Langley's Problem and Cyclotomic Field
[2005.10.22]Langleyの問題と円分体
■問題1
∠A=20°かつAB=ACである２等辺三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点E,Dを取って、∠CBD=50°, ∠BCE=60°であるようにするとき、∠CEDを求めよ。
これは、有名な初等幾何学の問題(参考文献[2],問題75)である。
もちろん、うまく補助線を引いて正三角形を作ると、初等幾何学の範囲で、∠CED=30°であることが証明できる。
しかし、その方法では、この問題がどうしてうまく解けるのかが分かりにくい。
さらに、類似した問題が解ける(解が整数角度になる)かどうか判別する方法はあるだろうか？
以下では、問題1を補助線を使わずに、1の原始36乗根ζ=ζ36=e(2πi/36)を使って、できるだけ見通し良く解いてみる。
ζを根に持つ最小多項式(円分多項式)は、x12-x6+1である。また、ζの定義より、arg(ζ)=10°である。
よって、ζは
ζ12-ζ6+1=0
を満たす。
さらに、方程式x12-x6+1=0の根は、ζi(i=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35)の12個である。
四角形BCDEを相似変換しても、それぞれの角度は変わらないので、AB=AC=1として良い。
A,B,C,D,Eを複素平面上に配置して、A(0), B(ζ-1), C(ζ), D(β), E(α)とする。
次に、α,βが円分体Q(ζ)の元であることを直接の計算で示す。
∠EAC=∠ECA＝20°より、AE＝EC, ∠BEC=40°である。
(A→E)+(E→C)=(A→C)より、α+αζ4=ζを得る。
よって、
α=ζ/(1+ζ4)=ζ11-ζ7-ζ5+ζ3+ζ
となる。
同様に、∠DBC=∠BDC＝50°より、BC＝DC である。
(A→D)+(D→C)=(A→C)より、β+(ζ-ζ-1)ζ-8=ζを得る。
よって、
β=ζ-(ζ-ζ-1)ζ-8=ζ11-ζ9+ζ
となる。
ここで、ω=(β-α)/(ζ-α)と置くと、ωもQ(ζ)の元であり、∠CED=arg(ω)である。
ω=((ζ11-ζ9+ζ)-(ζ11-ζ7-ζ5+ζ3+ζ))/(ζ-(ζ11-ζ7-ζ5+ζ3+ζ))
=ζ10-ζ8+ζ6-ζ4+1
ωの(sqrt{-1})に対する共役元ω~を求めると、
ζ~=ζ-1
であるので、
ω~=(ζ10-ζ8+ζ6-ζ4+1)~=ζ10-ζ6-ζ2+2
となる。
さらに、γ=ω/(ω~)と置くと、γもQ(ζ)の元であり、
γ=(ζ10-ζ8+ζ6-ζ4+1)/(ζ10-ζ6-ζ2+2)=ζ6,
arg(γ)=arg(ω)-arg(ω~)=2*arg(ω)
となる。
これより、|γ|=|ζ|6=1、arg(γ)=6*arg(ζ)=60°である。
よって、∠CEB=arg(ω)=arg(γ)/2=30°である。
[pari/gpによる計算]
gp> read("cyclotomic.gp")
time = 13 ms.
gp> phi_n(36,x)
time = 6 ms.
%1 = x^12 - x^6 + 1
gp> read("cf36.gp")
time = 21 ms.
gp> aa(6)
time = 80 ms.
%2 = Mod(x^11 - x^7 - x^5 + x^3 + x, x^12 - x^6 + 1)
gp> bb(5)
time = 58 ms.
%3 = Mod(x^11 - x^9 + x, x^12 - x^6 + 1)
gp> ww(6,5)
time = 50 ms.
%4 = Mod(x^10 - x^8 + x^6 - x^4 + 1, x^12 - x^6 + 1)
gp> cj(ww(6,5))
time = 18 ms.
%5 = Mod(x^10 - x^6 - x^2 + 2, x^12 - x^6 + 1)
gp> dd(6,5)
time = 26 ms.
%6 = Mod(x^6, x^12 - x^6 + 1)
gp> check()
[2, 5]Mod(x^2, x^12 - x^6 + 1)
[3, 6]Mod(x^2, x^12 - x^6 + 1)
[4, 5]Mod(x^6, x^12 - x^6 + 1)
[5, 6]Mod(x^6, x^12 - x^6 + 1)
[5, 7]Mod(x^2, x^12 - x^6 + 1)
[6, 7]Mod(x^4, x^12 - x^6 + 1)
time = 326 ms.
[2005.10.23追記]
Googleで調べてみると、この問題は、フランクリンの凧の問題、または、Langleyの問題と呼ばれていることが分かった。
pari/gpのプログラムによる計算により、∠A=20°を変えずに、∠CBD, ∠BCEを10°単位で変えてみて(∠CBD = ∠BCEの場合は容易なので除くと、対称性から、∠CBD < ∠BCEとして良い)、∠CEDが10°の倍数として求められるような類題を探すと、以下の５個の場合が見つかる。
- ∠CBD=20°, ∠BCE=50°(このとき、∠CED=10°)
- ∠CBD=30°, ∠BCE=60°(このとき、∠CED=10°)
- ∠CBD=40°, ∠BCE=50°(このとき、∠CED=30°)
- ∠CBD=50°, ∠BCE=70°(このとき、∠CED=10°)
- ∠CBD=60°, ∠BCE=70°(このとき、∠CED=20°)
以下では、∠Aを1°単位で変化させてもよい条件で、この問題の類題として、他にどのようなものがあるかを考察する。
■問題2
AB=ACである２等辺三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点E,Dを取って、
∠BAC=s°,∠EBD=a°,∠CBD=b°,∠BCE=c°,∠DCE=d°,∠CED=t°となるような正整数s,a,b,c,d,tの組(s,a,b,c,d,t)(ただし、b < c)を全て求めよ。
これは、問題1を一般化したものであり、自明なもの(b=cの場合)を除いて、全ての正整数解(s,a,b,c,d,t)を求める問題である。
仮定より、a+b=c+d, s+2(a+b)=180なので、sは偶数である。s=2k(kは正整数)と置く。
考えられる正整数の組(s,a,b,c,d,t)の個数は有限であるので、ぞれぞれの組が条件を満たすかどうか確認すれば良い。
問題1と同様に、1の原始360乗根ζ=ζ360=e(2πi/360)を使って、解いてみる。
ζを根に持つ最小多項式(円分多項式)は、
x96 + x84 - x60 - x48 - x36 + x12 + 1
である。
また、ζの定義より、arg(ζ)=1°である。
A,B,Cを複素平面上に、A(0),B(ζ-k),C(ζk)のように配置する。F(ζ-k+2b),G(ζ-k-2c)とする。
点E(α)は直線ABと直線CGの交点であり、点D(β)は直線ACと直線BFの交点である。
α,βを求めると、
α=ζ-k{ζ2k*(ζ2k-2c)~)-(ζ2k)~*ζ2k-2c}/{(ζ2k-(ζ2k)~)-(ζ2k-2c-(ζ2k-2c)~)}={ζ-k+2c-ζ-k-2c}/{(ζ2k-ζ-2k)-(ζ2k-2c-ζ-2k+2c},
β=ζk{ζ-2k*(ζ-2k-2b)~)-(ζ-2k)~*ζ-2k+2b}/{(ζ-2k-(ζ-2k)~)-(ζ-2k+2b-(ζ-2k+2b)~)}={ζk+2b-ζk-2b}/{(ζ-2k-ζ2k)-(ζ-2k+2b-ζ2k-2b)}
となる。
ω=(β-α)/(ζk-α)とすると、arg(ω)=∠CEB=t°である。
正整数の組(s,a,b,c,d)(ただし、b < c)に対して、γ=ω/(ω~)の偏角が2t°になるかどうかを調べる。
|γ|=1なので、γ=ζ2t(0 < t < 90)となるかどうかを確認すれば良い。
pari/gpでプログラムを作成して実行すると、条件を満たす組(a,b,c,d,t)が存在するような正整数sは、
4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,72,120
のいずれかに限ることが分かる。
よって、条件を満たす正整数の組(s,a,b,c,d,t)(ただし、b < c)は、以下の表に記述された53個に限る。
ただし、a=bまたはc=dを満たす組(a,b,c,d)に対して、tを求めるのは比較的易しいので、そのような組には色を付けた。
| No. |
s |
a |
b |
c |
d |
t |
| 1 |
4 |
84 |
4 |
46 |
42 |
2 |
| 2 |
4 |
44 |
44 |
46 |
42 |
42 |
| 3 |
8 |
78 |
8 |
47 |
39 |
4 |
| 4 |
8 |
43 |
43 |
47 |
39 |
39 |
| 5 |
12 |
72 |
12 |
48 |
36 |
6 |
| 6 |
12 |
66 |
18 |
42 |
42 |
12 |
| 7 |
12 |
63 |
21 |
69 |
15 |
3 |
| 8 |
12 |
54 |
30 |
42 |
42 |
24 |
| 9 |
12 |
51 |
33 |
57 |
27 |
15 |
| 10 |
12 |
42 |
42 |
48 |
36 |
36 |
| 11 |
12 |
42 |
47 |
57 |
27 |
24 |
| 12 |
12 |
42 |
42 |
66 |
18 |
12 |
| 13 |
12 |
42 |
42 |
72 |
12 |
6 |
| 14 |
12 |
30 |
54 |
66 |
18 |
24 |
| 15 |
12 |
18 |
66 |
69 |
15 |
48 |
| 16 |
12 |
18 |
66 |
72 |
12 |
30 |
| 17 |
16 |
66 |
16 |
49 |
33 |
8 |
| 18 |
16 |
41 |
41 |
49 |
33 |
33 |
| 19 |
20 |
60 |
20 |
50 |
30 |
10 |
| 20 |
20 |
55 |
25 |
65 |
15 |
5 |
| 21 |
20 |
50 |
30 |
60 |
20 |
10 |
| 22 |
20 |
40 |
40 |
50 |
30 |
30 |
| 23 |
20 |
30 |
50 |
60 |
20 |
30 |
| 24 |
20 |
30 |
50 |
70 |
10 |
10 |
| 25 |
20 |
20 |
60 |
65 |
15 |
40 |
| 26 |
20 |
20 |
60 |
70 |
10 |
20 |
| 27 |
24 |
54 |
24 |
51 |
27 |
12 |
| 28 |
24 |
39 |
39 |
51 |
27 |
27 |
| 29 |
28 |
48 |
28 |
51 |
27 |
27 |
| 30 |
28 |
38 |
38 |
52 |
24 |
24 |
| 31 |
32 |
42 |
32 |
53 |
21 |
16 |
| 32 |
32 |
37 |
37 |
53 |
21 |
21 |
| 33 |
36 |
36 |
36 |
54 |
18 |
18 |
| 34 |
40 |
35 |
35 |
55 |
15 |
15 |
| 35 |
40 |
30 |
40 |
55 |
15 |
20 |
| 36 |
44 |
34 |
34 |
56 |
12 |
12 |
| 37 |
44 |
24 |
44 |
56 |
12 |
22 |
| 38 |
48 |
33 |
33 |
57 |
9 |
9 |
| 39 |
48 |
18 |
48 |
57 |
9 |
24 |
| 40 |
52 |
32 |
32 |
58 |
6 |
6 |
| 41 |
52 |
12 |
52 |
58 |
6 |
26 |
| 42 |
56 |
31 |
31 |
59 |
3 |
3 |
| 43 |
56 |
6 |
56 |
59 |
3 |
28 |
| 44 |
72 |
33 |
21 |
39 |
15 |
12 |
| 45 |
72 |
30 |
24 |
42 |
12 |
12 |
| 46 |
72 |
30 |
24 |
48 |
6 |
6 |
| 47 |
72 |
27 |
27 |
39 |
15 |
18 |
| 48 |
72 |
24 |
30 |
42 |
12 |
18 |
| 49 |
72 |
15 |
39 |
51 |
3 |
9 |
| 50 |
72 |
12 |
42 |
48 |
6 |
24 |
| 51 |
72 |
12 |
42 |
48 |
6 |
24 |
| 52 |
120 |
18 |
12 |
24 |
6 |
6 |
| 53 |
120 |
12 |
18 |
24 |
6 |
12 |
[pari/gpによる計算]
gp> read("cyclotomic.gp")
time = 13 ms.
gp> phi_n(360,x)
time = 184 ms.
%1 = x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1
gp> read("cf360.gp")
time = 304 ms.
gp> check(10)
20,[20, 50, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[25, 65, 5],Mod(x^10, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[30, 60, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[40, 50, 30],Mod(x^60, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[50, 60, 30],Mod(x^60, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[50, 70, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[60, 65, 40],Mod(x^80, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[60, 70, 20],Mod(x^40, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
time = 10mn, 59,298 ms.
gp> check2()
4,[4, 46, 2],Mod(x^4, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
4,[44, 46, 42],Mod(x^84, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
8,[8, 47, 4],Mod(x^8, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
8,[43, 47, 39],Mod(x^78, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[12, 48, 6],Mod(x^12, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[18, 42, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[21, 69, 3],Mod(x^6, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[30, 42, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[33, 57, 15],Mod(x^30, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[42, 48, 36],Mod(x^72, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[42, 57, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[42, 66, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[42, 72, 6],Mod(x^12, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[54, 66, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[66, 69, 48],Mod(-x^84 + x^60 + x^48 + x^36 - x^12 - 1, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
12,[66, 72, 30],Mod(x^60, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
16,[16, 49, 8],Mod(x^16, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
16,[41, 49, 33],Mod(x^66, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[20, 50, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[25, 65, 5],Mod(x^10, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[30, 60, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[40, 50, 30],Mod(x^60, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[50, 60, 30],Mod(x^60, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[50, 70, 10],Mod(x^20, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[60, 65, 40],Mod(x^80, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
20,[60, 70, 20],Mod(x^40, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
24,[24, 51, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
24,[39, 51, 27],Mod(x^54, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
28,[28, 52, 14],Mod(x^28, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
28,[38, 52, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
32,[32, 53, 16],Mod(x^32, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
32,[37, 53, 21],Mod(x^42, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
36,[36, 54, 18],Mod(x^36, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
40,[35, 55, 15],Mod(x^30, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
40,[40, 55, 20],Mod(x^40, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
44,[34, 56, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
44,[44, 56, 22],Mod(x^44, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
48,[33, 57, 9],Mod(x^18, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
48,[48, 57, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
52,[32, 58, 6],Mod(x^12, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
52,[52, 58, 26],Mod(x^52, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
56,[31, 59, 3],Mod(x^6, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
56,[56, 59, 28],Mod(x^56, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[21, 39, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[24, 42, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[24, 48, 6],Mod(x^12, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[27, 39, 18],Mod(x^36, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[30, 42, 18],Mod(x^36, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[39, 51, 9],Mod(x^18, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[42, 48, 24],Mod(x^48, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
72,[42, 51, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
120,[12, 24, 6],Mod(x^12, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
120,[18, 24, 12],Mod(x^24, x^96 + x^84 - x^60 - x^48 - x^36 + x^12 + 1)
time = 6h, 15,384 ms.
[参考文献]
- [1]片山 孝次, "複素数の幾何学", 岩波書店, 数学入門シリーズ3, 1983(3刷), {1800円}.
- [2]中村 義作, "パズルでびらめく補助線の幾何学 魔法の補助線を見つけよう", 講談社, ブルーバックスB-1419, 2003(1刷), ISBN4-06-257419-5, p209-213, {860円}.
- [3]山口 周, "整数論 美しき円分体論・ベルヌーイ数への旅路", 産業図書, 1994, ISBN4-7828-9013-3, {5871円}.
| Last Update: 2013.08.03 |
| H.Nakao |