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Integer Points on A^4+B^4+578*C^4=D^4

[2026.05.01]A^4+B^4+578*C^4=4*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+2*n^2*C^4=4*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=tとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+2*n^2*t^4=4
       x^4+6*x^2*y^2+y^4+n^2*t^4=2 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       (u^2+1)*y^2=--(u^2+4*u+5)*x^2-(u^2+2*u-1) ----------(5a)
       ±n*(u^2+1)*t^2=2*(u^2+2*u-1)*x^2+(u^2-2*u^1) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-u^2 - 4*u - 5)/(u^2 + 1))*x^2 + ((-u^2 - 2*u + 1)/(u^2 + 1))
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((2*u^2 + 4*u - 2)/(n*u^2 + n))*x^2 + ((u^2 - 2*u - 1)/(n*u^2 + n))
gp > x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2+n^2*TT2(n,u,x)^2
%5 = 2

■２次曲線(5a),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a)の右辺の判別式は
    -4*(u^2+4*u+5)*(u^2*2+u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    -4*2*(u^2+2*u-1)*(u^2-2*u-1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=17とする。Pari/GPで簡単なプログラムを作成して、小さい整数解を調べると、
    289^4+385^4+578*31^4=4*293^4
が見つかった。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように(重複を含む)328個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(17,1,100);
** u= -100/43 ; C1  -2045*x^2 - 11849*y^2 + 449*z^2
  (-699/1829 : 206/1829 : 1)  C2a (-5694/1229 : 2339/20893 : 1)
** u= -100/51 ; C1  -2605*x^2 + 12601*y^2 + 2801*z^2
  (136/4331 : 2041/4331 : 1)  C2b (-140792/92715 : 11597/92715 : 1)
** u= -99/71 ; C1  -6890*x^2 + 14842*y^2 + 9298*z^2
  (-5610/4867 : -479/4867 : 1)  C2b (776/937 : -129/937 : 1)
** u= -98/55 ; C1  -3169*x^2 + 12629*y^2 + 4201*z^2
  (-7087/6195 : -404/6195 : 1)  C2b (34718/27023 : -2939/27023 : 1)
** u= -97/73 ; C1  -7730*x^2 - 14738*y^2 + 10082*z^2
  (7100/6473 : -1491/6473 : 1)  C2a (-88693/50055 : -299/705 : 1)
** u= -96/47 ; C1  -2213*x^2 - 11425*y^2 + 2017*z^2
  (-480/2543 : 5237/12715 : 1)  C2a (88400/2729 : -63579/13645 : 1)
** u= -96/55 ; C1  -3221*x^2 - 12241*y^2 + 4369*z^2
  (2064/9367 : 5495/9367 : 1)  C2a (-40598/663 : 8317/663 : 1)
** u= -96/61 ; C1  -4397*x^2 - 12937*y^2 + 6217*z^2
  (27800/24981 : -6101/24981 : 1)  C2a (-1222/15 : 4939/255 : 1)
** u= -96/77 ; C1  -9293*x^2 - 15145*y^2 + 11497*z^2
  (4859/4623 : 1318/4623 : 1)  C2a (2312/1351 : 591/1351 : 1)
** u= -96/79 ; C1  -10085*x^2 + 15457*y^2 + 12193*z^2
  (61/4137 : -3674/4137 : 1)  C2b (72572/122185 : -21489/122185 : 1)
** u= -95/79 ; C1  -10210*x^2 - 15266*y^2 + 12226*z^2
  (1460/1847 : -1143/1847 : 1)  C2a (-7349/7189 : -1243/7189 : 1)
** u= -95/87 ; C1  -13810*x^2 - 16594*y^2 + 15074*z^2
  (296/1267 : -1177/1267 : 1)  C2a (77027/14617 : -24909/14617 : 1)
** u= -94/59 ; C1  -4057*x^2 + 12317*y^2 + 5737*z^2
  (10910/10021 : 2751/10021 : 1)  C2b (-32894/47713 : 9461/47713 : 1)
** u= -94/85 ; C1  -13001*x^2 + 16061*y^2 + 14369*z^2
  (-19839/23597 : -13400/23597 : 1)  C2b (10052/29717 : -6499/29717 : 1)
** u= -93/77 ; C1  -9650*x^2 + 14578*y^2 + 11602*z^2
  (-3999/10265 : 1712/2053 : 1)  C2b (68168/79929 : 1903/79929 : 1)
** u= -92/41 ; C1  -1781*x^2 + 10145*y^2 + 761*z^2
  (5088/7973 : 473/7973 : 1)  C2b (57308/23551 : -3479/23551 : 1)
** u= -92/57 ; C1  -3733*x^2 - 11713*y^2 + 5273*z^2
  (-73/1447 : -970/1447 : 1)  C2a (-1618/1199 : 159/1199 : 1)
** u= -92/85 ; C1  {+/-} -13309*x^2 + 15689*y^2 + 14401*z^2
  (-12076/19153 : 14595/19153 : 1)  C2a (14344/14495 : 2987/14495 : 1) C2b (-33758/125437 : 28481/125437 : 1)
** u= -92/91 ; C1  -16381*x^2 - 16745*y^2 + 16561*z^2
  (-14732/14743 : -1629/14743 : 1)  C2a (-242/203 : -1123/3451 : 1)
** u= -92/95 ; C1  -18629*x^2 - 17489*y^2 + 18041*z^2
  (6180/23207 : 22691/23207 : 1)  C2a (-27226/31725 : -5717/31725 : 1)
** u= -91/51 ; C1  {+/-} -2722*x^2 + 10882*y^2 + 3602*z^2
  (3056/4111 : 1805/4111 : 1)  C2a (-64467/43201 : -3301/43201 : 1) C2b (-14962/13495 : 2091/13495 : 1)
** u= -88/37 ; C1  -1565*x^2 + 9113*y^2 + 137*z^2
  (-425/1571 : -78/1571 : 1)  C2b (526/215 : 341/1505 : 1)
** u= -88/51 ; C1  -2797*x^2 - 10345*y^2 + 3833*z^2
  (8657/8309 : 2306/8309 : 1)  C2a (26228/19231 : 543/19231 : 1)
** u= -88/65 ; C1  -5989*x^2 - 11969*y^2 + 7921*z^2
  (-27145/28019 : 12282/28019 : 1)  C2a (-78622/55625 : 179/625 : 1)
** u= -87/95 ; C1  -19634*x^2 - 16594*y^2 + 17986*z^2
  (-20792/29079 : 20125/29079 : 1)  C2a (-80321/34799 : -1197/1513 : 1)
** u= -85/49 ; C1  -2570*x^2 + 9626*y^2 + 3506*z^2
  (-870/2309 : 1319/2309 : 1)  C2b (13154/9815 : 491/9815 : 1)
** u= -85/53 ; C1  -3250*x^2 + 10034*y^2 + 4594*z^2
  (-2396/6085 : 777/1217 : 1)  C2b (1918/3175 : -667/3175 : 1)
** u= -85/57 ; C1  -4090*x^2 + 10474*y^2 + 5714*z^2
  (1367/4933 : -3542/4933 : 1)  C2b (13666/13841 : -1443/13841 : 1)
** u= -85/77 ; C1  -10690*x^2 + 13154*y^2 + 11794*z^2
  (-2348/2721 : 1469/2721 : 1)  C2b (28772/72517 : -15149/72517 : 1)
** u= -84/41 ; C1  -1685*x^2 - 8737*y^2 + 1513*z^2
  (1/4263 : -1774/4263 : 1)  C2a (420986/57307 : -57789/57307 : 1)
** u= -84/85 ; C1  -14621*x^2 + 14281*y^2 + 14449*z^2
  (11648/28929 : 26605/28929 : 1)  C2b (-56444/242635 : 55491/242635 : 1)
** u= -84/89 ; C1  -16757*x^2 - 14977*y^2 + 15817*z^2
  (-21060/26257 : 15227/26257 : 1)  C2a (-107236/139887 : 316259/2378079 : 1)
** u= -82/51 ; C1  -3001*x^2 + 9325*y^2 + 4241*z^2
  (-3023/4763 : 2716/4763 : 1)  C2b (49948/111013 : 25005/111013 : 1)
** u= -82/65 ; C1  -6529*x^2 + 10949*y^2 + 8161*z^2
  (2098/7455 : 6229/7455 : 1)  C2b (-26318/30527 : -2069/30527 : 1)
** u= -80/39 ; C1  -1525*x^2 + 7921*y^2 + 1361*z^2
  (-13/25 : 154/445 : 1)  C2b (-44476/22209 : 727/22209 : 1)
** u= -80/51 ; C1  {+/-} -3085*x^2 + 9001*y^2 + 4361*z^2
  (532/479 : 119/479 : 1)  C2a (15336/8191 : -2857/8191 : 1) C2b (23918/20475 : 49/2925 : 1)
** u= -80/63 ; C1  -6085*x^2 + 10369*y^2 + 7649*z^2
  (3503/4237 : -2458/4237 : 1)  C2b (25022/29823 : -2699/29823 : 1)
** u= -80/73 ; C1  -9685*x^2 - 11729*y^2 + 10609*z^2
  (-721/947 : -618/947 : 1)  C2a (-11942/3193 : -37/31 : 1)
** u= -80/77 ; C1  -11405*x^2 - 12329*y^2 + 11849*z^2
  (2040/2161 : 799/2161 : 1)  C2a (682732/415803 : 12077/24459 : 1)
** u= -79/51 ; C1  -3130*x^2 + 8842*y^2 + 4418*z^2
  (1598/2351 : -1363/2351 : 1)  C2b (-11698/10951 : 21/233 : 1)
** u= -78/41 ; C1  -1697*x^2 + 7765*y^2 + 1993*z^2
  (3054/3703 : 1217/3703 : 1)  C2b (-86392/53657 : -2703/53657 : 1)
** u= -78/85 ; C1  -15689*x^2 + 13309*y^2 + 14401*z^2
  (5745/12053 : -10876/12053 : 1)  C2b (24238/48405 : -7463/48405 : 1)
** u= -77/45 ; C1  -2194*x^2 - 7954*y^2 + 3026*z^2
  (-3644/3197 : 475/3197 : 1)  C2a (-5779/221 : -1221/221 : 1)
** u= -77/53 ; C1  -3650*x^2 - 8738*y^2 + 5042*z^2
  (189/265 : -32/53 : 1)  C2a (2223/449 : 9619/7633 : 1)
** u= -77/85 ; C1  -15874*x^2 + 13154*y^2 + 14386*z^2
  (-2677/9305 : 9276/9305 : 1)  C2b (23588/72517 : -15149/72517 : 1)
** u= -77/93 ; C1  -20530*x^2 + 14578*y^2 + 17042*z^2
  (-1991/3073 : -2336/3073 : 1)  C2b (46408/79929 : 1903/79929 : 1)
** u= -76/43 ; C1  -1949*x^2 + 7625*y^2 + 2609*z^2
  (16/131 : 381/655 : 1)  C2b (-20926/18847 : -2837/18847 : 1)
** u= -76/83 ; C1  -14989*x^2 - 12665*y^2 + 13729*z^2
  (6251/7149 : 3026/7149 : 1)  C2a (8258/9563 : -33187/162571 : 1)
** u= -76/85 ; C1  {+/-} -16061*x^2 + 13001*y^2 + 14369*z^2
  (4471/4727 : 30/4727 : 1)  C2a (1239324/29531 : 446839/29531 : 1) C2b (-45884/160181 : 34627/160181 : 1)
** u= -76/91 ; C1  -19517*x^2 - 14057*y^2 + 16337*z^2
  (5115/9661 : 8494/9661 : 1)  C2a (-41946/16337 : 487/527 : 1)
** u= -74/45 ; C1  -2281*x^2 + 7501*y^2 + 3209*z^2
  (-2458/3751 : 2045/3751 : 1)  C2b (-20222/18697 : -2301/18697 : 1)
** u= -74/79 ; C1  -13297*x^2 + 11717*y^2 + 12457*z^2
  (11090/11529 : -1319/11529 : 1)  C2b (3122/4745 : 131/4745 : 1)
** u= -74/91 ; C1  -19945*x^2 + 13757*y^2 + 16273*z^2
  (10634/11813 : -1059/11813 : 1)  C2b (21326/47977 : 7331/47977 : 1)
** u= -72/37 ; C1  -1373*x^2 - 6553*y^2 + 1513*z^2
  (-1167/2875 : -1274/2875 : 1)  C2a (-2284/1275 : -91/1275 : 1)
** u= -72/47 ; C1  -2693*x^2 + 7393*y^2 + 3793*z^2
  (1451/1401 : -490/1401 : 1)  C2b (-38972/44639 : 6903/44639 : 1)
** u= -72/71 ; C1  -9941*x^2 - 10225*y^2 + 10081*z^2
  (951/2525 : -11626/12625 : 1)  C2a (-41606/9639 : -13973/9639 : 1)
** u= -71/39 ; C1  -1570*x^2 - 6562*y^2 + 2018*z^2
  (23/103 : -56/103 : 1)  C2a (-103/59 : -171/1003 : 1)
** u= -71/51 ; C1  -3562*x^2 + 7642*y^2 + 4802*z^2
  (2450/2111 : 49/2111 : 1)  C2b (19364/19747 : 21/403 : 1)
** u= -71/55 ; C1  -4546*x^2 - 8066*y^2 + 5794*z^2
  (6473/9519 : 6440/9519 : 1)  C2a (-43639/29261 : -9979/29261 : 1)
** u= -71/99 ; C1  -25930*x^2 + 14842*y^2 + 18818*z^2
  (1358/2543 : 2231/2543 : 1)  C2b (37192/90889 : -129/937 : 1)
** u= -70/53 ; C1  -4105*x^2 + 7709*y^2 + 5329*z^2
  (73/357 : 292/357 : 1)  C2b (-38044/109135 : 337/1495 : 1)
** u= -68/37 ; C1  {+/-} -1405*x^2 + 5993*y^2 + 1777*z^2
  (656/12573 : 6839/12573 : 1)  C2a (-944/617 : -11/617 : 1) C2b (-33148/61435 : -13939/61435 : 1)
** u= -68/47 ; C1  -2885*x^2 - 6833*y^2 + 3977*z^2
  (-339/733 : 514/733 : 1)  C2a (-27822/21881 : 4087/21881 : 1)
** u= -68/49 ; C1  -3301*x^2 + 7025*y^2 + 4441*z^2
  (-260/249 : -431/1245 : 1)  C2b (-17774/35219 : 7375/35219 : 1)
** u= -68/55 ; C1  -4789*x^2 - 7649*y^2 + 5881*z^2
  (-5480/4963 : 369/4963 : 1)  C2a (29194/2311 : 8759/2311 : 1)
** u= -68/61 ; C1  {+/-} -6637*x^2 + 8345*y^2 + 7393*z^2
  (13/491 : 462/491 : 1)  C2a (-37916/20357 : 11089/20357 : 1) C2b (36796/148507 : 34195/148507 : 1)
** u= -68/63 ; C1  -7333*x^2 - 8593*y^2 + 7913*z^2
  (257/545 : -466/545 : 1)  C2a (9326/12187 : -213/12187 : 1)
** u= -68/69 ; C1  -9661*x^2 - 9385*y^2 + 9521*z^2
  (-193/1847 : -1850/1847 : 1)  C2a (25014/31129 : 4303/31129 : 1)
** u= -68/77 ; C1  {+/-} -13325*x^2 + 10553*y^2 + 11777*z^2
  (2361/8207 : 8254/8207 : 1)  C2a (9408/2059 : -3377/2059 : 1) C2b (18334/30707 : -2159/30707 : 1)
** u= -68/89 ; C1  -20021*x^2 + 12545*y^2 + 15401*z^2
  (-1448/1697 : 435/1697 : 1)  C2b (-70456/131789 : 635/131789 : 1)
** u= -68/91 ; C1  -21277*x^2 + 12905*y^2 + 16033*z^2
  (5092/14859 : -15217/14859 : 1)  C2b (-34876/137909 : -29251/137909 : 1)
** u= -68/93 ; C1  {+/-} -22573*x^2 + 13273*y^2 + 16673*z^2
  (-2843/3443 : 1070/3443 : 1)  C2a (-93412/148015 : 21267/148015 : 1) C2b (34492/79349 : 9987/79349 : 1)
** u= -67/51 ; C1  {+/-} -3826*x^2 + 7090*y^2 + 4946*z^2
  (3536/10471 : 8351/10471 : 1)  C2a (-42693/757 : -12229/757 : 1) C2b (-2492/8549 : -1971/8549 : 1)
** u= -66/49 ; C1  -3425*x^2 + 6757*y^2 + 4513*z^2
  (6033/5905 : -440/1181 : 1)  C2b (-33692/40839 : 5153/40839 : 1)
** u= -66/53 ; C1  -4409*x^2 + 7165*y^2 + 5449*z^2
  (-3543/3457 : 1168/3457 : 1)  C2b (34172/45079 : -5649/45079 : 1)
** u= -65/37 ; C1  -1450*x^2 + 5594*y^2 + 1954*z^2
  (578/513 : 73/513 : 1)  C2b (7666/5531 : 193/5531 : 1)
** u= -64/31 ; C1  -965*x^2 - 5057*y^2 + 833*z^2
  (-3843/11369 : 4298/11369 : 1)  C2a (-1278/595 : 7/85 : 1)
** u= -64/69 ; C1  -10237*x^2 - 8857*y^2 + 9497*z^2
  (12772/14917 : -7075/14917 : 1)  C2a (-8296/3665 : 47943/62305 : 1)
** u= -64/81 ; C1  -16165*x^2 - 10657*y^2 + 12833*z^2
  (-12776/41657 : -42919/41657 : 1)  C2a (41698/51511 : 11427/51511 : 1)
** u= -63/31 ; C1  -962*x^2 - 4930*y^2 + 898*z^2
  (-461/483 : 32/483 : 1)  C2a (-629653/21699 : 1563365/368883 : 1)
** u= -62/45 ; C1  -2809*x^2 + 5869*y^2 + 3761*z^2
  (13835/62593 : 928/1181 : 1)  C2b (-604/1255 : 1863/8785 : 1)
** u= -62/79 ; C1  -15457*x^2 + 10085*y^2 + 12193*z^2
  (-113/231 : 212/231 : 1)  C2b (-8456/15377 : -215/15377 : 1)
** u= -62/85 ; C1  -18889*x^2 + 11069*y^2 + 13921*z^2
  (6731/8857 : 4620/8857 : 1)  C2b (14318/69043 : -15281/69043 : 1)
** u= -61/69 ; C1  -10690*x^2 - 8482*y^2 + 9458*z^2
  (227/281 : -152/281 : 1)  C2a (53397/30715 : 18049/30715 : 1)
** u= -58/51 ; C1  -4537*x^2 + 5965*y^2 + 5153*z^2
  (-94/317 : 283/317 : 1)  C2b (26716/45589 : -7581/45589 : 1)
** u= -58/61 ; C1  -7817*x^2 + 7085*y^2 + 7433*z^2
  (-2131/51853 : 53064/51853 : 1)  C2b (-26876/44551 : -4769/44551 : 1)
** u= -57/85 ; C1  -19994*x^2 + 10474*y^2 + 13666*z^2
  (-2295/4481 : 4018/4481 : 1)  C2b (5714/13841 : -1443/13841 : 1)
** u= -56/31 ; C1  -997*x^2 - 4097*y^2 + 1297*z^2
  (4/471 : 265/471 : 1)  C2a (-2762/1691 : -3887/28747 : 1)
** u= -56/37 ; C1  -1693*x^2 - 4505*y^2 + 2377*z^2
  (-2384/5437 : 3669/5437 : 1)  C2a (142/109 : 311/1853 : 1)
** u= -56/71 ; C1  -12437*x^2 - 8177*y^2 + 9857*z^2
  (6425/14717 : -14082/14717 : 1)  C2a (-1006/1515 : 209/1515 : 1)
** u= -56/73 ; C1  -13429*x^2 - 8465*y^2 + 10369*z^2
  (2111/3451 : -2742/3451 : 1)  C2a (776/631 : 265/631 : 1)
** u= -56/93 ; C1  -25549*x^2 - 11785*y^2 + 15929*z^2
  (256/329 : -65/329 : 1)  C2a (653748/1023077 : 205781/1023077 : 1)
** u= -56/97 ; C1  {+/-} -28453*x^2 + 12545*y^2 + 17137*z^2
  (-476/1397 : 1467/1397 : 1)  C2a (78986/74147 : -29737/74147 : 1) C2b (9182/25097 : 163/25097 : 1)
** u= -55/31 ; C1  -1010*x^2 - 3986*y^2 + 1346*z^2
  (312/563 : -287/563 : 1)  C2a (-9197/1527 : 1781/1527 : 1)
** u= -55/71 ; C1  -12610*x^2 - 8066*y^2 + 9826*z^2
  (-425/607 : -408/607 : 1)  C2a (11579/10115 : 227/595 : 1)
** u= -54/65 ; C1  -10001*x^2 + 7141*y^2 + 8329*z^2
  (-18810/21251 : -5587/21251 : 1)  C2b (45688/104825 : 16977/104825 : 1)
** u= -53/49 ; C1  -4426*x^2 + 5210*y^2 + 4786*z^2
  (383/1553 : 1446/1553 : 1)  C2b (22408/32839 : 3601/32839 : 1)
** u= -53/77 ; C1  -16130*x^2 - 8738*y^2 + 11282*z^2
  (-1872/2357 : -839/2357 : 1)  C2a (105619/36615 : -690331/622455 : 1)
** u= -53/85 ; C1  -20914*x^2 + 10034*y^2 + 13426*z^2
  (28889/38737 : -16380/38737 : 1)  C2b (4594/22225 : -667/3175 : 1)
** u= -52/27 ; C1  -733*x^2 - 3433*y^2 + 833*z^2
  (1624/1675 : -343/1675 : 1)  C2a (100992/8449 : -2413/1207 : 1)
** u= -52/35 ; C1  -1549*x^2 + 3929*y^2 + 2161*z^2
  (1304/1275 : -473/1275 : 1)  C2b (-20476/46951 : 10433/46951 : 1)
** u= -52/81 ; C1  -18661*x^2 - 9265*y^2 + 12281*z^2
  (10529/13159 : -2498/13159 : 1)  C2a (1026/1631 : 295/1631 : 1)
** u= -52/89 ; C1  -23797*x^2 - 10625*y^2 + 14473*z^2
  (200/609 : -16117/15225 : 1)  C2a (4/7 : -103/595 : 1)
** u= -51/23 ; C1  -554*x^2 + 3130*y^2 + 274*z^2
  (66/151 : 35/151 : 1)  C2b (94/39 : -5/39 : 1)
** u= -51/31 ; C1  -1082*x^2 + 3562*y^2 + 1522*z^2
  (-242/903 : -575/903 : 1)  C2b (-98/79 : 3/79 : 1)
** u= -51/35 ; C1  {+/-} -1586*x^2 + 3826*y^2 + 2194*z^2
  (1212/1031 : 25/1031 : 1)  C2a (69997/8393 : 18033/8393 : 1) C2b (-9892/18867 : -3979/18867 : 1)
** u= -51/67 ; C1  {+/-} -11378*x^2 + 7090*y^2 + 8722*z^2
  (-756/3047 : 3241/3047 : 1)  C2a (1991/3703 : 15/529 : 1) C2b (-9892/59843 : -1971/8549 : 1)
** u= -51/79 ; C1  -17690*x^2 + 8842*y^2 + 11698*z^2
  (663/2731 : 2998/2731 : 1)  C2b (-94/233 : 21/233 : 1)
** u= -51/91 ; C1  {+/-} -25442*x^2 + 10882*y^2 + 14962*z^2
  (4413/11327 : 11440/11327 : 1)  C2a (-2827/8025 : 197/8025 : 1) C2b (-3602/13495 : 2091/13495 : 1)
** u= -50/69 ; C1  -12505*x^2 + 7261*y^2 + 9161*z^2
  (890/7927 : 8827/7927 : 1)  C2b (9278/42663 : -9331/42663 : 1)
** u= -49/53 ; C1  -6058*x^2 + 5210*y^2 + 5602*z^2
  (1802/2469 : -1667/2469 : 1)  C2b (19144/32839 : 3601/32839 : 1)
** u= -49/85 ; C1  -21866*x^2 + 9626*y^2 + 13154*z^2
  (561/725 : 2/25 : 1)  C2b (3506/9815 : 491/9815 : 1)
** u= -48/55 ; C1  -6869*x^2 - 5329*y^2 + 6001*z^2
  (75/97 : 4222/7081 : 1)  C2a (346/391 : 6597/28543 : 1)
** u= -47/31 ; C1  -1186*x^2 - 3170*y^2 + 1666*z^2
  (707/627 : -140/627 : 1)  C2a (661/119 : -23/17 : 1)
** u= -46/63 ; C1  -10369*x^2 + 6085*y^2 + 7649*z^2
  (466/589 : -257/589 : 1)  C2b (7886/27273 : 5437/27273 : 1)
** u= -45/61 ; C1  -9650*x^2 - 5746*y^2 + 7186*z^2
  (-232/285 : -275/741 : 1)  C2a (379/39 : 32083/8619 : 1)
** u= -45/77 ; C1  -17810*x^2 - 7954*y^2 + 10834*z^2
  (428/549 : 19/549 : 1)  C2a (-187/435 : 37/435 : 1)
** u= -44/19 ; C1  -397*x^2 - 2297*y^2 + 97*z^2
  (320/667 : 33/667 : 1)  C2a (3842/385 : 247/385 : 1)
** u= -44/49 ; C1  -5317*x^2 - 4337*y^2 + 4777*z^2
  (15203/16067 : 990/16067 : 1)  C2a (6484/9163 : -1033/9163 : 1)
** u= -44/51 ; C1  -5965*x^2 + 4537*y^2 + 5153*z^2
  (-5612/20239 : 20587/20239 : 1)  C2b (-15292/29925 : -3949/29925 : 1)
** u= -44/57 ; C1  -8149*x^2 - 5185*y^2 + 6329*z^2
  (97/127 : -70/127 : 1)  C2a (-184/49 : 69/49 : 1)
** u= -44/85 ; C1  -23101*x^2 - 9161*y^2 + 12769*z^2
  (13673/24055 : 18306/24055 : 1)  C2a (-97586/258205 : 221/2285 : 1)
** u= -42/43 ; C1  -3785*x^2 + 3613*y^2 + 3697*z^2
  (3102/3181 : 523/3181 : 1)  C2b (-14108/20609 : 663/20609 : 1)
** u= -41/17 ; C1  -338*x^2 - 1970*y^2 + 2*z^2
  (1/13 : 0 : 1)  C2a (-121/3 : -1/3 : 1)
** u= -40/17 ; C1  {+/-} -325*x^2 + 1889*y^2 + 49*z^2
  (-329/1555 : 42/311 : 1)  C2a (-37888/35 : -299/5 : 1) C2b (-5342/2765 : -89/395 : 1)
** u= -40/51 ; C1  {+/-} -6445*x^2 + 4201*y^2 + 5081*z^2
  (-256/5299 : 5819/5299 : 1)  C2a (2704/3631 : 687/3631 : 1) C2b (-6158/16773 : 3031/16773 : 1)
** u= -40/61 ; C1  -10445*x^2 - 5321*y^2 + 7001*z^2
  (196/401 : 369/401 : 1)  C2a (39594/1865 : -264763/31705 : 1)
** u= -39/31 ; C1  -1490*x^2 - 2482*y^2 + 1858*z^2
  (-48/43 : 1/43 : 1)  C2a (391/363 : 1097/6171 : 1)
** u= -38/17 ; C1  -305*x^2 + 1733*y^2 + 137*z^2
  (122/359 : -87/359 : 1)  C2b (-9788/3445 : -259/3445 : 1)
** u= -38/81 ; C1  -21937*x^2 + 8005*y^2 + 11273*z^2
  (-1879/2837 : -1288/2837 : 1)  C2b (8312/38783 : 537/38783 : 1)
** u= -37/29 ; C1  -1282*x^2 - 2210*y^2 + 1618*z^2
  (-788/1109 : 735/1109 : 1)  C2a (223/181 : -751/3077 : 1)
** u= -37/65 ; C1  -12874*x^2 + 5594*y^2 + 7666*z^2
  (238/4965 : -5801/4965 : 1)  C2b (1954/5531 : 193/5531 : 1)
** u= -36/19 ; C1  -365*x^2 + 1657*y^2 + 433*z^2
  (2440/2439 : -493/2439 : 1)  C2b (94/65 : 51/455 : 1)
** u= -36/25 ; C1  -821*x^2 - 1921*y^2 + 1129*z^2
  (1384/2313 : 1525/2313 : 1)  C2a (-1436/801 : 5213/13617 : 1)
** u= -36/43 ; C1  -4349*x^2 - 3145*y^2 + 3649*z^2
  (308/1383 : -1445/1383 : 1)  C2a (124076/44991 : 761237/764847 : 1)
** u= -36/53 ; C1  {+/-} -7709*x^2 + 4105*y^2 + 5329*z^2
  (292/357 : 73/357 : 1)  C2a (-358/657 : 1/9 : 1) C2b (658/1679 : -3/23 : 1)
** u= -36/85 ; C1  {+/-} -25181*x^2 + 8521*y^2 + 12049*z^2
  (8231/14703 : -790/1131 : 1)  C2a (-40892/186675 : -15239/186675 : 1) C2b (-382/4347 : -169/4347 : 1)
** u= -35/51 ; C1  {+/-} -7090*x^2 + 3826*y^2 + 4946*z^2
  (-1880/7079 : -7631/7079 : 1)  C2a (-2409/3569 : 673/3569 : 1) C2b (-4388/18867 : -3979/18867 : 1)
** u= -34/15 ; C1  -241*x^2 + 1381*y^2 + 89*z^2
  (43/791 : -200/791 : 1)  C2b (-3902/2443 : 519/2443 : 1)
** u= -34/29 ; C1  -1417*x^2 + 1997*y^2 + 1657*z^2
  (1105/1049 : 216/1049 : 1)  C2b (-18296/22043 : -221/22043 : 1)
** u= -34/31 ; C1  -1745*x^2 + 2117*y^2 + 1913*z^2
  (-1766/2629 : 1917/2629 : 1)  C2b (658/851 : -17/851 : 1)
** u= -34/37 ; C1  -2969*x^2 + 2525*y^2 + 2729*z^2
  (185/217 : 516/1085 : 1)  C2b (658/1021 : -31/1021 : 1)
** u= -34/61 ; C1  -11465*x^2 + 4877*y^2 + 6713*z^2
  (1554/2047 : 301/2047 : 1)  C2b (3166/11515 : -239/1645 : 1)
** u= -34/69 ; C1  -15577*x^2 + 5917*y^2 + 8297*z^2
  (646/37459 : -44345/37459 : 1)  C2b (-2174/9517 : -1041/9517 : 1)
** u= -34/77 ; C1  -20329*x^2 + 7085*y^2 + 10009*z^2
  (-1822/3063 : -1931/3063 : 1)  C2b (-1852/14389 : -1859/14389 : 1)
** u= -34/91 ; C1  -30185*x^2 + 9437*y^2 + 13313*z^2
  (12157/18311 : 528/18311 : 1)  C2b (1874/15493 : -4471/15493 : 1)
** u= -34/99 ; C1  -36697*x^2 + 10957*y^2 + 15377*z^2
  (8131/25039 : 25660/25039 : 1)  C2b (-3826/20237 : -6159/20237 : 1)
** u= -32/17 ; C1  {+/-} -293*x^2 + 1313*y^2 + 353*z^2
  (-55/203 : 102/203 : 1)  C2a (2378/201 : 419/201 : 1) C2b (-3646/2477 : 241/2477 : 1)
** u= -32/37 ; C1  -3133*x^2 - 2393*y^2 + 2713*z^2
  (-3028/3837 : -2165/3837 : 1)  C2a (-4012/1771 : -1411/1771 : 1)
** u= -32/49 ; C1  {+/-} -6757*x^2 + 3425*y^2 + 4513*z^2
  (20/513 : 2941/2565 : 1)  C2a (1022/1705 : -1361/8525 : 1) C2b (-3518/8681 : 835/8681 : 1)
** u= -32/77 ; C1  -20813*x^2 - 6953*y^2 + 9833*z^2
  (-2328/6805 : 7019/6805 : 1)  C2a (288/655 : 1991/11135 : 1)
** u= -32/87 ; C1  -27733*x^2 + 8593*y^2 + 12113*z^2
  (-6509/10345 : -3758/10345 : 1)  C2b (-1954/9327 : 3269/9327 : 1)
** u= -32/93 ; C1  -32365*x^2 - 9673*y^2 + 13577*z^2
  (2200/11581 : -13117/11581 : 1)  C2a (-666/1417 : -5203/24089 : 1)
** u= -31/15 ; C1  -226*x^2 - 1186*y^2 + 194*z^2
  (-164/847 : -335/847 : 1)  C2a (833/337 : 63/337 : 1)
** u= -31/39 ; C1  -3730*x^2 - 2482*y^2 + 2978*z^2
  (-124/791 : 853/791 : 1)  C2a (3/5 : -7/85 : 1)
** u= -31/47 ; C1  -6178*x^2 - 3170*y^2 + 4162*z^2
  (-661/1203 : -1024/1203 : 1)  C2a (11543/22039 : 2359/22039 : 1)
** u= -31/51 ; C1  -7642*x^2 + 3562*y^2 + 4802*z^2
  (49/2111 : 2450/2111 : 1)  C2b (-1522/3871 : 3/79 : 1)
** u= -31/63 ; C1  -12994*x^2 - 4930*y^2 + 6914*z^2
  (-1852/4423 : 4289/4423 : 1)  C2a (-429/211 : 2939/3587 : 1)
** u= -31/87 ; C1  -28018*x^2 - 8530*y^2 + 12002*z^2
  (1/1187 : -1408/1187 : 1)  C2a (-1371/1853 : 583/1853 : 1)
** u= -30/13 ; C1  -185*x^2 + 1069*y^2 + 49*z^2
  (-266/759 : 119/759 : 1)  C2b (6044/1561 : 9/223 : 1)
** u= -30/47 ; C1  -6305*x^2 + 3109*y^2 + 4129*z^2
  (618/901 : 551/901 : 1)  C2b (-6044/45591 : 10513/45591 : 1)
** u= -29/73 ; C1  -19018*x^2 + 6170*y^2 + 8722*z^2
  (154/1437 : -1687/1437 : 1)  C2b (254/91 : 73/13 : 1)
** u= -29/77 ; C1  -21554*x^2 - 6770*y^2 + 9554*z^2
  (-14969/37241 : -35268/37241 : 1)  C2a (-21621/70601 : -10225/70601 : 1)
** u= -29/85 ; C1  -27106*x^2 + 8066*y^2 + 11314*z^2
  (-11120/18489 : -7997/18489 : 1)  C2b (11632/11957 : -11501/11957 : 1)
** u= -28/17 ; C1  -325*x^2 + 1073*y^2 + 457*z^2
  (-25/23 : -6/23 : 1)  C2b (-2894/2323 : -79/2323 : 1)
** u= -28/23 ; C1  {+/-} -853*x^2 + 1313*y^2 + 1033*z^2
  (-136/315 : -257/315 : 1)  C2a (1048/971 : 191/971 : 1) C2b (-6172/7865 : -799/7865 : 1)
** u= -28/45 ; C1  {+/-} -5869*x^2 + 2809*y^2 + 3761*z^2
  (4/5 : -11/265 : 1)  C2a (-282/145 : 5797/7685 : 1) C2b (-2558/9143 : -1629/9143 : 1)
** u= -28/51 ; C1  -8077*x^2 + 3385*y^2 + 4673*z^2
  (-2116/7183 : -7781/7183 : 1)  C2b (2078/6483 : 433/6483 : 1)
** u= -28/57 ; C1  -10645*x^2 + 4033*y^2 + 5657*z^2
  (-541/1763 : 1894/1763 : 1)  C2b (2908/17431 : 3183/17431 : 1)
** u= -28/59 ; C1  -11581*x^2 - 4265*y^2 + 6001*z^2
  (1867/19053 : 22390/19053 : 1)  C2a (-43006/53261 : 16805/53261 : 1)
** u= -28/75 ; C1  -20509*x^2 - 6409*y^2 + 9041*z^2
  (-11468/17395 : -2449/17395 : 1)  C2a (-2076/1961 : 859/1961 : 1)
** u= -28/79 ; C1  -23141*x^2 - 7025*y^2 + 9881*z^2
  (888/4595 : 26029/22975 : 1)  C2a (2064/15275 : -8251/76375 : 1)
** u= -27/95 ; C1  -35594*x^2 + 9754*y^2 + 13426*z^2
  (59563/107115 : 1442/2895 : 1)  C2b (6332/8463 : -703/1209 : 1)
** u= -26/77 ; C1  -22313*x^2 + 6605*y^2 + 9257*z^2
  (3198/13751 : 15181/13751 : 1)  C2b (9992/27343 : -11447/27343 : 1)
** u= -26/93 ; C1  -34249*x^2 + 9325*y^2 + 12809*z^2
  (-2/163 : -191/163 : 1)  C2b (6274/3423 : 4427/3423 : 1)
** u= -25/17 ; C1  {+/-} -370*x^2 + 914*y^2 + 514*z^2
  (116/189 : -121/189 : 1)  C2a (1397/523 : 329/523 : 1) C2b (-2372/2453 : -259/2453 : 1)
** u= -24/17 ; C1  {+/-} -389*x^2 + 865*y^2 + 529*z^2
  (736/969 : 575/969 : 1)  C2a (8066/2001 : -91/87 : 1) C2b (-2206/2323 : -9/101 : 1)
** u= -24/53 ; C1  -9533*x^2 - 3385*y^2 + 4777*z^2
  (89/483 : 554/483 : 1)  C2a (5006/17697 : 1571/17697 : 1)
** u= -24/79 ; C1  -24197*x^2 - 6817*y^2 + 9457*z^2
  (8904/14719 : -4375/14719 : 1)  C2a (-56/27 : -389/459 : 1)
** u= -24/95 ; C1  -36581*x^2 + 9601*y^2 + 13009*z^2
  (64409/125085 : 73442/125085 : 1)  C2b (7778/2145 : 4907/2145 : 1)
** u= -23/11 ; C1  -122*x^2 + 650*y^2 + 98*z^2
  (14/19 : 21/95 : 1)  C2b (-914/469 : -7/67 : 1)
** u= -23/51 ; C1  -8842*x^2 + 3130*y^2 + 4418*z^2
  (-1363/2351 : 1598/2351 : 1)  C2b (274/1833 : -5/39 : 1)
** u= -23/79 ; C1  -24466*x^2 + 6770*y^2 + 9346*z^2
  (-127/5883 : -6908/5883 : 1)  C2b (-4156/439 : 3025/439 : 1)
** u= -22/51 ; C1  -9001*x^2 + 3085*y^2 + 4361*z^2
  (1582/2557 : 1393/2557 : 1)  C2b (254/2149 : -15/307 : 1)
** u= -21/13 ; C1  -194*x^2 + 610*y^2 + 274*z^2
  (-332/453 : 239/453 : 1)  C2b (818/1331 : 279/1331 : 1)
** u= -21/17 ; C1  -458*x^2 + 730*y^2 + 562*z^2
  (-27/101 : 86/101 : 1)  C2b (-866/2047 : 435/2047 : 1)
** u= -20/31 ; C1  -2725*x^2 - 1361*y^2 + 1801*z^2
  (-727/2025 : 418/405 : 1)  C2a (-1828/4117 : 151/4117 : 1)
** u= -20/71 ; C1  {+/-} -19925*x^2 + 5441*y^2 + 7481*z^2
  (384/659 : 239/659 : 1)  C2a (9264/30181 : -5623/30181 : 1) C2b (-14408/575 : 10073/575 : 1)
** u= -20/83 ; C1  -28205*x^2 - 7289*y^2 + 9809*z^2
  (15136/32803 : -23697/32803 : 1)  C2a (92252/25755 : 36937/25755 : 1)
** u= -20/97 ; C1  -39685*x^2 - 9809*y^2 + 12889*z^2
  (5777/13687 : 10542/13687 : 1)  C2a (454/521 : 3409/8857 : 1)
** u= -19/51 ; C1  {+/-} -9490*x^2 + 2962*y^2 + 4178*z^2
  (-4423/7799 : -4808/7799 : 1)  C2a (-181/433 : 81/433 : 1) C2b (-604/107 : -771/107 : 1)
** u= -18/17 ; C1  -545*x^2 + 613*y^2 + 577*z^2
  (-195/277 : 196/277 : 1)  C2b (-2588/3989 : -483/3989 : 1)
** u= -18/35 ; C1  -3929*x^2 + 1549*y^2 + 2161*z^2
  (1627/2295 : -796/2295 : 1)  C2b (1436/7279 : -1287/7279 : 1)
** u= -18/67 ; C1  -17945*x^2 + 4813*y^2 + 6577*z^2
  (6322/12741 : 8533/12741 : 1)  C2b (7012/57055 : 14601/57055 : 1)
** u= -17/9 ; C1  {+/-} -82*x^2 + 370*y^2 + 98*z^2
  (56/53 : -7/53 : 1)  C2a (4323/511 : 107/73 : 1) C2b (514/329 : 3/47 : 1)
** u= -17/21 ; C1  -1066*x^2 + 730*y^2 + 866*z^2
  (359/1949 : -2078/1949 : 1)  C2b (-562/2047 : 435/2047 : 1)
** u= -17/25 ; C1  {+/-} -1714*x^2 + 914*y^2 + 1186*z^2
  (-520/989 : -873/989 : 1)  C2a (857/1243 : -247/1243 : 1) C2b (-1028/2453 : -259/2453 : 1)
** u= -17/33 ; C1  -3490*x^2 - 1378*y^2 + 1922*z^2
  (620/973 : 589/973 : 1)  C2a (-3333/1829 : -43/59 : 1)
** u= -17/49 ; C1  {+/-} -8962*x^2 + 2690*y^2 + 3778*z^2
  (-796/2853 : -3053/2853 : 1)  C2a (329/4973 : 509/4973 : 1) C2b (-1784/61 : -1781/61 : 1)
** u= -17/53 ; C1  -10730*x^2 + 3098*y^2 + 4322*z^2
  (122/229 : -147/229 : 1)  C2b (-5744/6293 : 5069/6293 : 1)
** u= -17/73 ; C1  {+/-} -21970*x^2 + 5618*y^2 + 7522*z^2
  (7/13 : 24/53 : 1)  C2a (-167/395 : 4907/20935 : 1) C2b (5116/9275 : -3757/9275 : 1)
** u= -17/77 ; C1  -24698*x^2 + 6218*y^2 + 8258*z^2
  (9355/23437 : 19542/23437 : 1)  C2b (-3022/1711 : 1763/1711 : 1)
** u= -17/81 ; C1  {+/-} -27586*x^2 + 6850*y^2 + 9026*z^2
  (428/1057 : -857/1057 : 1)  C2a (171/2251 : -397/2251 : 1) C2b (-3518/5719 : 2379/5719 : 1)
** u= -17/89 ; C1  {+/-} -33842*x^2 + 8210*y^2 + 10658*z^2
  (-2847/5381 : -2044/5381 : 1)  C2a (861/2117 : -7/29 : 1) C2b (1316/2701 : -13/37 : 1)
** u= -16/7 ; C1  -53*x^2 - 305*y^2 + 17*z^2
  (36/67 : 5/67 : 1)  C2a (182/51 : 1/51 : 1)
** u= -16/21 ; C1  -1117*x^2 - 697*y^2 + 857*z^2
  (-337/2083 : -2270/2083 : 1)  C2a (2352/191 : 15193/3247 : 1)
** u= -16/29 ; C1  -2605*x^2 - 1097*y^2 + 1513*z^2
  (-376/509 : 147/509 : 1)  C2a (4634/9605 : 1337/9605 : 1)
** u= -16/33 ; C1  {+/-} -3589*x^2 + 1345*y^2 + 1889*z^2
  (1453/2023 : -338/2023 : 1)  C2a (3018/3703 : 1171/3703 : 1) C2b (-446/2353 : 357/2353 : 1)
** u= -16/35 ; C1  {+/-} -4141*x^2 + 1481*y^2 + 2089*z^2
  (-2528/3615 : 751/3615 : 1)  C2a (22/115 : 1/115 : 1) C2b (302/1625 : 83/1625 : 1)
** u= -16/47 ; C1  -8293*x^2 - 2465*y^2 + 3457*z^2
  (88/219 : -203/219 : 1)  C2a (1402/2219 : -10439/37723 : 1)
** u= -16/61 ; C1  -14957*x^2 - 3977*y^2 + 5417*z^2
  (5308/8885 : -1251/8885 : 1)  C2a (-9146/12645 : -4121/12645 : 1)
** u= -16/69 ; C1  -19645*x^2 + 5017*y^2 + 6713*z^2
  (-15659/48383 : 46606/48383 : 1)  C2b (4594/14287 : -627/2041 : 1)
** u= -15/7 ; C1  -50*x^2 - 274*y^2 + 34*z^2
  (24/47 : 13/47 : 1)  C2a (-361/119 : -27/119 : 1)
** u= -15/31 ; C1  -3170*x^2 - 1186*y^2 + 1666*z^2
  (-84/139 : -91/139 : 1)  C2a (37/153 : 1/153 : 1)
** u= -14/17 ; C1  -689*x^2 + 485*y^2 + 569*z^2
  (122/187 : -141/187 : 1)  C2b (-3064/7117 : 1157/7117 : 1)
** u= -14/37 ; C1  -4969*x^2 + 1565*y^2 + 2209*z^2
  (-1081/1629 : -188/1629 : 1)  C2b (-548/3713 : 25/79 : 1)
** u= -14/51 ; C1  -10345*x^2 + 2797*y^2 + 3833*z^2
  (1450/5933 : -6361/5933 : 1)  C2b (3908/1125 : -2669/1125 : 1)
** u= -14/65 ; C1  -17681*x^2 + 4421*y^2 + 5849*z^2
  (922/9955 : -11301/9955 : 1)  C2b (-94/31 : 53/31 : 1)
** u= -14/71 ; C1  -21425*x^2 + 5237*y^2 + 6833*z^2
  (354/653 : -209/653 : 1)  C2b (5714/9593 : -3821/9593 : 1)
** u= -14/85 ; C1  -31561*x^2 + 7421*y^2 + 9409*z^2
  (4850/53379 : -59267/53379 : 1)  C2b (18596/15229 : -101/157 : 1)
** u= -14/99 ; C1  -43657*x^2 + 9997*y^2 + 12377*z^2
  (34493/77035 : -46384/77035 : 1)  C2b (-13666/23727 : -8539/23727 : 1)
** u= -13/21 ; C1  -1282*x^2 + 610*y^2 + 818*z^2
  (2596/3397 : -1145/3397 : 1)  C2b (274/1331 : 279/1331 : 1)
** u= -13/45 ; C1  -7954*x^2 - 2194*y^2 + 3026*z^2
  (-2704/4385 : -113/4385 : 1)  C2a (-88767/47107 : -36323/47107 : 1)
** u= -12/5 ; C1  {+/-} -29*x^2 + 169*y^2 + z^2
  (0 : 1/13 : 1)  C2a (14 : -3/13 : 1) C2b (956/95 : -9/95 : 1)
** u= -12/65 ; C1  -18149*x^2 - 4369*y^2 + 5641*z^2
  (1872/3665 : 1669/3665 : 1)  C2a (1646/3359 : 15153/57103 : 1)
** u= -11/23 ; C1  -1754*x^2 + 650*y^2 + 914*z^2
  (18/175 : 1027/875 : 1)  C2b (-14/67 : -7/67 : 1)
** u= -11/51 ; C1  -10882*x^2 - 2722*y^2 + 3602*z^2
  (-1252/3955 : 3799/3955 : 1)  C2a (-9/73 : -13/73 : 1)
** u= -11/91 ; C1  {+/-} -37522*x^2 + 8402*y^2 + 10162*z^2
  (-3289/17895 : 18412/17895 : 1)  C2a (-118573/16019 : 44851/16019 : 1) C2b (6158/15565 : -4649/15565 : 1)
** u= -10/7 ; C1  -65*x^2 + 149*y^2 + 89*z^2
  (375/331 : -64/331 : 1)  C2b (764/839 : 97/839 : 1)
** u= -10/17 ; C1  -865*x^2 + 389*y^2 + 529*z^2
  (575/969 : 736/969 : 1)  C2b (302/805 : -1/35 : 1)
** u= -10/41 ; C1  -6865*x^2 + 1781*y^2 + 2401*z^2
  (1519/2761 : -1176/2761 : 1)  C2b (-3044/21511 : 113/439 : 1)
** u= -9/17 ; C1  {+/-} -914*x^2 + 370*y^2 + 514*z^2
  (-84/781 : -911/781 : 1)  C2a (-161/131 : 63/131 : 1) C2b (14/47 : 3/47 : 1)
** u= -8/15 ; C1  -709*x^2 - 289*y^2 + 401*z^2
  (-7/29 : 550/493 : 1)  C2a (14/19 : -87/323 : 1)
** u= -8/23 ; C1  -1973*x^2 - 593*y^2 + 833*z^2
  (-588/983 : -455/983 : 1)  C2a (4534/3927 : -269/561 : 1)
** u= -8/25 ; C1  -2389*x^2 - 689*y^2 + 961*z^2
  (-31/475 : -558/475 : 1)  C2a (76/31 : -1 : 1)
** u= -8/39 ; C1  -6421*x^2 - 1585*y^2 + 2081*z^2
  (-661/3289 : -3526/3289 : 1)  C2a (6426/7499 : 2849/7499 : 1)
** u= -8/43 ; C1  {+/-} -7933*x^2 + 1913*y^2 + 2473*z^2
  (-271/1381 : 1470/1381 : 1)  C2a (532/2435 : 493/2435 : 1) C2b (2194/7537 : 2149/7537 : 1)
** u= -8/53 ; C1  -12413*x^2 - 2873*y^2 + 3593*z^2
  (1247/3163 : 31290/41119 : 1)  C2a (-6/7 : -593/1547 : 1)
** u= -8/59 ; C1  {+/-} -15581*x^2 + 3545*y^2 + 4361*z^2
  (-5033/9517 : -294/9517 : 1)  C2a (-105414/749 : -5729/107 : 1) C2b (4946/2233 : -331/319 : 1)
** u= -8/63 ; C1  -17893*x^2 - 4033*y^2 + 4913*z^2
  (-3553/8293 : -5270/8293 : 1)  C2a (-15134/12427 : -369/731 : 1)
** u= -8/85 ; C1  -33469*x^2 + 7289*y^2 + 8521*z^2
  (5407/15131 : -11550/15131 : 1)  C2b (-11602/18763 : 6631/18763 : 1)
** u= -7/15 ; C1  -754*x^2 - 274*y^2 + 386*z^2
  (-7/115 : -136/115 : 1)  C2a (-1581/6089 : -379/6089 : 1)
** u= -7/23 ; C1  -2050*x^2 - 578*y^2 + 802*z^2
  (11/75 : 292/255 : 1)  C2a (-23/101 : -269/1717 : 1)
** u= -7/27 ; C1  -2938*x^2 + 778*y^2 + 1058*z^2
  (23/55 : 46/55 : 1)  C2b (-1208/3105 : -47/135 : 1)
** u= -7/79 ; C1  -29042*x^2 - 6290*y^2 + 7298*z^2
  (-416/2527 : -2571/2527 : 1)  C2a (-1593/319 : -10075/5423 : 1)
** u= -7/95 ; C1  -42514*x^2 + 9074*y^2 + 10306*z^2
  (-1/563 : -600/563 : 1)  C2b (7646/4651 : -3247/4651 : 1)
** u= -6/17 ; C1  -1073*x^2 + 325*y^2 + 457*z^2
  (-5/9 : 28/45 : 1)  C2b (14/149 : 39/149 : 1)
** u= -5/37 ; C1  -6130*x^2 - 1394*y^2 + 1714*z^2
  (-452/1837 : -1803/1837 : 1)  C2a (-289/271 : -2089/4607 : 1)
** u= -5/69 ; C1  -22450*x^2 - 4786*y^2 + 5426*z^2
  (-71/385 : 76/77 : 1)  C2a (-17/227 : 51/227 : 1)
** u= -5/93 ; C1  -41410*x^2 - 8674*y^2 + 9554*z^2
  (2165/5273 : -2872/5273 : 1)  C2a (73677/76483 : -31759/76483 : 1)
** u= -4/3 ; C1  -13*x^2 - 25*y^2 + 17*z^2
  (-4/7 : 5/7 : 1)  C2a (24/17 : -5/17 : 1)
** u= -4/11 ; C1  -445*x^2 - 137*y^2 + 193*z^2
  (-64/171 : -167/171 : 1)  C2a (238/1231 : 143/1231 : 1)
** u= -4/13 ; C1  {+/-} -653*x^2 + 185*y^2 + 257*z^2
  (168/1121 : -1283/1121 : 1)  C2a (-14/33 : -7/33 : 1) C2b (14 : 11 : 1)
** u= -4/17 ; C1  -1189*x^2 + 305*y^2 + 409*z^2
  (-23/47 : -30/47 : 1)  C2b (274/853 : 263/853 : 1)
** u= -4/21 ; C1  {+/-} -1885*x^2 + 457*y^2 + 593*z^2
  (5/83 : 94/83 : 1)  C2a (792/11959 : -2197/11959 : 1) C2b (1028/3369 : -977/3369 : 1)
** u= -4/35 ; C1  -5581*x^2 - 1241*y^2 + 1489*z^2
  (-1487/7201 : -7230/7201 : 1)  C2a (368/595 : 3167/10115 : 1)
** u= -4/65 ; C1  -20101*x^2 - 4241*y^2 + 4729*z^2
  (-1600/10569 : 10603/10569 : 1)  C2a (7582/18403 : 4987/18403 : 1)
** u= -4/81 ; C1  -31525*x^2 + 6577*y^2 + 7193*z^2
  (11116/38905 : 6521/7781 : 1)  C2b (23588/21559 : -10353/21559 : 1)
** u= -4/91 ; C1  -39965*x^2 - 8297*y^2 + 8993*z^2
  (2967/6281 : -598/6281 : 1)  C2a (5082/391 : -79/17 : 1)
** u= -3/31 ; C1  -4442*x^2 + 970*y^2 + 1138*z^2
  (-474/1007 : -401/1007 : 1)  C2b (-1532/1569 : 745/1569 : 1)
** u= -3/71 ; C1  -24362*x^2 + 5050*y^2 + 5458*z^2
  (-175/3999 : -20698/19995 : 1)  C2b (1316/4191 : 1129/4191 : 1)
** u= -2/19 ; C1  -1657*x^2 + 365*y^2 + 433*z^2
  (-131/463 : -420/463 : 1)  C2b (1124/3089 : -889/3089 : 1)
** u= -2/51 ; C1  -12601*x^2 + 2605*y^2 + 2801*z^2
  (6218/16813 : 10813/16813 : 1)  C2b (4786/9933 : -2993/9933 : 1)
** u= -1 ; C1  {+/-} -2*x^2 + 2*y^2 + 2*z^2
  (1 : 0 : 1)  C2a (-11/15 : -1/15 : 1) C2b (-4/7 : 1/7 : 1)
** u= -1/85 ; C1  -35786*x^2 + 7226*y^2 + 7394*z^2
  (-510/3109 : 2933/3109 : 1)  C2b (-7054/20951 : -5653/20951 : 1)
** u= 0 ; C1  {+/-} -5*x^2 + y^2 + z^2
  (0 : 1 : 1)  C2a (2/3 : -1/3 : 1) C2b (2/3 : -1/3 : 1)
** u= 1/7 ; C1  -274*x^2 - 50*y^2 + 34*z^2
  (1/3 : -4/15 : 1)  C2a (-1/17 : 23/85 : 1)
** u= 1/35 ; C1  -6266*x^2 + 1226*y^2 + 1154*z^2
  (-15/103 : 94/103 : 1)  C2b (-1294/1525 : -559/1525 : 1)
** u= 2/19 ; C1  -1961*x^2 + 365*y^2 + 281*z^2
  (-7/23 : -12/23 : 1)  C2b (1732/3089 : -889/3089 : 1)
** u= 2/51 ; C1  -13417*x^2 + 2605*y^2 + 2393*z^2
  (317/3859 : 3628/3859 : 1)  C2b (5602/9933 : -2993/9933 : 1)
** u= 3/17 ; C1  -1658*x^2 + 298*y^2 + 178*z^2
  (18/233 : 175/233 : 1)  C2b (382/311 : 117/311 : 1)
** u= 3/65 ; C1  -21914*x^2 + 4234*y^2 + 3826*z^2
  (-975/2557 : -994/2557 : 1)  C2b (-2632/3127 : -1119/3127 : 1)
** u= 4/11 ; C1  -797*x^2 - 137*y^2 + 17*z^2
  (20/239 : -69/239 : 1)  C2a (-1126/153 : 143/153 : 1)
** u= 4/13 ; C1  {+/-} -1069*x^2 + 185*y^2 + 49*z^2
  (119/759 : -266/759 : 1)  C2a (-10606/2681 : 289/383 : 1) C2b (514/7 : 11 : 1)
** u= 4/17 ; C1  -1733*x^2 + 305*y^2 + 137*z^2
  (329/2423 : 1422/2423 : 1)  C2b (818/853 : 263/853 : 1)
** u= 4/21 ; C1  {+/-} -2557*x^2 + 457*y^2 + 257*z^2
  (-85/667 : 458/667 : 1)  C2a (-1662/2305 : 767/2305 : 1) C2b (2372/3369 : -977/3369 : 1)
** u= 4/33 ; C1  -5989*x^2 - 1105*y^2 + 809*z^2
  (-157/1603 : 1322/1603 : 1)  C2a (-2778/2987 : -19381/50779 : 1)
** u= 4/35 ; C1  -6701*x^2 - 1241*y^2 + 929*z^2
  (240/911 : -557/911 : 1)  C2a (-28/75 : 367/1275 : 1)
** u= 4/81 ; C1  -34117*x^2 + 6577*y^2 + 5897*z^2
  (1636/5185 : 3197/5185 : 1)  C2b (28772/21559 : -10353/21559 : 1)
** u= 4/91 ; C1  -42877*x^2 - 8297*y^2 + 7537*z^2
  (1796/10719 : -9365/10719 : 1)  C2a (-5474/1247 : -1817/1247 : 1)
** u= 5/51 ; C1  {+/-} -14050*x^2 + 2626*y^2 + 2066*z^2
  (116/2791 : -2461/2791 : 1)  C2a (16317/22937 : -7811/22937 : 1) C2b (-3086/5095 : 1509/5095 : 1)
** u= 5/63 ; C1  -21130*x^2 + 3994*y^2 + 3314*z^2
  (2342/5983 : -827/5983 : 1)  C2b (18296/36489 : -10337/36489 : 1)
** u= 6/17 ; C1  -1889*x^2 + 325*y^2 + 49*z^2
  (42/311 : -329/1555 : 1)  C2b (914/1043 : 39/149 : 1)
** u= 7/17 ; C1  {+/-} -1970*x^2 + 338*y^2 + 2*z^2
  (0 : 1/13 : 1)  C2a (-93/5 : 37/65 : 1) C2b (956/125 : -37/125 : 1)
** u= 7/41 ; C1  {+/-} -9602*x^2 + 1730*y^2 + 1058*z^2
  (-92/521 : 345/521 : 1)  C2a (4111/4623 : 73/201 : 1) C2b (2206/5773 : 65/251 : 1)
** u= 8/23 ; C1  -3445*x^2 - 593*y^2 + 97*z^2
  (109/1761 : -662/1761 : 1)  C2a (3808/569 : 553/569 : 1)
** u= 8/39 ; C1  -8917*x^2 - 1585*y^2 + 833*z^2
  (637/2881 : -1442/2881 : 1)  C2a (-23896/6307 : 885/901 : 1)
** u= 8/43 ; C1  {+/-} -10685*x^2 + 1913*y^2 + 1097*z^2
  (2652/12559 : -7153/12559 : 1)  C2a (2634/2437 : 959/2437 : 1) C2b (4946/7537 : 2149/7537 : 1)
** u= 8/59 ; C1  {+/-} -19357*x^2 + 3545*y^2 + 2473*z^2
  (6836/19167 : 1055/19167 : 1)  C2a (-142/19 : -41/19 : 1) C2b (1246/319 : -331/319 : 1)
** u= 8/63 ; C1  -21925*x^2 - 4033*y^2 + 2897*z^2
  (-1159/5725 : 806/1145 : 1)  C2a (-64736/13 : 18819/13 : 1)
** u= 8/85 ; C1  -38909*x^2 + 7289*y^2 + 5801*z^2
  (695/7699 : 6678/7699 : 1)  C2b (-17042/18763 : 6631/18763 : 1)
** u= 8/87 ; C1  -40693*x^2 - 7633*y^2 + 6113*z^2
  (15349/42745 : -14398/42745 : 1)  C2a (-88/29 : -477/493 : 1)
** u= 9/23 ; C1  -3554*x^2 - 610*y^2 + 34*z^2
  (-8/87 : -7/87 : 1)  C2a (-229/119 : 39/119 : 1)
** u= 10/41 ; C1  -10145*x^2 + 1781*y^2 + 761*z^2
  (-1075/22033 : -14172/22033 : 1)  C2b (-196/439 : 113/439 : 1)
** u= 10/61 ; C1  -21145*x^2 + 3821*y^2 + 2401*z^2
  (-4606/25019 : 16611/25019 : 1)  C2b (9682/4655 : 53/95 : 1)
** u= 11/45 ; C1  -12226*x^2 + 2146*y^2 + 914*z^2
  (1127/5669 : 2540/5669 : 1)  C2b (-2894/245 : 561/245 : 1)
** u= 11/61 ; C1  -21410*x^2 - 3842*y^2 + 2258*z^2
  (499/1769 : -672/1769 : 1)  C2a (129/143 : -883/2431 : 1)
** u= 12/29 ; C1  -5741*x^2 - 985*y^2 + z^2
  (13/987 : -2/987 : 1)  C2a (-3326/49 : -39/49 : 1)
** u= 12/43 ; C1  -11453*x^2 - 1993*y^2 + 673*z^2
  (360/2923 : 1463/2923 : 1)  C2a (-29308/2679 : 5891/2679 : 1)
** u= 12/65 ; C1  -24389*x^2 - 4369*y^2 + 2521*z^2
  (14697/45791 : -70/1579 : 1)  C2a (74836/20879 : 345603/354943 : 1)
** u= 12/85 ; C1  -40349*x^2 - 7369*y^2 + 5041*z^2
  (5112/20485 : 11999/20485 : 1)  C2a (49166/41109 : 251/579 : 1)
** u= 14/37 ; C1  -9113*x^2 + 1565*y^2 + 137*z^2
  (262/2219 : 177/2219 : 1)  C2b (-188/79 : 25/79 : 1)
** u= 14/51 ; C1  -16057*x^2 + 2797*y^2 + 977*z^2
  (-1535/9451 : 4204/9451 : 1)  C2b (15332/1125 : -2669/1125 : 1)
** u= 14/65 ; C1  -24961*x^2 + 4421*y^2 + 2209*z^2
  (2350/11087 : 5499/11087 : 1)  C2b (-11698/1457 : 53/31 : 1)
** u= 14/71 ; C1  -29377*x^2 + 5237*y^2 + 2857*z^2
  (-1189/5215 : 2628/5215 : 1)  C2b (13666/9593 : -3821/9593 : 1)
** u= 14/85 ; C1  -41081*x^2 + 7421*y^2 + 4649*z^2
  (5331/21205 : -11152/21205 : 1)  C2b (388/157 : -101/157 : 1)
** u= 14/99 ; C1  -54745*x^2 + 9997*y^2 + 6833*z^2
  (-986/37517 : 30931/37517 : 1)  C2b (-24754/23727 : -8539/23727 : 1)
** u= 15/49 ; C1  {+/-} -15170*x^2 + 2626*y^2 + 706*z^2
  (1380/8689 : 3049/8689 : 1)  C2a (-22649/11335 : -5169/11335 : 1) C2b (-3646/5811 : -1513/5811 : 1)
** u= 16/47 ; C1  -14309*x^2 - 2465*y^2 + 449*z^2
  (213/6113 : -2558/6113 : 1)  C2a (6636/61 : -16517/1037 : 1)
** u= 16/55 ; C1  -18901*x^2 - 3281*y^2 + 1009*z^2
  (-331/1473 : -190/1473 : 1)  C2a (2396/581 : 8243/9877 : 1)
** u= 16/61 ; C1  -22765*x^2 - 3977*y^2 + 1513*z^2
  (-308/1389 : 437/1389 : 1)  C2a (-34594/43027 : -14209/43027 : 1)
** u= 16/69 ; C1  -28477*x^2 + 5017*y^2 + 2297*z^2
  (-2111/7955 : 1918/7955 : 1)  C2b (1918/2041 : -627/2041 : 1)
** u= 17/43 ; C1  -12458*x^2 + 2138*y^2 + 98*z^2
  (-42/5155 : -1099/5155 : 1)  C2b (3022/1519 : -59/217 : 1)
** u= 17/55 ; C1  -19154*x^2 + 3314*y^2 + 866*z^2
  (-1348/11315 : 4791/11315 : 1)  C2b (658/103 : 101/103 : 1)
** u= 17/87 ; C1  -44050*x^2 + 7858*y^2 + 4322*z^2
  (-101/647 : -416/647 : 1)  C2b (10238/329 : -2283/329 : 1)
** u= 18/67 ; C1  -27593*x^2 + 4813*y^2 + 1753*z^2
  (1479/11215 : -5768/11215 : 1)  C2b (26308/57055 : 14601/57055 : 1)
** u= 19/49 ; C1  -16090*x^2 + 2762*y^2 + 178*z^2
  (-85/4881 : -1222/4881 : 1)  C2b (-3902/1595 : 481/1595 : 1)
** u= 19/93 ; C1  -50674*x^2 - 9010*y^2 + 4754*z^2
  (-9676/33889 : -8911/33889 : 1)  C2a (-627/163 : -2765/2771 : 1)
** u= 20/71 ; C1  {+/-} -31285*x^2 + 5441*y^2 + 1801*z^2
  (-1255/7281 : -2914/7281 : 1)  C2a (81314/73949 : 26453/73949 : 1) C2b (-59848/575 : 10073/575 : 1)
** u= 20/83 ; C1  -41485*x^2 - 7289*y^2 + 3169*z^2
  (29/2741 : 1806/2741 : 1)  C2a (-19244/6125 : 4681/6125 : 1)
** u= 21/55 ; C1  -20186*x^2 + 3466*y^2 + 274*z^2
  (-354/8743 : -2305/8743 : 1)  C2b (9788/4175 : -1287/4175 : 1)
** u= 22/85 ; C1  -44089*x^2 + 7709*y^2 + 3001*z^2
  (815/15537 : -9496/15537 : 1)  C2b (-41924/16589 : 8683/16589 : 1)
** u= 23/57 ; C1  {+/-} -22018*x^2 + 3778*y^2 + 98*z^2
  (364/8669 : 1085/8669 : 1)  C2a (1749/1025 : 311/1025 : 1) C2b (5342/5005 : 177/715 : 1)
** u= 24/79 ; C1  -39365*x^2 - 6817*y^2 + 1873*z^2
  (-1644/40543 : -20881/40543 : 1)  C2a (158/195 : -1063/3315 : 1)
** u= 24/95 ; C1  -54821*x^2 + 9601*y^2 + 3889*z^2
  (-4220/17919 : -5327/17919 : 1)  C2b (26018/2145 : 4907/2145 : 1)
** u= 25/63 ; C1  -26770*x^2 - 4594*y^2 + 194*z^2
  (-227/2687 : -68/2687 : 1)  C2a (-464593/3575 : -32763/3575 : 1)
** u= 25/79 ; C1  -39730*x^2 - 6866*y^2 + 1666*z^2
  (-2548/12507 : -623/12507 : 1)  C2a (4111/2975 : 157/425 : 1)
** u= 25/87 ; C1  -47170*x^2 - 8194*y^2 + 2594*z^2
  (4172/23563 : 8693/23563 : 1)  C2a (-1263/155 : 4211/2635 : 1)
** u= 26/77 ; C1  -38329*x^2 + 6605*y^2 + 1249*z^2
  (218/1647 : -487/1647 : 1)  C2b (74056/27343 : -11447/27343 : 1)
** u= 26/93 ; C1  -53593*x^2 + 9325*y^2 + 3137*z^2
  (-154/1315 : 3337/6575 : 1)  C2b (25618/3423 : 4427/3423 : 1)
** u= 28/75 ; C1  -37309*x^2 - 6409*y^2 + 641*z^2
  (688/6959 : 1445/6959 : 1)  C2a (-354/311 : -1657/5287 : 1)
** u= 28/79 ; C1  -40837*x^2 - 7025*y^2 + 1033*z^2
  (-983/6489 : -758/6489 : 1)  C2a (1276/317 : 191/317 : 1)
** u= 28/85 ; C1  -46429*x^2 - 8009*y^2 + 1681*z^2
  (-2132/11205 : 41/11205 : 1)  C2a (6194/5125 : 43/125 : 1)
** u= 30/89 ; C1  -51185*x^2 + 8821*y^2 + 1681*z^2
  (-1722/10727 : -2173/10727 : 1)  C2b (-24722/5535 : -83/135 : 1)
** u= 32/87 ; C1  -50005*x^2 + 8593*y^2 + 977*z^2
  (553/7829 : -2278/7829 : 1)  C2b (-24226/9327 : 3269/9327 : 1)
** u= 33/95 ; C1  -58754*x^2 - 10114*y^2 + 1666*z^2
  (54880/339303 : 38311/339303 : 1)  C2a (-180589/79849 : 4863/11407 : 1)
** u= 34/91 ; C1  -54937*x^2 + 9437*y^2 + 937*z^2
  (337/3063 : 520/3063 : 1)  C2b (26626/15493 : -4471/15493 : 1)
** u= 34/99 ; C1  -63625*x^2 + 10957*y^2 + 1913*z^2
  (886/5561 : -917/5561 : 1)  C2b (-30754/20237 : -6159/20237 : 1)
338
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.05.02追記]u=-64/81のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.03
H.Nakao

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