Answer of Problems on 2004

2004に関するパズル解答[2004.01.02]

1. ３辺の長さが全て有理数である直角三角形で、その面積が2004であるものを求めなさい。
   
2. １辺の長さが共に有理数である２つの立方体で、その体積の和が2004であるものを求めなさい。
   

1. 合同数2004に関する問題である。
   直角三角形の３辺をa,b,c(cが斜辺)とする。
        a^2+b^2=c^2, (1/2)ab=2004
   となる正有理数a,b,cを求めれば良い。
        x=(1/4)c^2, y=(1/8)c(a+b)(a-b)
   とおくと、
   　      E₂₀₀₄: y^2=x^3-2004^2*x
   となる。よって、楕円曲線E₂₀₀₄のy!=0なる有理点(x,y)を求めることに帰着される。
   Cremonaのmwrank3により、E₂₀₀₄のMordell-Weil群はrank 1のAbel群を成し、その生成元は
        (-2894205023/19945156, 2144659155810191/89075066696)
   であることが分かる。E₂₀₀₄のy!=0なる有理点(x,y)より、
        a=|(2004^2-x^2)/y|, b=|2*2004*x/y|, c=|(2004^2+x^2)/y|
   によって、面積2004の有理直角三角形の３辺(a,b,c)を求めることができる。
   
   実際に[a,b,c]をいくつか求めると、以下のようになる。
   [a,b,c]=
   [3084859571/18591958, 446206992/18472213, 57584880314328145/343434608263054],
   [3178375799631956174055549196835233/39553281625252272735294871709660, 158529552754011109123061845812317280/3178375799631956174055549196835233, 11889883875970804327370757531709937916159069835105454385166725936961/125715193113729151458844834459875103525120254900753300016034450780],
   [28347458359732083155114151279540943744962121506418087218686934123467315874419/612958066279550712507460079990012602159421727641656992464505013846476718338, 14710993590709217100179041919760302451826121463399767819148120332315441240112/169745259639114270389905097482281100269234260517473576159802000739325244757, 10220771222805468339031896241929663123315032984378440588360004871915771087927997597103613527784582903304009933315778943307187536688217056152912151046865/104046726108511749408075494847529365444617784517690386526842694525867816626872127089016527977349241883320193486090360884664983228749149807344000253866],
   .....
   
   
2. ３乗和が2004になる正有理数を求める問題である。
   立方体の１辺の長さをx,yとする。
   題意より、
        x^3+y^3=2004
   となる正有理数x,yを求めれば良い。
   ここで、
        X=(12*2004)/(x+y), Y=(36*2004*(x-y))/(x+y)
   とすると、
        C₂₀₀₄: Y^2=X^3-432*2004^2
   となる。よって、楕円曲線C₂₀₀₄の有理点(X,Y)を求めることに帰着される。
   (X,Y)から(x,y)を求めるには、
        x=(36*2004+Y)/(6*X), y=(36*2004-Y)/(6*X)
   とすれば良い。
   mwrank3により、C₂₀₀₄のMordell-Weil群はrank 2のAbel群を成し、その生成元は、
        (146031889/13225, -1763565340537/1520875),
        (26619114196/5593225, -4307914048603256/13227977125)
   であることが分かる。これより、３乗和が2004になる正有理数(x,y)をいくつか求めると、以下のようになる。
   
   [x,y]=
   [704127856649997518534057699978272168293892481/1093039912905834732094424250596248530616331055, 13780001997235030984109913358361312436619836019/1093039912905834732094424250596248530616331055],
   [207730887667694196053346929846856549289285806805053628324201/16915889044167849101930057167012951913337212071013577789330, 90295539869216544929201808650680551544734329989327267591799/16915889044167849101930057167012951913337212071013577789330],
   [727400790247088334018108997425863881995003801350518336271624392447090449396476375415095969445518008763/80480808612887152396889830715263572248597862221293405109739383516144402813056073057585531685137402175, 870563322680520550366315215388670826221667716527375432981989991393474011747955523887631416924571303737/80480808612887152396889830715263572248597862221293405109739383516144402813056073057585531685137402175],
   [40604805568109197892926207121821595263176651893401246023099264110257155807181260892214976718481422759461284303/3484131814651364159438332548449725514332385407363046867058842104445012546889178727026875789086022075378353220, 26115347166446016801757715095293869288268030206928941070461229833570517344676830516762741618269036592474811697/3484131814651364159438332548449725514332385407363046867058842104445012546889178727026875789086022075378353220],
   ....
   
   

参考文献

• [1]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
  

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