

■紳士の日記問題
一組の整数(または、正整数)で、和、平方和、立方和が全て(完全)平方数になるものを求めよ。

つまり、整数(または、正整数)x,y,u,v,wについて、
     x+y = u² ----- (1)
     x²+y² = v² ----- (2)
     x³+y³ = w² ----- (3)
である。これを満たす整数(または、最小の正整数)x,yを求めよ。

■x=0 または y=0は自明な解であるので、xy != 0なる解を求める。
または、x,yが解であるとき、任意の正整数dに対して、xd²,yd²も解であることは明らかである。
よって、xy != 0 かつ gcd(x,y)が平方因子を含まないものを求める。

■楕円曲線の有理点を求める問題に変換する。
xy != 0, x+y = 0と仮定すると、(2)より、
     2x² = v² ----- (4)
であるが、(4)はxv != 0なる整数解を持たない。
よって、x+y != 0である。(1)より、u != 0である。

(1),(3)より、u|wとなるので、t=w/uとすると、tは整数であり、
     x²-xy+y² = t² ----- (5)
(2)より、
     xy = v²-t² ----- (6)
を得る。
ここで、(y²-x²)²を計算すると、
     (y²-x²)² = (x²+y²)²-4x²y²
(2),(5)より、
                 = v⁴-4(v²-t²)²
                 = -3v⁴+8v²t²-4t⁴
両辺に、(-3)²v²t³を掛けると、
     3²(y²-x²)²v²t³ = (-3)³v⁶t³+8・(-3)²v⁴t⁵+12・(-3)v²t⁷
     {3(y²-x²)v}²・t³ = {(-3)v²t}³+8・{(-3)v²t}²・t³+12・{(-3)v²t}・{t³}² ------ (7)
を得る。ここで、
     X = -3v²t ------ (8)
     Y = 3(y²-x²)v ----- (9)
     Z = t³ ------- (10)
とすると、(7)より、直ちに、
     Y²Z = X³+8X²Z+12XZ² = X(X+2Z)(X+6Z) ------- (11)
を得る。
よって、紳士の日記問題の自明でない解(x,y,v,t)は、有理変換(8),(9),(10)によって、楕円曲線
     E: y² = x³+8x²+12x = x(x+2)(x+6) ------ (12)
の有理点(X/Z,Y/Z)、すなわち、(-3v²/t²,3(y²-x²)v/t³)に写される。

■楕円曲線のねじれ点群 E_tors(Q)を求める。
pari/gpで計算すると、

gp > e=ellinit([0,8,0,12,0])
time = 101 ms.
%1 = [0, 8, 0, 12, 0, 32, 24, 0, -144, 448, -5120, 36864, 21952/9, [0.E-28, -2.000000000000000000000000000, -6.000000000000000000000000000]~, 1.656638170236594166448468372, 1.415737208425956198892165965*I, -0.8804111539879804739208713919, -2.648751889120804287305258464*I, 2.345364298502639822570494494]
gp > elltors(e,1)
time = 111 ms.
%2 = [4, [2, 2], [[0, 0], [-2, 0]]]

となる。よって、
     E_tors(Q) = Z/2Z×Z/2Z = {(0,0), (-2,0), (-6,0), O}
である。

■Cremonaのmwrankによって、楕円曲線EのMordell-Weil群のrankは1であり、生成元は(-4,-4)であることが分かる。
よって、楕円曲線EのMordell-Weil群 E(Q)は、
     E(Q) = Z×Z/2Z×Z/2Z = {m(-4,-4) : m ∈ Z}∪{m(-4,-4)+(0,0) : m ∈ Z}∪{m(-4,-4)+(-2,0) : m ∈ Z}∪{m(-4,-4)+(-6,0) : m ∈ Z}
となる。

■紳士の日記問題の自明でない解を求める。
楕円曲線Eの有理点で、(4),(5),(8),(9),(10)を満たすものを探せば良い。

例えば、楕円曲線Eの有理点3(-4, -4)+(-2, 0)=(-867/169, -8211/2197)に対して、(x,y,v,t)を求める。
169 = 13², 2197 = 13³なので、仮にt=13としてみる。
(8),(9)より、
     -3v² = -867
     3(y²-x²)v = -8211
よって、
     x²+y² = v² = 289, v = ±17, y²-x² = \mp{161}
|v| > |t|と(6)より、x,yは同符号である。x+y = u² > 0より、
     x = 8, y = 15
を得る。このとき、x+y = 8+15 = 23であり、x+yは完全平方数にはならない。
これはtの取り方が悪いためであり、t=13の代わりに、t=13*(8+15)=13*23とすると、
     x = 8*23 = 184, y = 15*23 = 345
となり、これらの和、平方和、立方和をそれぞれ計算すると、
     x+y = (8+15)*23 = 23²
     x²+y² = 184²+345² = 152514 = 391²
     x³+y³ = 184³+345³ = 47293129 = 6877²
となるので、x+y,x²+y²,x³+y³は、全て完全平方数である。
また、x,yのgcdを計算すると、
     gcd(x,y) = gcd(8*23,15*23) = 23
となり、平方因子を含まない。
よって、紳士の日記問題の自明でない(正整数)解(184,345)が得られた。

実際に、Cで簡単なプログラムを作成して、0 < |x| < y < 1000の範囲で、自明でない解(x,y)を探すと、

bash-2.05a$ gcc -m486 -O2 -lm -o gentleman gentleman.c
bash-2.05a$ ./gentleman
[184,345]
count = 1

より、他にはないことが分かるので、(184,345)が最小解である。

次に、Eの有理点5(-4, -4)+(0, 0)=(-26874147/13227769, 24300774579/48109395853)に対して、(x,y,v,t)を求める。
13227769=3637², 48109395853=3637³より、仮に、t=3637とする。
(8),(9)より、
     -3v² = -26874147
     3(y²-x²)v = -24300774579
よって、
     x²+y² = v² = 8958049, v = ±2993, y²-x² = \mp{2706401}
|v| < |t|と(6)より、x,yは異符号である。x+y > 0より、
     (x,y)=(2415,-1768)
しかし、x+y = 2415-1768 = 647は完全平方数ではない。ここで、t = 3637の代わりに、t = 3637*647とすると、
     x = 2415*647 = 1562505, y = -1768*647 = -1143896
を得る。このとき、これらの和、平方和、立方和をそれぞれ計算すると、
     x+y = (2415-1768)*647 = 647²
     x²+y² = 1562505²+(-1143896)² = 3749919933841 = 1936471²
     x³+y³ = 184³+345³ = 2317948191348550489 = 1522480933²
となるので、x+y,x²+y²,x³+y³は、全て完全平方数である。
また、x,yのgcdを計算すると、
     gcd(x,y) = gcd(2415*647,-1768*647) = 647
となり、平方因子を含まない。
よって、紳士の日記問題の自明でない(負整数を含む)解(1562505,-1143896)が得られた。

■pari/gpでプログラムを作成して、紳士の日記問題の自明でない解(x,y)をいくつか求めると、以下のようになる。

gp > read("gentleman.gp")
time = -3 ms.
gp > gdiary(20)
# q=[-3, 3, 1]=1[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[1, 0]
# q=[-11271, -8211, 2197]=3[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[345, 184]
# q=[-97741272639, 24300774579, 48109395853]=5[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[1562505, -1143896]
# q=[-4691321985390077636427, 1435239654006839574813, 800856391428281748169]=7[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[184783370001360, 147916017521041]
# q=[-465029436923002727579478685678649787, -357560595815472271920692997973418973, 194415644532103733976084860107414969]=9[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[180972102858416484216240, -49439318996063948240399]
# q=[-216207736152324155753284741359715945893456579260401359, 219094210162609322940618030377635744757849465854091661, 55699815584854524256583362295188437051401371337621533]=11[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[221277040503926652746669502425642824, 53160561724398540948189501125090985]
# q=[-296783219021615725549886134854816944484167053361333577243558682120594677111, -291897240378574951827233767683862443603895806877046176211839273572784980909, 72032742386868274336299320093947463531829021509842032087434501973901613317]=13[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[28329160645238799874025078591619308735786965288984, 8374790857766681977657982836356254196187157860665]
# q=[-1139599672250795835448988916858728299383789227730072428449093097776077605955656169909645996037445523, 781418355320661094833820861325174254826850663772106547762653300884345145662075498726929959955412797, 497582231815099465740413264711407137425990126200093542963248318570865166885286701375746544019515921]=15[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[279237999988394009895951839033143645720649289047367014589229535520, -96966772426076459476339196990339482126603650540646914822854832479]
# q=[-21438725003992753965946254254624236931460083994386581490911868123579446047159094368976644533628227139069504136396827676503846003, -4082674868478781995835830142424663752829253071539546591912907053249539088829300065603323079121875107386060146946617807967935677, 3605964661216779639262486717491889546140552379557655554456334989283040820364855781920964954889679345649077673785473145690126321]=17[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[4953978583733594584674111974138551560815648881731532071725644564202070677092999238880, 4323570748435407342117751078082097734807801426046789133854023890767828313951034367841]
# q=[-822857357764151644379483726979455041949603662348945227123070144666815868668237739307824830420432261429210453033263623892680520006921384914989143002315484434071, -298015309246778306453431406944184679468565422514017214095594264504502222352018818012609854655701047560892050906139406795578426350704589104095221887610983714771, 397700152387540655593775707018748620468213808363409999214252886513881059943715651029020803897247544974169102519037258511579977499624025136677372625938695467557]=19[-4, -4]+[0, 0];
[x,y]=[999972371446768885231714700814902279649312225854505400423128753840371084462360897016432260897452931727225, -626605882270581432967271590169756869154725599540588499504348736076272562188223789741296116373600378667176]
time = 3,645 ms.

紳士の日記問題の自明でない解は無限に多く存在し、小さい方から列挙すると、

(345, 184)
(1562505, -1143896)
(184783370001360, 147916017521041)
(180972102858416484216240, -49439318996063948240399)
(221277040503926652746669502425642824, 53160561724398540948189501125090985)
(28329160645238799874025078591619308735786965288984, 8374790857766681977657982836356254196187157860665)
(279237999988394009895951839033143645720649289047367014589229535520, -96966772426076459476339196990339482126603650540646914822854832479)
(4953978583733594584674111974138551560815648881731532071725644564202070677092999238880, 4323570748435407342117751078082097734807801426046789133854023890767828313951034367841)
(999972371446768885231714700814902279649312225854505400423128753840371084462360897016432260897452931727225, -626605882270581432967271590169756869154725599540588499504348736076272562188223789741296116373600378667176)
... 省略 ...

となる。

[参考文献]

[1]Brain Conrad, Karl Rubin(Ed), "Arithmetic Algebraic Geometry", American Mathematical Society, Ω IAS/PARK CITY Mathematics Series Volume 9, 2001, p10, ISBN0-8218-2173-3.
[2]Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao