Rational Points of Projective Curves: X/Y+Y/Z+Z/X=n (n \in [-200..-101])

Rational Points of Projective Curves: X/Y+Y/Z+Z/X = n (n \in [-200..-101])

[2006.10.22]X/Y+Y/Z+Z/X=n(n \in [-200..-101])の有理点

x/y+y/z+z/x=nの有理点を計算するプログラム(pari/gp)

■整数n(n!=3)を固定したとき、射影曲線C_n: X²Z+Y²X+Z²Y=nXYZは、楕円曲線
E_n: Y²+nXY+Y = X³
にQ-isomorphicである。

よって、射影曲線C_nの有理点[X:Y;Z]を求めることは、楕円曲線E_nの有理点を求めることに帰着できる。

射影曲線C_nは、３個のねじれ点[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]を持つ。
従って、曲線X/Y+Y/Z+Z/X=nの有理点[X:Y:Z]を求めるためには、射影曲線C_nのXYZ!=0なる有理点[X:Y:Z]つまり、ねじれ点ではない有理点[X:Y:Z]を求めれば良い。

■n=-101,-102,...,-200に対して、楕円曲線E_nのねじれ点群E_n(Q)_torsを計算すると、
E_n(Q)_tors =Z/3Z if n=-101,-102,...,-200
となる。
これより、楕円曲線E_nのねじれ点は、[0,0],[0,-1],Oの３個である。

[pari/gpによる計算]

gp>  read("de16.gp")
time = 33 ms.
gp> forstep(i=-101,-200,-1,e=ec(i);print("E_{",i,"}(Q)_{tors}=",elltors(e,1)))
E_{-101}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-102}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-103}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-104}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-105}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-106}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-107}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-108}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-109}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-110}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-111}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-112}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-113}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-114}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-115}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-116}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-117}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-118}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-119}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-120}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-121}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-122}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-123}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-124}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-125}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-126}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-127}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-128}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-129}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-130}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-131}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-132}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-133}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-134}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-135}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-136}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-137}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-138}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-139}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-140}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-141}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-142}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-143}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-144}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-145}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-146}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-147}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-148}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-149}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-150}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-151}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-152}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-153}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-154}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-155}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-156}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-157}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-158}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-159}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-160}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-161}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-162}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-163}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-164}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-165}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-166}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-167}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-168}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-169}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-170}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-171}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-172}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-173}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-174}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-175}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-176}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-177}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-178}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-179}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-180}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-181}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-182}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-183}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-184}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-185}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-186}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-187}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-188}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-189}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-190}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-191}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-192}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-193}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-194}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-195}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-196}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-197}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-198}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-199}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
E_{-200}(Q)_{tors}=[3, [3], [[0, 0]]]
time = 840 ms.

楕円曲線E_nおよび楕円曲線C_nのMordell-Weil群のrankと生成元を求めると以下のようになる。

-	E^~_n: Y²Z+nXYZ+YZ²=X³ E_n: y²+nxy+y=x³				C^~_n: X²Z+Y²X+Z²X=nXYZ C_n: x²+y²x+x=nxy		-
n	[a₁,a₂,a₃,a₄,a₆] j(E_n) Complex Multiplication. Conductor of E_n	E_n(Q)_tors E_n(Q)_torsの生成元 rank(E_n(Q))	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元 [X:Y:Z]	E_n(Q)/E_n(Q)_tors の生成元の高さ	C_n(Q)/C_n(Q)_torsの生成元 [x,y]	C^~_nのXYZ!=0である有理点[X:Y:Z]	n
-101	[-101, 0, 1, 0, 0] -1126903777305924057765625/1030328 257582	Z/3Z [0, 0] 1	[4556980257832002180852 : -9242296124838020245477 : 469475493021102593812032]	35.3994052597689	[-58632647512789/6040533322673424, 440406026137609/217145343476484]	[-163814516110398853357 : 34228738623845658924612 : 16876724577150474068112], [129816889885615102392974451471027599535221277337067443296460419851959415477623040734744599925 : -1288030101841609600416511171836250082408710027410917095030773838924851774115253160456395448 : 5107420614205096174276138724438835035268290452381249546369165167073928191197451947828899520], ...	-101
-102	[-102, 0, 1, 0, 0] -46975105302722572419072/39305 1061235	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-102
-103	[-103, 0, 1, 0, 0] -1425854832578752125317977/1092754 84058	Z/3Z [0, 0] 1	[9654221627820 : -39155064518493 : 1033517656732625]	20.9311274384953	[-95487084/10222221025, 1153077849/284307260]	[-268509680208 : 116581935923145 : 28744885522300], [1690940160366823121646497623091091674220603080840278248 : -16403713819123003209592570596491687241565119162251840 : 250623670090631124458941836258846707336412457717660425], ...	-103
-104	[-104, 0, 1, 0, 0] -1601134699204661951070208/1124891 1124891	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-104
-105	[-105, 0, 1, 0, 0] -2463604971151414092625/1588 7146	Z/3Z [0, 0] 1	[10815 : -27 : 1092727]	8.09385482018913	[-105/10609, 9/3605]	[-3675 : 927 : 371315], [47424103689079042380 : -807989421254641860325 : 7687566297226030602], ...	-105
-106	[-106, 0, 1, 0, 0] -2012318116771816013824000/1191043 170149	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-106
-107	[-107, 0, 1, 0, 0] -2252323960617396571832809/1225070 1225070	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-107
-108	[-108, 0, 1, 0, 0] -93270890662750598823936/46657 1259739	Z/3Z [0, 0] 1	[10144470 : 3176523 : 1092727000]	12.7373282069943	[-9849/1060900, -21609/69010]	[-659883 : -22257270 : 71080300], [1884600117141540339843802843897239 : -19086309081546715667918513378980 : 2061122486593854458868881600400], ...	-108
-109	[-109, 0, 1, 0, 0] -2812821160997061226017433/1295056 161882	Z/3Z [0, 0] 1	-	-	-	-	-109
-110	[-110, 0, 1, 0, 0] -3138598152016027807744000/1331027 1331027	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-110
-111	[-111, 0, 1, 0, 0] -129579065882455010002875/50654 1367658	Z/3Z [0, 0] 1	[84 : 64 : 9261]	5.01471209093184	[-4/441, -16/21]	[-4 : -336 : 441], [12623381933888 : -115458264285 : 69028759800], ...	-111
-112	[-112, 0, 1, 0, 0] -3896175657628297408282624/1404955 1404955	Z/3Z [0, 0] 1	[1217957600672740928 : -12951550494085321 : 135393874282895638528]	29.8374658668999	[-237191523569/26367321247744, 55150295281/5186307334208]	[-239565573528402121 : 283191913041950272 : 26631231766112669696], [136168469251637881669701761863390258923771543441247881547187637162757982351521 : -100199494069360559516462010247588448686160448987102429116119053154820085225600 : 905572507269381869057889802518670484864524019699640444239202460858275840000], ...	-112
-113	[-113, 0, 1, 0, 0] -4334739394808854180739017/1442924 721462	Z/3Z [0, 0] 1	[4812795 : -81182737 : 625026375]	12.5731806792394	[-5629/731025, 187489/11115]	[-73177 : 160303095 : 9503325], [84053559580371708980517272267132 : -731315718424135651553454511440 : 162996335379091218852630349077825], ...	-113
-114	[-114, 0, 1, 0, 0] -19827732361789898489856/6097 164619	Z/3Z [0, 0] 1	[444 : 27 : 50653]	6.04210083820708	[-12/1369, -9/148]	[-48 : -333 : 5476], [4687952776909704 : -138073498343872 : 1724888568039], ...	-114
-115	[-115, 0, 1, 0, 0] -5350503396563719443591625/1520902 1520902	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-115
-116	[-116, 0, 1, 0, 0] -5936300859253219176448000/1560923 1560923	Z/3Z [0, 0] 2	[63214755714 : 4362708104 : 7336441439991], [19043449975620 : -184900743873 : 17038079023168]	18.5628719779722, 22.4815294787480	[-3253294/377563761, -2669956/38687121], [-740068785/662135824, 32455809/3342715460]	[-6477308354 : -51879915036 : 751729448151], [-96138635515425 : 835152877188 : 86014754216720], [2102361107068069401394268147465713766009305382288 : -50747199404804913110758308478803701583704471625 : 680510933525649925821064760472949406238937500], [-343561584805476958836041804403459313342991770272003724305 : 282394406945268127105905973289785316556264004578517219400 : 39437626228978722139646120090585738190791626425938285803584], ...	-116
-117	[-117, 0, 1, 0, 0] -243717155233102605538107/59320 400410	Z/3Z [0, 0] 1	-	-	-	-	-117
-118	[-118, 0, 1, 0, 0] -7287911982451837193715712/1643059 149369	Z/3Z [0, 0] 1	[-905839480 : -106833793625 : 60236288]	15.7395279399886	[2310815/153664, -22515025/190904]	[1125366905 : -8825889800 : 74834368], [-36197967244178110772464665475339097775 : -113367810018901084849219367704602150274064 : 1459320737331413992049874432998196145920], ...	-118
-119	[-119, 0, 1, 0, 0] -8064586272389951641329433/1685186 1685186	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-119
-120	[-120, 0, 1, 0, 0] -330239702133375860736000/64001 1728027	Z/3Z [0, 0] 2	[15595133730 : -300763000 : 1864954819629], [3420726243396120 : -919918199753216 : 411301277146090241]	25.8688161974252, 246.877526883634	,	, , , , ...	-120
-121	[-121, 0, 1, 0, 0] -9850132995277411260411625/1771588 885794	Z/3Z [0, 0] 1	[11 : 1 : 1331]	3.25026985997189	[-1/121, -1/11]	[-1 : -11 : 121], [294964740 : -4864475 : 80586], ...	-121
-122	[-122, 0, 1, 0, 0] -10872644497422245485871104/1815875 72635	Z/3Z [0, 0] 1	[21154956286189060614046067497946318830549380 : 2578155645935757494277627490558465945806159424 : 3732791010826619468695166918448200325697311]	68.5182978766576	[-136374835706102381142953110780/24063333147090136046428792641, -1880208832116352205563905020176/15427980740817984482479730745]	[-13563302147759133074754202425652599682464100 : -291664774123340466053041062492475471473325296 : 2393244006244230393801637700584659045593895], [-10709472646253663314076144497430064919617684576562419944295385953828199801251104809235788477789094449695613238858899653838147499504025439826917824858410097134781336587302682560 : -26228585358553873478110897265537889143199622684412562993800657711308259007662243774931641873759347721409895522326383618609857970827369695807384357292091971307691671122319351264025 : 1035223029611292669763697534040034652162823254448021566512928504457277940990217280301295301904085815391071822675303419860775763296728469609142680512398129959137139962076940131224], ...	-122
-123	[-123, 0, 1, 0, 0] -49348262602966880787699/7658 206766	Z/3Z [0, 0] 1	[875377713931858020 : -31541017359608875 : 107505174732517133559]	29.5659306592032	[-184099395580/22609254696561, 99827562025/2770577183244]	[-107270299418972080 : 474671971396350975 : 13173870089573377236], [72026664051436758969185920926196721258395842417168117224395380795382293591400 : -4281936090250976690803056169367956076647977464494521044249237677652124473664 : 40327329845258176771884962567424063724441308077494431101507466658904463165], ...	-123
-124	[-124, 0, 1, 0, 0] -13215287696221917137502208/1906651 1906651	Z/3Z [0, 0] 1	[14894152210210 : -46229625469 : 1807377325741000]	22.4831305844716	[-122273641/14837676100, 12880921/4149944890]	[-4165740675229 : 1569024987010 : 505504787050900], [2478842783213097483100460113430079162249770515210502543961 : -18285514157866228128868546484361384447812318630559605657780 : 147554305247172993466891434479827082006591870738142447600], ...	-124
-125	[-125, 0, 1, 0, 0] -14552451676761654197265625/1953152 30518	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-125
-126	[-126, 0, 1, 0, 0] -593059693529221632000000/74089 2000403	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-126
-127	[-127, 0, 1, 0, 0] -17605968345813160862043769/2048410 2048410	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-127
-128	[-128, 0, 1, 0, 0] -19343477204220573701373952/2097179 2097179	Z/3Z [0, 0] 1	[11747178288025844550903450 : -4373604977492167818857 : 1192943089949028305790835457]	41.1571478122089	[-11076273002986650/1124811679649960449, 267440004009649/718323996936076650]	[-7501949182463505207682500 : 283639217596439025371057 : 761833882055822544645273450], [168191708716790187901638437653578555718651697627353584910522442058993958216145031758363621968178565401700 : -215125053067422823751757172453419916241816162724145634278170024549230602679518032987574254713596686334890000 : 1566665362777305864120713092226398452893334255444290421323425280062190559974696400924181741927298534727601], ...	-128
-129	[-129, 0, 1, 0, 0] -786551793358465245835179/79508 1073358	Z/3Z [0, 0] 2	[307923 : 79507 : 39651821], [16307130 : -857375 : 2102071041]	10.1288259385957, 13.1019810593014	[-903/116281, -1849/7161], [-12730/1640961, 9025/171654]	[-18963 : -630509 : 2441901], [-1705820 : 11561025 : 219888774], [302125082180125535827850193 : -2613017446860476720899296 : 195328068140735907232768], [11211829639596772782705788697822400 : -331962118796509691070553911128064 : 3486049146204211250414615271015], ...	-129
-130	[-130, 0, 1, 0, 0] -23298848654776612323328000/2197027 2197027	Z/3Z [0, 0] 2	[1185392 : 151419437 : 2685619], [5546609640 : -288804781 : 720528032125]	11.5841325832431, 16.9915536311760	[-8528/19321, -284089/2224], [-618696/80371225, 436921/8391240]	[-136448 : -39488371 : 309136], [-579099456 : 3916996765 : 75227466600], [-4890988673005996542788279200 : -119197622555297101068690889728 : 635111277208084449557629991055], [152692026140124981606292765904007554468919696 : -4524984054351255329727406299864689625780480 : 47009844564430850167734005536458872068225], ...	-130
-131	[-131, 0, 1, 0, 0] -25542856117948576580799625/2248118 2248118	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-131
-132	[-132, 0, 1, 0, 0] -38386033817665822621696/3155 28395	Z/3Z [0, 0] 1	[6612429021155363212213134620555725062 : 65383287719611334884919590208880151 : 877812740268947237653785033511145782616]	58.6661392515209	[-690600778151256214286577/91678588845540372183913636, -162297253264767412167601/16413660202343362258261962]	[-1183855079272826447068493166624835479 : -1553978943398614421446781152527958406 : 157159051219005108980924839652263605372], [190338328299355465343260820685373920237721023748547846719758510331585577561836368068136141436199923183884402296200797339216771808406359689057503073848055 : -110619323237196574921559485301548091737882426830349830954278206060583444107867046115509528389047402833631172330308750568283371118969731681745224991582100 : 849064297984089437742764384962123503456123683969265444335326968895277162249504941431849386497413747727512971237669110545048000164248748338096756845584], ...	-132
-133	[-133, 0, 1, 0, 0] -30636065026720019734469497/2352664 588166	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-133
-134	[-134, 0, 1, 0, 0] -33517419585064174543863808/2406131 2406131	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-134
-135	[-135, 0, 1, 0, 0] -1357232238172708871758875/91126 2460402	Z/3Z [0, 0] 2	[2148458364 : -6570725617 : 296607516309], [350023930620 : 26383748833 : 47261238423875]	16.6692860051004, 19.7652090331402	[-322156/44475561, 3508129/1147068], [-9681204/1307184025, -8862529/117576060]	[-55410832 : 23395712301 : 7649796492], [-31483275408 : -320424735995 : 4250962449300], [16093534494611085196224254895759810308738248 : -119251320414879409298996096337299685138240 : 1068397746735386577965717497016965469366925], [3045178947981137559972327798900966897297644717540904 : -51846761129243443803934475906031330475704961010880 : 679814822677546907339241063088963621884361143275], ...	-135
-136	[-136, 0, 1, 0, 0] -40038641282986149117952000/2515483 2515483	Z/3Z [0, 0] 1	[306103441156768431540 : 13058127149228565704000 : 28572017722685335381041]	34.2240062919888	[-10012777716340/934603221980961, -554524316755600/12998939252481]	[-4257443097765484340 : -16952518708868455923600 : 397394224589526598161], [2986205940878834267758745152571181588166957592991832069717639449157575003868078713934400 : -17371090741713635975946197598999061159880610553500738714351102510328308038317319387361 : 107225122372218876589238059628119014559108289026622065618586477410900040229969353685919080], ...	-136
-137	[-137, 0, 1, 0, 0] -43717867192123827758993449/2571380 1285690	Z/3Z [0, 0] 1	[144160184655593301897 : -376459322808051379 : 19338804250399045502371]	32.9157795509525	[-5370756434667/720476375739481, 521369199481/199651530769083]	[-39948293256530263371 : 13994430949386362371 : 5358984696580718239353], [3358404095367314384469971287422220631260514068467528253811194337276081150354781781875 : -28596112852701078138150507336599507216940947976854596539503019645448934990417186718750 : 208814986759544569492841919065932958537238955100493520490264408681911810441773471212], ...	-137
-138	[-138, 0, 1, 0, 0] -1766839788199880001847296/97337 2628099	v Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-138
-139	[-139, 0, 1, 0, 0] -52022263701253862522230633/2685646 2685646	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-139
-140	[-140, 0, 1, 0, 0] -56695399983675524141056000/2744027 2744027	Z/3Z [0, 0] 2	[39780674880698409210 : -3098238456216443127875 : 8667530595251849725587], [21291139845346601673072 : -10156098566402917003 : 363030824523872546320384]	33.3567929898976, 36.9121342230509	[-1936601893870/421952523839289, 212524935715225/2728771684686], [-298458816028713/5088959579259136, 4689767054569/9831579080104656]	[-257262068785478540 : 4365577354070387178675 : 56053017171858829338], [-41133265421920778046987 : 334553649744833697136 : 701354806268997359211264], [24954918172618501840049012624955147595013516320031272443784272717064876793675662615900 : -155474229466036944973951014492100997880735140112902200234396254264219163512675678864 : 511792761478193168575084192826414111001978060717696867289717925767798461675303289283865], [-1192878863970880237826719000551031482987198470312502659567311152493698288230593860585912099825 : 467488971052523499519479234000491016643347685433990203950844603531882772412061572689683590477472 : 170275038013366086366691221552951443382579645581643034587741970593841875478359335908172356920320], ...	-140
-141	[-141, 0, 1, 0, 0] -254117300384069287687875/11536 38934	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-141
-142	[-142, 0, 1, 0, 0] -67215750678962153492414464/2863315 409045	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-142
-143	[-143, 0, 1, 0, 0] -73121171835978246420090937/2924234 2924234	Z/3Z [0, 0] 1	[41542007792297198407036295467593929811964775019429488822969326496196660493417087232658587174251866552536832415011283207654231260 : 277027261760544434960496717571812434078113307471636895580987850220205733989919504766109749183564471987594141841099477586869599 : 5983480084804455317927139252514212707898560493843575055907162264897043965991196530582101662204452296633679179588753608509178296000]	198.115816906619	[-2288246813375139512036483867274692359425696547727484654151305643383209684431989080061/329586362445537424563428039122157203191863691654404381245338908373434146380388542355600, -424960280040732707348310690972177527261481004333791723157290276408620301698606513601/63725509008309606335239726082916767619266277241590436109585092567626468407508319736740]	[-8032145420545895022509691377010447608636775195857203669299259587420027715472813708877844872088602800177735990939254873060229079 : -7714947164650431530875408467899550670384009753506046572672845675514848906697279230779592286299857831072115361469514126230107660 : 1156905617137770693010683306699875696494855204135366171038017479422173788341695350269943803287031515777310204309715966453895188400], [324171074642473107488877333131655245827135562361917637752747030898391866185947519818857619244012113582358619465216558720950427368395523941129092228807366528726921048690450611111407505347539735225396450744133647500551232087087280728358878544179020376963715669911664028965139559814033073980117324160992581582246284446115170939368101209179964312511362498024492992986044765647926981011182522035455203125888724787919461504741778890519272087103991013427552317533701303781296047151970043244523910346830049254718978809485579 : -348552722261012258473397336263232292222626081335213781436086719713923488351327198983272491803906540675110855977655519069403910226594164636277814414675072189474147168713682429186571294196635859320004131325302686567755024609526813619783866752775579353824479305778165596376183058031794409172169432717669121911093680676571561222678979300797965922426767070993349386674992723556301862198067645664284710675039239631692071278631732749330713988504751052873394500382139263186041920317266489463989776650294613543250074487839480 : 2453257383605749761530172226418334848588648802109568840987955582186332552363753998959199471090835350570002576523888843010754201432374458280926885885257854668060064298258327821111299732834215239091857725501295218826646802045058590104464323797819616964069769812958946456739630537760324381889719240678456743155630133166965777971717165475595331383432923206975166090210819863337849627454236612027437852261246203144263408910084255361050312186668706626566311266044061822013588208112094336764846584405838773299992650286400], ...	-143
-144	[-144, 0, 1, 0, 0] -2944398670325708545327104/110593 426573	Z/3Z [0, 0] 1	[12 : 1 : 1728]	3.72736029324083	[-1/144, -1/12]	[-1 : -12 : 144], [5162764607 : -71580696 : 995904], ...	-144
-145	[-145, 0, 1, 0, 0] -86382602389485843477207625/3048652 1524326	Z/3Z [0, 0] 1	[47838593687885 : -178929422875 : 6847418424704957]	22.9358692444346	[-251923945/36059351449, 31753225/8489546351]	[-11262763809115 : 6029715154925 : 1612105425230443], [55495263741668133551707434093540257511536356552703267091300 : -199178203394676885271029069509822130127127710638309042703728 : 1376051587192757975322581386874336388294918375636393319955], ...	-145
-146	[-146, 0, 1, 0, 0] -93808959057332911046656000/3112163 3112163	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-146
-147	[-147, 0, 1, 0, 0] -3770978850082396580331627/117650 635310	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-147
-148	[-148, 0, 1, 0, 0] -110446060683474314860920832/3241819 3241819	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-148
-149	[-149, 0, 1, 0, 0] -119741494324409796677243833/3307976 826994	Z/3Z [0, 0] 2	[217351368 : 199176704 : 32187778741], [602395794 : -825293672 : 90579342771]	15.0090537195373, 15.7437035848658	[-68328/10118761, -341056/372177], [-134134/20169081, 879844/642213]	[-7994376 : -1084899136 : 1183895037], [-19181162 : 3951379404 : 2884178583], [1322610755743271690305673630540161353984 : -8946284892928309075209694588423780857 : 7668076216876041906144308767178604944], [94349635950208914863894534228615828589376 : -635471653487899385859235396165576776789 : 1175420595339768843163215475891139498472], ...	-149
-150	[-150, 0, 1, 0, 0] -533946937581000192000000/13889 375003	Z/3Z [0, 0] 1	[43949188952336976 : 2474513614015538941 : 4117873059694171107]	28.4105676528732	[-27419522032/2569105682649, -1829475361561/32492833296]	[-555848550632704 : -2932361776950517923 : 52080910398660528], , ...	-150
-151	[-151, 0, 1, 0, 0] -140518158461557643828265625/3442978 3442978	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-151
-152	[-152, 0, 1, 0, 0] -152100961461014652990521344/3511835 3511835	Z/3Z [0, 0] 2	[16112781090 : -37595375 : 2402873366984], [-8658815283846 : -1302778939321313 : 37192810472]	18.0336774718027, 22.1398297223986	[-1202985/179399236, 112225/48097854], [2594012967/11142244, -11928353089/79280838]	[-4319919135 : 1503141650 : 644222656476], [61610401979217 : -39816842611082 : 264639437244], [5377768031113066492809366326782243506547068225 : -46218423389759989915006422916940704986245869164 : 304188231928210422036465571155458932121530480], [-66626153273413361932322211977933149016471163989234926335 : -4120952162985270802725005977607724149508991866715795856100 : 27181592260549639723435565321751974722355704925872308976], ...	-152
-153	[-153, 0, 1, 0, 0] -6094556901827935732277451/132652 1790802	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-153
-154	[-154, 0, 1, 0, 0] -177933291081076911225438208/3652291 3652291	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-154
-155	[-155, 0, 1, 0, 0] -192304202419205401719363625/3723902 531986	Z/3Z [0, 0] 1	[3420 : 91125 : 438976]	7.21889946037529	[-45/5776, -2025/76]	[-45 : -153900 : 5776], [395737946676782325 : -2443139649344632 : 2762307095009330880], ...	-155
-156	[-156, 0, 1, 0, 0] -7693778031291302326272000/140609 3796443	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-156
-157	[-157, 0, 1, 0, 0] -224286900343878368247461209/3869920 12730	Z/3Z [0, 0] 1	[313418 : 2744 : 49430863]	10.6530928688393	[-854/134689, -196/22387]	[-52094 : -71932 : 8216029], [1457255521710375352586688704 : -766447058211333276759810075 : 4941565364863200622815000], ...	-157
-158	[-158, 0, 1, 0, 0] -242043247421855217899241472/3944339 3944339	Z/3Z [0, 0] 1	[1932248517361208803408003014293251271569554675730072113187161754099094462557910683519736201399989393142332112394906080908719531971932866864331915860 : 1186424272690302683524925660402882128050171568627086479179875624732835982168043331946863035812207761850404735958201265555535595949484652652400461079 : 304128835085450281498760937209989322948758802546139500485322124900219310487235042090570767899905784274503395438421216111992166308799621537440152136000]	228.291341547242	[-28732744869058670347687039093281646823076522853181436898534382888227364938668138418795098430883641/4522428739015417768576050863164222560903823469420396322799560368117196578709062052108564095818131600, -112071026239430237625948713197167966244558038918304059898318729933568450873868029174279677161781681/182522457838162352104256286390753163083311243437612225811209865663507733211154394365159870704182540]	[-77984368332953538774596124278867460924778612809304139912490127169841482343310074564940226478101979246383776769642951215763255701442678898878962759 : -7536665058529881108483655985443153291002828994460219416724877053110438848774996154621699780741707308436923829511116172920417645881953796018635054260 : 12274453768693045049402781942983349200380279974121729406059560894888429795756049520516252191683874156282014085824341720785885746088951627643398508400], [8524249735646023568071027332933148465972670887375429876787667118333604137260159921204834397759359246621833744633122814668116267208990829563217025585701463763787411430461500079631306512106986761299059130125067890464659068028697083504030438227218348103365181076267292957739959062270063792052495833943406097964740946997266779497785290928061780202597985445579810775270483320701106578932499847579011801737225997705048156649736548859501558811088956973240732790408975865734216262019550034722931674382917001632636314140055000700887751821463988954578724042867318842884339289756551341759501732618872882599 : -54848489628704105476202868036244855016507895664893781720850937993710562108058800762074134669126642037519206615957036840285215548370989638742202477145926467331000969727642893502073387614288463983883948379734339404014768527102008042216298846116437036094549831166656697388988877064333437559127106989148305141249916755628308974366741621917685244185241754273293000257076465983840479125492592076338629863804557921007878531735176074196216292107243280220763564238788579933287366803448583486731997307499275089307429747772231533034620875245237222482261471917732771392297230285491720193972904984158953080 : 21193373447070162119068092345688451934871529431631983486941152878125919418923916033303617936354127916665779532012560447288391034060002356935037925840850328814621110036116240236173295445892916181501446820434985560769591231615355676225688625087950773699314745055920864923958139866357329287624105868007824974928406206058479006475384681206612352888671917615384847263996420832533264886129928967972270018156521431557855276096065637677916306356647924778980307840100620982843154568903159600714996037928458741292571248452315812154849240088518380302909911007479574212260157601015594598789005603217870400], ...	-158
-159	[-159, 0, 1, 0, 0] -358134155981875922335777/5514 16542	Z/3Z [0, 0] 1	[-5768 : -1092727 : 175616]	7.36007314577493	[103/3136, -10609/56]	[103 : -594104 : 3136], [-569267965580028767 : -135034645335027536 : 92912652308976957184], ...	-159
-160	[-160, 0, 1, 0, 0] -281479924541972077871104000/4096027 4096027	Z/3Z [0, 0] 2	[24178 : 3869893 : 1331], [221714647626214654520 : -934188821762333561137 : 36408212000173522611712]	8.84653825502898, 33.7054903565996	[-2198/121, -24649/154], [-6689514540065/1098498751257664, 95563000550689/22680336672440]	[-30772 : -271139 : 1694], [-4577668247339179825 : 3167302629555820345912 : 751708187979375763520], [-22168286632659317500 : -124955296697455597417968 : 1160983952362659498975], [3236926103657198930840005516048174628500138022803670431201040086400249200674348847287745 : -20224942404637532155825779640063519943762035516460061389936982459361505916512208620400 : 341434346608498758133990233665281035688764542561101851065688732439534487544210157268736], ...	-160
-161	[-161, 0, 1, 0, 0] -303331843872218776419807625/4173308 2086654	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-161
-162	[-162, 0, 1, 0, 0] -12101069776397773890650112/157465 4251555	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-162
-163	[-163, 0, 1, 0, 0] -351769736222873270704926217/4330774 4330774	Z/3Z [0, 0] 1	[238844698604931735270670068529988103713308850085379036145359454892420040 : 523243399861688474418666725643821589271700564508409612076635995362222125 : 38409120439964369356002282811338625802907688368190270778655211976241335851]	111.926864855140	[-70789821752474071963699374423935521989953142040/11383860749246891693496331308948127318851966671401, -649335538342454305664996590756745813302797175225/296401924973865691619140637722587271640239687336]	[-6218806606624029087085482627477661839619622661002680870449063499397440 : -2190856638842352448939834938431356731142169706173846514785635704586176475 : 1000059424981251924595542229884028707950962542971719574802607740294812536], [3188355992157361353927700967022148737187416012282432740583067417340748185680257284252657776461061626641170279745980402269074308302522663646772094193978762500075916548978055422682671539337761360331071922755113702468289833964250359063491692775602853509428811510425509311853970325284221299584400 : -19581143663909599159122330555860342125144089045416475392424245620048495254039782094433772181741516686217281233713490560473868506877440924595245473649971477233691753641487743794167003023959047507667884372747365857672624557321321939335871966915425259131710044765770205816418431866267167352576 : 96716018589228106577942710100229670849663906790766881463970781530698394894112489316556834441334054802576413299590939803866639543401829904780151456233150483353034966093052977387534646052214090561937099299286524493871546293667875824460608354906824947924313499448609123752650846886685579721655], ...	-163
-164	[-164, 0, 1, 0, 0] -378558729643875453237035008/4410971 4410971	Z/3Z [0, 0] 1	[11395446426 : -6028568 : 1726704323973]	18.0883235291600	[-949858/143928009, 33124/62612343]	[-4957308902 : 397388628 : 751160278971], [749481876269593163918735548042246671121941616 : -138505349074867523301592568633521772471741640279 : 838847677375566217534432312568822989522270428], ...	-164
-165	[-165, 0, 1, 0, 0] -15081707972645641329514875/166376 1123038	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-165
-166	[-166, 0, 1, 0, 0] -437828363099283201200128000/4574323 351871	Z/3Z [0, 0] 1	[4661921670516180 : 8428635303551 : 789104195111824704]	25.2135181247083	[-5044911145/853931239056, -414163201/229075803180]	[-1250608248289775 : -382721587432884 : 211685284505787120], [23857004549933956493814592737928355148666185825388541872974300555 : -245312614773185547649854358261195281836267823215548155692386954200 : 1478101108282030437658773890297550117360796685471727752078467392], ...	-166
-167	[-167, 0, 1, 0, 0] -470548472060445649585011289/4657490 4657490	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-167
-168	[-168, 0, 1, 0, 0] -2080231659452542028611584/19513 526851	Z/3Z [0, 0] 1	[264423180 : -1157625 : 44061784768]	15.2388103956037	[-74865/12475024, 11025/2518316]	[-53378745 : 38940300 : 8894692112], [661440730245954541407269682225035868225 : -1267652292610851034060997037915840372824 : 7568540673986199835601999352736121280], ...	-168
-169	[-169, 0, 1, 0, 0] -542808867203930211521355433/4826836 2413418	Z/3Z [0, 0] 1	[13 : 1 : 2197]	3.50085064168010	[-1/169, -1/13]	[-1 : -13 : 169], [1326165498 : -15672852 : 185731], ...	-169
-170	[-170, 0, 1, 0, 0] -582630775598578571149312000/4913027 4913027	Z/3Z [0, 0] 1	[1320168048298929081120390603876620264820646283844335950188 : 247743732926491410508304139619667135575969970894012211024576 : 398326378276949099970489395571395428062949396019349623]	90.5062351636881	[-1794249614405581091701509446979117537204/541368162600127455653192063953469809, -3944589231152900058539801021477460076176/21019787685919918863474904946592569113]	[-51258374618301259186369537682580506959094249260213835440716 : -2902339019511118850415587270063520520170231876587750130672 : 15465881593165048354262946036555520753045181736474058511], [-15177225504449150905117045035129353385531707758561992211777324805240290249742313317385705001044972725026303516809502225320936295844154339499151915817602422947361038946992592690363588349525534394308374981683539910762313370064143858171328 : -9990300644950329095769181240389721626939789837967127061926291733975148675430627364096114798798569030782855542041192707478122745330933478530291007992035062218492206348149617258054250957226918232569208619913568534096068503067756543205545 : 58247265702525560515519826302453106706639067250958370352684242844063723551523565095523680166863159295030870950853630517480544534530087420768900097112212996314361152551020617721412019051420570406638230110998815977248550944284130033800], ...	-170
-171	[-171, 0, 1, 0, 0] -23152389180036654786604875/185194 5000238	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-171
-172	[-172, 0, 1, 0, 0] -670420843328580200174485504/5088475 1017695	Z/3Z [0, 0] 1	[26111572485668976475868498 : -28732386604017582661754431 : 4519785762954658248677342479]	41.3183710011800	[-15792846346118222/2733664627470898081, 93809711623931521/85252893144124718]	[-814323409161317349578044 : 155103078396635396823483439 : 140955407920685678512782962], [449431591046133731082727851160616670838523134613425673907049320608956720556397290752863873690351307928849020 : -2625574995545516052102834642930687996707157523745909852181221161691082648878952708538627065129828021152400 : 3153927216169144119965059485311795940329251753961277744085917648435045524022574078391946075651770100641481], ...	-172
-173	[-173, 0, 1, 0, 0] -718719249453045755849692057/5177744 647218	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-173
-174	[-174, 0, 1, 0, 0] -28525492468333042360418304/195113 5268051	Z/3Z [0, 0] 1	[-6597444708960792952853056369081364367463834411584 : -287671887809244049164035176769358735567351824283 : 869130368802571791076965834298766093856735494144]	77.0970017611058	[691322647061501888930431974925431/91073064452673083607775444996096, -43577764634308482494453633713929/999409066017602974457302193766592]	[72398420919630705740861492970898506709987698047643 : -415872232649974700413057627164124264319333547456 : 9537581450154204613107695899879023250810314149888], [-6974599614857590495398601115678220558572902493528654671103158192858382064458210105114805613836419247581318444870126263734390763796343824687557321792198416306837580680939265932300318378706684109794959 : 160822195772943190776089589650347287926284464345592576821322514209345077779681309133961906283012877699669371833957666377898491250001322279784846276539141961117219209627188163475440985716811470626176 : 911104411898315660430796492935070602550850367061367520536917689938115808359323925884893221138096152252940812121773271802749249635477392660948444505918485044753564272323688348286540443128829694753226752], ...	-174
-175	[-175, 0, 1, 0, 0] -825016090348587255972765625/5359402 5359402	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-175
-176	[-176, 0, 1, 0, 0] -883400720956032581632000000/5451803 5451803	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-176
-177	[-177, 0, 1, 0, 0] -3891155276500136649280083/22820 308070	Z/3Z [0, 0] 1	[987753 : 185193 : 174676879]	11.0296772515461	[-1767/312481, -3249/17329]	[-54777 : -1816191 : 9686911], [67052523803084770527473525325 : -439542451045155645230335292 : 17977539374315920913994480], ...	-177
-178	[-178, 0, 1, 0, 0] -1011685608596742232311857152/5639779 5639779	Z/3Z [0, 0] 1	[11237439506209483459604454252083618568837180 : 1991879262358186191531536640621410327863403875 : 8469090339966293339892759863972856699523221]	68.3561497672134	[-55130057443432603230344039980/41548738631960216653325299881, -1583101183012134587885713368025/8931266122649393098601781876]	[-2415586274619851473361520382696631392143280 : -322691551601616810243337746063625633230891525 : 1820505318176240439686032089402638578284516], [-10064997763612354772599829228272311520190334428366629989207896356723828026123746978825336778828178940827674570629301036161368326571052737966400579241542129867493891859206777400 : -3066574793792059105789507640629247293269456090240897259415306926368656889336864516869460430074032457597684004614838819908815138957036321784669944526919256462978381548547432312256 : 1774206084869009308627321908396964504120286536810566484722052388620841131217242056550643158066095702043987490736250681663541301657987304410831236740483897362031847817206170344135], ...	-178
-179	[-179, 0, 1, 0, 0] -1082036282824376803161797833/5735366 5735366	Z/3Z [0, 0] 2	[-308116620 : -39130854875 : 46656], [107719184592:-69477219631:19350281547423]	15.9795495839074, 19.1981194659172	[8558795/1296, -11526025/90756], [-4012336/720761409, 16900321/26202672]	[21576722195 : -414936900 : 3267216], [-3916039936 : 453722917887 : 703463135184], [-291885055662230668625003026250298099082475 : -8095898784848307279324767262937524719304 : 37646007366714618695379006707952373440], [119928235817573672795701056736690140043058161941856 : -679044898925995535787202314950718963091502244864 : 284207992308758291427948980542848366087055067697], ...	-179
-180	[-180, 0, 1, 0, 0] -42846135679772433321984000/216001 5832027	Z/3Z [0, 0] 2	[92095321100328 : 55861250003083 : 16522142870145536], [75883390337122158562590 : -2355940904807577311567 : 13647776375840962775766767]	23.6917716450802, 37.3019988640058	[-361589193/64870052416, -1461303529/2409169464], [98378364793529902245578882786175729514335/208605788843331566065691975465411125504, -24259482289468855084560034286256959407329/9122671012291755960788419447968016510960]	[-3420272176587 : -372188163622184 : 613605825802944], [-7577583364246371594300 : 42312000683120630449967 : 1362843209364822406330590], [62138166570282757983930598347800532837555670347860792006240175 : -350384355231859926314695313772384603788888786780221412871408 : 131760486992000426797365256262168954970261120578078950641920], [10721187291209954497838640727867804211227209098042387772501804801148363705419996290192887477454340 : -404342151919545549203628849003269054318469405505965013543547284124865951247290551073043528083600 : 2634406383698916800581319910280757701258793444924355013620505421771327234279389092164753838121], ...	-180
-181	[-181, 0, 1, 0, 0] -1236369183402400312300269625/5929768 1482442	Z/3Z [0, 0] 2	[154322 : -343 : 27543608], [-37224997670420 : -29876129458922375 : 23138404955194816]	10.3887557815419, 25.2067647914400	[-511/91204, 49/22046], [130634195/81199921936, -96282987025/119966476]	[-37303 : 14798 : 6657892], [54996996095 : -27436414850695900 : 34185167135056], [72649345987458953466355287 : -475397037054950427459182880 : 2628196655328396077900800], [-1150518060747092720619583011126364095122368386273490276339718475 : -4240882427943268031871432428142523342305143484531633699167064 : 520370264089524948539122369682980667177949854583775733668461135040], ...	-181
-182	[-182, 0, 1, 0, 0] -1320875371713079053979254784/6028595 6028595	Z/3Z [0, 0] 1	[4416955031308392253403007601380721269647342053549053284754327339250850570379717336196616213454645561258948480 : 657357947953290648497149346466751009134989950148967752338224069884495963758949457555788922733199181519923312375 : 146528762376229537153311437604158195790204570762003693103948177002505406236144708636442636267904102561975631872]	169.659382236311	[-837816065591434857298548781589252805964308047673520292819611520849545585/27793842210268020360727278171478704173202479561998347433786807573214674944, -75602231099375718979167497578003582543791447782057465847149478643503975025/507990594884014845093022496804960443975255735374516406953358913333042304]	[-80729090888389826392233648522763091087667677993906395131723464638579915566697110791417017449914397510904055 : -398573945698686095996602236515375821330239054739167522100578552137782928740368929131974718177064002321787107200 : 2678119585050400437431806471290780177876818679025312401527386135170982353130529004737924999870170088998551552], [-79899260220900598216040319796856783624729303084432337226988908569120648695496535297886734282643739983790916956826447493073527598646087186410114695824625307930012738515480481811954526186452258372872720471897705416386517309416857852329722287397364427626508427159786629817763487854912769622469961908905348955412632779136171978656921299179276060648584142995261085265709102813862238812636380886538281638180498702892338535316327588672711235864225 : -8396358301959606205834060632625358158436920715921844774854171922492274329366785958344762397985699921929690702401346431343058266767574153935703968692946610564318858737354542341446962398201727582795932905077523871732376345157502683442362255239394393734882183936432217412153167309400421388116389950595053920260278598113174041795857521304166745815423896161571906958188488600815258791380637538920694464094273634744316192888110843992259114854656 : 15301938259923864995395107807820949414403369320810220298159661830832885449411347860528401343576321214241854024232808002927113185149608998977706640943048594864971017779390940251528057216625822551050106641653630637885005274261372048015050428824199126213267354495528293108865368216416728088037507281801109459387072951097086830569101633749690879892246335726301545168722980120525737672879336472080608529219090817655525999137938587047914642519162880], ...	-182
-183	[-183, 0, 1, 0, 0] -52246164665843246756597211/226982 6128514br>	Z/3Z [0, 0] 1	[1823724448551720 : 461083722356375 : 333319957584030208]	25.6285513539654	[-2630300985/480736995904, -5968335025/23606555544]	[-89553857636295 : -4138157026253800 : 16367652499543488], [7516534586844557826340814242658364677305827218650567754407497212775 : -44573838758446856759293019848338407468847034372153428586052672496 : 3102011827266499861742853756079911783771263675227474864306100480], ...	-183
-184	[-184, 0, 1, 0, 0] -1505978929657951956489207808/6229531 6229531	Z/3Z [0, 0] 1	[32589820231109384656909808 : -9546628124422954160128 : 5314273162255474324245842561]	41.9656641214280	[-18675289383448048/3045294158237648641, 450021576818944/1536262028593080959]	[-16440613201288269247934992 : 785322357663083133780224 : 2680895717958833400451639039], [45171822448956717962605899461589351487150873063345885680029698919799733223019326308323856930785762048408576 : -26059337363662532543409245953015989752037026391423487288764303549272217247119454848009199998721351396847648127 : 139293732623769986298773035773853098106767569617492462477438180842470165585813495421034210479785971910626336], ...	-184
-185	[-185, 0, 1, 0, 0] -1607184292989723246799899625/6331652 3165826	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-185
-186	[-186, 0, 1, 0, 0] -2351974785982465835008000/8827 79443	Z/3Z [0, 0] 1	[1220 : 64 : 226981]	5.81906324226916	[-20/3721, -16/305]	[-100 : -976 : 18605], [1284359813042240 : -20358144192225 : 165632039496], ...	-186
-187	[-187, 0, 1, 0, 0] -1828538295233136391442023849/6539230 6539230	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-187
-188	[-188, 0, 1, 0, 0] -1949390732435865356450824192/6644699 6644699	Z/3Z [0, 0] 1	[544091565029381659931122998696615553799338756584891137016842960202624275436936841551567470150842673360548317846163980464608094829100177291450946670225778018912410450 : 86385268412985114463505712708935160828083564341500906198082571567928873605092671067141485321247376699665948256570534454307939741898120118466362448157167487016995125000 : 15904063050485351269593436599355353995950707733481643576438901064254170530304041369678032147434873625076730121745111483907883815049049805527663285615296514814763199133]	255.753589128548	[-21635617600957112915294622287055686044956906268178186387595484647669014753072166490907574479536562649775695850/632419703921032111474708049010410884364339942780271890461476895900516123936317983890653929799706029070262535129, -1954158523860854211516185058570054588680514204815963783478932362769753711323235742771416684953211310578430602500/12308130646534356847622364762887041030857837640922376080172091315683926038756040330064422552880411707473163529]	[-10589091428585804379131604014352705635122392780853585441811054522433689714372167630498482859452651892072093943683222831874403571686988659607276399550570122862230450 : -49143093077958770277850861375839927568935981404562390504982522542611454837403507761927264613483227827670720643725279604736006757349220378787513767540175893666985892500 : 309524331108658697019751274393790027423102049560177784813437551566736462464106728995373277688996037365602356250865464088435339623118683339634453538806806514247905933], [-17050813168140810775460492160959052006372239411829413209810480627746763727961293754901307317366123654270047902736805916114660444041478073489327926388404085227443233886999891927580553019733367645240201785378263514702221064168956290481850257948580680428556095390310486609548912321682942250651377355049871981751434942710655433898621500404291218225027330086139305002826213424730055902766413143320247758051835945932130124632636044893386660997991938553015824910197640906146052695419606341604651046050332380167528693576178690026771669518934383451112629224649963189199487666435259473150065065929837187009063028732047328843814281051013160236779072090205475209497217289910000 : -2585046862842998609597524164452741204439996431789530097055547896148650446846200980422783905851955357451709109831877557185898322008187506822376797576419039080862383554144213041250242219190652873258624450530543473511951546678254925754629608159658553531936898104496217452688477048938826298422354269700594151683719839759573598798517186537697333865256844054900015040316361351289083130853963090098002017968556526006528916189175707852099738346308970235979989533050634837538915732310165396710147527405707243597663760157237874387019722213416631046222370695130003457000257734800854207406503753528718660736178852206099559420505684738764405023199851897941117219073400260085721 : 3318005726472197024035583742679502436998617580102871483308564328652983694075908309811616611612255855530037639347903133409026857387279649047012198068359191895642579114888392596354166085151112375336227737464856167442978221625378580845188318709634147309417526079368094866519524875146654441340563703799360556224709873706573630266942835275333855925650696344017062001785037169300958014174811230246573524433693227859845152056130398421055860880677395733702420363185284164436796354609511447203287249678851476380549824296770716075572222803916867088174564270396146311115394082082141444930481814788303555961452845562498942639458221792978132431993743498359243253507652037243833300], ...	-188
-189	[-189, 0, 1, 0, 0] -76945374460003334074935579/250048 210978	Z/3Z [0, 0] 1	[8722685734182 : -1027243729 : 1007036439612904]	22.8845430982713	[-87023223/10046854756, 1018081/8644881798]	[-7505491914081 : 102046330954 : 866511082140732], [11811615130343357226159129820156172748576036192473714991 : -485095228501755821869832219280305022935450883869875665532368 : 1524949039342910999301919721737267491896328181386237143296], ...	-189
-190	[-190, 0, 1, 0, 0] -2213338152661696465186816000/6859027 6859027	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-190
-191	[-191, 0, 1, 0, 0] -2357245930166154594666933625/6967898 995414	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-191
-192	[-192, 0, 1, 0, 0] -92951285025278371962028032/262145 7077915	Z/3Z [0, 0] 1	[2767212 : 359425431 : 171879616]	12.8989428012856	[-4977/309136, -505521/3892]	[-34839 : -281069676 : 2163952], [-19606275541906766727097625484705 : -344425139729355053460812026600 : 4880483609457867968537742816627264], ...	-192
-193	[-193, 0, 1, 0, 0] -2671111749222628418135600137/7189084 513506	Z/3Z [0, 0] 2	[155 : 125 : 29791], [-142868790 : -27407028375 : 636056]	4.35646924634209, 13.8990466389523	[-5/961, -25/31], [1661265/7396, -9090225/47386]	[-5 : -775 : 961], [915357015 : -781759350 : 4075196], [239891142400 : -1252754919 : 828228240], [-11285220834175411737452002281656175 : -1557595238366238812905421919781684928 : 8100262826191148011087685286850560], ...	-193
-194	[-194, 0, 1, 0, 0] -2842006335887180432004087808/7301411 7301411	Z/3Z [0, 0] 1	[457673847120 : 111701610496 : 88686701944875]	20.1254453511114	[-10262896/1988714025, -23193856/95031945]	[-21870231376 : -1034330008320 : 4237949587275], [34441285348328207724264972212205274254527109679268864 : -192849412657211910528524437915059885005752700645265 : 12515567905031817391259544598466818606308183237600], ...	-194
-195	[-195, 0, 1, 0, 0] -12439796613278836620745875/30514 823878	Z/3Z [0, 0] 2	[399288418620 : -851971392 : 76890323709667], [301243878936 : 3139714705707 : 55602998277632]	20.2611918405466, 20.3155346523677	[-9389940/1808205529, 898704/421190315], [-7892577/1456796224, -214417449/20572552]	[-93007355700 : 38215590192 : 17910275764745], [-4254099003 : -8183885193432 : 785213164736], [3944968221107726860649360230158336163463415739197120 : -23989980062342128123754358397761982452898423602078275 : 123109654605354551925431784433692945728816544289896], [18745767493882673288601426258378390181314499193711175 : -95829609420200806506760992020529350968759615570000 : 11693701310910254296141349943407910827792979037516032], ...	-195
-196	[-196, 0, 1, 0, 0] -3214230435793211287269376000/7529563 7529563	Z/3Z [0, 0] 2	[14 : 1 : 2744], [-528073565276140411764696390 : -9072757551656678966603822872 : 171883724450174420138307]	3.95858611919290, 43.8179406548311	[-1/196, -1/14], [9497650320450511730/3091409261796249, -4350036192787225444/253190841739834905]	[-1 : -14 : 196], [20668573575 : -210673372 : 2152080], [43249980565541137619223444550 : -241863939385003139427271692 : 14077522964277711464862915], [-1602618566241886564667426319067412928680633547324067661058158581971654490534838266970724230412147680323478911345040 : 8101255456084149733621276563202018040651207799282867944922180161116838790943687489794191023694767899016518368025 : 4436004787437647553434619626032625372297880469983182630756523405884178005765525365646214245709548746580874618756], ...	-196
-197	[-197, 0, 1, 0, 0] -3416636718164347330029278329/7645400 382270	Z/3Z [0, 0] 0	-	-	-	-	-197
-198	[-198, 0, 1, 0, 0] -134469115205673964833570816/287497 7762419	Z/3Z [0, 0] 1	[415346460 : -137388096 : 82369655551]	15.4838266271582	[-95460/18931201, 266256/804935]	[-17660100 : 1158479856 : 3502272185], [27569563349845454817463582362492303913920 : -145690407309418127987119132970874004775 : 16618601126331099206960373487285290456], ...	-198
-199	[-199, 0, 1, 0, 0] -3856922255142015468819215833/7880626 7880626	Z/3Z [0, 0] 1	[81003640112419749054021273605447060 : -32028082400495279188727264297944000 : 16150724943909663387545496306022460239]	55.8552178054454	[-32046002471606479860140/6389418682326728204497441, 100852644715807371139600/255070885443290239265579]	[-3233732399592964458790855544066140 : 254928250229753368415974797237468400 : 644750315609919176688445109936946341], [42953513463719483810644526355110349084642307619699975908634056192892622811086515207039302862317062097844178652617874394000552903472195827882833600 : -222813246034955345090394789527791927585564426887619235533386449006611249489782672483702098374471784727838655315964366583467577473021175810026459 : 35806309209002843078330221723099162221097762029591099777798285618923585250263472043633896694347741731369517470458371661908225753693485970576120], ...	-199
-200	[-200, 0, 1, 0, 0] -4096036864110592110592000000/8000027 8000027	Z/3Z [0, 0] 1	[18362264247356022921376707838019325633141318277080840565112126598496716480977365725238958565169952779192518902139448705430440789649208787848257344850890140 : 3670489728004656034578449708544434808999396846249950749500712078939184828816607580215312812636778013756345748276663891119376803873265338525256780958441943375 : 2609512477160107576637323839703600304974426247148455153762597179867816347723028203830434200239643779887873849178797237676743334645884740340904272857395921]	239.021402837498	[-13337459295847700922597460868214906275269565373707835052716464818435363250160055353856944544346409288540/1895423460706437351266865960978720946834656529093811254273208711077611244375539251935708221826865299681, -237948337793183624279606220300289964495034141384819809349386112620101307401053460822203686578908314824225/1190378009354294851632445607680679598593935835103041384972805232392581690841463321473559081378902443556]	[-11532006443488127808510583423844647589686814196950769253037017449808901633816343248431168323314055885804515596304816854465851413689648041529788374077382640 : -327593896173151766589880925604046116737437595761143639815824171324953421535355056350746627791957969450559617250194772028891691218338286664724045280676318225 : 1638845531008306698478217505113298903434804202474025073939527846708843327619219149201260901391189434569066910519495708021978015420813199396170162622669796], [-7999680366865662896289399890750427134004947030857255526654299074398863423922745259285012809984261399913444917876936302787130257050786714332852821561275988563538347879943623014271778414617923449274230054109688690739167560093374447770079055301799894913608395830854201392168616644440649458854402509095740179208206329542362103917184162667304831210464243358613678567165600145553447072035034678678604559739210543838236532142813637779937113036911324678978518186696110937152212694188355721699875370233666132416956248268049366492294308801423993822221496505247013830484544366311817968985638546976670870994048418252511832491980600 : -50833198922149242250913370031962398242664766640463578515392506925575636565971439277164487346157113565356206137188350760580012840789726874782447754105609069970268025730771062245050412215339503990559241505399523690466476451262626561135038551827312388911825333240044013229593114173223117950068135538960575315823215001637891100251043632930263681523123007683606493789274127806168398210831244522926744750518255763796339539068193057191810910076864486802950303654402394819975621911276365653962325732081019881739389834137204656582044701790565947950077455811595252722795343348237450191511794135826326699761381595437493366101677419456 : 1282980594997905608116322154179244487917877296611433727194096900562254744773838709916777575769033748364765781659084372077317899863126817132123185517613067651608844049582556147408888873902343795702569208378618620474245325643960879528367986156637960204713341694748021698178908962621091060591964411197474689338787569449328872573008257153931859990926829072075917204721711139047121688737470398274014819027927703933999108468027167219997696447898739689824634612942598653305313908771027480112817404914296105596166363961292359680976102673112726971408756480964891902588149459713451118698359601349713925067023472395090295324147383455], ...	-200

[2007.06.23追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-122,C_-122,E_-136,C_-136の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.06.24追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-143,C_-143の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.06.25追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-158,C_-158の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.06.29追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-166,C_-166,E_-170,C_-170の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.07.01追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-174,C_-174の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.07.03追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-178,C_-178の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.07.04追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-182,C_-182の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.07.05追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-188,C_-188の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.07.06追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-200,C_-200の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.14追記]
CremonaのHeegner点計算プログラムにより、E_-163,C_-163の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.15追記]
Cremonaのmwrankにより、E_-155,C_-155, E_-180,C_-180の自明でない有理点を求めることができた。
[2007.09.17追記]
Cremonaのmwrankにより、E_-179,C_-179の自明でない有理点を求めることができた。

[関連リンク]

X/Y+Y/Z+Z/X=n(n \in [-101..-1])の有理点

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[3]Dave Rusin, "For which values of n is a/b + b/c + c/a = n solvable?", 2003.08.01.
[4]Allan MacLeod, "x/y+y/z+z/x=N".
[5]AT&T Labs Research, "Integers expressible as (x^3+y^3+z^3)/xyz with positive integers x,y, and z.

Last Update: 2020.08.16

H.Nakao