e^{π*sqrt{163}}≒26253741640768744

[2001.10.07]e^π*sqrt{163}≒26253741640768744

e^π*sqrt{163}を計算してみると、有理整数に近いことが分かる。
PARI/GP 2.1.1を使って、50桁の精度で計算すると、

gp> default(realprecision,50);
gp> exp(Pi*sqrt(163))
%81 = 262537412640768743.99999999999925007259719818568887
gp> abs(%81-262537412640768744)
%82 = 7.499274028018143111206461460 E-13

から、|e^π*sqrt(163)-262537412640768744| < 7.4993*10^-13が分かる。
なぜそうなるかについて、考える。

■虚数乗法を持つ楕円曲線Eのj-不変量は、代数的数である。

■虚数乗法を持つ楕円曲線E/Cのj-不変量は、代数的整数である。

■Eisenstein級数
格子Λ=Zω₁+Zω₂(ただし、ω₁,ω₂\in C, Im(ω₁/ω₂)>0)に対して、Eisenstein級数
     G_2k(Λ) = Σ_{ω\in Λ-{0}}1/ω^2k
は、k>=2に対して絶対収束する。
格子Λ_τ=Zτ+Z(ただし、τ\in C,Im(τ)>0)について、
     G_2k(τ) = G_2k(Λ_τ) = Σ_{m,n \in Z,(m,n)≠(0,0)}1/(mτ+n)^2k
とする。
任意のc \in C^*に対して、
     G_2k(cΛ) = c^-2kG_2k(Λ)
となる。

■modular j-不変量
modular j-不変量j(τ)は次の関数である。
     j(τ) = 1728g₂(τ)³/Δ(τ)
ただし、
     g₂(τ) = 60G₄(τ)
     g₃(τ) = 140G₆(τ)
     Δ(τ) = g₂(τ)³-27g₃(τ)²
である。
よって、j(τ)は、楕円曲線E_{Λ_τ}
     y² = 4x³-g₂(τ)x-g₃(τ)
のj-不変量である。
楕円曲線E_{Λ_τ}(C)は、Weierstrass \wp関数
     C/Λ_τ → E_{Λ_τ}(C)
     z → (\wp(z;Λ_τ),\wp'(z;Λ_τ))
ただし、
     \wp(z;Λ_τ) = 1/z²+Σ_{ω\in Λ-{0}}(1/(z-ω)²-1/ω²)
によって、パラメタ付けされる。

■類数1の虚２次体は次の９個に限ることがGaussによって予想され、Heegnerによって証明された。

     Q(sqrt{-1}), Q(sqrt{-2}), Q(sqrt{-3}), Q(sqrt{-7}), Q(sqrt{-11}),
     Q(sqrt{-19}), Q(sqrt{-43}), Q(sqrt{-67}), Q(sqrt{-163})

■j((1+sqrt{-163})/2) \in Z

■j(τ)のq展開は、
     j(q) = (1/q)+744+196884q+21493760q²+864299970q³+.....
ただし、q=e^2πiτである。
ここで、τ=(1+sqrt{-163})/2を代入すると、
     q = -e^-πsqrt{163} ≒ -3.809*10^-18
となり、qは非常に小さい。
よって、整数j(q)は1/q+744に近く、1/q=-e^πsqrt{163}は整数に近いことが分かる。PARI/GPで計算してみると、以下のようになる。

gp> tau=(1+sqrt(-163))/2
%83 = 1/2 + 6.3835726674018523308554760048904461736911818901506*I
gp> q=exp(2*Pi*I*tau)
%84 = -3.8089809370076523382262315164780054376196293193806 E-18 + 9.7088907526473594934315320321395596828011444865020 E-75*I
gp> 1/q
%85 = -262537412640768743.99999999999925007259719818568888 - 6.6919396551624242079611259532481068084197228617118 E-40*I

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[2]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151, Springer-Verlag New York Inc., 1994, p140-151, ISBN0-387-94328-5.

Last Update: 2005.06.12

H.Nakao