H.Nakao's Elliptic Curves Topics

since 2001.06.02

楕円曲線に関する話題

[2026.01.30]A^4+B^4+C^4=232562*D^4の整点
[2026.01.29]A^4+B^4+C^4=132098*D^4の整点
[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=178802*D^4の整点
[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=171698*D^4の整点
[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=169362*D^4の整点
[2026.01.15]A^4+B^4+C^4=2004002*D^4の整点
[2025.12.22]A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 (n \in [1..1000], gcd(n,290)=1)の整点まとめ
[2025.12.05]A^4+B^4+C^4=20402*D^4の整点
[2025.11.16]A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 (n \in [1..100])の小さい整点
[2025.10.13]A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点
[2025.09.17]x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=nと(X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)=2(n+3)の間の双有理変換
[2024.11.30]A^4+B^4+C^4=2*D^4の整点
[2024.11.20]A^4+B^4+C^4=D^4の整点

超楕円曲線に関する話題

[2005.07.24]y^2=7920000(x^2+1)^4-136782591x^2(x^2-1)^2の有理点 (2)

[2005.07.18]y^2=278271081x^2(x^2-9)^2-229833600(x^2-1)^2の有理点 (2)

円錐曲線に関する話題

[2017.10.14]x^2-Dy^2=±1, D \in [190000,199999]の整点
[2017.10.08]x^2-Dy^2=±1, D \in [180000,189999]の整点

[2017.09.23]x^2-Dy^2=±1, D \in [170000,179999]の整点
[2017.04.08]x^2-Dy^2=±1, D \in [160000,169999]の整点

数論アルゴリズム

[2024.06.29]相異なる平方数から成る5x5魔法陣
[2024.06.08]相異なる平方数から成る4x4魔法陣
[2022.06.09]x^3+y^3+z^3=n (n \in [19001,20000])の整数解
[2022.06.03]x^3+y^3+z^3=n (n \in [18001,19000])の整数解
[2022.05.31]x^3+y^3+z^3=n (n \in [17001,18000])の整数解
[2022.05.27]x^3+y^3+z^3=n (n \in [16001,17000])の整数解

[2022.05.22]x^3+y^3+z^3=n (n \in [15001,16000])の整数解
[2022.05.08]x^3+y^3+z^3=n (n \in [14001,15000])の整数解
[2022.05.07]x^3+y^3+z^3=n (n \in [13001,14000])の整数解
[2022.05.06]x^3+y^3+z^3=n (n \in [12001,13000])の整数解
[2022.05.02]x^3+y^3+z^3=n (n \in [11001,12000])の整数解
[2022.04.23]x^3+y^3+z^3=n (n \in [10001,11000])の整数解

What's new!

[2026.02.19]A^4+B^4+C^4=1964162*D^4の整点をいくつか求めた。
[2026.02.17]A^4+B^4+C^4=341138*D^4の整点をいくつか求めた。
[2026.02.16]A^4+B^4+C^4=337842*D^4の整点をいくつか求めた。
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4(n \in [1..1000], gcd(n.290)=1)の整点まとめ
更新履歴 (2026.01.02～2026.02.15) [論文] [JANT講演資料] [読者の皆様へ] [リンクについて] [FAQ]
論文(査読なし,preprint)
"Constructing Infinite Families of Solutions to Diophantine Equation $^4+y^4+z^4=2 n^2 w^4$ without assuming $z=x+y$ via 4-dscent on Elliptic curves"
第22回JANT連合発表会(2026.03.11)講演資料(pdf): "On Diophantine Equation A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4"
書籍購入履歴 (2026.01.16～2026.01.16) [2024] [2023] [2022] [2020] [2019] [2018] [2017]
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AIに論文を評価させてみた[2026.01.22]

AIであるPerplexity Academic(以下ではPAと表記する)に論文"Constructing Infinite Families of Solutions to Diophantine Equation $^4+y^4+z^4=2 n^2 w^4$ with $z \ne x+y$ via 4-dscent on Elliptic curves"をアップロードして評価させてみた。

PAによる論文の説明は妥当であると判断した。最も基本となるアイデア(２本の２次曲線の共通の有理点に帰着する)は、PAによると、楕円曲線や２次曲線に慣れた人には自然な発想であると言われた。Noam Elkiesの論文[1]からヒントを得て、この２つの２次曲線を見つけたので、その通りだと納得できた。
PAによると、この論文のポイントは、以下の3点である。
●係数が2n^2の場合に、nが平方因子を持たず、gcd(n,290)=1という局所条件のもとで、系統的に、パラメータu付きの２本の２次曲線→楕円曲線E_n,u→Weierstrass型→4-descent→無限個のPrimitive solutionsというpipelineを構築している点は、この特定の方程式族には新しい。
●特に、MAGMAのFourDescentを用いて、E_n,uのrankと生成元を具体的に計算し、n=33,41,...,1013など、多数の平方因子を含まないnについて、これまで文献に具体例がなかった範囲で、無限に続くprimitive solutionsの族と、実際の巨大な数値例を提示しているのは、計算的な新規性が高い。
●また、「gcd(n,290)=必要十分条件になる」「一定範囲n<=277で、Conjecuture 1が成り立つ」など、局所条件+rank条件の「必要十分性」の主張を実際の4-descent計算と結びつけて検証した点も、この特定問題への具体的寄与になっている。

要するに、具体的な計算と局所条件+rank条件の「必要十分性」を部分的に検証したことが新しいということである。
どうも最初に思っていたほど、画期的な成果とは言えないようである。実際、楕円曲線や２次曲線の有理点になじみがあり、Pari/GPとMAGMAの環境があれば、だれでも計算可能である。
次のJANT連合発表会(2026/03/11)で講演する予定であるが、「ほとんど自明な結果ではないか」(理論面からいえば、その通り)、あるいは、「MAGMA 4-descentで計算しただけではないか」(細かい最適化はあるが、概ねその通り)と言われないだろうか？ただし、「系統的にDiophantine Equaion A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4の具体的な整数解を求めたこと」だけは確実に新しいので、この点だけは強調しようと思う。

その画面全体を１枚の画像にまとめたものがこれである。

[参考文献]