Homeに戻る  一覧に戻る 

Rational Points on Elliptic Curves: u^3+v^3-3uv=n, y^2=x^3+9(4n+1)x^2+432n(n+1)x+1728(n+1)2 (n \in [2020..2030])

[2021.06.13]u^3+v^3-3uv=n, y^2=x^3+9(4n+1)x^2+432n(n+1)x+1728(n+1)2 (n \in [2020..2030])の有理点

■パラメータnを持つ楕円曲線
     Cn: u3+v3-3uv=n ----- (1)
を以下の標準形に変形する。
式の変形については、こちらを参照のこと。

     En: y2 = x3+9(4n+1)x2+432n(n+1)x+1728n(n+1)2 ------------- (2)

CnからEnへの有理変換φ:(u,v)-->(x,y)は、
     x=-12(n+1)(u+v)/(u+v+1),
     y=36(n+1)(u-v)/(u+v+1)
であり、EnからCnへの有理変換ψ:(x,y)-->(u,v)は、
     u=(-3x+y)/{6(x+12(n+1))},
     v=-(3x+y)/{6(x+12(n+1))}
である。

■n=2020..2030について、En, Cnの有理点を計算する。

楕円曲線Enのねじれ点群En(Q)torsは自明な群{O}である。
Cnは、無限遠点OC=[1 : -1 : 0](有理点でもある)を持つ。

[pari/gpによる計算]
gp> for(n=2020,2030,e=ec(n);print("E_",n,"(Q)_{tors}=",elltors(e)))
E_2020(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2021(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2022(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2023(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2024(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2025(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2026(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2027(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2028(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2029(Q)_{tors}=[1, [], []]
E_2030(Q)_{tors}=[1, [], []]
time = 1 ms.

楕円曲線Enの有理点は、CremonaのmwrankまたはMAGMA Calculator(4-descent)を使って求める。
ただし、そのMordell-Weil群En(Q)がrank 1(n=2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2027, 2029, 2030)の場合は、pari/gpのellheegner()関数で求めても良い。特に、n=2030の場合は、生成元の高さがかなり大きいので、ellheegner()を使う必要があった。

n \in [2020..2030]の範囲では、n=2030の場合が、Cn(Q)の生成元の高さが最大になる。
つまり、
     E2030: y2=x3+73089x2+1781105760x+14469703194240
の有理点は、
       (-27601430696009948493963047793931468961796266366408461894681464690921650343358569719171530544638566592203596779078887165361629412862117/1192711773818306641940860421065422463183798925696354988705054250491269670491647506300483096860073591425026396406548096611346184169, 991061691906829633530723549108825288740858261941908355976772335649768499710874816216521854554267813012741688353593680837173330468281714731006659141445614043784609485252141032234043841246493118639474/41191087645563362723749302508057851797086585256188999049308316010677534963994625616042573512203090006422983172177548957875790513830902442958617051170728814655354501120362260016768374949157409803)
       height 304.86954206876926991760269666201557391
である。よって、
     C2030: u3+v3-3uv=2030
の有理点は、
       (3850762524663474257294805666773372216647094233633836279010782361127087079817305056904066153204939006983392848107090891244112968836401394352616100403762989392833611557292253777445043422200762875532911/304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422, 1868639140849814990233358568555721639165377709750019567057237689827550080395555424471022444096403380957909471399903529569766307899837964890602782120871761305264392586787971712976955739707776638253963/304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422)
である。

[pari/gpによる計算]
gp> e=ec(2030)
%31 = [0, 73089, 0, 1781105760, 14469703194240, 292356, 3562211520, 57878812776960, 1057966818750051840, -21045744, 1536223402944, -1371124997100067184640, 4282307459919/629886127990, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, -1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
gp> ellanalyticrank(e)
time = 305 ms.
%32 = [1, 43.834496187776518575210658949891198655]
gp> P=ellheegner(e)
time = 1h, 44min, 53,889 ms.
%33 = [-27601430696009948493963047793931468961796266366408461894681464690921650343358569719171530544638566592203596779078887165361629412862117/1192711773818306641940860421065422463183798925696354988705054250491269670491647506300483096860073591425026396406548096611346184169, 991061691906829633530723549108825288740858261941908355976772335649768499710874816216521854554267813012741688353593680837173330468281714731006659141445614043784609485252141032234043841246493118639474/41191087645563362723749302508057851797086585256188999049308316010677534963994625616042573512203090006422983172177548957875790513830902442958617051170728814655354501120362260016768374949157409803]
(23:35) gp > ellheight(e,P)
time = 1 ms.
%34 = 304.86954206876926991760269666201557391
gp> pp(P)
%45 = [-953233610918881541254694039221515642635411990563975974344670008492439526702143413562514766216890397990217053251165736802313212789373226540536480420772458449683000690680037581736999860318089918964479, 991061691906829633530723549108825288740858261941908355976772335649768499710874816216521854554267813012741688353593680837173330468281714731006659141445614043784609485252141032234043841246493118639474, 41191087645563362723749302508057851797086585256188999049308316010677534963994625616042573512203090006422983172177548957875790513830902442958617051170728814655354501120362260016768374949157409803]
gp> ellheight(e,P)
%46 = 304.86954206876926991760269666201557391
gp> Q=gg(P,2030)
%47 = [3850762524663474257294805666773372216647094233633836279010782361127087079817305056904066153204939006983392848107090891244112968836401394352616100403762989392833611557292253777445043422200762875532911/304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422, 1868639140849814990233358568555721639165377709750019567057237689827550080395555424471022444096403380957909471399903529569766307899837964890602782120871761305264392586787971712976955739707776638253963/304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422]
gp> pp(Q)
%48 = [3850762524663474257294805666773372216647094233633836279010782361127087079817305056904066153204939006983392848107090891244112968836401394352616100403762989392833611557292253777445043422200762875532911, 1868639140849814990233358568555721639165377709750019567057237689827550080395555424471022444096403380957909471399903529569766307899837964890602782120871761305264392586787971712976955739707776638253963, 304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422]
■n \in [2020..2030]について、結果をまとめると、以下のようになる。
・C2021, C2026は、(OC以外の)有理点を持たないもの(整点も持たない)。
・C2020, C2022, C2023, C2024, C2025, C2027, C2028, C2029, C2030は、(OC以外の)有理点を持つ。
・C2024は、(OC以外の)整点[16,-14]を持つ。
・C2028は、(OC以外の)整点[26,-26]を持つ。

n [a1,a2,a3,a4,a6],
conductor(En)		 rank
En(Q)		 En:y2z=x3+9(4n+1)x2z+432n(n+1)xz2+1728n(n+1)2z3
En(Q)/En(Q)torsの生成元
[x:y:z] 		En(Q)/En(Q)torsの生成元
の高さ		 Cn:u3+v3-3uvw=nw3
Cn(Q)/Cn(Q)torsの生成元
[u:v:w] 		n
2020 [0, 72729, 0, 1763605440, 14256986376960]
18370890
 1 [-282621828033 : 13580911254862 : 17779581] 20.2460145951678 [14428776738961 : -12733045770763 : 891411422274] 2020
2021 [0, 72765, 0, 1765351584, 14278163611392]
110334474
 0 - - - 2021
2022 [0, 72801, 0, 1767098592, 14299361806464]
6496686
 1 [-30270813685369445720 : 28773327956015467441 : 1312213091392000] 30.8556946380325 [119585769012123804601 : 62039113100092869719 : 9506827927576477680] 2022
2023 [0, 72837, 0, 1768846464, 14320580972544]
1625778
 1 [-272764348764 : 338101366033 : 11852352] 17.1198498745814 [1156394412325 : 480191680259 : 90633459672] 2023
2024 [0, 72873, 0, 1770595200, 14341821120000]
22770
 1 [-16200 : 729000 : 1] 0.70634945873924 [16 : -14 : 1] 2024
2025 [0, 72909, 0, 1772344800, 14363082259200]
30390
 1 [-18909 : 396900 : 1] 6.53107149996338 [50403 : -37797 : 3602] 2025
2026 [0, 72945, 0, 1774095264, 14384364400512]
110880954
 0 - - - 2026
2027 [0, 72981, 0, 1775846592, 14405667554304]
4268862
 1 [-2903680 : 683488 : 125] 6.26004268223425 [22583 : 19297 : 1995] 2027
2028 [0, 73017, 0, 1777598784, 14426991730944]
4273074
 2 [-22997 : 35074 : 1],
[0 : 3798288 : 1]
 6.42820715523165,
0.57273790232839
 [104065 : 33917 : 8106],
[26 : -26 : 1]
 2028
2029 [0, 73053, 0, 1779351840, 14448336940800]
37069830
 1 [-11172 : 1514268 : 1] 5.21028671071838 [3071 : -2938 : 157] 2029
2030 [0, 73089, 0, 1781105760, 14469703194240]
111319110
 1 [-953233610918881541254694039221515642635411990563975974344670008492439526702143413562514766216890397990217053251165736802313212789373226540536480420772458449683000690680037581736999860318089918964479 : 991061691906829633530723549108825288740858261941908355976772335649768499710874816216521854554267813012741688353593680837173330468281714731006659141445614043784609485252141032234043841246493118639474 : 41191087645563362723749302508057851797086585256188999049308316010677534963994625616042573512203090006422983172177548957875790513830902442958617051170728814655354501120362260016768374949157409803] 304.869542068769 [3850762524663474257294805666773372216647094233633836279010782361127087079817305056904066153204939006983392848107090891244112968836401394352616100403762989392833611557292253777445043422200762875532911 : 1868639140849814990233358568555721639165377709750019567057237689827550080395555424471022444096403380957909471399903529569766307899837964890602782120871761305264392586787971712976955739707776638253963 : 304053463072732410291143769029221928179093591799173862910433615918760132642001611710049012535139869877943355726872918394213321682281166795505606102163265326583795263752588516350073843656646836525422] 2030


[参考文献]

Last Update: 2024.01.10
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]